专题03 直线与直线间的位置关系 讲义-2025年高二数学暑假班预习提升（沪教版2020）

上海高中数学2020必修第三册第10章空间直线与平面（预修课程） 专题03 直线与直线间的位置关系 知识点一：平行公理及推论 公理4、平行于同一条直线的两条直线平行；这一性质通常叫做平行线的传递性； 符号表示：⇒a∥c. 等角定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补； 【说明】等角定理实质上是由如下两个结论组合成的：①若一个角的两边与另一个角的两边分别平行且方向都相同(或方向都相反)，则这两个角相等；②若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，有一组对应边方向相同，另一组对应边方向相反，则这两个角互补； 知识点二：空间两直线的位置关系 1、空间两条直线的位置关系 2、异面直线 ①定义：把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线； ②画法：(通常用平面衬托) 【说明】1、异面直线的定义表明异面直线不具备确定平面的条件； 异面直线既不相交，也不平行； 2、不能把异面直线误认为分别在不同平面内的两条直线，如图中， 虽然有a⊂α，b⊂β，即a，b分别在两个不同的平面内，但是因为a∩b＝O，所以a与b不是异面直线； 3、判定两条直线是异面直线的方法 ①定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内； ②反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面， 从而可得两线异面； ③判定定理：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线； 用符号语言可表示为：, ，，与l是异面直线（如图）； 知识点三：异面直线所成的角 1、异面直线所成的角 ①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角或直角叫作异面直线a，b所成的角(或夹角)； ②范围：； 2、求异面直线所成的角常用方法 （1）平移法：在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线或利用中位线； 【说明】又名“平移线段法”；平移的方法一般有三种类型：①利用图中已有的平行线平移；②利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；③补形平移；计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行； （2）补形法：把空间图形补成熟悉的几何体，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系； 3、把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下： ①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； ②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； ③计算：求该角的值，常利用解三角形； ④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角． 题型1：平行线公理 【例1】若直线，c，d为不重合的两条直线，且，，则c与d的位置关系是______． 【例2】（2023·上海市罗店中学）在四面体中，、分别是、的重心，连接、分别延长并交、于点、，则、、、中，与平行的直线的条数是（ 　　 ） A．条 B．条 C．条 D．条 【例3】（2023·上海交大附中高二月考）已知平面与平面的交线为直线，为平面内一条直线；为平面内一条直线，且直线互不重合. （1）若直线与直线交于点，判断点与直线的位置关系并证明； （2）若，判断直线与直线的位置关系并证明. 【跟踪训练】 1．（上海曹杨二中高二月考）若直线，，则直线a与直线的位置关系是__________. 2．已知三条不同的直线l，m，n，且，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2021·上海市南洋模范中学高二月考）给出下列命题： ①若一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等； ②若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，则这两组直线所成的锐角或直角相等； ③若一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补； ④若两条直线同时平行于第三条直线，则这两条直线平行 其中真命题的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（上海普陀·曹杨二中高二期中）设、、、分别是空间四边形的边、、、的中点，则四边形的形状一定是________ 题型2：平行线公理的推论—等角定理 利用等角定理解题的关键是不要漏掉两个角互补的这种情况． 【例4】设和的两边分别平行，若，则的大小为___________. 【例5】若，且，与方向相同，则下列结论正确的有（    ） A．且方向相同 B．，方向可能不同 C．OB与不平行 D．OB与不一定平行 【例6】给出下列命题： ①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等； ②如果两条相交直线和另两条直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等； ③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补． 其中正确的命题有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【跟踪训练】 1．（2021·华东师范大学松江实验高级中学高二月考）如果OA//O1A1，OB//O1B1，∠AOB=，则∠A1O1B1=_______________ 2．如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且有一组边方向相反，那么这两个角的关系是______. 3．（2020·上海市金山中学高二期末）空间中有三条线段AB，BC，CD，且，那么直线AB与CD的位置关系是 A．平行 B．异面 C．相交或平行 D．平行或异面或相交均有可能 题型3：空间直线与直线间位置关系的判定 【说明】1、判断空间中两条直线位置关系的诀窍：（1）建立空间观念，全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系．特别关注异面直线；（2）重视正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系； 2、判定两条直线是异面直线的方法：（1）证明两条直线既不平行又不相交；（2）判定定理：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线； 【例7】一条直线与两条平行直线中的一条相交，则它和另一条的位置关系是（    ） A．