精品解析：上海市宝山区淞谊实验学校2024-2025学年下学期八年级期中考试数学试题

上海市宝山区淞谊实验学校2024-2025学年第二学期八年级期中考试数学试题 淞谊实验学校八年级数学期中测试卷 一、单选题 1. 下列方程中，有实数根的是（　　） A. B. C. D. 2. 一个多边形的内角和为，则这个多边形的边数为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 3. 用换元法解方程时，如果设，那么可以得到一个关于的整式方程，该方程是（ ） A. B. C. D. 4. 已知一次函数，随的增大而减小，且，则在直角坐标系内它的大致图象是（ ） A. B. C. D. 5. 下列条件不能判定一个四边形是矩形的是（　　） A. 四个内角都相等 B. 四条边都相等 C. 对角线相等且互相平分 D. 对角线相等的平行四边形 6. 如图是反映某工程队所挖河渠长度（米与挖掘时间（时之间关系的部分图像．下列说法正确的是（ ） A. 该工程队每小时挖河渠米 B. 该河渠总长为50米 C. 该工程队挖了30米之后加快了挖掘速度 D. 开挖到30米时，用了2小时 二、填空题 7. 如果函数是一次函数，那么的取值范围为________． 8. 关于x的方程的解是_______． 9. 一辆汽车，新车购买价为20万元，以后每年的年折旧率为，如果该车购买之后的第二年年末折旧后的价值为14.45万元，那么可以列出关于的方程是_______．（列出方程即可，无需求解） 10. 如图，一次函数的图像与轴、轴分别相交于、两点，那么当时，自变量的取值范围是_________． 11. 某城市有一类出租车，计费规定如下：行驶里程不超过3千米，付费14元；超过3千米且不超过15千米的部分，每千米付费2.50元．某人乘该类出租车行驶了千米，则乘车费用（元）关于里程数（千米）的函数解析式为________． 12. 如图，过平行四边形对角线的交点，交于点，交于点．若平行四边形的周长为18，，则四边形的周长为___． 13. 已知菱形有一个内角为，较长对角线长为，那么较短的对角线长为________． 14. 一次函数的图象过点且与直线平行，那么该函数解析式为__________. 15. 已知关于的分式方程有增根，则______． 16. 如果直线与两坐标轴所围成的三角形的面积是9，那么的值为______． 17. 含角的直和三角板如图放置在平面直角坐标系中，其中、，则直线的表达式为_______． 18. 如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别是CD，BC边上的动点，且CE+CF=4，BE和AF相交于点G，在点E，F运动的过程中，当△AGB中某一个内角是另一个内角的2倍时，△BCG的面积为______． 三、解答题 19. 解方程：. 20. 解方程：． 21. 解方程组：． 22. 如图，在平行四边形中，点和点分别在边上，且．求证：四边形是平行四边形． 23. 小正同学带着48元钱去水果店买水果，看到水果店里的苹果比梨每千克贵2元，数学能手小正同学发现：如果将48元全部买苹果就比将48元全部买梨少4千克，求这家水果店的苹果和梨每千克的价格各是多少元？ 24. 已知点、在直线上，和函数的图象交于点． （1）求直线的表达式． （2）若点的横坐标为1，求的面积． 25. 如图，已知菱形中，，点E、F分别在边、上，且，联结． （1）求证：是等边三角形； （2）当时，求周长的最小值． 26. 如图，在直角坐标系中，点和点，直线与轴正半轴交于点，过点作，垂足为，联结． （1）求的长； （2）当时，求点的坐标； （3）在的条件下，已知点在直角坐标平面内，如果以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 27. 在一次数学研究性学习中，小明将两个全等的直角三角形纸片和拼在一起，使点与点重合，点与点重合(如图)．其中，，．并进行如下研究活动：将图中的纸片沿方向平移，联结， (如图)． （1）求证：图中的四边形是平行四边形； （2）当纸片平移到某一位置时，小明发现四边形为矩形(如图)．求此时的长： （3）在纸片平移的过程中，四边形能成为菱形吗？如果可以直接写出的长，如果不可以，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市宝山区淞谊实验学校2024-2025学年第二学期八年级期中考试数学试题 淞谊实验学校八年级数学期中测试卷 一、单选题 1. 下列方程中，有实数根的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式、偶次方的意义、算术平方根的意义、以及分式方程的解逐项分析即可． 