专题01 平面及其基本性质讲义-2025年高二数学暑假班预习提升（沪教版2020）

上海高中数学2020必修第三册第10章空间直线与平面（预修课程） 专题01 平面及其基本性质 知识点一、平面的概念及表示、画法 （1）平面的概念：平面是从现实世界中抽象出来的几何概念；它没有厚薄，是无限延展的； （2）平面的表示方法 ①图形表示：平面通常用平行四边形来表示，当平面水平放置的时候， 一般用水平放置的正方形的直观图作为平面的直观图(如图所示)； ②字母表示： 用希腊字母表示：如平面α，平面β，平面γ. 用代表平面的平行四边形的相对的两个顶点的大写英文字母表示：如平面AC，平面BD. 用代表平面的平行四边形的四个顶点的大写英文字母表示：如平面ABCD. （3）平面的画法（1）当平面水平放置时，如图（1），平行四边形的锐角通常画成45° ，且横边长等于其邻边长的2倍；当平面竖直放置时，如图（2），平行四边形的一组对边通常画成铅垂线． （2）如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把被遮挡部分用虚线画出来，也可以不画；如图（1）表示平面在平面的上面，图（2）表示平面在平面的前面； 知识点二、空间点、线、面位置关系及其符号与图形表示 点相当于集合中的元素，直线、平面相当于集合 文字语言表达 符号语言表示 文字语言表达 符号语言表示 点A在直线l上 A∈l 点A在直线l外 A∉l 点A在平面α内 A∈α 点A在平面α外 A∉α 直线l在平面α内 l⊂α 直线l在平面α外 l⊄α 直线l，m相交于点A l∩m＝A 平面α，β相交于直线l α∩β＝l 知识点三、平面的基本性质 平面的基本性质即书中的三个公理，它们是研究立体几何的基本理论基础 1、公理1 文字表示：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内； 符号表示：A∈α，B∈α⇒AB⊂α； 图形表示： 作用：①判定直线是否在平面内；②判断一个面是否是平面 2、公理2 文字表示：经过不在一条直线上的3个点，有且只有一个平面. 符号表示：A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α 图形表示： 作用：①确定平面的依据；②判定点、线共面 文字表示 符号表示 图形表示 推论1 经过一条直线与直线外一点，有且只有一个平面. ⇒存在唯一的平面，使，且； 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面. ： ⇒存在唯一的平面，使且； 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面 ⇒存在唯一的平面，使，且； 3、公理3 文字表示：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 符号表示：且 ⇒且； 图形表示： 作用：①判定两个平面相交的依据；②判定点在直线上 【说明】1、公理3说明，两个不重合的平面，只要有一个公共点，就一定有无数个公共点，而且这无数个公共点能构成一条直线，这条直线通常也称为两个平面的交线，如图所示，有； 2、在画两个平面相交时，其中一个平面被另一个平面遮住的部分应该画出虚线或不画，如图所示； 题型1：平面及其画法 【例1】判断下列命题的真假。（真：用“√”；假：用“×”） （1）一个平面的面积是16 cm2；（ ） （2）直线l与平面α有且只有两个公共点；（ ） （3）四条线段首尾相连一定构成一个平面四边形；（ ） （4）8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚；（ ） （5）若直线上有一个点在一个平面内，则这条直线在这个平面内；（ ） 【例2】下列说法正确的是(　　) A．平行四边形是一个平面 B．任何一个平面图形都是一个平面 C．平静的太平洋面就是一个平面 D．一个平面可以将空间分成两部分 【例3】下图中的两个相交平面，其中画法正确的是______． 【跟踪训练】 1．下列命题：（1）书桌面是平面；（2）8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚；（3）有一个平面的长是50 m，宽是20 m；（4）平面是绝对的平、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念．其中正确命题的个数为（ ）． A．1 B．2 C．3 D．4 2．下列说法中，正确的序号为______． ①可画一个平面，使它的长为4cm，宽为2cm； ②一条直线把它所在的平面分成两部分，一个平面把空间分成两部分； ③一个平面的面积为20cm2； ④经过面内任意两点的直线，如果直线上各点都在这个面内，那么这个面是平面． 3．（22-23高二上·上海浦东新·期中）下列各图符合立体几何作图规范要求的是（　　） A．直线在平面内 B．平面与平面相交 C．直线与平面相交 D．两直线异面 题型2：用符号语言表示点、直线、平面间的关系 【例4】1.点在直线上，可用集合符号表示为______． 2．试用集合符号表示点 在直线上，点不在平面上：_______． 【例5】平面和平面相交于直线AB，用集合符号表示______． 【例6】如图所示，用符号语言可表达为　　 A．，， B．，， C．，，， D．，，， 【跟踪训练】 1．请用数学符号表示以下点､直线､平面间的关系： （1）点A､B在直线a上：___________，___________. （2）直线a在平面上：___________；点C在平面上：___________. （3）点O不在平面上：___________. 2.平面内的直线a、b相交于点P，用符号语言概述为“，且P∈ ”，是否正确？ 3.指出图中的图形画法是否正确，如不正确，请改正． （1）如图1，直线a在平面α内． （2）如图2，直线a和平面α相交． （3）如图3，直线a和平面α平行． 题型3：平面的基本性质 【公理１】如果一条直线上有两点在一个平面上 ， 那么这条直线上所有的点都在这个平面上 ． 作用：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面． 【例7】可以用集合语言将“公理1：如果直线上有两个点在平面上，那么直线在平面上．”表述为　　 A．，且，，则 B．若，且，，则 C．若，且，，则 D．若，且，，则 【跟踪训练】 1．已知，，若，，那么直线与平面有______个公共点． 2．若点Q在直线b上，b在平面内，则Q，b，之间的关系可记作______. 【公理２及其推论】不在同一直线上的三点确定一个平面 作用：①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面． 【例8】下列命题正确的是　　 A．三点确定一个平面 B．一条直线和一个点确定一个平面 C．梯形可确定一个平面 D．圆心和圆上两点确定一个平面 【例9】下列命题错误的是　　 A．直线及直线外一点，确定一个平面 B．