相交或异面 B．平行 C．异面 D．相交 【例8】若直线a与直线b，c所成的角相等，则b，c的位置关系为（    ） A．相交 B．平行 C．异面 D．以上答案都有可能 【例9】如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是平行直线的图是________(填序号). 【例10】如图是表示一个正方体表面的一种平面展开图，图中的四条线段、、 和在原正方体中相互异面的有__________对. 【跟踪训练】 1．（2023·宝山·上海交大附中高二月考）若空间三条直线、、满足，，则直线与（ ） A．一定平行 B．一定垂直 C．一定是异面直线 D．一定相交 2．（2023·同济大学第一附属中学高二期末）设空间两直线、满足（空集），则直线、的位置关系为________ 3．（2020·上海师范大学第二附属中学高二期中）一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是________ 4．如图，在正方体中，A、B、C、D分别是顶点或所在棱的中点，则A、B、C、D四点共面的图形______（填上所有正确答案的序号）． 6．（2021·上海浦东新区·华师大二附中高二月考）在正方体的12条棱､12条面对角线中，总共可以组成___________对异面直线. 题型4：两异面直线所成的角 求异面直线所成角的方法与基本步骤；可用“一作二证三计算”来概括．同时注意异面直线所成角范围是0°＜θ≤90°.　　 (1)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角； (2)证：证明作出的角就是要求的角； (3)计算：求角的值，常利用解三角形得出． 【例11】在正方体中，与相交于点， 则异面直线与所成的角的大小为（       ） A． B． C． D． 【例12】一个正方体的展开图如图所示，B、C、D为原正方体的顶点，A为原正方体一条棱的中点，在原来的正方体中，直线与所成角的余弦值为______． 【例13】如图，在正四面体中，点M，N分别为AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是 . 【例14】如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中. （1）求A1C1与B1C所成角的大小； （2）若E，F分别为AB，AD的中点， 求A1C1与EF所成角的大小； 【跟踪训练】 1．（2021·上海浦东新区·华师大二附中高二月考）两条异面直线所成的角为θ，则θ的取值范围是______. 2．（2021·上海浦东新·华师大二附中高二期中）正方体中，､分别是棱､的中点，则异面直线与所成角的余弦值为___________. 3．（2021·上海闵行中学）在长方体中，若，，则异面直线与所成角的大小为__________. 4．（2021·宝山·上海交大附中）在长方体中，，，则直线与所成的角的余弦值等于______． 5．（2020·上海奉贤区致远高级中学高二月考）空间四边形中，且与所成角为，，分别是，的中点，则与所成角的大小为__________. 题型5：直线与直线间的位置关系的解答题 证明两条直线平行的方法： （1）平行线的定义； （2）利用平面几何的知识，如三角形与梯形的中位线、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等； （3）利用公理4． 【例15】如图，在三棱锥中，M，N，E，F分别为棱SA，SC，AB，BC的中点，试判断直线MN与直线EF是否平行． 【例16】在正方体中，为棱的中点，为棱的中点. （1）求证：四点共面； （2）求异面直线与所成角的大小. 【例17】如图所示，和的对应顶点的连线，，交于同一点O，且. （1）证明: ，，. （2）求的值. 【跟踪训练】 1．如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边上的点，且AE∶EB＝AH∶HD＝m，CF∶FB＝CG∶GD＝n. （1）证明：E，F，G，H四点共面； （2）m，n满足什么条件时，四边形EFGH是平行四边形？ 2．如图所示，不共面的三条射线OA，OB，OC，点A1，B1，C1分别是OA，OB，OC上的点，且＝＝. 求证：△A1B1C1∽△ABC. 3．已知平面与平面的交线为直线，为平面内一条直线；为平面内一条直线，且直线互不重合. （1）若直线与直线交于点，判断点与直线的位置关系并证明； （2）若，判断直线与直线的位置关系并证明. 4．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中的平面A1C1内有一点P， 经过点P作棱BC的平行线，应该怎样画?并说明理由. 一、填空题 1．（2021·高一课时练习）空间中有两个角、，且角、的两边分别平行.若，则________. 2、已知AB∥PQ，BC∥QR，∠ABC＝30°，则∠PQR等于_______ 3、已知在棱长为a的正方体ABCD－A′B′C′D′中，M，N分别为CD，AD的中点，则MN与A′C′的位置关系是________. 4、空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α＝60°，则角β的大小为 5、下列命题中，正确的结论的序号是 ①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等 ②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等 ③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补 ④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行； 6、如图是正方体的展开图，,则在这个正方体中，下列说法正确的序号是 ①AF与CN平行 ②BM与AN是异面直线 ③AF与BM是异面直线 ④BN与DE是异面直线 7、已知a，b，c是空间中的三条相互不重合的直线，给出下列说法： ①若a∥b，b∥c，则a∥c； ②若a与b相交，b与c相交，则a与c相交； ③若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线； ④若a，b与c成等角，则a∥b. 其中正确的是________(填序号). 8、长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有 对。 9、如图，在正方体中，异面直线与所成的角为 10、如图所示，正方体的棱长为1，则异面直线与所成角的大小是 11、在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点.若BD，AC所成的角为60°，且BD＝AC＝1，则EF的长为________. 12、如图，在空间四边形A­BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形，当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH是正方形； 二、选择题 13、两等角的一组对应边平行，则(　　) A．另一组对应边平行 B．另一组对应边不平行 C．另一组对应边不可能垂直 D．以上都不对 14、一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是（ ） A．平行或异面 B．相交或异面 C．异面 D．相交 15、，，是空间中的三条直线，下列说法中正确的序号是 ①若，，则 ②若与相交，与相交，则与也相交 ③若，分别在两个相交平面内，则这两条直线可能平行、相交或异面 ④若与相交，与异面，则与异面 16、空间四边形中，、、的中点分别是、、，且，，，那么异面直线和所成的角是（       ） A． B． C． D． 三、解答题 17、如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系： ①直线A1B与直线D1C的位置关系是________； ②直线A1B与直线B1C的位置关系是________； ③直线D1D与直线D1C的位置关系是________； ④直线AB与直线B1C的位置关系是________． 18、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点. （1）求证：四边形BB1M1M为平行四边形； （2）求证：∠BMC＝∠B1M1C1. 19、如图，A是△BCD所在平面外一点，M，N分别是△ABC和△ACD的重心，已知BD＝6. （1）判断MN与BD的位置关系； （2）求MN的长. 20、已知空间四边形ABCD，AB≠AC，AE是△ABC中BC边上的高，DF是△BCD中BC边上的中线， 求证：AE和DF是异面直线；． 21、如图，在正方体中，E、F、G、H分别是棱、、、的中点. （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）求异面直线与所成的角的大小 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海高中数学2020必修第三册第10章空间直线与平面（预修课程） 专题03 直线与直线间的位置关系 知识点一：平行公理及推论 公理4、平行于同一条直线的两条直线平行；这一性质通常叫做平行线的传递性； 符号表示：⇒a∥c. 等角定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补； 【说明】等角定理实质上是由如下两个结论组合成的：①若一个角的两边与另一个角的两边分别平行且方向都相同(或方向都相反)，则这两个角相等；②若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，有一组对应边方向相同，另一组对应边方向相反，则这两个角互补； 知识点二：空间两直线的位置关系 1、空间两条直线的位置关系 2、异面直线 ①定义：把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线； ②画法：(通常用平面衬托) 【说明】1、异面直线的定义表明异面直线不具备确定平面的条件； 异面直线既不相交，也不平行； 2、不能把异面直线误认为分别在不同平面内的两条直线，如图中， 虽然有a⊂α，b⊂β，即a，b分别在两个不同的平面内，但是因为a∩b＝O，所以a与b不是异面直线； 3、判定两条直线是异面直线的方法 ①定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内； ②反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面， 从而可得两线异面； ③判定定理：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线； 用符号语言可表示为：, ，，与l是异面直线（如图）； 知识点三：异面直线所成的角 1、异面直线所成的角 ①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角或直角叫作异面直线a，b所成的角(或夹角)； ②范围：； 2、求异面直线所成的角常用方法 （1）平移法：在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线或利用中位线； 【说明】又名“平移线段法”；平移的方法一般有三种类型：①利用图中已有的平行线平移；②利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；③补形平移；计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行； （2）补形法：把空间图形补成熟悉的几何体，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系； 3、把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下： ①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； ②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； ③计算：求该角的值，常利用解三角形； ④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角． 题型1：平行线公理 【例1】若直线，c，d为不重合的两条直线，且，，则c与d的位置关系是______． 【答案】 【分析】根据平行线的传递性，排除重合情况即可得解. 【解析】因为且 根据平行线的传递性知平行或重合， 又因为， 再次利用平行线的传递性知平行或重合， 因为c，d为不重合的两条直线 所以. 故答案为：. 【例2】（2023·上海市罗店中学）在四面体中，、分别是、的重心，连接、分别延长并交、于点、，则、、、中，与平行的直线的条数是（ 　　 ） A．条 B．条 C．条 D．条 【答案】C 【分析】作出图形，可知点、分别为、的中点，利用重心的性质、中位线的性质，结合平行线的传递性，可得出与直线平行的直线. 【详解】如下图所示： 由题意可知，点、分别为、的中点，则， 由重心的性质可知，，， 若，则，矛盾，同理可知，与也不平行， 因此，、、、中，与平行的直线有两条. 故选C. 【点睛】本题考查直线与直线平行的判定，涉及到重心性质的应用、中位线的性质以及平行线的传递性，考查推理能力，属于中等题. 【例3】（2023·上海交大附中高二月考）已知平面与平面的交线为直线，为平面内一条直线；为平面内一条直线，且直线互不重合. （1）若直线与直线交于点，判断点与直线的位置关系并证明； （2）若，判断直线与直线的位置关系并证明. 【答案】（1），证明见解析；（2），证明见解析 【分析】（1）由题意知且，由可知； （2）由线面平行判定定理知，由线面平行的性质可证得. 【详解】（1），证明如下： ，， 且 又 （2），证明如下： ，， 又， 【点睛】本题考查空间中点、线、面的位置关系的判定与性质，考查学生对于空间基本定理的掌握情况，属于基础题. 【跟踪训练】 1．（上海曹杨二中高二月考）若直线，，则直线a与直线的位置关系是__________. 【答案】平行. 【分析】平行于同一直线的两条直线平行。 【详解】 故答案为： 【点睛】此题考查直线平行的传递性，属于简单题目。 2．已知三条不同的直线l，m，n，且，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据线与线的位置关系，结合充要条件的定义即可求解. 【解析】解：若，又，则，故充分性成立， 反之，若，又，则，故必要性成立. 故“”是“”的充要条件. 故选：C. 3．（2021·上海市南洋模范中学高二月考）给出下列命题： ①若一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等； ②若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，则这两组直线所成的锐角或直角相等； ③若一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补； ④若两条直线同时平行于第三条直线，则这两条直线平行 其中真命题的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】由平行角定理，可以判断①的真假；根据直线夹角的定义，可以判断②的真假；根据直线垂直的几何特征，我们可以判断③的真假；根据平行公理，可以判断④的真假． 【详解】解：①中，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故①错误； ②中，如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角或直角相等，故②正确； ③中，如图，在长方体中，如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角不一定相等或互补，如图，，但两角不一定相等，故③错误； ④中，如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线平行，故④正确； 故选：C． 4．（上海普陀·曹杨二中高二期中）设、、、分别是空间四边形的边、、、的中点，则四边形的形状一定是________ 【答案】平行四边形 【分析】证明，且即可得出结论． 【详解】解：如图，连接．因为是的中位线，所以，． 又因为是的中位线，所以，． 根据公理4，，且． 所以四边形是平行四边形． 故答案为：平行四边形 【点睛】主要考查知识点：简单几何体和公理四，证明平行四边形常用方法：对边平行且相等；或对边分别平行；或对角线相交且平分．要注意：对边相等的四边形不一定是平行四边形． 题型2：平行线公理的推论—等角定理 利用等角定理解题的关键是不要漏掉两个角互补的这种情况． 【例4】设和的两边分别平行，若，则的大小为___________. 【答案】45°或135°/135°或45° 【分析】根据等角定理即可得到答案. 【解析】根据等角定理：一个角的两边平行于另外一个角的两边，则这两个角相等或互补. 故答案为：45°或135°. 【例5】若，且，与方向相同，则下列结论正确的有（    ） A．且方向相同 B．，方向可能不同 C．OB与不平行 D．OB与不一定平行 【答案】D 【分析】画出图形，当满足题目中的条件时，出现的情况有哪些，即可得出结论． 【解析】解：如图， 当∠AOB=∠A1O1B1时，且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同， OB与O1B1是不一定平行． 故选：D． 【例6】给出下列命题： ①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等； ②如果两条相交直线和另两条直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等； ③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补． 其中正确的命题有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】对于①，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，据此判断；对于②，根据等角定理判断；对于③，空间两条直线的垂直包括异面垂直，此时两个角有可能不相等且不互补，据此判断. 【解析】对于①，这两个角也可能互补，故①错误；根据等角定理，②显然正确； 对于③，如图所示， BC⊥PB，AC⊥PA，∠ACB的两条边分别垂直于∠APB的两条边，但这两个角不一定相等，也不一定互补，故③错误．所以正确的命题有1个． 故选：B 【跟踪训练】 1．（2021·华东师范大学松江实验高级中学高二月考）如果OA//O1A1，OB//O1B1，∠AOB=，则∠A1O1B1=_______________ 【答案】或 【分析】根据等角定理，结合直线的方向，即可得到答案； 【详解】OA//O1A1，OB//O1B1， 当直线，中方向都相同或都相反时，， 当直线，中方向有一条不同，一条相反时，， 故答案为：或 2．如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且有一组边方向相反，那么这两个角的关系是______. 【答案】互补/互为补角 【分析】由等角定理及其推论可判断 【解析】根据等角定理的推论可知，如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且有一组边方向相反，那么这两个角互补 故答案为：互补 3．（2020·上海市金山中学高二期末）空间中有三条线段AB，BC，CD，且，那么直线AB与CD的位置关系是 A．平行 B．异面 C．相交或平行 D．平行或异面或相交均有可能 【答案】D 【分析】根据条件作出示意图，容易得到三种情况均有可能． 【详解】解： 如图可知AB，CD有相交，平行，异面三种情况，故选D． 【点睛】此题考查了直线的位置关系，属于基础题. 题型3：空间直线与直线间位置关系的判定 【说明】1、判断空间中两条直线位置关系的诀窍：（1）建立空间观念，全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系．特别关注异面直线；（2）重视正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系； 2、判定两条直线是异面直线的方法：（1）证明两条直线既不平行又不相交；（2）判定定理：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线； 【例7】一条直线与两条平行直线中的一条相交，则它和另一条的位置关系是（    ） A．相交或异面 B．平行 C．异面 D．相交 【答案】A 【分析】举例说明位置关系可以是相交或异面，反证法证明平行不成立即可. 【解析】 空间中两条直线有三种位置关系：相交、平行、异面， 如图：在正方体中，，，与异面， ，，与相交， 若这条直线与另一条平行，则三条直线互相平行与已知条件这条直线与两条平行直线中的一条相交矛盾， 所以它和另一条的位置关系不可能平行， 所以它和另一条的位置关系是：相交或异面， 故选：A. 【例8】若直线a与直线b，c所成的角相等，则b，c的位置关系为（    ） A．相交 B．平行 C．异面 D．以上答案都有可能 【答案】D 【分析】根据题意画出图形，即可得到答案. 【解析】可能相交，可能平行，可能异面，如图所示： 故选：D 【例9】如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是平行直线的图是________(填序号). 【答案】①② 【分析】根据正方体的结构特征，以及两直线的位置关系的判定方法，即可求解. 【解析】根据正方体的结构特征，可得①②中RS与PQ均是平行直线，④中RS和PQ是相交直线，③中RS和PQ是是异面直线. 故答案为：①②. 【例10】如图是表示一个正方体表面的一种平面展开图，图中的四条线段、、 和在原正方体中相互异面的有__________对. 【答案】3 【解析】画出展开图复原的几何体，所以C与G重合，F，B重合，所以：四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有：AB与GH，AB与CD，GH与EF，共有3对． 【跟踪训练】 1．（2023·宝山·上海交大附中高二月考）若空间三条直线、、满足，，则直线与（ ） A．一定平行 B．一定垂直 C．一定是异面直线 D．一定相交 【答案】B 【分析】根据等角定理可得出结论. 【详解】，则、所成的角为直角， 又因为，所以，、所成的角为直角，即. 故选：C. 2．（2023·同济大学第一附属中学高二期末）设空间两直线、满足（空集），则直线、的位置关系为________ 【答案】平行或异面 【分析】根据空间线线的位置关系判断即可. 【详解】解：因为，则直线、没有交点， 故直线、平行或异面. 故答案为：平行或异面. 【点睛】本题考查空间线线的位置关系，是基础题. 3．（2020·上海师范大学第二附属中学高二期中）一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是________ 【答案】相交或异面 【分析】分为共面和不共面，可确定两种位置关系. 【详解】若为异面直线， 当共面时，相交；当不共面时，异面 故答案为相交或异面 【点睛】本题考查空间中直线与直线位置关系的判定，属于基础题. 4．如图，在正方体中，A、B、C、D分别是顶点或所在棱的中点，则A、B、C、D四点共面的图形______（填上所有正确答案的序号）． 【答案】①③④ 【分析】四点共面主要通过证明两线平行说明，本题利用中位线、平行四边形的性质结合平行线的传递性进行说明，证明平行时绝不能凭直观感觉或无理论依据． 图①：证明AB∥EF，CD∥EF，可得AB∥CD； 图③：证明BD∥EF，AC∥EF，可得BD∥AC； 图④：证明GH∥EF，AC∥EF， BD∥GH，可得BD∥AC． 【解析】图①：取GD的中点F，连结BF、EF， ∵B、F均为相应边的中点，则：∥ 又∵∥，则∥即ABFE为平行四边形 ∴AB∥EF 同理: CD∥EF 则AB∥CD即A、B、C、D四点共面，图①正确； 图②：显然AB与CD异面，图②不正确； 图③：连结AC,BD,EF, ∵BE∥DF即BDFE为平行四边形 ∴BD∥EF 又∵A、C分别为相应边的中点，则AC∥EF ∴BD∥AC即A、B、C、D四点共面，图③正确； 图④：连结AC,BD,EF,GH, ∵GE∥HF即GEFH为平行四边形，则GH∥EF 又∵A、C分别为相应边的中点，则AC∥EF 同理：BD∥GH ∴BD∥AC即A、B、C、D四点共面，图④正确． 故答案为：①③④． 5．一个正方体纸盒展开后如图所示， 在原正方体纸盒中有如下结论： ①AB∥CM；②EF与MN是异面直线；③MN∥CD， 以上结论中正确的序号为________． 【答案】①②； 6．（2021·上海浦东新区·华师大二附中高二月考）在正方体的12条棱､12条面对角线中，总共可以组成___________对异面直线. 【答案】126 【分析】根据异面直线的定义可判断. 【详解】每条棱与其他棱构成异面直线，共有条； 每条棱与面对角线构成异面直线，共有条； 每条面对角线每条面对角线与其他面对角线构成异面直线，共有条， 所以共有条. 故答案为：126. 题型4：两异面直线所成的角 求异面直线所成角的方法与基本步骤；可用“一作二证三计算”来概括．同时注意异面直线所成角范围是0°＜θ≤90°.　　 (1)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角； (2)证：证明作出的角就是要求的角； (3)计算：求角的值，常利用解三角形得出． 【例11】在正方体中，与相交于点， 则异面直线与所成的角的大小为（       ） A． B． C． D． 【提示】连结，，是异面直线与所成角 或补角，由此利用余弦定理能求出结果； 【答案】A； 【解析】连结，因为，，所以，是异面直线与所成角或补角， 设正方体中棱长为2， 则，，， 所以，， 所以，． 所以，异面直线与所成角的大小为， 故选：A； 【说明】本题主要考查异面直线与所成角的大小的求法，解题时要注意余弦定理的合理运用的交汇； 【例12】一个正方体的展开图如图所示，B、C、D为原正方体的顶点，A为原正方体一条棱的中点，在原来的正方体中，直线与所成角的余弦值为______． 【答案】 【分析】把展开图还原成正方体，确定的位置，作出异面直线所成的角，然后求角的余弦． 【详解】把展开图还原成正方体，如图中位置， 由正方体性质知与平行且相等，即是平行四边形，，直线与所成角为（或其补角）， 同样棱与侧面垂直，垂直，则可得， 设正方体棱长为1，，，， 中，． 所以直线与所成角的余弦值为． 故答案为：． 【例13】如图，在正四面体中，点M，N分别为AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是 . 【答案】 【解析】如图，连接取其中点，连接，∵是中点，∴， 所以，异面直线AN，CM所成的角就是（或其补角）， 设正四面体的棱长为1，则，， 在中， ， 在中，． 异面直线AN，CM所成的角的余弦值为． 【例14】如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中. （1）求A1C1与B1C所成角的大小； （2）若E，F分别为AB，AD的中点， 求A1C1与EF所成角的大小； 【提示】（1）作平行线，找到A1C1与B1C所成角，再进行求解； （2）作辅助线，得到A1C1与EF所成的角，证明出垂直关系，得到所成角为90°； 【答案】（1）60°；（2）90°； 【解析】（1）如图所示，连接AC，AB1. 由正方体体ABCD－A1B1C1D1知， 四边形AA1C1C为平行四边形， 所以，ACA1C1， 从而B1C与AC所成的角就是A1C1与B1C所成的角. 在△AB1C中，由AB1＝AC＝B1C，可知∠B1CA＝60°，即A1C1与B1C所成的角为60°. （2）如图所示，连接BD.由（1）知ACA1C1， 所以。AC与EF所成的角就是A1C1与EF所成的角. 因为，EF是△ABD的中位线，∴EFBD. 又因为，AC⊥BD，∴AC⊥EF， 所以，EF⊥A1C1，即A1C1与EF所成的角为90°； 【跟踪训练】 1．（2021·上海浦东新区·华师大二附中高二月考）两条异面直线所成的角为θ，则θ的取值范围是______. 【答案】 试题分析：两条异面直线，经过空间任一点作两条异面平行线，把这两条相交直线所成锐角（或直角）叫做这两条异面直线所成的角,因此，θ 考点：异面直线所成的角的定义 2．（2021·上海浦东新·华师大二附中高二期中）正方体中，､分别是棱､的中点，则异面直线与所成角的余弦值为___________. 【答案】 【分析】分别取的中点G，H，连接，易知，得到是异面直线与所成角，然后在中，利用余弦定理求解. 【详解】如图所示： 分别取的中点G，H，连接， 则， 所以是异面直线与所成角， 设正方体的棱长为2， 则， 由余弦定理得， . 故答案为： 3．（2021·上海闵行中学）在长方体中，若，，则异面直线与所成角的大小为__________. 【答案】 【分析】由于∥，可得是异面直线与所成角，然后在中求解即可 【详解】解：连接， 因为∥，所以是异面直线与所成角， 在长方体中，，，则 ， 因为平面，平面， 所以， 在直角三角形中，， 因为，所以， 所以异面直线与所成角的大小为， 故答案为： 4．（2021·宝山·上海交大附中）在长方体中，，，则直线与所成的角的余弦值等于______． 【答案】 【分析】联结，，，则与的夹角即与的夹角，求得的长，从而求得夹角的余弦值. 【详解】联结，，如图所示： 在长方体中，，则与的夹角即与与的夹角， 在中，，， 则 故答案为： 5．（2020·上海奉贤区致远高级中学高二月考）空间四边形中，且与所成角为，，分别是，的中点，则与所成角的大小为__________. 【答案】或 【分析】取的中点，连接与，则与（异面直线）所成的角为，从而或，由此能求出与所成的角的大小． 【详解】取的中点，连接与，如图， 因为，与（异面直线）所成的角为 所以（或） 因为， 所以 所以或， 由，可知异面直线与所成的角为（或其补角）， 所以或， 即异面直线与所成的角或． 故答案为：或 题型5：直线与直线间的位置关系的解答题 证明两条直线平行的方法： （1）平行线的定义； （2）利用平面几何的知识，如三角形与梯形的中位线、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等； （3）利用公理4． 【例15】如图，在三棱锥中，M，N，E，F分别为棱SA，SC，AB，BC的中点，试判断直线MN与直线EF是否平行． 【答案】平行 【分析】根据给定条件可得MN//AC，EF//AC，再借助平行公理即可判断作答. 【解析】在三棱锥中，M，N分别为棱SA，SC的中点，则有MN//AC， 而E，F分别为棱AB，BC的中点，则有EF//AC， 由平行公理得：MN//EF， 所以直线MN与直线EF平行． 【例16】在正方体中，为棱的中点，为棱的中点. （1）求证：四点共面； （2）求异面直线与所成角的大小. 【答案】（1）证明见解析.（2） 【分析】（1）根据三角形中位线定理和平行线的传递性,可证,即可推证结论; （2）由直线间的平行关系,可得异面直线与所成角就是角. 【详解】（1）连接, 为棱的中点,为棱的中点, 正方体 四边形是平行四边形, , 确定一平面. 四点共面； （2）由（1）得 或补角为异面直线与所成角， 在中， 异面直线与所成角为. 【点睛】本题考查点共面,关键要对确定平面的条件要熟练掌握;考查空间角,空间角用几何法求,要体现作、证、算三步骤. 【例17】如图所示，和的对应顶点的连线，，交于同一点O，且. （1）证明: ，，. （2）求的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）根据已知条件可证可得，即可证明，同理可证，； （2）根据等角定理得出，进而可得，即可求解. 【解析】（1）因为与相交于点O，所以与共面， 在和中，可得， 又因为，所以， 所以，， 所以 同理，. （2）因为，，且和，和的方向相反， ∴. 同理，因此， 又， 所以. 【跟踪训练】 1．如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边上的点，且AE∶EB＝AH∶HD＝m，CF∶FB＝CG∶GD＝n. （1）证明：E，F，G，H四点共面； （2）m，n满足什么条件时，四边形EFGH是平行四边形？ 【提示】注意根据题设“确定平面” 【解析】（1）证明：因为AE∶EB＝AH∶HD，所以EH∥BD. 又CF∶FB＝CG∶GD，所以FG∥BD.所以EH∥FG. 所以E，F，G，H四点共面． （2）当EH∥FG，且EH＝FG时，四边形EFGH为平行四边形． 因为＝＝，所以EH＝BD. 同理可得FG＝BD，由EH＝FG，得m＝n. 故当m＝n时，四边形EFGH为平行四边形； 【说明】本题是平面平行与空间平行的交汇； 2．如图所示，不共面的三条射线OA，OB，OC，点A1，B1，C1分别是OA，OB，OC上的点，且＝＝. 求证：△A1B1C1∽△ABC. 【证明】在△OAB中，因为＝，所以A1B1∥AB. 同理可证A1C1∥AC，B1C1∥BC. 所以∠C1A1B1＝∠CAB，∠A1B1C1＝∠ABC. 所以△A1B1C1∽△ABC. 【说明】运用等角定理判定两个角是相等还是互补的途径有两种：一是判定两个角的方向是否相同；二是判定这两个角是否都为锐角或都为钝角，若都为锐角或都为钝角则相等，反之则互补； 3．已知平面与平面的交线为直线，为平面内一条直线；为平面内一条直线，且直线互不重合. （1）若直线与直线交于点，判断点与直线的位置关系并证明； （2）若，判断直线与直线的位置关系并证明. 【答案】（1）；（2）； 【解析】（1），证明如下： 因为，，，；所以，且， 又，所以， ； （2），证明如下： 因为，，，，所以，， 又，，所以，； 4．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中的平面A1C1内有一点P， 经过点P作棱BC的平行线，应该怎样画?并说明理由. 【提示】利用长方体的性质， 过要P作棱BC的平行线，只需作过P作直线平行B1C1即可； 【解析】如图，在平面A1B1C1D1内过P作直线EF∥B1C1，交A1B1于E，交C1D1于F， 所以，直线EF即为所求. 理由如下：由EF∥B1C1，BC∥B1C1，根据公理4则EF∥BC. 一、填空题 1．（2021·高一课时练习）空间中有两个角、，且角、的两边分别平行.若，则________. 【答案】或 【分析】根据等角定理可得出结论. 【详解】因为角与两边对应平行，但方向不确定，所以与相等或互补，故或. 故答案为：或. 2、已知AB∥PQ，BC∥QR，∠ABC＝30°，则∠PQR等于(　　) A．30° B．30°或150° C．150° D．以上结论都不对 【提示】注意：理解等角定理及其推论； 【答案】B； 【解析】因为AB∥PQ，BC∥QR，所以∠PQR与∠ABC相等或互补， 因为∠ABC＝30°，所以∠PQR＝30°或150°； 【说明】本题考查了等角定理推论1、如果一个角的两条边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补 3、已知在棱长为a的正方体ABCD－A′B′C′D′中，M，N分别为CD，AD的中点，则MN与A′C′的位置关系是________. 【提示】注意：结合正方体理解空间直线位置关系； 【答案】平行 【解析】如图所示，MN∥AC. 又因为AC∥A′C′，所以MN∥A′C′； 【说明】本题考查了公理4；同时，提示用好与用活特殊空间图形进行判别； 4、空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α＝60°，则角β的大小为 【提示】注意：理解等角定理及其推论 【答案】60°或120°； 【解析】如图，∵空间两个角α，β的两边对应平行， 所以，这两个角相等或互补， 又因为，α＝60°，所以，β＝60°或120°； 【说明】本题考查了等角定理及其推论； 5、下列命题中，正确的结论的序号是 ①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等 ②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等 ③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补 ④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行； 【提示】由等角定理可判断①、②的真假；举反例可判断③的真假；由平行公理可判断④的真假； 【答案】②④ 【解析】对于选项①，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，所以，①错误； 对于选项②，由等角定理可知②正确； 对于选项③，如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，这两个角的关系不确定，既可能相等也可能互补，也可能既不相等，也不互补.反例如图，在立方体中，与满足，，但是，，二者不相等也不互补，所以，③错误； 对于选项④，如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线平行，所以，④正确； 【说明】本题考查了等角定理及其推论； 6、如图是正方体的展开图，,则在这个正方体中，下列说法正确的序号是 ①AF与CN平行 ②BM与AN是异面直线 ③AF与BM是异面直线 ④BN与DE是异面直线 【提示】注意：正方体的几何性质与“面”上几何性质的“稳定性”； 【答案】③④； 【解析】把正方体的平面展开图还原为正方体如图； 由正方体的结构特征可知，AF与CN异面垂直，故①错误； BM与AN平行,故②错误； BM⊂平面BCMF，F∈平面BCMF，A∉平面BCMF，F∉BM，由异面直线定义可得，AF与BM是异面直线， 故③正确； DE⊂平面ADNE，N∈平面ADNE，B∉平面ADNE，N∉DE，由异面直线定义可得，BN与DE是异面直线， 故④正确； 【说明】本题通过直观图与展开图之间的关联，考查了对异面直线的理解与判别； 7、已知a，b，c是空间中的三条相互不重合的直线，给出下列说法： ①若a∥b，b∥c，则a∥c； ②若a与b相交，b与c相交，则a与c相交； ③若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线； ④若a，b与c成等角，则a∥b. 其中正确的是________(填序号). 【提示】注意：理解空间两条直线位置关系的分类标准； 【答案】①； 【解析】由公理4知①正确；当a与b相交，b与c相交时，a与c可能相交、平行，也可能异面，故②不正确；当a⊂平面α，b⊂平面β时，a与b可能平行、相交或异面，故③不正确；当a，b与c成等角时，a与b可能相交、平行，也可能异面，故④不正确； 【说明】本题考查了空间两条直线位置关系；一般而言： 1、空间两条直线有相交、平行、异面三种位置关系，两条异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点； 2、弄清直线与平面各种位置关系的特征，利用其定义作出判断，要有画图意识，并借助于空间想象能力进行细致的分析； 8、长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有 对；（填：有多少对的数字） 【提示】注意：理解长方体棱的几何特征与异面直线的概念； 【答案】6； 【解析】如：图所示,在长方体中没有与体对角线平行的棱； 要找与长方体体对角线AC1异面的棱所在的直线，只要去掉与AC1相交的六条棱， 其余的都与体对角线异面，所以与AC1异面的棱有BB1,A1D1,A1B1,BC,CD,DD1， 所以，长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有6对； 【说明】注意：长方体是一个特殊的模型，当点、线、面关系比较复杂时，可以寻找长方体作为载体，将它们置于其中，立体几何中的直线与平面的位置关系都可以在这个模型中得到反映.因而人们给它以“百宝箱”之称；　 9、如图，在正方体中，异面直线与所成的角为 【提示】注意：借助正方体性质“找角”； 【答案】； 【解析】连接与，因为，则为所求， 又是正三角形，； 【说明】本题考查了利用正方体的性质通过“连线”作出辅助线，找到异面直线所成的角，利用几何性质进行求解。. 10、如图所示，正方体的棱长为1， 则异面直线与所成角的大小是 【提示】根据给定条件，确定异面直线与所成的角，再在直角三角形中计算作答. 【答案】； 【解析】连，如图，，为异面直线与所成角， 在中，，，，则， 所以，异面直线与所成角的余弦值，则异面直线与所成角的大小为：； 【说明】本题考查了利用正方体的性质通过“连线”作出辅助线，找到异面直线所成的角，利用几何性质进行求解与反三角表示角的大小的交汇。. 11、在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点.若BD，AC所成的角为60°，且BD＝AC＝1，则EF的长为________. 【提示】注意找角 【答案】　或 【解析】如图，取BC的中点O，连接OE，OF. 因为OE∥AC，OF∥BD， 所以OE与OF所成的锐角(或直角)即为AC与BD所成的角，而AC，BD所成角为60°， 所以∠EOF＝60°或∠EOF＝120°.当∠EOF＝60°时，EF＝OE＝OF＝.当∠EOF＝120°时， 取EF的中点M，则OM⊥EF，EF＝2EM＝2×＝； 【说明】本题考查了由异面直线所成角；通过“找角”转化为平面计算求其他量； 方法归纳：用平移法求异面直线所成角的一般步骤： 1、作角——用平移法找(或作)出符合题意的角； 2、求角——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出角的大小； 12、如图，在空间四边形A­BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形，当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH是正方形； 【提示】注意：用好平面几何性质； 【答案】AC＝BD；AC＝BD且AC⊥BD； 【解析】易知EH∥BD∥FG，且EH＝BD＝FG，同理EF∥AC∥HG，且EF＝AC＝HG，显然四边形EFGH为平行四边形．要使平行四边形EFGH为菱形需满足EF＝EH，即AC＝BD；要使四边形EFGH为正方形需满足EF＝EH且EF⊥EH，即AC＝BD且AC⊥BD. 二、选择题 13、两等角的一组对应边平行，则(　　) A．另一组对应边平行 B．另一组对应边不平行 C．另一组对应边不可能垂直 D．以上都不对 【提示】注意：理解等角定理及其推论； 【答案】D； 【解析】另一组对应边可能平行，也可能不平行，也可能垂直．注意和等角定理(若两个角的对应边平行，则这两个角相等或互补)的区别．故选D； 【说明】本题考查了等角定理推论1；注意：举反例否定命题； 14、一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是（ ） A．平行或异面 B．相交或异面 C．异面 D．相交 【提示】注意：由异面直线的定义选择空间模型； 【答案】B； 【解析】结合长方体模型，可知两直线相交或异面； 【说明】本题考查了对异面直线的理解与注意利用特殊的空间模型解题； 15、，，是空间中的三条直线，下列说法中正确的序号是 ①若，，则 ②若与相交，与相交，则与也相交 ③若，分别在两个相交平面内，则这两条直线可能平行、相交或异面 ④若与相交，与异面，则与异面 【提示】注意：理解空间两条直线位置关系的分类标准； 【答案】①③ 【解析】由平行线的传递性知①正确； 若与相交，与相交，则与可能平行、相交或异面，②错误； 易知③正确；若与相交，与异面，则与可能相交、平行或异面，故④错误； 【说明】本题考查了空间两条直线位置关系； 16、空间四边形中，、、的中点分别是、、，且，，，那么异面直线和所成的角是（       ） A． B． C． D． 【提示】注意：理解空间四边形，适当找角； 【答案】B； 【解析】因为，、、的中点分别是、、， 所以，， 所以，异面直线和所成的角是（或其补角）， 在中， 则， 所以，异面直线和所成的角为； 故选：B； 【说明】本题考查了由异面直线所成角的定义确定异面直线所成的角，然后在三角形中由余弦定理计算的方法； 三、解答题 17、如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系： ①直线A1B与直线D1C的位置关系是________； ②直线A1B与直线B1C的位置关系是________； ③直线D1D与直线D1C的位置关系是________； ④直线AB与直线B1C的位置关系是________． 【提示】注意：理解空间两条直线位置关系的分类标准； 【答案】　①平行　②异面　③相交　④异面 【解析】　经探究可知直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线平行，所以①应该填“平行”；点A1、B、B1在平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C异面．同理，直线AB与直线B1C异面．所以②④应该填“异面”；直线D1D与直线D1C相交于D1点，所以③应该填“相交”． 【说明】方法归纳： 1、判定两条直线平行或相交的方法：判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用基本事实4(下节学习)判断．　 2、判定两条直线是异面直线的方法 ①定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内； ②重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线， 和这个平面内不经过此点的直线是异面直线； 用符号语言可表示为A∉α，B∈α，l⊂α，B∉l⇒AB与l是异面直线（如图）； 18、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点. （1）求证：四边形BB1M1M为平行四边形； （2）求证：∠BMC＝∠B1M1C1. 【提示】注意：正方体性质与公理的关联； 【证明】（1）在正方形ADD1A1中，M，M1分别为AD，A1D1的中点，所以，MM1綉AA1. 又因为AA1綉BB1，所以，MM1∥BB1，且MM1＝BB1， 所以，四边形BB1M1M为平行四边形. （2）由（1）知四边形BB1M1M为平行四边形，所以，B1M1∥BM. 同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，所以，C1M1∥CM. 又∠BMC与∠B1M1C1两边对应的方向相同，所以，∠BMC＝∠B1M1C1. 【说明】本题考查了公理4与等角定理的综合应用； 1、判断两条直线平行是立体几何中的一个重要组成部分，除了平面几何中常用的判断方法以外，公理4也是判断两直线平行的重要依据； 2、证明角相等，利用空间等角定理是常用的方法，在证明过程中一定要说明两个角的对应边方向都相同或都相反，另外也可以通过证明两个三角形全等或相似来证明两角相等； 19、如图，A是△BCD所在平面外一点，M，N分别是△ABC和△ACD的重心，已知BD＝6. （1）判断MN与BD的位置关系； （2）求MN的长. 【提示】注意：公理4与平面几何的综合； 【解析】（1）MN∥BD. 理由如下：连接AM，AN并延长分别与BC，CD交于点E，F， 由重心的定义知E，F分别为BC，CD的中点，连接EF，则 EF∥BD，且EF＝BD. 又∵点M为△ABC的重心，点N为△ACD的重心， 所以，AM∶ME＝AN∶NF＝2∶1. 所以，MN∥EF，且MN＝EF.故MN∥BD. （2）由（1）知，MN＝EF＝BD＝2； 【说明】通过本题既考查了公理4在证明空间平行方面的优势；同时，注意：用好与活用平面几何 20、已知空间四边形ABCD，AB≠AC，AE是△ABC中BC边上的高， DF是△BCD中BC边上的中线，求证：AE和DF是异面直线；． 【提示】注意：理解“异面直线”的定义； 【证明】证法1、（反证法） 假设AE和DF不是异面直线，则AE和DF共面， 设过AE、DF的平面为β，若E、F重合，则E为BC的中点， 所以，AB＝AC，与AB≠AC相矛盾．若E、F不重合， 又因为，B∈EF，C∈EF，而EF⊂β， 所以，B∈β，C∈β，又A∈β，D∈β， 所以，A、B、C、D四点共面，这与题设ABCD为空间四边形矛盾， 综上可知，假设不成立，∴AE与DF为异面直线； 证法2、（定理法） 因为，AB≠AC，AE⊥BC，F为BC的中点， 所以，E、F不重合， 又A∉平面BCD，E∈平面BCD，DF⊂平面BCD，E∉DF， 所以，AE与DF为异面直线； 【说明】判定空间两条直线是异面直线的方法： 1、判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线； 2、反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面； 21、如图，在正方体中， E、F、G、H分别是棱、、、的中点. （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）求异面直线与所成的角的大小 【提示】（1） 延长与必交于C右侧一点P，延长与必交于C右侧一点Q，证明P与Q重合，从而得到答案；（2）由，可得，则与所成的角即为与所成的角，然后在三角形中求解； 【答案】（1）直线与相交；（2）； 【解析】（1）方法1、取的中点， 因为，E、F、I分别是正方形中、、的中点 所以， 所以，在平面中，延长与必交于C右侧一点P，且 同理，在平面中，延长与必交于C右侧一点Q，且 所以，P与Q重合 进而，直线与相交 方法2、因为，在正方体中，E、H分别是、的中点，所以，； 所以，是平行四边形，所以，； 又因为，F、G分别是、的中点，所以，； 所以，，， 所以，、是梯形的两腰， 则，直线与相交； （2）解：因为，在正方体中，，所以，是平行四边形，则； 又因为，E、F分别是、的中点，所以，，则 所以，与所成的角即为与所成的角 （或：与所成的角即为及其补角中的较小角）① 又因为，在正方体中，为等边三角形，所以，② 所以，由①②得直线与所成的角为； 【说明】本题考查判断空间直线的位置关系和异面直线成角的求解； 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$