【详解】A、＝1﹣8＝﹣7＜0，故没有实数根，故错误，不符合题意； B、存在实数根1和﹣1，故正确，符合题意； C、任何数的算术平方根一定是非负数，故错误，不符合题意； D、此方程化为整式方程的根为x＝1，而分母x﹣1≠0，即x≠1，所以此方程无解，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，乘方的意义，算术平方根的意义，分式方程有意义的条件，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 2. 一个多边形的内角和为，则这个多边形的边数为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】由多边形内角和定理，即可求解． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 由题意得：， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查多边形内角和定理，关键是掌握多边形内角和计算公式（且n为整数）． 3. 用换元法解方程时，如果设，那么可以得到一个关于的整式方程，该方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，根据题设，原方程化为，去分母化为整式方程，整理方程即可解答． 【详解】解：设，则原方程化为， 方程两边同乘以y，得， 即， 故选：C． 4. 已知一次函数，随的增大而减小，且，则在直角坐标系内它的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质．，图象过第一，三象限；，图象过第二，四象限．，图象与轴正半轴相交；，图象过原点；，图象与轴负半轴相交．利用一次函数的性质进行判断． 【详解】解：一次函数，随着的增大而减小， ， 又， ， 此一次函数图象过第一，二，四象限． 故选：C． 5. 下列条件不能判定一个四边形是矩形的是（　　） A. 四个内角都相等 B. 四条边都相等 C. 对角线相等且互相平分 D. 对角线相等的平行四边形 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：A、四个内角都相等的四边形是矩形，故选项A不符合题意； B、四条边都相等的四边形是菱形，故选项B符合题意； C、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故选项C不符合题意； D、对角线相等的平行四边形是矩形，故选项D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是矩形的判定，掌握“矩形的判定方法”是解本题的关键． 6. 如图是反映某工程队所挖河渠长度（米与挖掘时间（时之间关系的部分图像．下列说法正确的是（ ） A. 该工程队每小时挖河渠米 B. 该河渠总长为50米 C. 该工程队挖了30米之后加快了挖掘速度 D. 开挖到30米时，用了2小时 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查函数图像的理解与运用，从函数图像上获取所需信息成为解题的关键． 先根据函数图像获取信息，然后再根据行程问题进行解答即可． 【详解】解：根据图像： A、应为该工程队平均每小时挖河渠米，故A选项不符合题意； B、不知工程完成与否，不能确定河渠总长度，故B选项不符合题意； C、应为该工程队挖了30米之后放慢了挖掘速度，故B选项不符合题意； D、开挖到30米时，用了2小时，故D选项符合题意． 故选D． 二、填空题 7. 如果函数是一次函数，那么的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数的定义得到：，由此求得的值． 【详解】解：依题意得：， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的定义．关键是掌握正比例函数的比例系数不等于0． 8. 关于x的方程的解是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的解，根据解一元一次方程的方法可以求得方程的解，本题得以解决． 【详解】解： 移项及合并同类项，得， 系数化为1，得， 故答案为：． 9. 一辆汽车，新车购买价为20万元，以后每年的年折旧率为，如果该车购买之后的第二年年末折旧后的价值为14.45万元，那么可以列出关于的方程是_______．（列出方程即可，无需求解） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据“新车购买价为20万元，购买之后的第二年年末折旧后的价值为14.45万元”列方程即可． 【详解】解：设每年的年折旧率为， 根据题意，得， 故答案为：． 10. 如图，一次函数的图像与轴、轴分别相交于、两点，那么当时，自变量的取值范围是_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图像与性质，根据图像得到一次函数y随x的增大而增大，结合图像与x轴交点A的横坐标，即可求得当时，自变量的取值范围． 