两条平行直线，确定一个平面 C．两条相交直线，确定一个平面 D．三条相交直线两两相交，确定一个平面 【跟踪训练】 1．判断下列说法是否正确，并说明理由： （1）一点和一条直线确定一个平面； （2）经过一点的两条直线确定一个平面： （3）两两相交的三条直线确定一个平面； （4）首尾依次相接的4条线段在同一平面内． 2．给出以下说法： ①共面的四点中，任意三点不共线； ②和一条直线都相交的两条直线在同一平面内； ③三条两两相交的直线在同一平面内； ④有三个不同公共点的两个平面重合； ⑤依次首尾相接的四条线段不一定共面． 其中正确的个数是______． 【公理３】如果两个不同的平面有一个公共点 ， 那么它们有且只有一条过该点的公共直线 ． 作用：①判断两个平面相交；②证明点共线；③证明线共点． 【例10】点平面，点平面，平面平面直线l，则点A______直线l（用集合符号表示）. 【例11】已知平面平面直线l，点，点，点，则平面_____，平面____________，平面____________． 【跟踪训练】 1．已知α∩β＝m，a⊂α，b⊂β，a∩b＝A，则直线m与A的位置关系用集合符号表示为________． 2．如图，正方体中．、分别是、的中点．求证：、、三线共点． 3．已知，为不重合的两个平面，A，B，M，N为空间中不同的四个点，a为直线，则下列推理正确的是___.（填序号） ①，，，；②，，，； ③，. 题型4：确定平面的个数 【例12】已知A、B、C为空间中的三个点，则经过这三个点的平面有______个． 【例13】空间中交于一点的四条直线最多可确定平面的个数为_________． 【跟踪训练】 1．三条两两平行的直线可以确定平面的个数可能为______个． 2．空间不共线的四个点最多能确定的平面个数是______． 3．正方体的八个顶点一共可以确定 个平面． 题型5：平面把空间分割问题 【例14】一个平面可将空间分成____________个部分，两个平面最多可将空间分成____________个部分，三个平面最多可将空间分成____________个部分． 【跟踪训练】 1．空间不重合的三个平面可以把空间分成（    ） A．4或6或7个部分 B．4或6或7或8个部分 C．4或7或8个部分 D．6或7或8个部分 题型6: 点、线共面问题 证明点、线共面问题的常用方法 (1)先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”． (2)先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”． 【例15】如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内． 【例16】如图，已知：a ⊂α，b⊂α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：PQ⊂α. 【例17】如右图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，判断下列命题是否正确，并说明理由． （1）直线AC1在平面CC1B1B内； （2）设正方形ABCD与正方形A1B1C1D1的中心分别为O、O1，则平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1； （3）由点A、D、C可以确定一个平面； （4）由点A、C1、B1确定的平面为ADC1B1； （5）由点A、C1、B1确定的平面与由点A、C1、D确定的平面是同一个平面． 【跟踪训练】 1.如图，已知△ABC的三个顶点A､B､C在平面内，AD是BC边上的中线，求证：AD在平面上. 2．如图，直线AB、BC、CA两两相交，交点分别为A、B、C，判断这三条直线是否共面，并说明理由．    题型7: 共线、共点问题 (1)证明三点共线的方法 (2)证明三线共点的步骤 【例18】如图，已知平面α， β， 且α∩β＝l. 设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β. 求证：AB，CD，l共点(相交于一点). 【跟踪训练】 1.如图，设不全等的△ABC与△A1B1C1不在同一个平面内，且AB∥A1B1，BC∥B1C1，CA∥C1A1，求证：AA1，BB1，CC1三线共点． 2.如图，在直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线． 3．已知E,F,G,H分别是空间四边形各边AB，AD，BC，CD上的点，且直线EF与GH交于点P．求证：B，D，P在同一直线上． 一、填空题 1．（2024高二上·上海浦东新·期中）两条相交直线确定 个平面. 2．若空间中两条直线、确定一个平面，则、的位置关系为 . 3．（2024高二上·上海黄浦·期末）请写出公理2及其三个推论中的一条： 确定一个平面． 4．（2024高二上·上海·期末）三点不在同一直线上，则经过这三个点的平面有 个. 5．（21-22高二下·上海闵行·开学考试）在空间四点中，三点共线是四点共面的 条件． 6．（2024高二上·上海静安·期中）空间两两相交且不共点的三条直线可以确定 平面． 7．已知，，，，则点P与直线l的位置关系用相应的符号表示为 . 8．（2021七宝中学期中）已知空间四点中无任何三点共线，那么这四点可以确定平面的个数是_______. 9．（2021上海交大附中期末）给出下列说法： ①和直线都相交的两条直线在同一个平面内；②三条两两相交的直线一定在同一个平面内；③有三个不同公共点的两个平面重合；④两两相交且不过同一点的四条直线共面．其中正确说法的序号是______ ． 10．（2024青浦高级中学期中）设平面与平面相交于直线，直线，直线，，则_____（用符号表示）. 11．（2020徐汇中学期中）下列说法中正确的有______个. ①空间中三条直线交于一点，则这三条直线共面； ②一个平行四边形确定一个平面； ③若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等； ④已知两个不同的平面和，若，，且，则点在直线上. 12．（2020·上海实验高级中学期中）下列四个命题： ①两个相交平面有不在同一直线上的三个公交点 ②经过空间任意三点有且只有一个平面 ③过两平行直线有且只有一个平面 ④在空间两两相交的三条直线必共面 其中正确命题的序号是______ . 二、选择题 13．（2021·全国课时练习）下列命题正确的是（ ） A．经过三点确定一个平面 B．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 C．经过一条直线和一个点确定一个平面 D．四边形确定一个平面 14．（2021·全国期末）已知为平面，A，B，M，N为点，a为直线，下列推理错误的是（ ） A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂β B．M∈，M∈β，N∈，N∈β⇒ C．A∈，A∈β⇒ D．