专题03 集合的基本运算（预备知识）-2025年初升高数学无忧衔接（通用版）

专题03 集合的基本运算 1、理解并、交集的含义，会求简单的并、交集 2、借助Venn图理解、掌握并、交集的运算性质 3、根据并、交集运算的性质求参数问题 1、交集：一般地，由属于集合且属于集合的所有元素组成的集合，称为与的交集， 记作，即． 2、并集：一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为与的并集， 记作，即． 3、补集：对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合 相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作， 即． 4、集合的运算性质 （1），，． （2），，． （3），，． 5、高频结论 （1）． （2）,． 6、区间的概念 6.1区间的概念 设 ， 是实数，且，满足的实数的全体，叫做闭区间， 记作，即，。如图：， 叫做区间的端点．在数轴上表示一个区间时，若区间包括端点，则端点用实心点表示；若区间不包括端点，则端点用空心点表示． 集合 区间 6.2含有无穷大的表示 全体实数也可用区间表示为，符号“”读作“正无穷大”，“”读作“负无穷大”，即。 集合 区间 对点集训一：交集 角度1：交集的概念及运算 典型例题 例题1．（24-25高一上·北京·期中）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】交集的概念及运算 【分析】根据集合的交集，可得答案. 【详解】由题意可得. 故选：A. 例题2．（24-25高一下·广西崇左·阶段练习）已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】交集的概念及运算 【分析】先解绝对值不等式得出集合B，再应用交集定义计算求解. 【详解】依题意，，而， 所以. 故选：A 精练 1．（2025·全国·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】交集的概念及运算 【分析】根据交集定义计算求解. 【详解】由题可得，，则. 故选:A. 2．（24-25高一下·云南·阶段练习）集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】交集的概念及运算 【分析】根据集合的交集运算即可. 【详解】因为， 所以. 故选：A. 3．（2025·陕西·模拟预测）已知集合，则的元素个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．无数 【答案】B 【知识点】交集的概念及运算 【分析】依题意，转换为两函数图象交点问题，联立方程组求解，从而得到答案. 【详解】联立，整理得， 解得，则，即，有1个元素. 故选：. 角度2：根据交集的结果求集合或参数 典型例题 例题1．（2025高三·全国·专题练习）已知集合，且，则（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】D 【知识点】根据交集结果求集合或参数 【分析】根据交集的结果直接求解即可. 【详解】因为， 且，所以，解得． 故选：D． 例题2．（24-25高一上·河北唐山·期中）已知集合，. (1)当时，求，； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)，. (2) 【知识点】交集的概念及运算、并集的概念及运算、根据交集结果求集合或参数 【分析】（1）把代入，利用并集、交集的定义直接求解. （2）利用给定的交集结果，列式求出. 【详解】（1）当时，，而， 则，. （2）由，得或，解得或， 所以的取值范围是. 精练 1．（2025·山东临沂·一模）已知集合.若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据交集结果求集合或参数 【分析】由，可得，即可得解. 【详解】， 因为， 所以，解得， 所以的取值范围为. 故选：D. 2．（24-25高一上·上海·期中）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据交集结果求集合或参数、根据集合的包含关系求参数 【分析】(1)根据交集的定义即可求得结果. （2）由，得到,利用子集的定义即可得到结果. 【详解】（1） （2） 3．（23-24高一上·福建龙岩·阶段练习）已知集合 (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)或. 【知识点】并集的概念及运算、根据交集结果求集合或参数、根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）应用集合的并运算求集合； （2）由题设有，讨论、列不等式求参数范围. 【详解】（1）由题设，故； （2）由， 若，有满足题设； 若，有，可得； 综上，或. 角度3：根据交集的结果求元素个数 典型例题 例题1．（24-25高三上·四川南充·阶段练习）已知集合，，则中的元素个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】交集的概念及运算、根据交集结果求集合元素个数、列举法求集合中元素的个数 【分析】根据条件，直接求得，即可求解. 【详解】由，消整理得到，解得或， 当时，，当时，，所以， 故选：C. 例题2．（2025高三·全国·专题练习）已知集合，，则中整数元素的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式、根据交集结果求集合元素个数 【分析】先把分式不等式转化为一元二次方程得出集合B，再根据交集定义计算即可. 【详解】由，得解得． 又，所以， 所以中整数元素的个数是2. 故选：C． 精练 1．（24-25高一上·福建莆田·期中）设集合，，若，则中元素个数为（    ） A． B． C． D．至少个 【答案】C 【知识点】根据交集结果求集合元素个数 【分析】由，可得，可得出关于、的方程组，解出、的值，即可得出集合，即可得解. 【详解】由，可得， 因为、，必有，且， 所以，或，解得或， 因此，. 