精品解析：江西省赣州市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题

赣州市2023~2024学年度第二学期期末考试 高二数学试卷 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先解一元二次不等式，求解集合，再求交集即可. 【详解】因，又 所以. 故选：A. 2. 已知命题，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】全称量词命题的否定，首先把全称量词改成存在量词，然后把后面结论改否定即可. 【详解】因为命题是全称量词命题，则命题为存在量词命题， 由全称量词命题的否定得，命题：. 故选：D. 3. 正项等比数列中，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的性质求出即可得解. 【详解】由等比数列性质可知，解得， 所以， 故选：B 4. 已知函数的定义域为且导函数为，函数的图象如图，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的增区间是 B. 函数的减区间是 C. 是函数的极大值点 D. 是函数的极大值点 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象确定导函数的符号，确定函数的单调区间和极值. 【详解】根据的图象可知： 当时，；时，，当时，，当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减. 因此函数在时取得极小值，在取得极大值. 故ABD错误，C正确. 故选：C 5. “”是“函数在单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用对数函数与复合函数的单调性计算即可. 【详解】由二次函数、对数函数的单调性及复合函数的单调性可知： 要满足函数在单调递增， 需要， 因为，所以“”是“函数在单调递增”的必要不充分条件． 故选：B． 6. 在人工智能神经网络理论中，根据不同的需要，设置不同激活神经单元的函数，其中函数是比较常用的一种，其解析式为.关于函数，下列结论错误的是（ ） A. 有解 B. 是奇函数 C. 不是周期函数 D. 是单调递增函数 【答案】A 【解析】 【分析】考虑函数的值域可判断A，根据函数的奇偶性定义判断B，由复合函数的单调性分析可判断D，由D结合周期定义判断C. 【详解】由， 因，则，可得 ，即，故A错误； 因为的定义域为，且，所以是奇函数，故B正确； ，因是增函数，是增函数且恒为正数，则是减函数，故是增函数，故D正确； 由D可知函数在上单调递增，所以当时，，所以函数不是周期函数，故C正确. 故选：A 7. 已知是函数图像上的动点，是直线上的动点，则两点间距离的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求函数斜率为的切线，然后切线与直线的距离即为所求. 【详解】因为，（），所以， 由，得，又， 所以过点的切线为：即. 直线与的距离为：即为所求. 故选：C 8. 设等差数列的前项和为，公差为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 使得成立的最小自然数是20 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可知数列单调递减且，由通项公式化简可判断A，由等差数列的性质及求和公式结合条件可判断B，根据为递减数列即可判断C，由的关系及的符号可判断D. 【详解】由公差为可知，等差数列为递减数列且， 对A，，故A错误； 对B，因为，所以，所以，故B错误； 对C，因为，且，所以由一次函数单调性知为单调递减数列，所以，故C正确； 对D，由B知，且，所以， 因为，，若，则，且， 即，即，而，， 显然矛盾，故不成立，故D错误. 故选：C 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错项得0分. 9. 已知，且，都不为0，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由不等式的性质和函数单调性，判断选项中的不等式是否成立. 【详解】当时，有，A选项错误； ，则，得，B选项正确； ，，得，C选项正确； 函数在R上单调递减，，则，D选项错误. 故选：BC 10. 已知正数满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为1 B. 的最小值为4 C. 的最小值为9 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据均值不等式分别建立不等式解不等式可判断AB，先变形为关于的二次函数求最值判断C，利用条件变形可得，转化为关于的式子由均值不等式判断D. 【详解】由正数满足，可得，解得，即， 当且仅当，即时等号成立，故A正确； 由正数满足，可得， 解得或（舍去），当且仅当，即时等号成立，故B正确； ，由A知， 由二次函数的单调性知，即时，的最小值为8，故C错误； 由可得，即，所以， 所以，当且仅当，即，时等号成立，故D正确 故选：ABD 11. 记方程的实数解为（是无理数），被称为在指数函数中的“黄金比例”.下列有关的结论正确的是（ ） A. B. C. D. 