A∈，B∈，M∈，A∈β，B∈β，M∈β，且A，B，M不共线⇒，β重合 15．（2021·全国课时练习）在正方体中，，，，分别是该点所在棱的中点，则下列图形中，，，四点共面的是（ ） A．B．C． D． 16．（2021·浙江期末）空间的4个平面最多能将空间分成（ ）个区域． A．13 B．14 C．15 D．16 三、解答题 17、根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系． （1）点P与直线AB； （2）点C与直线AB； （3）点M与平面AC； （4）点A1与平面AC； （5）直线AB与直线BC； （6）直线AB与平面AC； （7）平面A1B与平面AC. 18．（2020·全国课时练习）（1）一个平面可把空间分成几部分？ （2）两个平面可把空间分成几部分？ （3）三个平面可把空间分成几部分？ 19．（2020·全国课时练习）用符号表示下列语句，并画出相应的图形： （1）点A在平面内，点B在平面外； （2）直线经过平面外的一点M； （3）直线既在平面内，又在平面内. 20、证明：如果两两平行的三条直线都与另一条直线相交，那么这四条直线共面． 证明：已知a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C. 求证：直线a，b，c和l共面． 21.(1)如图，，与、分别交于、两点，与、分别交于、两点，．求证：、、、、五点共面． (2)如下图，已知空间四边形ABCD（即四个点不在同一平面内的四边形）中，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且． 求证：直线EF、GH、AC相交于一点． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海高中数学2020必修第三册第10章空间直线与平面（预修课程） 专题01 平面及其基本性质 知识点一、平面的概念及表示、画法 （1）平面的概念：平面是从现实世界中抽象出来的几何概念；它没有厚薄，是无限延展的； （2）平面的表示方法 ①图形表示：平面通常用平行四边形来表示，当平面水平放置的时候， 一般用水平放置的正方形的直观图作为平面的直观图(如图所示)； ②字母表示： 用希腊字母表示：如平面α，平面β，平面γ. 用代表平面的平行四边形的相对的两个顶点的大写英文字母表示：如平面AC，平面BD. 用代表平面的平行四边形的四个顶点的大写英文字母表示：如平面ABCD. （3）平面的画法（1）当平面水平放置时，如图（1），平行四边形的锐角通常画成45° ，且横边长等于其邻边长的2倍；当平面竖直放置时，如图（2），平行四边形的一组对边通常画成铅垂线． （2）如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把被遮挡部分用虚线画出来，也可以不画；如图（1）表示平面在平面的上面，图（2）表示平面在平面的前面； 知识点二、空间点、线、面位置关系及其符号与图形表示 点相当于集合中的元素，直线、平面相当于集合 文字语言表达 符号语言表示 文字语言表达 符号语言表示 点A在直线l上 A∈l 点A在直线l外 A∉l 点A在平面α内 A∈α 点A在平面α外 A∉α 直线l在平面α内 l⊂α 直线l在平面α外 l⊄α 直线l，m相交于点A l∩m＝A 平面α，β相交于直线l α∩β＝l 知识点三、平面的基本性质 平面的基本性质即书中的三个公理，它们是研究立体几何的基本理论基础 1、公理1 文字表示：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内； 符号表示：A∈α，B∈α⇒AB⊂α； 图形表示： 作用：①判定直线是否在平面内；②判断一个面是否是平面 2、公理2 文字表示：经过不在一条直线上的3个点，有且只有一个平面. 符号表示：A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α 图形表示： 作用：①确定平面的依据；②判定点、线共面 文字表示 符号表示 图形表示 推论1 经过一条直线与直线外一点，有且只有一个平面. ⇒存在唯一的平面，使，且； 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面. ： ⇒存在唯一的平面，使且； 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面 ⇒存在唯一的平面，使，且； 3、公理3 文字表示：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 符号表示：且 ⇒且； 图形表示： 作用：①判定两个平面相交的依据；②判定点在直线上 【说明】1、公理3说明，两个不重合的平面，只要有一个公共点，就一定有无数个公共点，而且这无数个公共点能构成一条直线，这条直线通常也称为两个平面的交线，如图所示，有； 2、在画两个平面相交时，其中一个平面被另一个平面遮住的部分应该画出虚线或不画，如图所示； 题型1：平面及其画法 【例1】判断下列命题的真假。（真：用“√”；假：用“×”） （1）一个平面的面积是16 cm2；（ ） （2）直线l与平面α有且只有两个公共点；（ ） （3）四条线段首尾相连一定构成一个平面四边形；（ ） （4）8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚；（ ） （5）若直线上有一个点在一个平面内，则这条直线在这个平面内；（ ） 【答案】（1）×；（2）×；（3）×；（4）×；（5）×； 【解析】（1）×；平面是没有大小的. （2）×；一条直线和一个平面公共点的个数可能为0个，1个或无数个，不可能只有2个公共点. （3）×；也可能是四条边不在同一个平面内的空间四边形. （4）×；平面是没有大小、厚度之分的. （5）×；直线上的两个点在一个平面内，则这条直线在这个平面内； 【例2】下列说法正确的是(　　) A．平行四边形是一个平面 B．任何一个平面图形都是一个平面 C．平静的太平洋面就是一个平面 D．一个平面可以将空间分成两部分 答案　D 解析　A不正确，我们用平行四边形来表示平面，但不能说平行四边形是一个平面，平行四边形仅是平面上四条线段构成的图形，它是不能无限延展的； B不正确，平面图形和平面是完全不同的两个概念，平面图形是有大小的，它是不可以无限延展的； C不正确，太平洋再大也会有边际，也不可能是绝对平面； D正确，平面是无限延展的，它将空间分成两部分． 【例3】下图中的两个相交平面，其中画法正确的是______． 【答案】④ 【分析】根据相交平面的画法逐一判断即可. 【解析】解：对于①，因被挡住的部分应画虚线，需要画出两相交平面的交线，故①错误； 对于②，因被挡住的部分应画虚线，故②错误； 对于③，因被挡住的部分应画虚线，不被挡住的画出实线，且两平面的交线需从平面的上边界画到平面的下边界，故③错误； 对于④，因被挡住的部分应画虚线，不被挡住的画出实线，且两平面的交线需从平面的上边界画到平面的下边界，故④正确. 故答案为：④. 