故选：C. 2．（23-24高二下·北京·期中）设集合，，则集合的元素的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】根据交集结果求集合元素个数、交集的概念及运算 【分析】通过求函数和的交点的个数即可判断. 【详解】由，解得或， 所以集合的元素的个数为个. 故选：. 3．（23-24高一上·吉林·期末）集合，，则中元素的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据交集结果求集合元素个数、交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式 【分析】先解不等式，求出集合，然后得到，即可求解. 【详解】解不等式可得：， 因为,所以集合, 又， 所以， 所以中元素的个数为. 故选：. 对点集训二：并集 角度1：并集的概念及运算 典型例题 例题1．（2025·贵州贵阳·模拟预测）集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】并集的概念及运算 【分析】根据一元二次方程的根化简两个集合，即可由并集的定义求解. 【详解】，所以， 故选:C． 例题2．（2025高三·北京·专题练习）集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】并集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式 【分析】求出集合和即可求出. 【详解】， 所以． 故选：C． 精练 1．（2025·湖南邵阳·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】并集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式 【分析】由不等式解出集合，再求并集即可. 【详解】，， 所以. 故选：D 2．（24-25高二下·北京·阶段练习）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】解不含参数的一元一次不等式、并集的概念及运算 【分析】求解一元二次不等式，再根据集合并集的概念进行运算即可. 【详解】因为，所以. 故选：A 3．（2025·天津和平·一模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】并集的概念及运算 【分析】利用并集的定义可求得集合. 【详解】因为，，则. 故选：A. 角度2：根据并集的结果求集合或参数 典型例题 例题1．（23-24高三·河南周口·阶段练习）设集合，集合． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【知识点】根据交集结果求集合或参数、根据并集结果求集合或参数、一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】（1）根据交集先将元素2代入集合，求出的值再逐一验证； （2）对进行分类讨论，分成空集，单元素集和双元素集. 【详解】（1）由题意得． ， 即，化简得：， 即，解得：， 经检验当，满足 当，满足 （2），故 ①当为空集，则，即，得或； ②当为单元素集，则，即，得或， 当，舍去；当符合； ③当为双元素集，则，则有，无解， 综上：实数的取值范围为. 例题2．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）已知集合，，，全集．求： (1)； (2)； (3)若，求a的取值范围． 【答案】(1)； (2)或； (3). 【知识点】交集的概念及运算、根据并集结果求集合或参数、解不含参数的一元二次不等式、分式不等式 【分析】（1）解分式不等式、一元二次不等式求集合，再由交运算求结果； （2）应用集合交、补运算求结果； （3）由题设得，即可确定参数范围. 【详解】（1）由，，得； （2）由（1），全集， ∴或，则或； （3）由，则，结合（1）得， 所以实数a的取值范围是. 精练 1．（2025·陕西西安·二模）已知集合，.若，则（    ） A．0 B．1 C． D．0或 【答案】D 【知识点】根据并集结果求集合或参数 【分析】解方程求出集合，根据即可确定参数的值. 【详解】由可得或， 则当时，；当时，； 因，且， 则或. 故选：D. 2．（23-24高一上·重庆·期末）已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据并集结果求集合或参数、交集的概念及运算 【分析】（1）解出集合A中的不等式，将代入集合B中不等式，求两个集合的交集； （2）由得集合A和集合B之间的关系，求出参数的取值范围. 【详解】（1）， 当时，，所以. （2）因为，所以，显然集合B非空， 所以，得. 3．（23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）设集合,. (1)若，判断集合A与B的关系； (2)若，求实数的取值集合. 【答案】(1)是的真子集 (2) 【知识点】判断两个集合的包含关系、根据并集结果求集合或参数、根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）解方程得到，得到是的真子集； （2）分，和三种情况，求出答案. 【详解】（1）， 时，， 故是真的子集 （2），故， 当时，，满足要求， 当时，若时，，解得， 若时，，解得， 故实数的取值集合为. 角度3：根据并集的结果求元素个数 典型例题 例题1．（23-24高一上·江西抚州·阶段练习）已知集合，，则中元素的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【知识点】并集的概念及运算、根据并集结果求集合元素个数 【分析】根据并集的概念和运算即可. 【详解】由， 得，共6个元素. 故选：C 例题2．（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）若集合，，，则集合中的元素个数是 . 【答案】 【知识点】根据并集结果求集合元素个数 【分析】求出集合、，可求出集合，即可得解. 