【详解】解：根据一次函数的图像得：y随x的增大而增大， ∵一次函数的图像与轴相交于， ∴当当时，自变量的取值范围为， 故答案为：． 11. 某城市有一类出租车，计费规定如下：行驶里程不超过3千米，付费14元；超过3千米且不超过15千米的部分，每千米付费2.50元．某人乘该类出租车行驶了千米，则乘车费用（元）关于里程数（千米）的函数解析式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列函数解析式，理解题意，根据题中等量关系列函数解析式即可． 【详解】解：由题意，乘车费用（元）关于里程数（千米）的函数解析式为， 故答案为：． 12. 如图，过平行四边形对角线的交点，交于点，交于点．若平行四边形的周长为18，，则四边形的周长为___． 【答案】12 【解析】 【分析】先利用平行四边形的性质得到边角关系，再由全等三角形的判定方法ASA解题，求得的长，证明即可解题. 【详解】四边形ABCD是平行四边形，周长为18， 在与中 ， 则EFCD的周长 故答案为12 【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，是常见考点，难度一般，学会推理过程是解题关键. 13. 已知菱形有一个内角为，较长对角线长为，那么较短的对角线长为________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理．掌握菱形的性质是解题关键．根据题意和菱形的性质得出，，，，从而得出，结合含度角的直角三角形的性质，得出，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图菱形，，， ∴，，，， ∴， ∴． ∵， ∴，即， ∴， ∴． 故答案为：6． 14. 一次函数的图象过点且与直线平行，那么该函数解析式为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据两直线平行，可设，把点代入，即可求出解析式. 【详解】解：∵一次函数图像与直线平行， ∴设一次函数为， 把点代入方程，得： ， ∴， ∴一次函数的解析式为：； 故答案为：. 【点睛】本题考查了一次函数的图像和性质，解题的关键是掌握两条直线平行，则斜率相等. 15. 已知关于的分式方程有增根，则______． 【答案】-1 【解析】 【分析】先把分式方程化为整式方程得到，然后把代入得，再解关于的方程即可． 【详解】解：去分母得， 整理得， 把代入得，解得； 所以当时，原方程有增根． 故答案为． 【点睛】本题考查了分式方程的增根：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根． 16. 如果直线与两坐标轴所围成的三角形的面积是9，那么的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】当时，，当时，可求，由，即可求解． 【详解】解：当时，， 当时，， 解得：， ， ， 解得：， 故答案：． 【点睛】本题考查了求一次函数与坐标轴围成的面积，掌握求法是解题的关键． 17. 含角的直和三角板如图放置在平面直角坐标系中，其中、，则直线的表达式为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，全等三角形的判定和性质，求一次函数的解析式．先求得，，证明，推出，，求得，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：作轴于点，如图， ∵、， ∴，， 由题意得， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 故答案为：． 18. 如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别是CD，BC边上的动点，且CE+CF=4，BE和AF相交于点G，在点E，F运动的过程中，当△AGB中某一个内角是另一个内角的2倍时，△BCG的面积为______． 【答案】4或2##2或4 【解析】 【分析】根据正方形的性质得到AB=CD=BC=4，∠ABC=∠BCD=90°，求得CE=BF，根据全等三角形的性质推出∠AGB=90°，然后分两种情况讨论，利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：在正方形ABCD中，AB=CD=BC=4，∠ABC=∠BCD=90°， ∵CE+CF=4，CF+BF=4， ∴CE=BF， 在△ABF和△BCE中，， ∴△ABF≌△BCE（SAS）， ∴∠BAF=∠CBE， ∵∠ABE+∠CBE=90°， ∴∠BAG+∠ABE=90°， ∴∠AGB=90°， 当∠AGB=2∠ABG=90°时，即∠ABG=∠BAG=45°， ∴∠GBC=45°， 过点G作GH⊥BC于点H， ∴AG=BG=2，GH=2， ∴△BCG的面积为BC×GH=×2=4； 当∠ABG=2∠BAG时，即∠ABG=60°，∠BAG=30°， ∴∠GBC=30°， ∴BG=AB=2，GH=BG=1， ∴△BCG的面积为BC×GH=×1=2； 综上，△BCG的面积为4或2． 