【跟踪训练】 1．下列命题：（1）书桌面是平面；（2）8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚；（3）有一个平面的长是50 m，宽是20 m；（4）平面是绝对的平、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念．其中正确命题的个数为（ ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 2．下列说法中，正确的序号为______． ①可画一个平面，使它的长为4cm，宽为2cm； ②一条直线把它所在的平面分成两部分，一个平面把空间分成两部分； ③一个平面的面积为20cm2； ④经过面内任意两点的直线，如果直线上各点都在这个面内，那么这个面是平面． 【答案】②④ 【分析】根据平面与直线的定义与性质，可得答案. 【解析】对于①③，由于平面是无线扩大的，故①③错误； 对于②，一条直线把它所在的平面分成两部分，一个平面把空间分成两部分，②正确； 对于④，直线在平面内，再由直线位置的任意性，知直线所在的面可看作由直线运动组成，④正确. 故答案为：②④. 3．（22-23高二上·上海浦东新·期中）下列各图符合立体几何作图规范要求的是（　　） A．直线在平面内 B．平面与平面相交 C．直线与平面相交 D．两直线异面 【答案】D 【分析】直接根据立体几何作图规范要求依次判断即可. 【详解】若直线在平面内，应将直线画在平面内，A错误； 平面与平面相交时，两个平面相交于直线，而不是点，B错误； 直线与平面相交，看不到的部分应当画虚线，C错误； 两直线异面满足作图规范. 故选：D 题型2：用符号语言表示点、直线、平面间的关系 【例4】1.点在直线上，可用集合符号表示为______． 2．试用集合符号表示点 在直线上，点不在平面上：_______． 【答案】 【分析】根据点与直线的位置关系表示即可. 【解析】解：点在直线上，可用集合符号表示为. 故答案为： 【答案】. 【分析】根据集合的语言书写即可. 【解析】点 在直线上，用集合可表示为： 点不在平面上，用集合可表示为：. 故答案为： 【例5】平面和平面相交于直线AB，用集合符号表示______． 【答案】 【分析】由点、线、面位置关系的符号表示即可得解. 【解析】由题意可得，. 故答案为：. 【例6】如图所示，用符号语言可表达为　　 A．，， B．，， C．，，， D．，，， 【答案】 【解析】解：如图所示，两个平面与相交于直线，直线在平面内，直线和直线相交于点， 故用符号语言可表达为，，， 故选：． 【跟踪训练】 1．请用数学符号表示以下点､直线､平面间的关系： （1）点A､B在直线a上：___________，___________. （2）直线a在平面上：___________；点C在平面上：___________. （3）点O不在平面上：___________. 【答案】 【分析】根据点、线、面位置关系的符号表示依次求解即可. 【解析】(1)点A、B在直线a上，符号表示为：； (2)直线a在平面上，符号表示为：， 点C在平面上，符号表示为：； (3)点O不在平面上，符号表示为：. 故答案为：；；. 2.平面内的直线a、b相交于点P，用符号语言概述为“，且P∈ ”，是否正确？ 【答案】不正确 【解析】不正确．应表示为：，，且a∩b=P．相交于点P的直线a、b都在平面内，也可以说，平面经过相交于点P的直线a、b．题中的符号语言只描述了直线a、b交于点P，点P在平面内，而没有描述直线a、b也都在平面内，下图也是题中的符号语言所表示的情形． 【总结升华】用符号语言来叙述时，必须交代清楚所有元素的位置关系，不能有半点遗漏． 立体几何中的三种语言（文字语言、符号语言、图形语言组成立体几何语言，我们强须准确地把握它们．其中文字语言比较自然、生动，能将问题研究的对象的含义更明确地叙述出来．图形语言给人以清晰的视觉形象，有助于空间想象力的培养；而符号语言更精练、简洁．三种语言的互译有助于我们在更广阔的思维领域里寻找解决问题的途径，有利于对思维广阔性的培养． 3.指出图中的图形画法是否正确，如不正确，请改正． （1）如图1，直线a在平面α内． （2）如图2，直线a和平面α相交． （3）如图3，直线a和平面α平行． 【解析】（1）（2）（3）的图形画法都不正确．正确画法如下图： （1）直线a在平面α内： （2）直线a与平面α相交： （3）直线a与平面α平行： 题型3：平面的基本性质 【公理１】如果一条直线上有两点在一个平面上 ， 那么这条直线上所有的点都在这个平面上 ． 作用：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面． 【例7】可以用集合语言将“公理1：如果直线上有两个点在平面上，那么直线在平面上．”表述为　　 A．，且，，则 B．若，且，，则 C．若，且，，则 D．若，且，，则 【答案】 【解析】解：在空间几何中，点可以看成是元素，线和面应看成是集合， 根据元素属于集合，子集包含于全集可得： 公理1：如果直线上有两个点在平面上，那么直线在平面上，用集合语言应表示为： 若，且，，则， 故选：． 【跟踪训练】 1．已知，，若，，那么直线与平面有______个公共点． 【答案】 【分析】结合点、线、面的位置关系，作出图形，即可求解. 【解析】如图所示，因为，，且，，可得直线与平面相交， 所以直线与平面有且仅有个公共点. 故答案为：. 2．若点Q在直线b上，b在平面内，则Q，b，之间的关系可记作______. 【答案】 【分析】根据点，线，面的位置关系的表示方法即可得到答案. 【解析】因为点Q在直线b上，b在平面内， 所以可记为， 故答案为： 【公理２及其推论】不在同一直线上的三点确定一个平面 作用：①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面． 【例8】下列命题正确的是　　 A．三点确定一个平面 B．一条直线和一个点确定一个平面 C．梯形可确定一个平面 D．圆心和圆上两点确定一个平面 【答案】 【解析】解：对于选项：当三点共线时，不能确定一个平面，故错误． 对于选项：当该点在直线上时，不能确定一个平面，故错误． 对于选项：由于梯形由两条对边平行，所以确定的平面有且只有一个，故另两条边也在该平面上，故正确． 对于选项：当圆心和圆上的两点在同一条线上时，不能确定一个平面，故错误． 故选：． 【例9】下列命题错误的是　　 A．直线及直线外一点，确定一个平面 B．两条平行直线，确定一个平面 C．两条相交直线，确定一个平面 D．三条相交直线两两相交，确定一个平面 【答案】 【解析】解：由公理二知直线及直线外一点，确定一个平面，故正确； 由公理三知两条平行直线，确定一个平面，故正确；由公理三知两条相交直线，确定一个平面，故正确； 三条相交直线两两相交，确定一个或三个平面，故错误．故选：． 【跟踪训练】 1．判断下列说法是否正确，并说明理由： （1）一点和一条直线确定一个平面； （2）经过一点的两条直线确定一个平面： （3）两两相交的三条直线确定一个平面； （4）首尾依次相接的4条线段在同一平面内． 