【详解】因为集合，，， 则，，所以，， 故集合中的元素个数是. 故答案为：. 精练 1．（23-24高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知集合，，则中的元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、根据并集结果求集合元素个数、并集的概念及运算 【分析】先计算集合，然后运算即可. 【详解】由题意得：， 所以， 故共5个元素， 故选：C． 2．（23-24高三上·陕西安康·阶段练习）已知集合，则中元素的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【知识点】根据并集结果求集合元素个数 【分析】化简集合，即可求出中元素的个数. 【详解】由题意， 因为，所以，有4个元素， 故选：B. 3．（23-24高一上·辽宁·阶段练习）已知集合，则的元素个数为（    ） A．8 B．7 C．5 D．2 【答案】A 【知识点】并集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式、根据并集结果求集合元素个数 【分析】化简集合即得解. 【详解】解：解不等式，得，则， 因为， 所以. 所以的元素个数为8个. 故选：A 对点集训三：补集 角度1：补集的概念及运算 典型例题 例题1．（24-25高一上·广东广州·期中）已知全集，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】补集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式 【分析】结合绝对值不等式、一元二次不等式求解，再由补集运算即可求解. 【详解】全集， 则 故选：D 例题2．（24-25高一下·浙江湖州·阶段练习）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】交集的概念及运算、补集的概念及运算 【分析】根据交集、补集的运算求解即可. 【详解】因为， 所以，， 故选：A 精练 1．（2025高三·全国·专题练习）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】交并补混合运算、交集的概念及运算、补集的概念及运算 【分析】解法一：根据集合的交集和补集运算求解即可；解法二：取特值检验即可. 【详解】解法一：因为，故， 又，故， 解法二（特殊值法）：因为且， 所以，结合选项可知ABC错误，D正确. 故选：D. 2．（2025·北京丰台·一模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】补集的概念及运算、公式法解绝对值不等式 【分析】解绝对值不等式化简集合，根据补集的概念可得结果. 【详解】由题意得，， ∵，∴. 故选：D. 3．（2025·福建厦门·二模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】交集的概念及运算、补集的概念及运算 【分析】根据补集的概念及交集的运算可得结果. 【详解】∵，∴， ∵，∴. 故选：D. 角度2：根据补集运算确定集合或参数 典型例题 例题1．（24-25高一上·天津滨海新·阶段练习）已知集合，，且. (1)若，求实数组成的集合； (2)若，求，的值. 【答案】(1) (2)； 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据补集运算确定集合或参数、根据并集结果求集合或参数 【分析】（1）求得集合，由分类讨论可得值； （2）由得，，求得，再求得，从而得集合，最后可得值． 【详解】（1）若，可得，因为，所以． 当，则；当，则；当，． 综上，可得实数a组成的集合为． （2）因为，， 且，，所以，，所以， 解得，解，得或，所以， 所以，所以，解得． 例题2．（23-24高一上·新疆省直辖县级单位·期中）已知集合，. (1)当时，求； (2)若，且，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】交集的概念及运算、根据补集运算确定集合或参数 【分析】（1）时化简集合A，根据交集的定义写出； （2）根据，得出关于a的不等式，求出解集即可. 【详解】（1）当时，集合，， ∴； （2）∵，（）， ，∴， ∴， 又，解得. ∴实数a的取值范围是：. 精练 1．（2025高三·全国·专题练习）设全集，且，若，则 . 【答案】4 【知识点】根据补集运算确定集合或参数 【分析】根据补集概念得到，故1，4是方程的两根，由韦达定理求出答案. 【详解】，故， 即1，4是方程的两根，由根与系数的关系可得. 故答案为：4 2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，． (1)当时，求； (2)若存在集合，使得，求． 【答案】(1) (2) 【知识点】交集的概念及运算、根据补集运算确定集合或参数、补集的概念及运算 【分析】（1）根据交集概念求出答案； （2）根据补集的概念求出，结合，从而得到，得到答案. 【详解】（1）当时，，所以． （2）因为集合，所以， 又，所以，解得． 3．（23-24高一上·浙江金华·阶段练习）已知集合．． (1)若，求实数m的取值范围： (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据交集结果求集合或参数、根据交并补混合运算确定集合或参数、根据集合的包含关系求参数、根据补集运算确定集合或参数 【分析】（1）由分类讨论、，分别列不等式求的范围，取并集即可. （2）由条件知，讨论、，分别列不等式求的范围，取并集即可. 【详解】（1）时，知： 当时，得； 当时，或， 解得； 综上，∴的取值范围为； （2）因为，所以，所以， 当时，得； 当时，解得； 综上可得，即m的取值范围是； 对点集训四：集合的并交补 角度1：并交补混合运算 典型例题 例题1．（24-25高一下·广西来宾·开学考试）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】交并补混合运算 【分析】由题意求出B的补集，根据集合的并集运算，即得答案. 