专题05 异面直线间的距离（考点解读+考点归纳+6类题型）-【练透核心考点】2024-2025学年高二数学重点题型方法与技巧（沪教版2020必修第三册）

【原卷版】 专题05 *异面直线间的距离 本章主要讨论三维空间中的直线与平面，从四个简单直观的公理（也称为“基本事实”)出发，通过演绎推理的方法建立起关于空间的点、直线与平面之间基本关系的比较系统完整的理论；这方面的要求与“二期课改“教材相比，有明显的提高，因此课程的难度也略有增大；作这样变化的目的在于克服学生空间直观想象和逻辑推理上的不足；所以，充分利用教材的内容但不要超越教材的难度，注意给学生铺设好从平面到立体的台阶，聚焦培养学生的能力和索养； 因此，在学习过程中，培养学生的空间观念与空间想象能力是学习立体几何的关键；教学中，应关注空间图形及其位置关系的多种表征方式；如实物、模型、图形、符号及文字等，并通过不同表征方式的相互转化来帮助学生理解空间概念、图形和解决，用好长方体这一直观的模型； ． 一、《必修第二册》目录与内容提要 【本章教材目录】 第10章 空间直线与平面 10.1 平面及其基本性质 10.1.1 空间的点、直线与平面；10.1.2 相交平面；10.1.3 空间图形的平面直观图的画法； 10.2 直线与直线的位置关系 10.2.1 空间的平行直线；10.2.2 异面直线；10.2.3 两条异面直线所成的角； 10.3 直线与平面的位置关系 10.3.1 直线与平面平行；10.3.2 直线与平面垂直；10.3.3 直线与平面所成的角；10.3.4 三垂线定理； 10.4 平面与平面的位置关系 10.4.1 平面与平面平行；10.4.2 二面角 *10.5 异面直线间的距离 【本章内容提要】 1、立体几何中的公理及其推论 （1）公理1 如果一条直线上有两点在一个平面上，那么这条直线上所有的点都在这个平面上； （2）公理2 不在同一直线上的三点确定一个平面； 推论1 一条直线和这条直线外的一点确定一个平面； 推论2 两条相交直线确定一个平面； 推论3 两条平行直线确定一个平面； （3）公理3 如果两个不同的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线； （4）公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行； 2、直线与直线的位置关系 （1）有三种可能的位置关系：相交、平行、异面； （2）等角定理　如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等； 推论1 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补； 推论2 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等； （3）异面直线的定义：不同在任何一个平面上的两条直线叫做异面直线； （4）异面直线判定定理：过平面外一点与平面上一点的直线，和此平面上不经过该点的任何一条直线是异面直线； （5异面直线所成的角的定义：两条异面直线平移到相交位置时所得到的锐角或直角，称为这两条异面直线所成的角； 3、直线与平面的位置关系 （1）直线与平面平行的判定定理：如果不在平面上的一条直线与这个平面上的一条直线平行，那么该直线与这个平面平行； （2）直线与平面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，过这条直线的一个平面与此平面相交，那么其交线必与该直线平行； （3）线面垂直的定义：如果一条直线与平面上的任意一条直线都垂直，就说这条直线与这个平面互相垂直； （4）直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与平面上的两条相交直线都垂直，那么直线与该平面垂直； （5）直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线互相平行； 推论1：过一点有且只有一个平面与给定的直线垂直； 推论:2：过一点有且只有一条直线与给定的平面垂直； （6）线面所成的角的定义：平面的一条斜线和它在平面上的投影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角； （7）三垂线定理：平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在平面上的投影垂直； 4、平面与平面的位置关系 （1）两个平面平行的判定定理：如果一个平面上的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行；（2）两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行； （3）一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，一个二面角的大小等于它的平面角的大小； （4）平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直； （5）平面与平面垂直的性质定理：如果果两个平面垂直，那么其中一个平面上垂直于两个平面交线的直线与另一个平面垂直； *5、异面直线间的距离 （1）定理：对于任意给定的两条异面直线，存在唯一的一条直线与这两条直线都垂直并且相交； （2）定义：两条异面直线的公垂线段的长度叫做这两条异面直线的距离； 1、定理： 对于任意给定的两条异面直线，存在唯一的一条直线与这两条直线都垂直并且相交； 2、两条异面直线之间的距离 我们将与两条异面直线都垂直且相交的直线称为这两条异面直线的公垂线，公垂线的两个垂足之间的线段称为异面直线的公垂线段；两条异面直线的公垂线段的长度就叫做两条异面直线的距离； 我们还可以证明：两条异面直线的公垂线段，是连接两条异面直线所有线段中的最短线段 求两条异面直线之间的距离问题，除了可转化为求直线与平面间的距离，还可以转化为求两个平行平面之间的距离；即：构造分别含两条异面直线的两平行平面，则两平行平面之间的距离就是两条异面直线的距离； 题型1、理解异面直线的公垂线与公垂线段 例1、（1）判断下列命题真假（在括号内，真命题打“√”或假命题“×”） ①和两条异面直线都垂直相交的直线叫做异面直线的公垂线；（ ） ②任意两条异面直线有且只有一条公垂线；（ ） ③两条异面直线的公垂线段是分别联结两条异面直线上两点的线段中最短的一条；（ ） ④两条异面直线的距离是两条异面直线的公垂线段的长度；（ ） ⑤两条异面直线分别在两个平行平面内，则这两条直线间的距离等于这两个平行平面间的距离；（ ） 【说明】本题考查了异面直线的公垂线的定义及其相关概念；定理与异面直线的公垂线的定义；与线、面平行、垂直进行了整合； （2）、为异面直线，为、的公垂线，，与、的关系为（ ） A. 均不相交 B. 与其中一条相交 C. 至少与一条相交 D. 至多与其中一条相交 【说明】本题考查了定理与异面直线的公垂线的定义； 题型2、异面直线间的距离之证明与求法 例2、（1）如图，在正方体中， 棱长为1，写出下列异面直线的公垂线并求异面直线的距离； （1）和； （2）和； （3）和． （2）已知A是边长为a的正△BCD所在平面外一点，AB＝AC＝AD＝a， E，F分别是AB，CD的中点； （1）求证：EF为异面直线AB与CD的公垂线段； （2）求异面直线AB与CD的距离． 【说明】本题主要考查了利用几何法找、证、求异面直线间的距离； 题型3、结合三垂线定理求异面直线间的距离 例3、（1）若的斜边，，在平面内， 在平面内的射影为，， 则异面直线与之间的距离为___________． 【说明】本题考查了异面直线之间的距离的定义；同时考查求异面直线之间的距离又一方法：结合三垂线定理找异面直线之间的距离； （2）设PA⊥Rt△ABC所在的平面α，∠BAC=90°，PB､PC分别与α成45°和30°角，PA=2，则PA与BC的距离是___________；点P到BC的距离是___________. 【说明】异面直线之间的距离的定义；同时考查求异面直线之间的距离又一方法：结合三垂线定理找异面直线之间的距离； 题型4、利用最值法求异面直线之间的距离 例4、（1）正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，求异面直线A1C1与AB1间的距离. 【说明】空间两点距离的求解、异面直线之间的距离的定义；同时考查直线之间的距离的求解的基本方法直接法与最值法；解题的关键是正确理解空间中的垂直关系，利用直角三角形的关系求解；并且，求异面直线的距离，可求两异面直线的公垂线，或转化为求线面距离，或面面距离，亦可由最值法求得，以后还可以用空间向量与体积相等法等价解之； 题型5、有关异面直线的综合题 例5、如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是A1D1和CC1的中点；求： （1）求异面直线EF与AB所成角的余弦值； （2）求异面直线EF与AB之间的距离； （3）在棱BB1上是否存在一点P，使得二面角P-AC-B的大小为30°?若存在， 求出BP的长，若不存在，请说明理由. 题型6、有关异面直线间距离的探究 例1、（1）规定“在空间与两条异面直线都垂直且都相交的直线，叫两条异面直线的公垂线”； 如图，已知空间四边形， 、、， 是侧面的重心， 是上的一点，且， 判断直线是否为异面直线与的公垂线； （2）是异面直线的公垂线，在线段上(异于)，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．三角形不定 1、棱长为1的正四面体ABCD中，对棱AB、CD之间的距离为_________． 2、空间四边形中，为等腰直角三角形，，，且， 则异面直线与的距离为 ； 3、已知长方体的棱、AB、AD的长分别为4cm、5cm、6cm，则异面直线和的距离是______cm. 4、若正四面体的棱长为，则异面直线与之间的距离为____________. 5、设为异面直线,在直线上有三点,且,过分别作直线的垂线 ,垂足分别为.已知；则异面直线与之间 的距离为______. 6、（1）已知正方体的棱长为a，则异面直线与AD公垂线是______． （2）已知正方体的棱长为a，则异面直线与距离是______． （3）已知正方体的棱长为a，则异面直线与公垂线是______． （4）已知正方体的棱长为a，则异面直线与距离是______． 7、有如下命题，其中错误的命题是（       ） A．若直线，且，则直线a与平面的距离等于平面、间的距离； B．若平面平面，点，则点A到平面的距离等于平面、间的距离； C．两条平行直线分别在两个平行平面内，则这两条直线间的距离等于这两个平行平面间的距离； D．两条异面直线分别在两个平行平面内，则这两条直线间的距离等于这两个平行平面间的距离1．C 8、已知命题：“若a、b为异面直线，平面过直线a且与直线b平行，则直线b与平面的距离等于异面直线a、b之间的距离”为真命题．根据上述命题，若a、b为异面直线，且它们之间的距离为d，则空间中与a、b均异面且距离也均为d的直线c有（　　） A．0条 B．1条 C．多于1条，但为有限条 D．无数多条 9、在矩形ABCD中，，，沿对角线AC将折起， 使AD与BC垂直，求异面直线AD与BC间的距离． 10、已知A是边长为a的正△BCD所在平面外一点，AB＝AC＝AD＝a， E，F分别是AB，CD的中点； （1）求证：EF为异面直线AB与CD的公垂线段； （2）求异面直线AB与CD的距离． ( 10 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【解析版】 专题05 *异面直线间的距离 本章主要讨论三维空间中的直线与平面，从四个简单直观的公理（也称为“基本事实”)出发，通过演绎推理的方法建立起关于空间的点、直线与平面之间基本关系的比较系统完整的理论；这方面的要求与“二期课改“教材相比，有明显的提高，因此课程的难度也略有增大；作这样变化的目的在于克服学生空间直观想象和逻辑推理上的不足；所以，充分利用教材的内容但不要超越教材的难度，注意给学生铺设好从平面到立体的台阶，聚焦培养学生的能力和索养； 因此，在学习过程中，培养学生的空间观念与空间想象能力是学习立体几何的关键；教学中，应关注空间图形及其位置关系的多种表征方式；如实物、模型、图形、符号及文字等，并通过不同表征方式的相互转化来帮助学生理解空间概念、图形和解决，用好长方体这一直观的模型； ． 一、《必修第二册》目录与内容提要 【本章教材目录】 第10章 空间直线与平面 10.1 平面及其基本性质 10.1.1 空间的点、直线与平面；10.1.2 相交平面；10.1.3 空间图形的平面直观图的画法； 10.2 直线与直线的位置关系 10.2.1 空间的平行直线；10.2.2 异面直线；10.2.3 两条异面直线所成的角； 10.3 直线与平面的位置关系 10.3.1 直线与平面平行；10.3.2 直线与平面垂直；10.3.3 直线与平面所成的角；10.3.4 三垂线定理； 10.4 平面与平面的位置关系 10.4.1 平面与平面平行；10.4.2 二面角 *10.5 异面直线间的距离 【本章内容提要】 1、立体几何中的公理及其推论 （1）公理1 如果一条直线上有两点在一个平面上，那么这条直线上所有的点都在这个平面上； （2）公理2 不在同一直线上的三点确定一个平面； 推论1 一条直线和这条直线外的一点确定一个平面； 推论2 两条相交直线确定一个平面； 推论3 两条平行直线确定一个平面； （3）公理3 如果两个不同的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线； （4）公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行； 2、直线与直线的位置关系 （1）有三种可能的位置关系：相交、平行、异面； （2）等角定理　如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等； 推论1 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补； 推论2 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等； （3）异面直线的定义：不同在任何一个平面上的两条直线叫做异面直线； （4）异面直线判定定理：过平面外一点与平面上一点的直线，和此平面上不经过该点的任何一条直线是异面直线； （5异面直线所成的角的定义：两条异面直线平移到相交位置时所得到的锐角或直角，称为这两条异面直线所成的角； 3、直线与平面的位置关系 （1）直线与平面平行的判定定理：如果不在平面上的一条直线与这个平面上的一条直线平行，那么该直线与这个平面平行； （2）直线与平面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，过这条直线的一个平面与此平面相交，那么其交线必与该直线平行； （3）线面垂直的定义：如果一条直线与平面上的任意一条直线都垂直，就说这条直线与这个平面互相垂直； （4）直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与平面上的两条相交直线都垂直，那么直线与该平面垂直； （5）直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线互相平行； 推论1：过一点有且只有一个平面与给定的直线垂直； 推论:2：过一点有且只有一条直线与给定的平面垂直； （6）线面所成的角的定义：平面的一条斜线和它在平面上的投影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角； （7）三垂线定理：平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在平面上的投影垂直； 4、平面与平面的位置关系 （1）两个平面平行的判定定理：如果一个平面上的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行；（2）两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行； （3）一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，一个二面角的大小等于它的平面角的大小； （4）平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直； （5）平面与平面垂直的性质定理：如果果两个平面垂直，那么其中一个平面上垂直于两个平面交线的直线与另一个平面垂直； *5、异面直线间的距离 （1）定理：对于任意给定的两条异面直线，存在唯一的一条直线与这两条直线都垂直并且相交； （2）定义：两条异面直线的公垂线段的长度叫做这两条异面直线的距离； 1、定理： 对于任意给定的两条异面直线，存在唯一的一条直线与这两条直线都垂直并且相交； 2、两条异面直线之间的距离 我们将与两条异面直线都垂直且相交的直线称为这两条异面直线的公垂线，公垂线的两个垂足之间的线段称为异面直线的公垂线段；两条异面直线的公垂线段的长度就叫做两条异面直线的距离； 我们还可以证明：两条异面直线的公垂线段，是连接两条异面直线所有线段中的最短线段 求两条异面直线之间的距离问题，除了可转化为求直线与平面间的距离，还可以转化为求两个平行平面之间的距离；即：构造分别含两条异面直线的两平行平面，则两平行平面之间的距离就是两条异面直线的距离； 题型1、理解异面直线的公垂线与公垂线段 例1、（1）判断下列命题真假（在括号内，真命题打“√”或假命题“×”） ①和两条异面直线都垂直相交的直线叫做异面直线的公垂线；（ ） ②任意两条异面直线有且只有一条公垂线；（ ） ③两条异面直线的公垂线段是分别联结两条异面直线上两点的线段中最短的一条；（ ） ④两条异面直线的距离是两条异面直线的公垂线段的长度；（ ） ⑤两条异面直线分别在两个平行平面内，则这两条直线间的距离等于这两个平行平面间的距离；（ ） 【提示】根据异面直线的公垂线的定义、异面直线公垂线段的定义进行判断； 【答案】①√；②√；③√；④√；⑤√； 【解析】对于①，由定义，正确；所以，①是真命题； 对于②，异面直线的公垂线与异面直线均垂直相交，所以只能有一条，正确；所以，②是真命题； 对于③，两条异面直线的距离是两条异面直线的公垂线段的长度可知，正确；所以，③是真命题； 对于④，由定义，正确；所以，④是真命题； 对于⑤，点到平面距离是指空间内一点到平面内一点的最小长度；两条异面直线间的距离指的是两条异面直线的公垂线与这两条异面直线间的线段的长度；两平行平面间的距离指的是其中一个平面内一点到另外一个平面的最短距离，两个平行平面的公垂线段都相等，其长度等于两个平行平面的距离，所以，⑤是真命题； 【说明】本题考查了异面直线的公垂线的定义及其相关概念；定理与异面直线的公垂线的定义；与线、面平行、垂直进行了整合； （2）、为异面直线，为、的公垂线，，与、的关系为（ ） A. 均不相交 B. 与其中一条相交 C. 至少与一条相交 D. 至多与其中一条相交 【答案】D； 【解析】任意两条异面直线有且只有一条公垂线；（ ） 【说明】本题考查了定理与异面直线的公垂线的定义； 题型2、异面直线间的距离之证明与求法 例2、（1）如图，在正方体中， 棱长为1，写出下列异面直线的公垂线并求异面直线的距离； （1）和； （2）和； （3）和． 【提示】（1）通过，得出；（2）通过，可得； （3）取的中点，的中点，连接，通过，可得； 【解析】（1）因为正方体中，，，所以和的公垂线为，且； （2）因为平面，平面，所以，又， 所以和的公垂线为，且； （3）取的中点，的中点，连接， 易得，因为平面且平面， 所以平面且平面， 所以，， 则为和的公垂线，且． （2）已知A是边长为a的正△BCD所在平面外一点，AB＝AC＝AD＝a， E，F分别是AB，CD的中点； （1）求证：EF为异面直线AB与CD的公垂线段； （2）求异面直线AB与CD的距离． 【提示】（1）连接EC，ED，可以证得EF⊥CD，同理可得EF⊥AB； （2）根据勾股定理即可求解； 【答案】（1）证明见解析；（2）； 【解析】（1）连接EC，ED， 因为AB＝AC＝AD＝BC＝BD＝CD=a，所以， 又E为AB的中点，所以EC＝ED， 因为F为CD的中点，所以EF⊥CD， 同理，可得EF⊥AB， 又 ， ， 所以EF即为异面直线AB与CD的公垂线段； （2）在中，∠CFE＝90°，，，所以， 所以异面直线AB与CD的距离为； 【说明】本题主要考查了利用几何法找、证、求异面直线间的距离； 题型3、结合三垂线定理求异面直线间的距离 例3、（1）若的斜边，，在平面内， 在平面内的射影为，， 则异面直线与之间的距离为___________． 【提示】连接，通过证明和可知， 即为异面直线与之间的距离，利用勾股定理可求得结果； 【答案】2 【解析】连接，，， ，， 又，平面，又平面， 即为异面直线与之间的距离： 又 所以，答案为： 【说明】本题考查了异面直线之间的距离的定义；同时考查求异面直线之间的距离又一方法：结合三垂线定理找异面直线之间的距离； （2）设PA⊥Rt△ABC所在的平面α，∠BAC=90°，PB､PC分别与α成45°和30°角，PA=2，则PA与BC的距离是___________；点P到BC的距离是___________. 【提示】作AD⊥BC于点D，连接PD，根据PA⊥面ABC，易得AD是PA与BC的公垂线，平面PAD求解； 【答案】；； 【解析】如图所示：作AD⊥BC于点D， 因为PA⊥面ABC，所以PA⊥AD， 所以AD是PA与BC的公垂线； 因为PB､PC分别与α成45°和30°角，PA=2， 所以AB=2，AC=2，BC=4，AD=， 连接PD，由则平面PAD，则PD⊥BC， 所以点P到BC的距离PD=. 故答案为：，； 【说明】异面直线之间的距离的定义；同时考查求异面直线之间的距离又一方法：结合三垂线定理找异面直线之间的距离； 题型4、利用最值法求异面直线之间的距离 例4、（1）正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，求异面直线A1C1与AB1间的距离. 【提示】求异面直线的距离，有时较难作出它们的公垂线，故通常采用化归思想，转化为求线面距、面面距、或由最值法求得； 【解析】解法1：如图，连结AC1，在正方体AC1中， ∵A1C1∥AC，∴A1C1∥平面AB1C， ∴A1C1与平面AB1C间的距离等于异面直线A1C1与AB1间的距离； 连结B1D1、BD，设B1D1∩A1C1=O1，BD∩AC=O， ∵AC⊥BD，AC⊥DD1，∴AC⊥平面BB1D1D， ∴平面AB1C⊥平面BB1D1D，连结B1O，则平面AB1C∩平面BB1D1D=B1O， 作O1G⊥B1O于G，则O1G⊥平面AB1C， ∴O1G为直线A1C1与平面AB1C间的距离，即为异面直线A1C1与AB1间的距离， 在Rt△OO1B1中，∵O1B1=，OO1=1，∴OB1== ， ∴O1G=，即异面直线A1C1与AB1间距离为； 解法2：如图，在A1C上任取一点M，作MN⊥AB1于N， 作MR⊥A1B1于R，连结RN， ∵平面A1B1C1D1⊥平面A1ABB1，∴MR⊥平面A1ABB1，MR⊥AB1， ∵AB1⊥RN，设A1R=x，则RB1=1－x， ∵∠C1A1B1=∠AB1A1=45°， ∴MR=x，RN=NB1=， (0＜x＜1 ∴当x=时，MN有最小值即异面直线A1C1与AB1距离为； 【说明】空间两点距离的求解、异面直线之间的距离的定义；同时考查直线之间的距离的求解的基本方法直接法与最值法；解题的关键是正确理解空间中的垂直关系，利用直角三角形的关系求解；并且，求异面直线的距离，可求两异面直线的公垂线，或转化为求线面距离，或面面距离，亦可由最值法求得，以后还可以用空间向量与体积相等法等价解之； 题型5、有关异面直线的综合题 例5、如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是A1D1和CC1的中点；求： （1）求异面直线EF与AB所成角的余弦值； （2）求异面直线EF与AB之间的距离； （3）在棱BB1上是否存在一点P，使得二面角P-AC-B的大小为30°?若存在， 求出BP的长，若不存在，请说明理由. 【提示】（1）作出异面直线所成的角，解三角形求解； （2）转化异面直线间距离为线面距离，再转化为点面距离，计算即可； （3）假设存在，利用二面角P-AC-B的大小为30求解即可. 【答案】（1）；（2）；（3）存在，. 【解析】（1）取中点，连结，如图， 又为中点，， 连结，则或其补角即为异面直线与所成角， 为中点，正方体边长为2， ，， ， 异面直线与所成角的余弦值为． （2）因为，所以异面直线EF与AB之间的距离即为直线与平面间的距离， 即点B与平面的距离， 连接，交于, 因为, 所以，又, 所以平面, 即为点B到平面的距离. 因为, 所以， 即异面直线EF与AB之间的距离为. （3）假设棱BB1上存在一点P满足题意， 连接交于 ，连接, 所以为二面角的平面角， 设，， 即，所以， 故当存在长为时，二面角的大小为； 题型6、有关异面直线间距离的探究 例1、（1）规定“在空间与两条异面直线都垂直且都相交的直线，叫两条异面直线的公垂线”； 如图，已知空间四边形， 、、， 是侧面的重心， 是上的一点，且， 判断直线是否为异面直线与的公垂线； 【提示】：取的两个三等分点F、N，证明面，可得平面，得，证明，，得平面，可得； 【答案】是异面直线与的公垂线． 【解析】如图所示，取的两个三等分点F、N，连接、，并延长交于M． ∵G是的重心，∴，∴． 又∵，∴面，∴面． 连接，有． 作垂足为．∵为等腰直角三角形，∴为的中点． ∵，∴． ∴，又，平面， 平面，则． 连接、，，并延长交与点， ∵G是的重心，∴，∴，又， ， ，， （2）是异面直线的公垂线，在线段上(异于)，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．三角形不定 【提示】用表示出，结合余弦定理可得为钝角． 【答案】C 【解析】如图，由可得平面，从而， 线段长如图所示， 由题意，，， 显然，∴， 为钝角，即为钝角三角形． 故选C． 【说明】本题考查异面直线垂直的性质，考查三角形形状的判断．解题关键是用表示出． 1、棱长为1的正四面体ABCD中，对棱AB、CD之间的距离为_________． 【提示】作出并证明表示棱AB、CD之间的距离的线段，再借助直角三角形计算即得. 【答案】 【解析】设AB，CD的中点为E，F，连接AF，BF, 因为ABCD为正四面体，各面均为等边三角形， 边长为1，则AF=BF=，于是得EF⊥AB， 同理可得EF⊥CD， 即EF的长即为AB、CD之间的距离，此时，EF＝＝＝， 即AB、CD之间的距离为. 2、空间四边形中，为等腰直角三角形，，，且， 则异面直线与的距离为 ； 【提示】画出空间几何体,取中点M,先根据余弦定理求得;连接,作交于N,则即为异面直线与的距离； 【答案】 【解析】根据题意, 取中点M, 连接,作交于N,空间几何图形如下图所示: , 所以 因为为中点 所以,且 则平面, 所以且 ,设 因为 所以由余弦定理可得 代入可解得 在中,可得 在中,由余弦定理可得 代入可得 所以 而 所以即为异面直线与的距离 则 故答案为: 【说明】本题考查了异面直线的距离问题,找出异面直线的公垂线是解决问题的关键,综合性较强,； 3、已知长方体的棱、AB、AD的长分别为4cm、5cm、6cm，则异面直线和的距离是______cm. 【提示】画出正方体的图形，直接找出异面直线和之间的距离即可； 【答案】4 【详解】由题意画出长方体，如图： 由图形可知：异面直线与之间的距离是：， 【考点】异面直线之间的距离的定义；同时考查直线之间的距离的求解的基本方法——直接法； 4、若正四面体的棱长为，则异面直线与之间的距离为____________. 【提示】由题意画出图形，分别取 的中点，连接，可得 的长是异面直线与的公垂线，求解三角形得答案. 【答案】1 【解析】分别取 的中点 ，连接， ， 且则 的长是异面直线与之间的距离， 则. 故答案为：1 5、设为异面直线,在直线上有三点,且,过分别作直线的垂线 ,垂足分别为.已知；则异面直线与之间 的距离为______. 【答案】； 【解析】设异面直线之间的距离为,作直线的公垂线段,过点M作直线,且直线与直线确定平面. 由题设,知,且,则.解得； 6、（1）已知正方体的棱长为a，则异面直线与AD公垂线是______． （2）已知正方体的棱长为a，则异面直线与距离是______． （3）已知正方体的棱长为a，则异面直线与公垂线是______． （4）已知正方体的棱长为a，则异面直线与距离是______． 【提示】根据正方体的性质找出异面直线的公垂线，即可求出异面直线的距离； 【答案】（ ）         ##     （） 【解析】由正方体的性质可知，， 是异面直线与的公垂线， 因为，，所以是异面直线与的公垂线， 所以异面直线与的距离等于； ，平面， 面，， 是异面直线与的公垂线， 如图取的中点，的中点，的中点，的中点， 连接交于点，连接、、、、、、、， 由正方体的性质可知是正方体的中心，即为的中点，且平面， 又平面，所以， 又，所以，所以为异面直线与的公垂线，， 所以异面直线与距离为； 故答案为：；；；； 7、有如下命题，其中错误的命题是（       ） A．若直线，且，则直线a与平面的距离等于平面、间的距离； B．若平面平面，点，则点A到平面的距离等于平面、间的距离； C．两条平行直线分别在两个平行平面内，则这两条直线间的距离等于这两个平行平面间的距离； D．两条异面直线分别在两个平行平面内，则这两条直线间的距离等于这两个平行平面间的距离1．C 【提示】根据异面直线间距离的概念以及两平行平面间距离的概念即可得出答案 【答案】C 【解析】点到平面距离是指空间内一点到平面内一点的最小长度；两条异面直线间的距离指的是两条异面直线的公垂线与这两条异面直线间的线段的长度；两平行平面间的距离指的是其中一个平面内一点到另外一个平面的最短距离，两个平行平面的公垂线段都相等，其长度等于两个平行平面的距离，所以ABD都正确，两条平行直线间距离不一定是两个平行平面的公垂线段，所以C错误 8、已知命题：“若a、b为异面直线，平面过直线a且与直线b平行，则直线b与平面的距离等于异面直线a、b之间的距离”为真命题．根据上述命题，若a、b为异面直线，且它们之间的距离为d，则空间中与a、b均异面且距离也均为d的直线c有（　　） A．0条 B．1条 C．多于1条，但为有限条 D．无数多条 【提示】作平行于直线a且与直线a距离为d的平面以及平行于直线b且与直线b距离为d的平面，易知平面与平面的交线即满足条件，即可求解； 【答案】D； 【解析】易知平行于直线a且与直线a距离为d的平面有无数多个， 平行于直线b且与直线b距离为d的平面有无数多个，当平面不平行于平面时， 设平面与平面相交于直线，直线满足与a、b均异面且距离也均为d，故有无数条. 故选：D.； 【说明】本题考查了异面直线的公垂线的定义及其相关概念； 9、在矩形ABCD中，，，沿对角线AC将折起， 使AD与BC垂直，求异面直线AD与BC间的距离． 【提示】由线面垂直的判断定理可得平面ABD，平面BCD， 再由线面垂直的性质定理可得BD是异面直线AD与BC的公垂线，即可求解； 【答案】 【解析】由于原平面四边形ABCD是矩形，则， 因为，，、平面ABD， 所以平面ABD，即， 又，，，、平面BCD， 所以平面BCD，得， 则BD是异面直线AD与BC的公垂线， 在直角三角形ABD中，，， 所以； 10、已知A是边长为a的正△BCD所在平面外一点，AB＝AC＝AD＝a， E，F分别是AB，CD的中点； （1）求证：EF为异面直线AB与CD的公垂线段； （2）求异面直线AB与CD的距离． 【提示】（1）连接EC，ED，可以证得EF⊥CD，同理可得EF⊥AB； （2）根据勾股定理即可求解； 【答案】（1）证明见解析；（2）； 【解析】（1）连接EC，ED， 因为AB＝AC＝AD＝BC＝BD＝CD=a，所以， 又E为AB的中点，所以EC＝ED， 因为F为CD的中点，所以EF⊥CD， 同理，可得EF⊥AB， 又 ， ， 所以EF即为异面直线AB与CD的公垂线段； （2）在中，∠CFE＝90°，，，所以， 所以异面直线AB与CD的距离为. ( 11 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$