【答案】不正确 正确 不正确 不正确 【解析】（1）不正确．如果点在直线上，可以确定无数个平面；如果点不在直线上，在已知直线上任取两个不同的点，由公理2知，有且只有一个平面，或直接由公理2的推论1知，有且只有一个平面． （2）正确．经过同一点的两条直线是相交直线，由公理2的推论2知，有且只有一个平面． （3）不正确．3条直线可能交于同一点，也可能有三个不同交点，如下图（1）、（2）所示．前者，由公理2的推论2知．可以确定1个或3个平面；后者，由公理2的推论2及公理1知，能确定一个平面． （4）不正确．四边形中三点可确定一个平面，而第4点不一定在此平面内，如上图（3），因此这4条线段不一定在同一平面内． 【总结升华】公理2及其3个推论都是确定平面的依据，对涉及这方面的应用问题，务必分清它们的条件．立体几何研究的对象是空间点、线、面的位置关系问题，要有一定的空间想象能力．对于问题中的点、线，要注意它们各种不同的位置关系，以及由此产生的不同结果． 2．给出以下说法： ①共面的四点中，任意三点不共线； ②和一条直线都相交的两条直线在同一平面内； ③三条两两相交的直线在同一平面内； ④有三个不同公共点的两个平面重合； ⑤依次首尾相接的四条线段不一定共面． 其中正确的个数是______． 【答案】1 【分析】根据点线面的空间关系与性质定理逐个判断即可. 【解析】易知⑤正确；①错误，任意三点可能共线；②错误，因为在空间中，这两条直线可能不在同一平面上； ③错误，如正方体中，具有同一顶点的三条棱不在同一平面内；④错误，三个不同的公共点可在两平面的交线上． 所以正确命题的个数为1． 故答案为：1. 【公理３】如果两个不同的平面有一个公共点 ， 那么它们有且只有一条过该点的公共直线 ． 作用：①判断两个平面相交；②证明点共线；③证明线共点． 【例10】点平面，点平面，平面平面直线l，则点A______直线l（用集合符号表示）. 【答案】 【分析】由题意点平面，又平面平面直线l，分析即得解. 【解析】由题意，点平面，点平面， 故点平面， 又平面平直线l， 故点直线l. 故答案为： 【例11】已知平面平面直线l，点，点，点，则平面_____，平面____________，平面____________． 【答案】 / / A 【分析】根据平面公理结合已知条件分析求解. 【解析】因为平面平面直线l，点，点，点， 所以，，平面，， 所以平面，平面， 因为点，点，点， 所以平面， 故答案为：，， 【跟踪训练】 1．已知α∩β＝m，a⊂α，b⊂β，a∩b＝A，则直线m与A的位置关系用集合符号表示为________． 【答案】A∈m 【分析】由平面的基本性质可得答案. 【解析】解：因为α∩β＝m，a⊂α，b⊂β，a∩b＝A， 所以，所以A∈m， 故答案为：A∈m. 2．如图，正方体中．、分别是、的中点．求证：、、三线共点． 【解析】证明：连结、、，由题可知， 、分别是、的中点，，且，，且， 为梯形．则可令．由面，面， 面面，、、共点于． 3．已知，为不重合的两个平面，A，B，M，N为空间中不同的四个点，a为直线，则下列推理正确的是___.（填序号） ①，，，；②，，，； ③，. 【答案】①② 【分析】利用基本事实即可判定①②判断正确；利用基本事实即可否定③. 【解析】对于①，，，，， 由基本事实：如果一条直线上的两个点在一个平面内， 那么这条直线在这个平面内，可知，故①正确； 对于②，由，，可知， 同理，，所以，故②正确； 对于③，若，，则， 由基本事实：如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么它们有且只有一条过该点的公共直线， 可知是经过点A的一条直线而不是点A，故③不正确. 故答案为：①② 题型4：确定平面的个数 【例12】已知A、B、C为空间中的三个点，则经过这三个点的平面有______个． 【答案】1或无数 【分析】根据三点的位置关系，结合确定平面的依据，即可判断. 【解析】当三点A、B、C不共线时，则经过三点的平面有1个，当三点A、B、C共线时，则经过三点的平面有无数个. 故答案为：1或无数 【例13】空间中交于一点的四条直线最多可确定平面的个数为_________． 【答案】6个 【分析】根据平面的基本性质，交于一点的四条直线，要使确定平面最多，则任意三条直线都不共面，列举出所有可能平面，即可得答案. 【解析】空间中交于一点的四条直线，要使确定平面最多，则任意三条直线都不共面， 任意两条直线确定一个平面，若四条直线分别为， 所以各确定一个平面，共有6个平面. 故答案为：6个 【跟踪训练】 1．三条两两平行的直线可以确定平面的个数可能为______个． 【答案】1或3 【分析】讨论三条平行线是否共面，即可确定平面的个数. 【解析】当三条平行线不共面时，如下图示可确定3个平面； 当三条平行线共面时，如下图示确定1个平面. 故答案为：1或3 2．空间不共线的四个点最多能确定的平面个数是______． 【答案】4 【分析】根据空间不共线的四个点是否共面分类讨论，即可得出结论． 【解析】若四个点共面，则只能确定一个平面； 若四个点不同在一个面上，则每三个点确定一个平面，此时共可确定4个平面， 所以，空间不共线的四个点最多能确定的平面个数是4． 故答案为：4． 【变式1】正方体的八个顶点一共可以确定 个平面． 【答案】20 题型5：平面把空间分割问题 【例14】一个平面可将空间分成____________个部分，两个平面最多可将空间分成____________个部分，三个平面最多可将空间分成____________个部分． 【答案】 2 4 8 【分析】由平面的性质可借助图形说明． 【解析】因为平面是无限延展的，所以一个平面可把空间分成2部分； 两个平面平行时，可把空间分成3部分，两个平面相交时，可把空间分成4部分，； 综上可知，两个平面最多可把空间分成4部分. 三个平面互相平行时，可把空间分成4部分； 三个平面中恰有两个平面平行时，可把空间分成6部分，如图（1）； 三个平面两两相交于一条直线时，可把空间分成6部分，如图（2）； 三个平面两两相交于三条直线且三条直线互相平行，可把空间分成7部分，如图（3）； 三个平面两两相交于三条直线，且三条直线交于一点，可把空间分成8部分，如图（4）； 综上可知，三个平面最多可把空间分成8部分. 故答案为：①2；②4；③8.    【跟踪训练】 1．空间不重合的三个平面可以把空间分成（    ） A．4或6或7个部分 B．4或6或7或8个部分 C．4或7或8个部分 D．6或7或8个部分 【答案】B 【分析】将空间不重合的三个平面位置关系分为：三个平面互相平行；三个平面有两个平面平行；三个平面交于一线；三个平面两两相交且三条交线平行；三个平面两两相交且三条交线交于一点，分情况分析求解即可. 【解析】空间不重合的三个平面， 若三个平面互相平行，则可将空间分为4部分； 若三个平面有两个平面平行，则第三个平面与其它两个平面相交，可将空间分为6部分； 若三个平面交于一线，则可将空间分为6部分； 若三个平面两两相交且三条交线平行（联想三棱柱三个侧面的关系），则可将空间分为7部分； 若三个平面两两相交且三条交线交于一点（联想墙角三个墙面的关系），则可将空间分为8部分. 