【详解】因为全集，所以， 又，则， 故选：C． 例题2．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知集合，集合，集合．求： (1)求，； (2)求，． 【答案】(1)，； (2)，. 【知识点】交集的概念及运算、并集的概念及运算、交并补混合运算 【分析】（1）根据集合的交集和并集的定义求解； （2）根据交集定义求，再求，再结合（1）结合并集定义求. 【详解】（1）因为，， 所以，， （2）因为，， 所以，又， 所以， 由（1），， 所以. 精练 1．（2025·天津·一模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】交并补混合运算 【分析】利用集合的补集和交集运算即可求解. 【详解】因为，所以或， 所以. 故选：D. 2．（2025·江苏宿迁·二模）设集合，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】交并补混合运算 【分析】根据交集、并集、补集的知识来求得正确答案. 【详解】依题意，， 所以或，A选项错误； ，B选项正确； 或， 或，C选项错误. ， ，D选项错误. 故选：B 3．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）设全集为，集合，．求，，. 【答案】，, 【知识点】交并补混合运算 【分析】根据集合间运算的定义分别可得解. 【详解】由已知，， 则，， 或， 所以. 角度2：根据并交补混合运算确定集合或参数 典型例题 例题1．（24-25高一下·湖南怀化·期末）已知集合，． (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】并集的概念及运算、根据交并补混合运算确定集合或参数、解不含参数的一元二次不等式 【分析】（1）首先解一元二次不等式，即可求出集合，再根据并集的定义计算可得； （2）首先求出，再根据，即可求出的取值范围. 【详解】（1）由，即，解得， 所以， 当时，， 所以； （2）因为，所以， 又，， 所以，所以实数m的取值范围为. 例题2．（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）已知全集，不等式的解集是，集合，. (1)求实数的值； (2)求； (3)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】分式不等式、交并补混合运算、根据交并补混合运算确定集合或参数、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】（1）根据题意，结合三个二次式的关系，列出方程组，即可求解； （2）求得，结合集合并集与补集的运算，即可求解； （3）根据集合交集的概念与运算，分别求得的取值范围，即可求解. 【详解】（1）由不等式的解集是， 可得，解得. （2）由不等式，可得，解得，即， 因为，可得或， 可得或. （3）由集合，，， 因为，可得，又因为，可得， 所以实数的取值范围为. 精练 1．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）已知集合，若，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据交并补混合运算确定集合或参数、交并补混合运算 【分析】确定，结合，即可求解. 【详解】， 所以或，又 所以， 故答案为： 2．（24-25高一上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）设全集为，集合，. (1)若，求的值； (2)在①；②；③，这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据交并补混合运算确定集合或参数、根据交集结果求集合或参数、解不含参数的一元二次不等式、根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）解不等式可得集合，结合的结果可得参数值； （2）根据集合间运算的结果可得，分和两种情况讨论. 【详解】（1）由或， 集合， 由， 则， 解得； （2）选①由，可知， 当时，，解得； 当时，可得，无解，或，； 综上所述； 选②，可知，以下同① ； 选③，可知，以下同①. 3．（24-25高一上·河南·阶段练习）已知全集，集合，. (1)若，求实数的值； (2)若，求出集合的所有真子集. 【答案】(1) (2) 【知识点】求集合的子集（真子集）、根据交并补混合运算确定集合或参数 【分析】（1）先求出，再结合并集的定义即可求解； （2）分析可得，，进而得到，即可求出，进而根据真子集的定义写出所有的真子集即可. 【详解】（1）因为，， 则， 又，， 所以. （2）由题意，，，， 则，，即， 所以，此时， 所以集合的真子集为：. 对点集训五：图 典型例题 例题1．（24-25高二上·广东阳江·阶段练习）如图，是全集，是的子集，则阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用Venn图求集合 【分析】根据文氏图的意义，阴影部分为集合的外部与集合交集内部的公共部分，求解即可. 【详解】根据题意可知阴影部分为集合的外部与集合交集内部的公共部分， 即， 故选：C 例题2．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）已知全集是实数集R，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（   ）    A． B． C．或 D． 【答案】A 【知识点】交并补混合运算、解不含参数的一元二次不等式、利用Venn图求集合 【分析】解不等式，再结合并集、补集运算即可求解. 【详解】，即，解得或， 所以或，又， 所以或， 阴影部分所表示的集合为. 故选：. 精练 1．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】交并补混合运算、利用Venn图求集合 【分析】由图得阴影部分为，即可求解； 【详解】由图可知，阴影部分为， 故选：A 2．