精品解析：江西省多校2024-2025学年高二下学期7月质量检测数学试题

高二数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：北师大版选择性必修第二册，集合与常用逻辑用语，不等式，函数的概念与性质. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得集合，再结合集合间的补集和交集运算求解即可. 【详解】因为，， 且全集，可得， 所以. 故选：C. 2. 已知等差数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意利用等差数列下标和性质运算求解. 【详解】因为数列为等差数列，则， 即，所以. 故选：D. 3. 若函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导可得，结合导数的定义运算求解即可. 【详解】因为，则， 所以. 故选：C. 4. 已知，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分必要条件对应集合中的包含关系，解出不等式，判断解集的关系，判断结果. 【详解】已知，解得， 已知，化简得，解得， 可知，即不能推导，可以推出， 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 5. 已知是等比数列的前项和，，，则（ ） A. 14 B. 28 C. 35 D. 49 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列前项和的性质，求出的值，进而求出结果. 【详解】由是等比数列的前项和，由题易知均不为， 且是等比数列， 因为，所以，可得， 所以， 则，解得，则. 故选：D. 6. 已知函数在上恰有一个极值点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导，利用导数分析的单调性和极值点，结合题意列式求解即可. 【详解】由题意可知：的定义域为，则， 又因为，令，解得；令，解得； 可知函数在内单调递减，在内单调递增， 则有且仅有一个极值点， 若函数在上恰有一个极值点， 则，解得， 所以的取值范围是. 故选：B. 7. 已知奇函数的定义域为，当且，时，恒成立，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合奇函数性质可知函数在内单调递减，再根据奇函数性质以及单调性解不等式即可. 【详解】因为当且，时，恒成立， 则在内单调递减， 又因为函数为奇函数，可知在内单调递减， 所以函数在内单调递减， 若，则， 可得，即，解得， 所以不等式的解集为. 故选：C. 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构建，，利用导数分别判断其单调性，结合单调性比较大小即可. 【详解】构建，则， 可知函数在内单调递增，则， 令，可得， 即，所以； 构建，则， 可知函数在内单调递增，则， 令，可得，即， 可得，所以； 综上所述：. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列的前项和为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意分和两种情况求数列的通项公式，进而可得. 【详解】因为， 若，则； 若，则，可得； 显然不满足，所以. 则，，；，，， 可得，故AC错误，BD正确. 故选：BD 10. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：举反例说明即可；对于BD：根据基本不等式运算求解即可；对于C：利用乘“1”法结合基本不等式运算求解即可. 【详解】对于选项A：若，取，但，故A错误； 对于选项B：若，则， 可得，当且仅当时，等号成立，故B正确； 对于选项C：若，，， 则， 当且仅当，即时，等号成立，故C正确； 对于选项D：若，，， 则，，， 可得， 当且仅当，即时，等号成立，故D正确； 故选：BCD. 11. 已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，当时，，，则（ ） A. 函数的一个周期为4 B. 函数是偶函数 C. D. 不存在，使得在上单调递增 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A：根据题意奇偶性的定义结合周期性的定义分析判断；对于B：整理可得，结合题意以及奇偶性定义分析判断即可；对于C：根据题意求，利用并项求和结合周期性求解；对于D：做出函数图象，结合图象分析判断即可. 【详解】对于选项A：因为为偶函数，则， 可得， 又因为为奇函数，则， 即，可得， 则， 所以函数的一个周期为4，故A正确； 对于选项B：由可得， 且，可得， 可知函数为奇函数， 显然不恒为0，所以函数不为偶函数，故B错误； 对于选项C：因为，， 且当时，，则，解得， 又因为，可知， 则，偶数， 可得 ， 所以，故C正确； 对于选项D：做出函数的部分图象， 结合图象可知在上单调递增， 所以存在，使得在上单调递增，故D错误； 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数的定义域为，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】由题可得在上恒成立，利用数形结合思想列出不等式求解即得. 【详解】因函数的定义域为 则在内恒成立， 故需使，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 13. 若函数恰有2个零点，则实数的值是_____. 【答案】或6 【解析】 【分析】求导，分、和三种情况，利用导数判断函数的单调性，结合单调性分析零点，运算求解即可. 【详解】因为函数的定义域为， 且当趋近于时，趋近于，当趋近于时，趋近于， 又因为， 令，解得或， 若，则在上单调递增，有且仅有1个零点，不合题意； 若，则， 令，解得或；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则或，解得（舍去）或； 若，则， 令，解得或；令，解得； 可知内单调递减，在内单调递增， 则或，解得或（舍去）； 综上所述：或. 故答案为：或6. 14. 《孙子算经》提出了“物不知其数”问题的解法，被称为“中国剩余定理”.“物不知其数”问题后来经秦九韶推广，得到了一个普遍的解法，提升了“中国剩余定理”的高度.现有一个剩余问题：在正整数中，把被3除余数为2，被4除余数为2的数，按照由小到大的顺序排列，分别得到数列，，将，中不同的数放在一起，再按照由小到大的顺序排列，得到数列，则_____. 【答案】239 【解析】 【分析】根据题意可得数列，的通项公式，再分析数列，结合周期性可知，即可得结果. 【详解】因为， 可知数列是首项为2，公差为3等差数列，是首项为2，公差为4的等差数列， 可得， 又因为数列，的相同的数组成的数列为， 可知数列是首项为2，公差为12的等差数列，可得， 则数列依次为， 可得，所以. 故答案为：239. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）若曲线在点处的切线与直线平行，求的值； （2）当时，求函数在区间上的最值.（参考数据：） 【答案】（1） （2）最小值为，最大值为 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义可得，代入求解即可； （2）利用导数判断函数在区间上单调性，结合单调性分析最值即可. 【小问1详解】 因为函数的定义域为，且， 若曲线在点处的切线与直线平行， 则，解得. 【小问2详解】 若，则，， 因为，令，解得；令，解得； 可知函数在内单调递减，在内单调递增， 且，，， 可知， 所以函数在区间上的最小值为，最大值为. 16. 已知数列的各项均为正数，其前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据与的关系，通过作差法推导出数列的递推关系，进而求出通项公式； （2）先根据以及（1）的条件求出的表达式，再利用错位相减法求出其前项和. 【小问1详解】 由，当时有：， 即， 因为，所以解得， 当时，由 ①， 得： ②， ①②得：， 即， 即， 即， 因为，所以， 所以，即， 所以数列以首项为1，公差为1的等差数列， 所以，当时满足表达式， 所以数列的通项公式为：. 【小问2详解】 由（1）知，又， 所以， 即， 所以 ③ ④ ③④得：， 即， 所以， 所以数列的前项和. 17. 已知定义域都为的函数与满足：是奇函数，是偶函数，. （1）求函数与的解析式； （2）若在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据奇偶函数的定义列方程组求解即可； （2）换元令，可得原题意等价于在上恒成立，结合基本不等式运算求解即可. 【小问1详解】 因为，是奇函数，是偶函数， 则，可得， 联立方程，解得，. 【小问2详解】 因为，即， 又因为，令，则， 可得，整理可得， 原题意等价于在上恒成立， 又因为，当且仅当，即时，等号成立， 可得，即， 所以实数的取值范围为. 18. 已知数列不是常数列，且满足，. （1）若数列是等比数列. （i）求的值及数列的通项公式； （ii）令，求数列的前项积； （2）若，数列的前项和为，求证：. 【答案】（1）（i）；；（ii） （2）证明见详解 【解析】 【分析】（1）（i）根据题意结合等比数列的定义分析可得，进而可得数列的通项公式；（ii）可得，结合等差数列求和公式运算求解； （2）根据数列单调性可得，整理可得，利用裂项相消法分析证明. 【小问1详解】 （i）因为，则， 若数列是等比数列，设公比为 则， 可得， 则，解得， 且，则， 可得，所以； （ii）因为， 所以. 【小问2详解】 若，则， 因为，且，可得， 可知数列为递增数列，则， 又因为，则，可得， 所以. 19. 已知函数. （1）若从0到的平均变化率为，，求方程在上的解； （2）求证：对任意实数，； （3）若对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据平均变化率的定义，求出参数值，写出函数解析式，解出方程即可. （2）根据不等式，构造两个函数，通过导函数求出两个函数的单调性，说明不等式恒成立. （3）根据解恒成立问题的方法，构造函数，通过函数导数求出单调性，求出函数最值，根据函数最值说明不等式恒成立. 【小问1详解】 由，可知， 可得从0到平均变化率， 则，方程，在的解有. 【小问2详解】 不妨设，则，即， 化简得， 设函数，， 则，因为，所以，且仅当时等号成立，即在R上单调递减， 可知对任意实数，有， 可得，因为，所以，且仅当时等号成立，所以在R上单调递增， 可知对任意实数，有， 所以对任意实数，； 【小问3详解】 已知对恒成立，即对恒成立， 令，已知，则， 令，则， 易知和在上单调递减，所以在上单调递减， 可知，， 因为，所以，所以， 所以在上单调递增，即在上单调递增，可知， 当即时，在上单调递增， 因为，，则对恒成立， 综上：当时对恒成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：北师大版选择性必修第二册，集合与常用逻辑用语，不等式，函数的概念与性质. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知等差数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 3 3. 若函数，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知是等比数列的前项和，，，则（ ） A. 14 B. 28 C. 35 D. 49 6. 已知函数在上恰有一个极值点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知奇函数定义域为，当且，时，恒成立，则不等式的解集为（ ） A B. C. D. 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列的前项和为，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 11. 已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，当时，，，则（ ） A. 函数的一个周期为4 B. 函数是偶函数 C. D. 不存在，使得在上单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数的定义域为，则实数的取值范围是_____. 13. 若函数恰有2个零点，则实数的值是_____. 14. 《孙子算经》提出了“物不知其数”问题的解法，被称为“中国剩余定理”.“物不知其数”问题后来经秦九韶推广，得到了一个普遍的解法，提升了“中国剩余定理”的高度.现有一个剩余问题：在正整数中，把被3除余数为2，被4除余数为2的数，按照由小到大的顺序排列，分别得到数列，，将，中不同的数放在一起，再按照由小到大的顺序排列，得到数列，则_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）若曲线在点处的切线与直线平行，求的值； （2）当时，求函数在区间上最值.（参考数据：） 16. 已知数列的各项均为正数，其前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 17. 已知定义域都为的函数与满足：是奇函数，是偶函数，. （1）求函数与的解析式； （2）若在上恒成立，求实数的取值范围. 18. 已知数列不常数列，且满足，. （1）若数列是等比数列. （i）求的值及数列的通项公式； （ii）令，求数列的前项积； （2）若，数列的前项和为，求证：. 19. 已知函数. （1）若从0到的平均变化率为，，求方程在上的解； （2）求证：对任意实数，； （3）若对恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$