所以空间不重合的三个平面可以把空间分成4或6或7或8个部分.              故选：B. 题型6: 点、线共面问题 证明点、线共面问题的常用方法 (1)先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”． (2)先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”． 【例15】如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内． 证明　方法一　(纳入法) ∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α. ∵l2∩l3＝B，∴B∈l2. 又∵l2⊂α，∴B∈α.同理可证C∈α. ∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α. ∴直线l1，l2，l3在同一平面内． 方法二　(同一法) ∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α. ∵l2∩l3＝B，∴l2和l3确定一个平面β. ∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β. 同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β. ∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内， ∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内． 【例16】如图，已知：a ⊂α，b⊂α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：PQ⊂α. [证明]　∵PQ∥a，∴PQ 与 a 确定一个平面β. ∴直线a⊂β，点 P∈β. ∵P∈b，b⊂α，∴P∈α. 又∵a⊂α，∴α与β重合．∴PQ⊂α. 【例17】如右图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，判断下列命题是否正确，并说明理由． （1）直线AC1在平面CC1B1B内； （2）设正方形ABCD与正方形A1B1C1D1的中心分别为O、O1，则平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1； （3）由点A、D、C可以确定一个平面； （4）由点A、C1、B1确定的平面为ADC1B1； （5）由点A、C1、B1确定的平面与由点A、C1、D确定的平面是同一个平面． 【解析】（1）错误．因为点A平面CC1B1B，所以AC1不在平面CC1B1B内． （2）正确．因为点O∈直线AC，直线AC平面AA1C1C，所以点O∈平面AA1C1C．同理，点O1∈平面AA1C1C，所以直线OO1平面AA1C1C．同理，直线OO1平面BB1D1D．故OO1为平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线． （3）错误．因为点A、O、C在同一直线上，故不能确定—个平面 （4）正确．因为点A、C1、B1不共线，故可确定一个平面，又AD∥B1C1，所以点D∈平面AB1C1，故由点A、C1、B1确定的平面为ADC1B1． （5）正确．因为点A、C1、B1确定的平面为平面ADC1B1，而由点A、C1、D确定的平面也是平面ADC1B1，故它们确定的是同一个平面． 【总结升华】正确地运用三个公理和有关概念的推理是解决此类题目的依据． 【跟踪训练】 1.如图，已知△ABC的三个顶点A､B､C在平面内，AD是BC边上的中线，求证：AD在平面上. 【答案】见解析 【分析】根据题意可得直线在平面内，再根据点在直线BC上，可得点在平面内，再结合点A在平面内，即可得出结论. 【解析】证明：因为点B､C在平面内， 所以直线在平面内， 又因AD是BC边上的中线，则点在直线BC上， 所以点在平面内， 又因为点A在平面内， 所以直线AD在平面上. 2．如图，直线AB、BC、CA两两相交，交点分别为A、B、C，判断这三条直线是否共面，并说明理由．    【答案】共面 【分析】根据平面的基本性质，以及点、线与面的位置关系，即可求解. 【解析】由直线，可得直线在同一个平面内，设为平面， 因为平面，且直线，所以平面， 又因为平面，且直线，所以平面， 因为直线，直线，所以直线平面， 所以三条中线在同一个平面内. 题型7: 共线、共点问题 (1)证明三点共线的方法 (2)证明三线共点的步骤 【例18】如图，已知平面α， β， 且α∩β＝l. 设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β. 求证：AB，CD，l共点(相交于一点). [思路探究]　→→ → [证明]　因为梯形ABCD中，AD∥BC， 所以AB，CD是梯形ABCD的两腰. 所以AB，CD必定相交于一点. 设AB∩CD＝M. 又因为AB⊂α，CD⊂β，所以M∈α，M∈β. 所以M∈α∩β. 又因为α∩β＝l，所以M∈l. 即AB，CD，l共点(相交于一点). 【跟踪训练】 1.如图，设不全等的△ABC与△A1B1C1不在同一个平面内，且AB∥A1B1，BC∥B1C1，CA∥C1A1，求证：AA1，BB1，CC1三线共点． 证明　不妨设AB≠A1B1，则四边形AA1B1B为梯形， ∴AA1与BB1相交，设其交点为S，则S∈AA1，S∈BB1. ∵BB1⊂平面BCC1B1，∴S∈平面BCC1B1. 同理可证，S∈平面ACC1A1， ∴点S在平面BCC1B1与平面ACC1A1的交线上， 即S∈CC1， ∴AA1，BB1，CC1三线共点． 2.如图，在直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线． 解　很明显，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，即点S在平面SBD和平面SAC的交线上． 由于AB>CD，则分别延长AC和BD交于点E， 如图所示， ∵E∈AC，AC⊂平面SAC， ∴E∈平面SAC. 同理，可证E∈平面SBD. ∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，则连接SE，直线SE就是平面SBD和平面SAC的交线． 3．已知E,F,G,H分别是空间四边形各边AB，AD，BC，CD上的点，且直线EF与GH交于点P．求证：B，D，P在同一直线上． 【解析】 一、填空题 1．（2024高二上·上海浦东新·期中）两条相交直线确定 个平面. 【答案】 【分析】根据确定平面的依据，即可求解. 【详解】根据平面的基本事实，结合确定平面的依据，可得两条相交直线确定唯一的一个平面. 故答案为：. 2．（2024高二上·上海浦东新·期中）若空间中两条直线、确定一个平面，则、的位置关系为 . 