（2025·广东佛山·二模）图中阴影部分用集合符号可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用Venn图求集合、交并补混合运算 【分析】 根据集合的运算即可得到答案. 【详解】 在阴影部分区域内任取一个元素，则或，故阴影部分所表示的集合为或者，故A正确. 故选：A. 3．（2024·江西·模拟预测）已知全集，则正确表示集合,关系的韦恩（Venn）图是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断两个集合的包含关系、利用Venn图求集合 【分析】首先求集合，再根据两个集合的元素，确定集合的包含关系，即可判断选项. 【详解】由条件可知，，，则. 故选：B 一、单选题 1．（2025·四川乐山·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】交集的概念及运算、公式法解绝对值不等式 【分析】先求解出各个集合，再利用交集的定义求解即可. 【详解】令，解得，则， 因为，所以，故D正确. 故选：D 2．（24-25高一上·辽宁鞍山·阶段练习）已知，，则的子集个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、补集的概念及运算 【分析】求出补集，再由子集的定义求解． 【详解】依题意，，所以的子集有个. 故选：C 3．（2025·江西·二模）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】补集的概念及运算 【分析】根据已知条件，结合集合的补运算，直接求解即可. 【详解】集合，又，故. 故选：C. 4．（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】交集的概念及运算 【分析】直接利用交集运算的概念求解即可. 【详解】因为，所以. 故选：C 5．（2025·山东·一模）若集合，，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【知识点】并集的概念及运算 【分析】求解集合，再利用并集运算即可得解. 【详解】因为，， 所以，解得：或， 所以或， 故选：D. 6．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式、分式不等式 【分析】分别解分式不等式与一元二次不等式得集合，再根据集合的交集运算即可. 【详解】由可得，所以， 由可得，所以， 则. 故选：C. 7．（24-25高二下·湖南·阶段练习）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、并集的概念及运算 【分析】由不等式解出两集合，再求并集即可. 【详解】由题意可得， 所以. 故选：D 8．（2025·江西·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式 【分析】先求出两个集合，再利用交集的定义求解即可. 【详解】令，解得，故， 令，解得或，故或， 则或，故B正确. 故选：B 二、多选题 9．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）设，，若，则实数a的值可以是（    ） A．0 B． C． D．3 【答案】ABC 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数 【分析】解方程，写出集合A的所有元素，根据集合A和集合B的关系，分析集合B中的元素的可能情况，解出相应的. 【详解】∵， 又∵，∴ 所以当时，此时；当时，此时； 当时，此时；时，此时不存在； 综上可得：实数a的值可以是， 故选：ABC. 10．（2025高三下·全国·专题练习）（多选）已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【知识点】交并补混合运算 【分析】利用集合的交并补运算逐一判断即可得结果. 【详解】对于选项A：由，得4，所以，则，故A错误； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C：由于，故，故C正确； 对于选项D：由于，故，故D错误 故选：BC 三、填空题 11．（24-25高三下·上海·阶段练习）已知集合，，则 . 【答案】 【知识点】分式不等式、解不含参数的一元二次不等式、交集的概念及运算 【分析】化简两个集合，即可利用交集的定义求解. 【详解】由可得， 可得， 故， 故答案为： 12．（24-25高一上·四川眉山·期末）定义集合的商集运算为：，已知集合，，则集合的真子集个数是 . 【答案】 【知识点】集合新定义、并集的概念及运算、判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】求出集合，利用题中定义可得出集合，利用并集的定义可得出集合，确定集合的元素个数，由此可得出该集合的真子集个数. 【详解】因为，则， 又因为，故， 所以，集合有个元素，故集合的真子集个数. 故答案为：. 四、解答题 13．（24-25高一上·北京·期中）设全集，集合，． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据集合的包含关系求参数、并集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式 【分析】（1）解二次不等式，确定集合，在根据并集运算求并集即可. （2）根据集合的包含关系求参数的取值范围. 【详解】（1）由，即. 当时，由，即. 所以. （2）因为， 若，则，由得：； 若，则，成立； 若，则，由得：. 综上，实数的取值范围是：. 14．（24-25高三上·安徽铜陵·阶段练习）已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3). 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数、并集的概念及运算 【分析】（1）应用集合的并运算求集合即可； （2）根据包含关系有，即可求参数范围； （3）由交集结果有，讨论、列不等式求参数范围. 