函数的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】构建，利用导数判断其单调性，结合零点存在性定理分析判断B选项，对于A：对，，取对数整理即可；对于C：根据二次函数单调性判断；对于D：结合不等式分析可知，当且仅当时，等号成立. 【详解】构建，则为的零点， 因为， 若，则，可知在内单调递减，且， 所以在内无零点； 若，则，可知在内单调递增， 且，所以在内存在唯一零点； 对于选项A：因为，，即， 两边取对数可得：，，故A正确； 对于选项B：由上可知，故B不正确； 对于选项C：对称轴为，而，故单调递增， 当，最小值为，所以，故C正确； 对于选项D：构建，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则，可得，当且仅当时，等号成立， 可得，令， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为，故D正确； 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是： （1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域； （2）求导数，得单调区间和极值点； （3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数是上的奇函数，，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据奇函数的定义得出，再由解析式得解. 【详解】因为函数是上的奇函数，所以， 所以， 故答案为：2 13. 数列的前项和为，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先按通项进行分组求和，再由分式数列用裂项法求和，而数列是周期为4的数列，所以按每4个数一组求和即可. 【详解】由得： ， 故答案为：. 14. 已知定义在上的函数满足，当时，，则在上的零点个数为__________个. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得函数为周期函数，再由一个周期内内有两个零点，且一个零点小于1，一个大于2，即可得出在上的零点个数. 【详解】由可得， 所以周期， 当时，，令， 解得，即一个周期内有2个零点， 因为， 所以在上的零点个数为. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的图象过点，且在点处的切线恰好与直线平行. （1）求函数的解析式； （2）求在上的最大值和最小值. 【答案】（1） （2）最大值为4；最小值为： 【解析】 【分析】（1）根据函数的图象过点，得到关于的一个关系式，再根据函数在处的导数为，又得到关于的一个关系式，可求的值. （2）利用导数分析函数的单调性，可求函数的最大、最小值. 【小问1详解】 因为函数的图象过点， 所以. 又因为，且在点处的切线恰好与直线平行， 所以， 由得：，所以. 小问2详解】 由（1）知：， 由，由或. 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又，，，， 所以在上的最大值为4，最小值为. 16. 已知等差数列的公差成等比数列，数列的前项和公式为. （1）求数列和的通项公式： （2）设，求数列前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式求等差数列的通项公式，根据数列的前项和，求数列的通项公式. （2）利用错位相减求和法求数列的前项和. 【小问1详解】 由题意：，，， 因为成等比数列， 所以或， 又，所以，所以. 所以. 对数列：当时，， 当时，，， 两式相减得：， 所以是以2为首项，2为公比得等比数列，所以. 【小问2详解】 由（1）知：， 所以：， ， 两式相减得： ， 所以. 17. 已知函数为二次函数，有，__________，从下列条件中选取一个，补全到题目中，①，②函数为偶函数，③ （1）求函数的解析式； （2）若，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求函数解析式. （2）分别求函数的值域，根据两个函数值域之间的关系求参数. 【小问1详解】 设，由题意：， 两式相减的： 若选①，则：抛物线的对称轴为：，即. 所以，所以； 若选②，则：抛物线的对称轴为：，同上； 若选③，则：，由，得：，所以. 综上： 【小问2详解】 对： 当时，由；由； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以时，. 当时，恒成立， 所以在上恒成立. 观察可知，函数在上单调递减，所以， 由. 所以实数的取值范围是： 18. 已知函数为的导函数，记，其中为常数. （1）讨论的单调性； （2）若函数有两个极值点， ①求的取值范围； ②求证：. 【答案】（1）见解析 （2）①；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出，分类讨论，利用，解不等式即可得解； （2）①先分析不合题意，再求出时函数在有两个极值点的必要条件，再此条件下分析即可得解；②对结论进行转化，只需证，换元后利用导数确定函数单调性，得出函数最值，即可得证. 【小问1详解】 定义域为. ，， ， 当时，恒成立，在上单调递增， 当时，令，则，解得， 令，则，解得， 在单调递增，在单调递减. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在单调递增，在单调递减. 【小问2详解】 由（1）知，时，最多一个根，不符合题意，故， 函数有两个极值点， 在有两个不同零点必要条件是， 解得， 当，在单调递增，在单调递减， ， 由零点存在性定理得：在，各有1个零点， 的取值范围是. ②函数有两个极值点， ① ② ①②得：， 要证，即证，即证， 即证， 令，则， 令，则， 在上单调递增，， 在上成立， ，得证. 【点睛】关键点点睛：要证明不等式，关键点之一在于消去后对结论进行恰当变形，转化为证明成立，其次关键点在于令换元，转化为证明成立. 19. 若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.现对数列1，3进行构造，第一次得到数列1，4，3：第二次得到数列：依次构造，第次得到的数列的所有项之和记为，如. （1）求； （2）求的通项公式； （3）证明：. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出第三次得到数列再求和即可； （2）设出第次构造后得到的数列求出，则得到第次构造后得到的数列求出，可得与关系，再利用构造法求通项即可； （3）利用放缩法求等比数列和可得答案. 【小问1详解】 因为第二次得到数列，所以第三次得到数列 所以； 【小问2详解】 设第次构造后得的数列为，则， 则第次构造后得到的数列为 ， 则 ， ，可得，， 所以是以为公比，为首项的等比数列， 所以，即； 【小问3详解】 由（2）得， 所以当时，， 当时，所以 ， 综上所述，. 【点睛】关键点点睛：（2）问中解题关键点是已知相邻两项关系构造等比数列，进而得到数列的通项公式；（3）问中根据的通项公式，应用放缩变成等比数列的前项和，应用公式计算即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 赣州市2023~2024学年度第二学期期末考试 高二数学试卷 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. 或 D. 2. 已知命题，则为（ ） A. B. C. D. 3. 正项等比数列中，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知函数定义域为且导函数为，函数的图象如图，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的增区间是 B. 函数的减区间是 C. 是函数的极大值点 D. 是函数的极大值点 5. “”是“函数在单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 在人工智能神经网络理论中，根据不同的需要，设置不同激活神经单元的函数，其中函数是比较常用的一种，其解析式为.关于函数，下列结论错误的是（ ） A. 有解 B. 是奇函数 C. 不是周期函数 D. 是单调递增函数 7. 已知是函数图像上的动点，是直线上的动点，则两点间距离的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 8. 设等差数列的前项和为，公差为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 使得成立的最小自然数是20 C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错项得0分. 9. 已知，且，都不为0，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知正数满足，则下列结论正确是（ ） A. 的最大值为1 B. 的最小值为4 C. 的最小值为9 D. 的最小值为 11. 记方程的实数解为（是无理数），被称为在指数函数中的“黄金比例”.下列有关的结论正确的是（ ） A. B. C. D. 函数的最小值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数是上的奇函数，，则__________. 13. 数列的前项和为，若，则__________. 14. 已知定义在上函数满足，当时，，则在上的零点个数为__________个. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的图象过点，且在点处的切线恰好与直线平行. （1）求函数的解析式； （2）求在上的最大值和最小值. 16. 已知等差数列的公差成等比数列，数列的前项和公式为. （1）求数列和的通项公式： （2）设，求数列的前项和. 17. 已知函数为二次函数，有，__________，从下列条件中选取一个，补全到题目中，①，②函数为偶函数，③ （1）求函数的解析式； （2）若，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 18. 已知函数为的导函数，记，其中为常数. （1）讨论单调性； （2）若函数有两个极值点， ①求的取值范围； ②求证：. 19. 若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.现对数列1，3进行构造，第一次得到数列1，4，3：第二次得到数列：依次构造，第次得到的数列的所有项之和记为，如. （1）求； （2）求通项公式； （3）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$