【答案】平行或相交 【分析】根据直线共面的定义可得出结论. 【详解】若空间中两条直线、确定一个平面，则、平行或相交. 故答案为：平行或相交. 3．（2024高二上·上海黄浦·期末）请写出公理2及其三个推论中的一条： 确定一个平面． 【答案】故答案为：两条相交直线（答案不唯一） 【分析】根据公理的内容即可求解. 【详解】公理2：不在同一直线上的三个点确定一个平面。 推论1：经过一条直线以及直线外一点确定一个平面， 推论2：经过两条相交直线确定一个平面， 推论3：两条平行线确定一个平面. 故答案为：两条相交直线（答案不唯一） 4．（2024高二上·上海·期末）三点不在同一直线上，则经过这三个点的平面有 个. 【答案】1 【分析】根据确定平面的方法即可. 【详解】不在同一条直线上的三点确定一个平面. 故答案为：1. 5．（2022高二下·上海闵行·开学考试）在空间四点中，三点共线是四点共面的 条件． 【答案】充分不必要 【分析】根据充分不必要条件的概念，结合空间点面位置关系判断即可. 【详解】空间四点中，若有三点共线，则第四点不论在线上，还是在线外，四点一定共面；反之，若空间四点共面，不一定有三点共线， 所以，在空间四点中，三点共线是四点共面的充分不必要条件． 故答案为：充分不必要 6．（2024高二上·上海静安·期中）空间两两相交且不共点的三条直线可以确定 平面． 【答案】1 【分析】根据平面的事实1即可判定. 【详解】空间两两相交且不共点的三条直线，可得三个交点不在同一条直线上， 根据平面的基本事实1，过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面. 故答案为：1. 7．（2024高二上·上海浦东新·阶段练习）已知，，，，则点P与直线l的位置关系用相应的符号表示为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用平面基本性质即得答案. 【详解】由，得，而，，则，又， 所以. 故答案为： 8．（2021七宝中学期中）已知空间四点中无任何三点共线，那么这四点可以确定平面的个数是_______. 【答案】1或4 【分析】利用三个不共线的点可以确定一个平面，对第四个点分类为：（1）第四个点在此平面内；（2）第四个点不在此平面内；分为这两种情况讨论即可 【详解】其中三个点可确定唯一的平面，当第四个点在此平面内时，可确定1个平面，当第四个点不在此平面内时，则可确定4个平面. 故答案为：1或4 9．（2021上海交大附中期末）给出下列说法： ①和直线都相交的两条直线在同一个平面内；②三条两两相交的直线一定在同一个平面内；③有三个不同公共点的两个平面重合；④两两相交且不过同一点的四条直线共面． 其中正确说法的序号是______ ． 【答案】④ 【分析】利用正方体可判断①②的正误，利用公理3及其推论可判断③④的正误. 【详解】如图，在正方体中，，， 但是异面，故①错误. 又交于点，但不共面，故②错误. 如果两个平面有3个不同公共点，且它们共线，则这两个平面可以相交，故③错误. 如图，因为，故共面于， 因为，故，故即， 而，故，故即即共面，故④正确. 故答案为：④ 10．（2024青浦高级中学期中）设平面与平面相交于直线，直线，直线，，则_____（用符号表示）. 【答案】 【分析】根据公理1得出，结合公理3，即可得出答案. 【详解】因为，所以.又因为，所以. 故答案为： 【点睛】本题主要考查了平面的基本性质的应用，属于基础题. 11．（2020徐汇中学期中）下列说法中正确的有______个. ①空间中三条直线交于一点，则这三条直线共面； ②一个平行四边形确定一个平面； ③若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等； ④已知两个不同的平面和，若，，且，则点在直线上. 【答案】2 【分析】对于①举出反例，正方体的一个顶点处的3条棱；根据两条平行线可以确定一个面可判断②；根据等角定理可判断③；直接根据公理可判断④. 【详解】反例：正方体的一个顶点处的3条棱，确定3个平面，所以①不正确； 由于平行四边形对边平行，结合两条平行线可以确定一个面，可得②正确； 如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等或互补，所以③不正确； ，，且，则A在上，满足平面的基本性质，所以④正确， 即正确的个数有2个， 故答案为：2. 【点睛】本题主要考查平面的基本性质的应用，命题的真假的判断，是基本知识的考查. 12．（2020·上海实验高级中学期中）下列四个命题： ①两个相交平面有不在同一直线上的三个公交点 ②经过空间任意三点有且只有一个平面 ③过两平行直线有且只有一个平面 ④在空间两两相交的三条直线必共面 其中正确命题的序号是______ . 【答案】③ 【分析】由平面的基本性质及推论可判断①②③，根据空间线线关系，可判断④. 【详解】①两个相交平面的公交点一定在平面的交线上，故错误； ②经过空间不共线三点，有且只有一个平面，故错误； ③过两平行直线有且只有一个平面，故正确； ④在空间两两相交，且交点不重合的三条直线必共面；当三线共点时，三线可能不共面，故错误. 故正确命题的序号是③. 故答案为：③. 【点睛】本题考查的知识点是平面的基本性质及推论，空间线线关系，难度不大，属于基础题 二、选择题 13．（2021·全国课时练习）下列命题正确的是（ ） A．经过三点确定一个平面 B．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 C．经过一条直线和一个点确定一个平面 D．四边形确定一个平面 【答案】B 【分析】根据线线关系，来确定平面或者线面关系，一一分析即可. 【详解】对A，当三点共线时，平面不确定，故A错误； 对B，两条相交直线确定一个平面，第三条直线与这两条直线分别相交且交点不重合，则第三条直线也在内，两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，故B正确； 对C，当点在直线上时，不能确定平面，故C错误； 对D，空间四边形不在一个平面内，故D错误． 故选：B． 14．（2021·全国期末）已知为平面，A，B，M，N为点，a为直线，下列推理错误的是（ ） A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂β B．M∈，M∈β，N∈，N∈β⇒ C．A∈，A∈β⇒ D．A∈，B∈，M∈，A∈β，B∈β，M∈β，且A，B，M不共线⇒，β重合 【答案】C 【分析】由平面的性质可知，为经过A的一条直线而不是A. 【详解】，A∈β， 由基本事实可知为经过A的一条直线而不是A. 故的写法错误. 故选：C 15．（2021·全国课时练习）在正方体中，，，，分别是该点所在棱的中点，则下列图形中，，，四点共面的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】选项A、B、C中，由其中三个点确定一个平面，再判断第四个点是否在该平面内，选项B通过证明两直线平行，从而判断四点共面. 