【详解】（1）由，则，故； （2）由，则，可得； （3）由，即， 若，则，可得； 若，则，无解； 综上，. 15．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知集合. (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围. 【答案】(1)或. (2) 【知识点】根据交集结果求集合或参数、交集的概念及运算 【分析】（1）先计算，再计算； （2）由得，再分类讨论. 【详解】（1）当时，，则或， 则或. （2）若，则, 当时，，即； 当时，，得， 则实数m的取值范围为. 16．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知集合． (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】并集的概念及运算、根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）由，得到，再利用集合的并集运算求解； （2）由，得到，再分和求解. 【详解】（1）不等式解得，集合， 当时，集合， 所以； （2）由，得， 当时，，即，符合题意； 当时， ，解得， 综上：实数m的取值范围. 1．（25-26高一上·全国·课后作业）中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？”现有如下表示：已知，，，若，则下列选项中不符合题意的整数x为（    ） A．23 B．38 C．128 D．233 【答案】B 【知识点】交集的概念及运算、集合新定义 【详解】解法1  因为，所以，故A符合；因为，所以，故B不符合；因为，所以，故C符合；，所以，故D符合. 解法2  因为，所以且，则且（k，），所以，即，所以.又，所以（c，），即，即，所以.当时，；当时，；当时，. 2．（24-25高一下·广东湛江·阶段练习）集合展拓在信息学中具有重要应用，定义为集合T中的元素个数，对于元集合，其展拓集合记为，满足，其中．已知集合，若的展拓集合满足，则的最大值为 ． 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据并集结果求集合或参数、集合新定义 【分析】记，依题意求出，即可得到，分、两种情况讨论，分别求出的最大值，即可得解. 【详解】记，由，解得，又， 所以，则； 当时，，又，所以，此时的最大值为； 当时，，此时或， 于是，此时的最大值为； 综上可得的最大值为. 故答案为： 3．（24-25高二下·北京·期中）由个正整数构成的有限集（其中），记，特别规定，若集合满足：对任意的正整数，都存在集合的两个子集，使得成立，则称集合为“满集”. (1)分别判断集合与是否为“满集”，请说明理由； (2)若集合为“满集”，求的值. 【答案】(1)是“满集”，不是“满集”；理由见解析 (2) 【知识点】集合新定义、子集的概念 【分析】（1）由集合，，根据集合“满集”的定义，逐个判定，即可求解（2）设，由题意得到存在集合的两个子集，使得成立，得出或，分和，两种情况讨论，进而求得的值. 【详解】（1）解：由集合，可得，且的子集为，，，， 当时，；当时，； 当时，，所以集合是“满集”； 又由，可得，且的子集为，，，， 当时，不存在集合的两个子集，使得成立， 所以不是“满集”. （2）解：设，因为集合为“满集”对任意的正整数， 都存在集合的两个子集，使得成立， 所以，且，所以或. 当时，，此时； 当时，， 因为，所以为最大，此时， 综上可得：. 4．（25-26高一上·全国·课后作业）对于非空数集A，若其最大元素为M，最小元素为m，则称集合A的幅值为，若集合A中只有一个元素，则. (1)若，求； (2)若，，，，求的最大值，并写出取最大值时的一组，，. 【答案】(1)3 (2)18，，， 【知识点】并集的概念及运算、集合新定义 【详解】（1）由集合，知，，所以. （2）因为，，，，由此可知集合，，中各有3个元素，且完全不相同，根据定义要让取到最大值，则只需，，中元素不同且7，8，9分布在3个集合中，4，5，6分布在3个集合中，1，2，3分布在3个集合中，这样差值才会最大，总体才会有最大值，所以的最大值为，所以有一组，，满足题意. 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 集合的基本运算 1、理解并、交集的含义，会求简单的并、交集 2、借助Venn图理解、掌握并、交集的运算性质 3、根据并、交集运算的性质求参数问题 1、交集：一般地，由属于集合且属于集合的所有元素组成的集合，称为与的交集， 记作，即． 2、并集：一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为与的并集， 记作，即． 3、补集：对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合 相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作， 即． 4、集合的运算性质 （1），，． （2），，． （3），，． 5、高频结论 （1）． （2）,． 6、区间的概念 6.1区间的概念 设 ， 是实数，且，满足的实数的全体，叫做闭区间， 记作，即，。如图：， 叫做区间的端点．在数轴上表示一个区间时，若区间包括端点，则端点用实心点表示；若区间不包括端点，则端点用空心点表示． 集合 区间 6.2含有无穷大的表示 全体实数也可用区间表示为，符号“”读作“正无穷大”，“”读作“负无穷大”，即。 集合 区间 对点集训一：交集 角度1：交集的概念及运算 典型例题 例题1．（24-25高一上·北京·期中）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高一下·广西崇左·阶段练习）已知集合，则（ ） A． B． C． D． 精练 1．（2025·全国·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·云南·阶段练习）集合，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·陕西·模拟预测）已知集合，则的元素个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．无数 角度2：根据交集的结果求集合或参数 典型例题 例题1．（2025高三·全国·专题练习）已知集合，且，则（    ） A． B．0 C． D．1 例题2．（24-25高一上·河北唐山·期中）已知集合，. (1)当时，求，； (2)若，求的取值范围. 精练 1．（2025·山东临沂·一模）已知集合.若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·期中）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 3．（23-24高一上·福建龙岩·阶段练习）已知集合 (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 角度3：根据交集的结果求元素个数 典型例题 例题1．（24-25高三上·四川南充·阶段练习）已知集合，，则中的元素个数为（   ） A． B． C． D． 例题2．（2025高三·全国·专题练习）已知集合，，则中整数元素的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 精练 1．（24-25高一上·福建莆田·期中）设集合，，若，则中元素个数为（    ） A． B． C． D．至少个 2．（23-24高二下·北京·期中）设集合，，则集合的元素的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（23-24高一上·吉林·期末）集合，，则中元素的个数为（    ） A． B． C． D． 对点集训二：并集 角度1：并集的概念及运算 典型例题 例题1．（2025·贵州贵阳·模拟预测）集合，，则（    ） A． B． C． D． 例题2．（2025高三·北京·专题练习）集合，则（    ） A． B． C． D． 精练 1．（2025·湖南邵阳·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·北京·阶段练习）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·天津和平·一模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 角度2：根据并集的结果求集合或参数 典型例题 例题1．（23-24高三·河南周口·阶段练习）设集合，集合． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围． 例题2．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）已知集合，，，全集．求： (1)； (2)； (3)若，求a的取值范围． 精练 1．（2025·陕西西安·二模）已知集合，.若，则（    ） A．0 B．1 C． D．0或 2．（23-24高一上·重庆·期末）已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求a的取值范围． 3．（23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）设集合,. (1)若，判断集合A与B的关系； (2)若，求实数的取值集合. 角度3：根据并集的结果求元素个数 典型例题 例题1．（23-24高一上·江西抚州·阶段练习）已知集合，，则中元素的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 例题2．（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）若集合，，，则集合中的元素个数是 . 精练 1．（23-24高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知集合，，则中的元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（23-24高三上·陕西安康·阶段练习）已知集合，则中元素的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（23-24高一上·辽宁·阶段练习）已知集合，则的元素个数为（    ） A．8 B．7 C．5 D．2 对点集训三：补集 角度1：补集的概念及运算 典型例题 例题1．（24-25高一上·广东广州·期中）已知全集，，则（    ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高一下·浙江湖州·阶段练习）设集合，则（    ） A． B． C． D． 精练 1．（2025高三·全国·专题练习）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·北京丰台·一模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·福建厦门·二模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 角度2：根据补集运算确定集合或参数 典型例题 例题1．（24-25高一上·天津滨海新·阶段练习）已知集合，，且. (1)若，求实数组成的集合； (2)若，求，的值. 例题2．（23-24高一上·新疆省直辖县级单位·期中）已知集合，. (1)当时，求； (2)若，且，求实数a的取值范围. 精练 1．（2025高三·全国·专题练习）设全集，且，若，则 . 2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，． (1)当时，求； (2)若存在集合，使得，求． 3．（23-24高一上·浙江金华·阶段练习）已知集合．． (1)若，求实数m的取值范围： (2)若，求实数m的取值范围． 对点集训四：集合的并交补 角度1：并交补混合运算 典型例题 例题1．（24-25高一下·广西来宾·开学考试）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知集合，集合，集合．求： (1)求，； (2)求，． 精练 1．（2025·天津·一模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏宿迁·二模）设集合，，，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）设全集为，集合，．求，，. 角度2：根据并交补混合运算确定集合或参数 典型例题 例题1．（24-25高一下·湖南怀化·期末）已知集合，． (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围． 例题2．（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）已知全集，不等式的解集是，集合，. (1)求实数的值； (2)求； (3)若，求的取值范围. 精练 1．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）已知集合，若，则的取值范围是 . 2．（24-25高一上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）设全集为，集合，. (1)若，求的值； (2)在①；②；③，这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围. 3．（24-25高一上·河南·阶段练习）已知全集，集合，. (1)若，求实数的值； (2)若，求出集合的所有真子集. 对点集训五：图 典型例题 例题1．（24-25高二上·广东阳江·阶段练习）如图，是全集，是的子集，则阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）已知全集是实数集R，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（   ）    A． B． C．或 D． 精练 1．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·广东佛山·二模）图中阴影部分用集合符号可以表示为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·江西·模拟预测）已知全集，则正确表示集合,关系的韦恩（Venn）图是（   ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（2025·四川乐山·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·辽宁鞍山·阶段练习）已知，，则的子集个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2025·江西·二模）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 5．（2025·山东·一模）若集合，，则（   ） A． B． C．或 D．或 6．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·湖南·阶段练习）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 8．（2025·江西·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B．或 C．或 D．或 二、多选题 9．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）设，，若，则实数a的值可以是（    ） A．0 B． C． D．3 10．（2025高三下·全国·专题练习）（多选）已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 11．（24-25高三下·上海·阶段练习）已知集合，，则 . 12．（24-25高一上·四川眉山·期末）定义集合的商集运算为：，已知集合，，则集合的真子集个数是 . 四、解答题 13．（24-25高一上·北京·期中）设全集，集合，． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 14．（24-25高三上·安徽铜陵·阶段练习）已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 15．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知集合. (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围. 16．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知集合． (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围． 1．（25-26高一上·全国·课后作业）中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？”现有如下表示：已知，，，若，则下列选项中不符合题意的整数x为（    ） A．23 B．38 C．128 D．233 2．（24-25高一下·广东湛江·阶段练习）集合展拓在信息学中具有重要应用，定义为集合T中的元素个数，对于元集合，其展拓集合记为，满足，其中．已知集合，若的展拓集合满足，则的最大值为 ． 3．（24-25高二下·北京·期中）由个正整数构成的有限集（其中），记，特别规定，若集合满足：对任意的正整数，都存在集合的两个子集，使得成立，则称集合为“满集”. (1)分别判断集合与是否为“满集”，请说明理由； (2)若集合为“满集”，求的值. 4．（25-26高一上·全国·课后作业）对于非空数集A，若其最大元素为M，最小元素为m，则称集合A的幅值为，若集合A中只有一个元素，则. (1)若，求； (2)若，，，，求的最大值，并写出取最大值时的一组，，. 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$