故答案为：4或2． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，含30度角的直角三角形的性质，分类讨论是解题关键． 三、解答题 19. 解方程：. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据解分式方程的知识，进行计算，即可求解； 【详解】解：等式两边同乘得：， 整理得：， ，， 经检验：是原方程的解；是增根， 原方程的根为； 20. 解方程：． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了无理方程的解法．将方程两边平方整理得到关于x的含有根号的无理方程，再次将方程两边平方得到一个一元一次方程，然后求解即可 【详解】解：整理得， 平方得， 整理得， 平方得， 解得， 经检验是原方程的根， 所以原方程的根为． 21. 解方程组：． 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查了解二元二次方程组，解题的关键在于正确的对原方程的两个方程进行因式分解．首先对方程①进行因式分解，经分析得：或，然后与方程②重新组合成两个方程组，解这两个方程组即可． 【详解】解： 由方程，得或， 将它们与方程分别组成方程组，得: （Ⅰ），（Ⅱ）， 方程组（Ⅰ），无实数解； 解方程组（Ⅱ），得，， ∴原方程组的解是，． 22. 如图，在平行四边形中，点和点分别在边上，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】 证明：四边形是平行四边形， ． 在和中， ， ， ． 又， ，即． 又， 四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到相应条件，证明，得到，继而推出，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定即可． 【详解】略 【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，注意掌握有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形定理的应用是解此题的关键． 23. 小正同学带着48元钱去水果店买水果，看到水果店里的苹果比梨每千克贵2元，数学能手小正同学发现：如果将48元全部买苹果就比将48元全部买梨少4千克，求这家水果店的苹果和梨每千克的价格各是多少元？ 【答案】这家水果店的苹果和梨每千克的价格分别是6元与4元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，正确理解题意并找出等量关系是解题的关键．设这家水果店的苹果每千克的价格是x元，则梨每千克为元，根据题意列方程，解方程得，或，经检验即可得到答案． 【详解】设这家水果店的苹果每千克的价格是x元，则梨每千克为元， 根据题意得：， 解方程得：，或， 经检验，、都是原方程的解， 但不符合题意，故舍去， （元）， 答：这家水果店的苹果和梨每千克的价格分别是6元与4元． 24. 已知点、在直线上，和函数的图象交于点． （1）求直线的表达式． （2）若点的横坐标为1，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由于点A，C在直线上，可用待定系数法确定直线l的表达式； （2）先求出点B的坐标，然后求出a的值，再求函数与x轴的交点D的坐标，最后分别求出△BCD和△ACD的面积即可求出△BAD的面积． 【小问1详解】 ∵，在直线上， ∴代入得：， 解得：， ∴直线． 【小问2详解】 ∵在直线上，且点的横坐标为1， ∴， ∴， ∵点在上， ∴代入得：， 解得：， ∴， ∵与轴交于点， ∴， 解得， 即点， 连接AD，如图， ∴ ． 【点睛】本题考查了待定系数法确定函数解析式、三角形的面积、直线与方程组的关系等知识点．把△BAD的面积转化为△BCD与△ACD的面积的差是解第（2）题的关键． 25. 如图，已知菱形中，，点E、F分别在边、上，且，联结． （1）求证：是等边三角形； （2）当时，求周长的最小值． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）联结AC，由∠BAE+∠CAC=∠CAC+∠CAF=60°，可得∠BAE=∠CAF，可证△ABE≌△ACF（ASA），得到AE=AF，即可证明； （2）由（1）可知△AEF的周长=3AE，过点A作AE⊥BC交于点E，此时AE最短，即△AEF周长最小，在Rt△ABE中，求出AE的长度即可求周长最小值． 