【详解】选项A，点，，确定一个平面，该平面与底面交于， 而点不在直线上，故，，，不共面， 选项A错误； 选项B，连接底面对角线， 则由中位线定理可知，， 又易知，则， 故，，，共面，选项B正确； 选项C，显然，，所确定的平面为正方体的底面， 而点不在该平面内，故故，，，不共面， 选项C错误； 选项D，如图，取部分棱的中点，顺次连接，可得一正六边形， 也即是点，，确定的平面与正方体正面的交线为， 而点不在直线上，故，，，四点不共面， 选项D错误. 【点睛】 方法点睛：判断四点共线的方法有： （1）四点中两点连线所成的两条直线平行、相交或重合； （2）由其中三点确定一个平面，再证明第四点在这个平面内； （3）若其中三点共线，则此四点一定共面. 16．（2021·浙江期末）空间的4个平面最多能将空间分成（ ）个区域． A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】C 【分析】根据平面的性质进行归纳推理．前三个平面与第4个平面相交，最多有三条交线，这三条交线把第四个平面，最多分成7部分，而每一部分就是第四个平面与前三个平面所分空间部分的截面，这个截面把所在空间部分一分为二，由此可得4个平面最多能将空间分成的区域数． 【详解】一个平面把空间分成2部分，两个平面最多把空间分面4部分，3个平面最多把空间分布8个部分，前三个平面与第4个平面相交，最多有三条交线，这三条交线把第四个平面，最多分成7部分，这里平面的每一部分就是第四个平面与前三个平面分空间部分的截面，这个截面把所在空间部分一分为二，这样所有空间部分的个数为． 故选：C． 三、解答题 17、根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系． （1）点P与直线AB； （2）点C与直线AB； （3）点M与平面AC； （4）点A1与平面AC； （5）直线AB与直线BC； （6）直线AB与平面AC； （7）平面A1B与平面AC. 【解析】（1）点P∈直线AB. （2）点C ∉直线AB. （3）点M∈平面AC. （4）点A1∉平面AC. （5）直线AB∩直线BC＝点B. （6）直线AB⊂平面AC. （7）平面A1B∩平面AC＝直线AB. 【说明】注意三种语言的转换方法： （1）用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示； （2）根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的； 18．（2020·全国课时练习）（1）一个平面可把空间分成几部分？ （2）两个平面可把空间分成几部分？ （3）三个平面可把空间分成几部分？ 【答案】（1）2；（2）3或4；（3）4或6或7或8 【分析】可画出图形说明：如两个平面平行和相交两种上关系，三个平面都平行或者两个平行一个与它们相交或者三个平行过同一条直线或者两两相交有三条交线这三条交线平行，或交于同一点． 【详解】解：（1）因为平面是无限延展的，所以一个平面可把空间分成2部分. （2）①两个平面平行时，可把空间分成3部分.如图（1）. ②两个平面相交时，可把空间分成4部分，如图（2）. 综上可知，两个平面可把空间分成3或4部分. （3）①三个平面互相平行时，可把空间分成4部分.如图（3）. ②三个平面中恰有两个平面平行时，可把空间分成6部分.如图（4）. ③三个平面两两相交于一条直线时，可把空间分成6部分.如图（5）. ④三个平面两两相交于三条直线且三条直线互相平行，可把空间分成7部分.如图（6）. ⑤三个平面两两相交于三条直线，且三条直线交于一点，可把空间分成8部分.如图（7）. 综上可知，三个平面可把空间分成4或6或7或8部分. 【点睛】本题考查平面分空间问题，解题时通过画出平面增加立体感． 19．（2020·全国课时练习）用符号表示下列语句，并画出相应的图形： （1）点A在平面内，点B在平面外； （2）直线经过平面外的一点M； （3）直线既在平面内，又在平面内. 【答案】（1），如图.（2），如图.（3），如图. 【分析】根据点线面的关系，借用集合符号，表示即可. 【详解】（1）， 如图： （2）， 如图： （3）或， 如图： 【点睛】本题主要考查了空间几何中的符号语言，属于容易题. 20、证明：如果两两平行的三条直线都与另一条直线相交，那么这四条直线共面． 证明：已知a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C. 求证：直线a，b，c和l共面． 【证明】方法1：（同一法）如图所示， 因为a∥b，由公理2的推论可知直线a与b确定一个平面，设为α. 因为l∩a＝A，l∩b＝B， 所以A∈a，B∈b，则A∈α，B∈α. 又因为A∈l，B∈l，所以由公理1可知l⊂α. 因为b∥c，所以由公理2可知直线b与c确定一个平面β，同理可知l⊂β. 因为平面α与平面β都包含着直线b与l，且l∩b＝B，而由公理2的推论2，知经过两条相交直线，有且只有一个平面，所以平面α与平面β重合，所以直线a，b，c和l共面． 方法2：（纳入法）因为a∥b，所以a，b确定平面α. 因为l∩a＝A，l∩b＝B，所以l上有两点A，B在α内，即直线l⊂α，直线a，b，l共面． 同理，a，c，l共面，即c在a，l确定的平面内． 故a，b，c和l共面． 【说明】题点一：本题主要考查点线共面问题；点线共面问题是指证明一些点或直线在同一平面内的问题，主要依据是公理1、公理2及其推论；解决该类问题通常有三种方法：（1）纳入平面法，先由部分元素确定一个平面，再证其他元素也在该平面内；（2）辅助平面法(同一法)，先由有关的点、线确定平面α，再由其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合；（3）反证法．通常情况下采用第一种方法； 21.(1)如图，，与、分别交于、两点，与、分别交于、两点，．求证：、、、、五点共面． 【答案】证明见解析 【分析】根据已知条件分析可知直线、可确定一个平面，证明出、、、、均在平面内，即可证得结论成立. 【解析】证明：因为，则直线、可确定一个平面，记该平面为， 因为、，、，则、、、，则， 因为，则，故、、、、五点共面. (2)如下图，已知空间四边形ABCD（即四个点不在同一平面内的四边形）中，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且． 求证：直线EF、GH、AC相交于一点． 证明：∵E、H分别是边AB、AD的中点， ∴EH∥BD且． ∵F、G分别是边BC、CD上的点，且， ∴FG∥BD且． 故知EH∥FGE且EH≠FG， 即四边形EFGH为梯形，从而EF与GH必相交，设交点为P． ∵P∈EF，EF平面ABC，∴P∈平面ABC． 同理P∈平面ADC． ∵平面ADC∩平面ABC=AC，∴P∈AC． 即EF、GH、AC交于一点P （2），， 图形如图： 或 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$