【详解】解：（1）联结AC， ∵菱形ABCD中，∠B=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠BAC=60°， ∵∠EAF=60°， ∴∠BAE+∠CAE=∠CAE+∠CAF=60°， ∴∠BAE=∠CAF， ∵∠B=∠ACD=60°，AC=AB， ∴△ABE≌△ACF（ASA）， ∴AE=AF， ∴△AEF是等边三角形； （2）∵△AEF是等边三角形， ∴△AEF的周长=3AE， 过点A作AE⊥BC交于点E， 此时AE最短，即△AEF周长最小， 在Rt△ABE中，AB=2，∠B=60°，∠BAE=30°， ∴BE=1，AE=， ∴△AEF周长最小为． 【点睛】本题考查菱形、等边三角形的性质，通过证三角形全等对应边相等，得以证明△AEF是等边三角形，再由等边三角形的三条边相等，只需求AE的最短，根据垂线段最短进而求出最小周长是准确求解本题的关键． 26. 如图，在直角坐标系中，点和点，直线与轴正半轴交于点，过点作，垂足为，联结． （1）求的长； （2）当时，求点的坐标； （3）在的条件下，已知点在直角坐标平面内，如果以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）2 （2） （3），， 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出答案； （2）根据含角的直角三角形及可求出及边长，即可求出答案； （3）根据题意作图，结合直角三角形，角度，勾股定理，即可求出答案． 【小问1详解】 解：如图所示， ∵， ∴， ∵，， ∵，即点是的中点，在, ∴． 故答案是：． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴． 故点的坐标是：． 【小问3详解】 解：如图1所示，过点作， ∵四边形是平行四边形，由（2）可知， ∴，且，过点作轴于，， ∴． 如图2所示，联结，过点作， ∵四边形是平行四边形，过点作轴于， ∴． 如图3所示，联结，过点作， ∵四边形是平行四边形， ∴同理得， 故点的坐标是：，，． 【点睛】本题主要考查的是平行四边形的性质，结合平面直角坐标系，直角三角形，勾股定理考查坐标点的确定，理解和掌握平行四边形的性质，解直角三角形的知识是解题的关键． 27. 在一次数学研究性学习中，小明将两个全等的直角三角形纸片和拼在一起，使点与点重合，点与点重合(如图)．其中，，．并进行如下研究活动：将图中的纸片沿方向平移，联结， (如图)． （1）求证：图中的四边形是平行四边形； （2）当纸片平移到某一位置时，小明发现四边形为矩形(如图)．求此时的长： （3）在纸片平移的过程中，四边形能成为菱形吗？如果可以直接写出的长，如果不可以，说明理由． 【答案】（1）证明见解答；（2）AF=4cm；（3）AF=9cm 【解析】 【分析】（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得结论； （2）设AF=DC=x cm，则AD=AC+CD=（9+x）cm，由四边形ABDE为矩形，可得AE2+ED2=AD2，建立方程求解即可； （3）设AF=DC=x cm，根据AE=DE，建立方程求解即可． 【详解】解：（1）∵两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起， ∴ED=AB，∠EDF=∠BAC， ∴ED∥AB， ∴四边形ABDE是平行四边形； （2）∵将图1中的纸片DEF沿AC方向平移， ∴AF=DC， ∵BC=EF=6cm，AC=DF=9cm， ∴设AF=DC=x cm，则AD=AC+CD=（9+x）cm， ∵∠DFE=90°=∠AFE， ∴AE2=AF2+EF2=x2+62，ED2=DF2+EF2=92+62， ∵四边形ABDE为矩形， ∴∠AED=90°， ∴AE2+ED2=AD2， 即x2+62+92+62=（9+x）2， 解得：x=4， 即AF=4cm； （3）纸片DEF平移的过程中，四边形ABDE能成为菱形． ∵四边形ABDE能成为菱形， ∴AE=DE， ∴AE2=DE2， 设AF=DC=x cm， ∵∠DFE=∠AFE=90°， ∴AE2=AF2+EF2=x2+62，ED2=DF2+EF2=92+62， ∴x2+62=92+62， 解得：x=9或x=-9（舍去）， 即AF=9cm， ∴当AF=9cm时，四边形ABDE能成为菱形． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质，平移的性质，矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $