专题02 集合间的基本关系8种常见考法归类（53题）-2025年新高一暑假数学素养提升讲义（人教A版2019必修第一册）

2025年《考点通关》新高一暑假数学素养提升讲义（人教A版2019必修第一册） 专题02 集合间的基本关系8种常见考法归类（53题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 集合间关系的判断 考点二 求集合的子集、真子集 考点三 判断集合子集、真子集的个数 考点四 根据子集、真子集的个数求参数 考点五 空集的概念及判断 考点六 空集的性质及其应用 考点七 集合相等及其应用 （一）判断两个集合是否相等 （二）根据两个集合相等求参数 考点八 由集合间的包含关系求参数 知识点1：图（韦恩图） 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。 图和数轴一样，都是用来解决集合问题的直观的工具。利用图，可以使问题简单明了地得到解决。 对图的理解 (1)表示集合的图的边界是封闭曲线,它可以是圆、椭圆、矩形,也可以是其他封闭曲线. (2)用图表示集合的优点是能够呈现清晰的视觉形象,即能够直观地表示集合之间的关系,缺点是集合元素的公共特征不明显. 知识点2：子集 1.子集： 一般地，对于两个集合，，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 （1）记法与读法：记作(或)，读作“含于”(或“包含”) （2）性质： ①任何一个集合是它本身的子集，即. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 2.集合与集合的关系与元素与集合关系的区别 符号“”表示集合与集合之间的包含关系,而符号“”表示元素与集合之间的从属关系. 知识点3：集合相等 一般地,如果集合的任何一个元素都是集合的元素,同时集合的任何一个元素都是集合的元素,那么集合与集合相等,记作.也就是说,若,且,则.  （1）的图表示 （2）若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关 知识点4：真子集的含义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集; （1）记法与读法：记作，读作“真包含于”(或“真包含”) （2）性质： ①任何一个集合都不是是它本身的真子集. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 知识点5：空集的含义 我们把不含任何元素的集合，叫做空集，记作： 规定：空集是任何集合的子集，即; 性质：①空集只有一个子集，即它的本身， (2)，则 和 和 和 相同点 都表示无 都是集合 都是集合 不同点 表示集合； 是实数 不含任何元素 含有一个元素 不含任何元素 含有一个元素，该元素为： 关系 或者 考点一 集合间关系的判断 策略方法 1.符号“∈”与“⊆”区别 ①“∈”表示元素与集合之间的关系，比如1∈N，－1N. ②“⊆”表示集合与集合之间的关系，比如N⊆R，{1，2，3}⊆{3，2，1}. ③“∈”的左边是元素，右边是集合，而“⊆”的两边均为集合． 2.判断集合间关系的常用方法 (1)列举观察法 当集合中元素较少时，可列出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系． (2)集合元素特征法 首先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系． 一般地，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，①若由p(x)可推出q(x)，则A⊆B；②若由q(x)可推出p(x)，则B⊆A；③若p(x)，q(x)可互相推出，则A＝B；④若由p(x)推不出q(x)，由q(x)也推不出p(x)，则集合A，B无包含关系． (3)数形结合法 利用Venn图、数轴和直角坐标平面等图示形象直观地判断集合间的关系．一般地，判断不等式的解集之间的关系，适合画出数轴，但要注意端点值的取舍. 题型训练 1．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）能正确表示集合和集合的关系的韦恩图的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025高一上·全国·专题练习）下列四个关系中错误的是（   ） A． B． C． D．空集 3．（2025·河北·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，则集合A与B之间的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·四川成都·期中）已知集合，则（   ） A． B． C．D．与的关系不确定 6．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，那么集合与Q的关系是（    ） A． B． C． D． 考点二 求集合的子集、真子集 策略方法 1.对子集概念的三角度理解 (1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B. (2)不能把“A⊆B”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B. (3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A. 2.求集合子集、真子集的步骤 3.有限集的子集的确定问题，求解关键有三点： (1)确定所求集合； (2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出，一般按元素从少到多的顺序逐个写出满足条件的集合； (3)注意两个特殊的集合，即空集和集合本身． 题型训练 7．（25-26高一上·全国·课后作业）集合的子集为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·浙江衢州·期中）若集合，则集合可用列举法表示为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高一上·广西南宁·期中）写出集合的所有子集和真子集. 10．（24-25高一上·福建莆田·阶段练习）已知集合，若集合满足⫋，则集合 . 11．【多选】（21-22高一上·福建福州·期中）已知集合，集合，则集合可以是（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高一上·四川眉山·期末）已知集合，且. (1)求的值； (2)写出集合的所有真子集. 13．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合． (1)若，写出集合A的所有子集； (2)若集合A中仅含有一个元素，求实数a的值． 14．（22-23高一上·广东江门·阶段练习）已知集合且，且 (1)写出集合的子集，真子集； (2)求集合的子集数，非空真子集数． 考点三 判断集合子集、真子集的个数 策略方法 与子集、真子集个数有关的四个结论 假设集合A中含有n个元素，则有： (1)A的子集的个数为2n个； (2)A的非空子集的个数有2n－1个 (3)A的真子集的个数为2n－1个； (4)A的非空真子集的个数为2n－2个． 具体示例如下: 集合A 所有子集 子集个数 真子集个数 非空真子集个数 {a} ∅，{a} 2＝21 1 0 {a，b} ∅，{a}，{b}，{a，b} 4＝22 3 2 {a，b，c} ∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c} 8＝23 7 6 A＝{a1，a2，…，an} 2n 2n－1 2n－2 注：对于元素个数有限的集合A，B，C，设集合A中含有n个元素，集合B中含有m个元素(n，m∈N＋，且m<n).若B⊆C⊆A，则C的个数为；若B⊆CA，则C的个数为；若BC⊆A，则C的个数为；若BCA，则C的个数为.　 题型训练 15．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）集合的子集共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 16．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知集合，则集合A的真子集个数是（    ） A．3 B．6 C．7 D．8 17．（24-25高二下·上海·阶段练习）设集合，则A的非空子集的个数为 . 18．（24-25高二下·河北承德·期中）若集合的子集中，不含元素的非空子集共有（    ） A．15个 B．16个 C．31个 D．32个 19．（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）已知集合⫋，且中至少有一个奇数，则这样的集合有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 20．（2025·江苏盐城·模拟预测）已知集合，，则满足条件的集合C的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 21．（24-25高一上·全国·周测）已知集合满足，那么这样的集合的个数为（   ） A．4 B．5 C．7 D．8 22．（2025高三·全国·专题练习）已知，这样的集合有 个． 23．（24-25高二下·云南曲靖·期末）若集合，则集合的真子集的个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．15 24．（24-25高一上·全国·课前预习）已知集合，且A中至少有一个元素为奇数，则这样的集合共有多少个？并用恰当的形式表示这些集合． 考点四 根据子集、真子集的个数求参数 策略方法 根据子集、真子集的个数求参数，可按以下策略进行：​ 首先，明确子集、真子集个数与集合元素个数的关系：若集合有n个元素，则子集个数为2ⁿ，真子集个数为2ⁿ-1。据此可由已知的子集或真子集个数反推集合元素个数n。​ 其次，根据集合元素个数的要求，分析集合的构成。若集合由方程的根组成，需分方程是一次还是二次等情况讨论，结合判别式等确定参数取值；若集合含不等式等，需根据元素个数列出关于参数的不等式，求解参数范围。​ 最后，对求出的参数值或范围进行验证，确保集合元素个数符合由子集、真子集个数推出的结果，保证逻辑一致性。 题型训练 25．（24-25高一上·山西大同·阶段练习）若集合有且仅有1个子集，则a的值可以为（   ） A．1 B． C． D． 26．（24-25高一上·山西大同·阶段练习）已知集合有且只有两个子集，则的值为 . 27．（24-25高一下·云南玉溪·期末）已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为 ． 28．（24-25高三上·上海·期中）已知集合，集合P是集合M的三元子集，即，P中的元素a，b，c满足，则符合要求的集合P个数是 . 29．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）定义：若任意（可以相等），都有，则集合称为集合的生成集． (1)求集合的生成集； (2)若集合，的生成集为，的子集个数为4个，求实数的值； (3)若集合，的生成集为，求证． 考点五 空集的概念及判断 策略方法 0，{0}，∅，{∅}的关系 ∅与0 ∅与{0} ∅与{∅} 相同点 都表示无 的意思 都是集合 都是集合 不同点 ∅是集合； 0是实数 ∅中不含任何元素； {0}含一个元素0 ∅不含任何元素； {∅}含一个元素，该元素是∅ 关系 0∉∅ ∅{0} ∅{∅}或∅∈{∅} 题型训练 30．（2025·福建漳州·模拟预测）下列集合中表示空集的是（   ） A． B． C． D． 31．（24-25高一上·广西柳州·期末）下列表述正确的有（    ） A． B． C． D．表示没有任何元素的集合 32．（2025高三下·全国·专题练习）已知集合，下列选项中为的元素的是（    ） ①    ②    ③    ④ A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 考点六 空集的性质及应用 策略方法 空集的性质及应用解题策略如下：​ 首先，明确空集定义：不含任何元素的集合。若集合为空集，需结合其表达式（方程、不等式等）分析元素不存在的条件。​ 对于方程构成的集合，若为一元二次方程，空集意味着方程无实根。分一次方程（参数系数为 0）和二次方程（参数系数非 0）讨论：一次方程需方程不成立；二次方程需判别式小于 0。​ 对于不等式构成的集合，空集表示不等式无解。同样分一次不等式（参数系数为 0 时，不等式不成立）和二次不等式（参数系数非 0 时，结合二次函数图像，开口方向与判别式判断无解条件）。​ 含分式、根式等的方程，空集可能因解为增根或无意义导致，需先化简方程，再分析解的有效性，确定参数使解不存在。​ 最后，对求得的参数范围或值验证，确保集合确实为空集，避免遗漏特殊情况（如参数为 0 时的一次式情形）。 题型训练 33．（24-25高三上·浙江·阶段练习）若集合是空集，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 34．（24-25高一上·上海·期中）若，则m的取值范围为 ． 35．（24-25高一上·上海浦东新·期中）关于x的不等式解集为空集，则实数m的值为 . 36．（24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）关于x的方程的解集为空集，则k的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 37．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）已知集合 (1)若A是空集，求a的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求集合A. 考点七 集合相等及其应用 （1） 判断两个集合是否相等 策略方法 判断两个集合是否相等，解题策略如下：​ 首先，明确集合相等的核心：两集合元素完全相同，包括元素的种类、个数及具体内容，与元素顺序无关。 其次，判断集合元素类型是否一致。若一个是数集、一个是点集（如含坐标形式），直接判定不相等；若类型相同，再深入分析元素。​ 然后，化简集合，明确元素具体内容。对于描述法表示的集合，需转化为直观形式（如列举法），比较元素是否完全一致。例如，含方程解集的集合，需求解方程得到元素后再对比。​ 最后，注意特殊情况：空集只与空集相等；单元素集需元素完全相同；多元素集需所有元素一一对应相等，不可有遗漏或差异。 题型训练 38．（25-26高一·全国·假期作业）集合与集合表示同一集合．( ) 39．（2025高一·全国·专题练习）给出以下集合，其中是相等集合的有（ ） A．， B．， C．， D．， 40．（25-26高一上·全国·课后作业）下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 41．（25-26高一上·全国·课后作业）下列各项中两个集合不是同一个集合的是（   ） A． B． C． D． （二）根据两个集合相等求参数 策略方法 根据集合相等求参数,首先分析一个集合中元素与另一个集合中哪个元素相等,分几种情况进行讨论,然后通过列方程(组)求解.当集合中的未知元素不止一个时,情况会更复杂,需要多次讨论.求出参数后要根据集合中元素的互异性进行检验,排除不符合要求的解. 题型训练 42．（23-24高一上·全国·课后作业）若由组成的集合与由组成的集合相等，则的值为 ． 43．（24-25高一上·全国·课前预习）已知集合，．若，则实数m的值为（   ） A．3 B．2 C． D． 44．（2025高三·全国·专题练习）已知，若，则 ． 考点八 由集合间的包含关系求参数 策略方法 1.由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法 (1)当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解,此时应注意分类讨论． (2)当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，应注意端点处是实点还是虚点． 注：(1)不能忽视集合为∅的情形． (2)当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论．　 2.利用集合关系求参数的关注点 (1)分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合． (2)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误．一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示． (3)此类问题还要注意“空集”的情况，因为空集是任何集合的子集． 3.空集是任何集合的子集 因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面． 题型训练 45．（24-25高二下·辽宁辽阳·期末）设集合，若，则 ． 46．（2025高一·全国·专题练习）设集合，，且，则实数的取值集合为（ ） A． B． C． D． 47．（2025高一·全国·专题练习）已知集合，，且，则实数的取值范围为（ ） A． B．或 C． D．或 48．（2025高一·全国·专题练习）设集合，若，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 49．（24-25高二下·河北·期末）已知集合，非空集合，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 50．（24-25高二下·陕西汉中·期末）设集合，若，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 51．（24-25高二下·河南新乡·期末）已知集合，．若，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．-2 52．（25-26高一上·全国·课后作业）设集合，． (1)若集合有且仅有两个子集，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 53．（2025高一上·全国·专题练习）已知集合． (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围． $$2025年《考点通关》新高一暑假数学素养提升讲义（人教A版2019必修第一册） 专题02 集合间的基本关系8种常见考法归类（53题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 集合间关系的判断 考点二 求集合的子集、真子集 考点三 判断集合子集、真子集的个数 考点四 根据子集、真子集的个数求参数 考点五 空集的概念及判断 考点六 空集的性质及其应用 考点七 集合相等及其应用 （一）判断两个集合是否相等 （二）根据两个集合相等求参数 考点八 由集合间的包含关系求参数 知识点1：图（韦恩图） 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。 图和数轴一样，都是用来解决集合问题的直观的工具。利用图，可以使问题简单明了地得到解决。 对图的理解 (1)表示集合的图的边界是封闭曲线,它可以是圆、椭圆、矩形,也可以是其他封闭曲线. (2)用图表示集合的优点是能够呈现清晰的视觉形象,即能够直观地表示集合之间的关系,缺点是集合元素的公共特征不明显. 知识点2：子集 1.子集： 一般地，对于两个集合，，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 （1）记法与读法：记作(或)，读作“含于”(或“包含”) （2）性质： ①任何一个集合是它本身的子集，即. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 2.集合与集合的关系与元素与集合关系的区别 符号“”表示集合与集合之间的包含关系,而符号“”表示元素与集合之间的从属关系. 知识点3：集合相等 一般地,如果集合的任何一个元素都是集合的元素,同时集合的任何一个元素都是集合的元素,那么集合与集合相等,记作.也就是说,若,且,则.  （1）的图表示 （2）若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关 知识点4：真子集的含义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集; （1）记法与读法：记作，读作“真包含于”(或“真包含”) （2）性质： ①任何一个集合都不是是它本身的真子集. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 知识点5：空集的含义 我们把不含任何元素的集合，叫做空集，记作： 规定：空集是任何集合的子集，即; 性质：①空集只有一个子集，即它的本身， (2)，则 和 和 和 相同点 都表示无 都是集合 都是集合 不同点 表示集合； 是实数 不含任何元素 含有一个元素 不含任何元素 含有一个元素，该元素为： 关系 或者 考点一 集合间关系的判断 策略方法 1.符号“∈”与“⊆”区别 ①“∈”表示元素与集合之间的关系，比如1∈N，－1N. ②“⊆”表示集合与集合之间的关系，比如N⊆R，{1，2，3}⊆{3，2，1}. ③“∈”的左边是元素，右边是集合，而“⊆”的两边均为集合． 2.判断集合间关系的常用方法 (1)列举观察法 当集合中元素较少时，可列出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系． (2)集合元素特征法 首先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系． 一般地，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，①若由p(x)可推出q(x)，则A⊆B；②若由q(x)可推出p(x)，则B⊆A；③若p(x)，q(x)可互相推出，则A＝B；④若由p(x)推不出q(x)，由q(x)也推不出p(x)，则集合A，B无包含关系． (3)数形结合法 利用Venn图、数轴和直角坐标平面等图示形象直观地判断集合间的关系．一般地，判断不等式的解集之间的关系，适合画出数轴，但要注意端点值的取舍. 题型训练 1．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）能正确表示集合和集合的关系的韦恩图的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由子集的定义即可得出答案. 【详解】因为，， 所以. 故选：B. 2．（2025高一上·全国·专题练习）下列四个关系中错误的是（   ） A． B． C． D．空集 【答案】AB 【分析】利用元素与集合的关系，集合与集合的关系判断即可. 【详解】对于A，应该为，对于B，应该为，故A、B错误． 对于C，，故C正确．对于D，空集，故D正确． 故选：AB. 3．（2025·河北·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得到，求解，再逐项判断即可. 【详解】由，可得， 解得：， 错误， 错误， 错误, 正确， 故选：D 4．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，则集合A与B之间的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定集合，再进行选项判断. 【详解】集合A中所有的元素都是集合B的子集， 即集合A是由集合B的子集组成的集合， 所以， 故B是集合A中的一个元素，D正确． 故选：D 5．（23-24高一上·四川成都·期中）已知集合，则（   ） A． B． C．D．与的关系不确定 【答案】A 【分析】根据，再利用是整数，是奇数即可判断集合间的关系. 【详解】∵， 是整数，是奇数，∴. 故选：A． 6．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，那么集合与Q的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先得出集合，再根据集合的基本关系得出. 【详解】由题意可得，故集合是集合的真子集． 故选：B 考点二 求集合的子集、真子集 策略方法 1.对子集概念的三角度理解 (1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B. (2)不能把“A⊆B”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B. (3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A. 2.求集合子集、真子集的步骤 3.有限集的子集的确定问题，求解关键有三点： (1)确定所求集合； (2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出，一般按元素从少到多的顺序逐个写出满足条件的集合； (3)注意两个特殊的集合，即空集和集合本身． 题型训练 7．（25-26高一上·全国·课后作业）集合的子集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合子集的定义，即可求解. 【详解】由集合， 根据集合子集的定义，可得， 故选：D. 8．（24-25高一上·浙江衢州·期中）若集合，则集合可用列举法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据子集关系分析求解即可. 【详解】因为，则， 所以. 故选：D. 9．（24-25高一上·广西南宁·期中）写出集合的所有子集和真子集. 【答案】答案见解析 【分析】借助子集的概念与真子集的概念逐项列出即可得. 【详解】的子集有： 、、、、、、、； 的真子集有： 、、、、、、. 10．（24-25高一上·福建莆田·阶段练习）已知集合，若集合满足⫋，则集合 . 【答案】 【分析】用列举法表示集合，根据集合间的基本关系得到集合. 【详解】由题意得，. ∵⫋，∴. 故答案为：. 11．【多选】（21-22高一上·福建福州·期中）已知集合，集合，则集合可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据子集和真子集定义直接判断即可. 【详解】，，，，， 可以是、和. 故选：ABC. 12．（24-25高一上·四川眉山·期末）已知集合，且. (1)求的值； (2)写出集合的所有真子集. 【答案】(1) (2)，，，，，，. 【分析】（1）由，求得或，结合元素的特征，即可求解； （2）由（1）知集合，根据集合子集的概念，即可求解. 【详解】（1）当时，，不满足集合元素的互异性，不合题意； 当时，解得或，不合题意， 当时，，符合题意； 综上，； （2）由（1）可得，故集合A的所有真子集为： ，，，，，，. 13．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合． (1)若，写出集合A的所有子集； (2)若集合A中仅含有一个元素，求实数a的值． 【答案】(1) (2)0或 【分析】（1）求出集合A，进而求出其子集即得. （2）按a的值是否为0，分类求解即得. 【详解】（1）若，则， 所以集合A的所有子集是：， （2）当时，方程，符合题意，因此， 当时，集合A中仅含有一个元素，则，解得， 所以实数a的值为0或. 14．（22-23高一上·广东江门·阶段练习）已知集合且，且 (1)写出集合的子集，真子集； (2)求集合的子集数，非空真子集数． 【答案】(1)答案见解析 (2)16，14 【分析】（1）根据集合的子集和真子集的概念即可求解； （2）利用集合的子集和非空真子集个数的求解公式，即可得出其相应的个数． 【详解】（1）， 的子集有：，，，，，，，； 的真子集有：，，，，，，． （2）， 有4个元素，的子集数为个， 的非空真子集数为个． 考点三 判断集合子集、真子集的个数 策略方法 与子集、真子集个数有关的四个结论 假设集合A中含有n个元素，则有： (1)A的子集的个数为2n个； (2)A的非空子集的个数有2n－1个 (3)A的真子集的个数为2n－1个； (4)A的非空真子集的个数为2n－2个． 具体示例如下: 集合A 所有子集 子集个数 真子集个数 非空真子集个数 {a} ∅，{a} 2＝21 1 0 {a，b} ∅，{a}，{b}，{a，b} 4＝22 3 2 {a，b，c} ∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c} 8＝23 7 6 A＝{a1，a2，…，an} 2n 2n－1 2n－2 注：对于元素个数有限的集合A，B，C，设集合A中含有n个元素，集合B中含有m个元素(n，m∈N＋，且m<n).若B⊆C⊆A，则C的个数为；若B⊆CA，则C的个数为；若BC⊆A，则C的个数为；若BCA，则C的个数为.　 题型训练 15．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）集合的子集共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】由子集的定义即可得出答案. 【详解】集合的子集有：，有4个. 故选：D. 16．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知集合，则集合A的真子集个数是（    ） A．3 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】求解一元二次不等式得出，判断其真子集个数即可. 【详解】由可得，故 ， 则集合的真子集个数是. 故选：C. 17．（24-25高二下·上海·阶段练习）设集合，则A的非空子集的个数为 . 【答案】15 【分析】根据非空子集个数公式计算. 【详解】集合，则A的子集的个数为， 所以A的非空子集的个数为. 故答案为：15. 18．（24-25高二下·河北承德·期中）若集合的子集中，不含元素的非空子集共有（    ） A．15个 B．16个 C．31个 D．32个 【答案】A 【分析】依题意，即是求集合的非空子集的个数. 【详解】集合的不含有元素的子集个数就是集合的子集个数，共有个， 故不含元素的非空子集共有15个. 故选：A. 19．（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）已知集合⫋，且中至少有一个奇数，则这样的集合有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】分集合含有一个元素及两个元素分别求解即可. 【详解】当集合A中含一个元素时，或； 当集合A中含两个元素时，或或， 所以这样的集合共有个. 故选：D. 20．（2025·江苏盐城·模拟预测）已知集合，，则满足条件的集合C的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据给定条件，列举出集合C的可能情况即可. 【详解】依题意，集合可以为：， 所以集合C的个数为4. 故选：D 21．（24-25高一上·全国·周测）已知集合满足，那么这样的集合的个数为（   ） A．4 B．5 C．7 D．8 【答案】A 【分析】由集合子集，真子集的运算，集合中必有，且为集合{1,2,3,4,5}的子集. 【详解】因为集合满足， 所以，，， 又集合满足， 所以集合有：，，，，共有4个， 故选：A. 22．（2025高三·全国·专题练习）已知，这样的集合有 个． 【答案】7 【分析】分析题意可得里一定包含元素，并将其看为与另一个从里抽取元素的集合取并集构成，再结合真子集的性质求解即可. 【详解】因为， 所以， 对于由个元素的集合，真子集个数为个， 则由真子集性质得集合共有个，故集合共有7个． 故答案为：7 23．（24-25高二下·云南曲靖·期末）若集合，则集合的真子集的个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．15 【答案】D 【分析】分类讨论和时，的可能取值，得出集合，即可求出集合的真子集. 【详解】集合，集合， 若，则或；若，则或1， ∴， ∴的真子集的个数为. 故选：D. 24．（24-25高一上·全国·课前预习）已知集合，且A中至少有一个元素为奇数，则这样的集合共有多少个？并用恰当的形式表示这些集合． 【答案】3个， 【分析】根据真子集的定义求解. 【详解】因为，所以集合是的真子集， 集合里面的元素为0，1，2，又中至少有一个元素为奇数， 所以中至少要有元素1，所以集合为，共3个. 考点四 根据子集、真子集的个数求参数 策略方法 根据子集、真子集的个数求参数，可按以下策略进行：​ 首先，明确子集、真子集个数与集合元素个数的关系：若集合有n个元素，则子集个数为2ⁿ，真子集个数为2ⁿ-1。据此可由已知的子集或真子集个数反推集合元素个数n。​ 其次，根据集合元素个数的要求，分析集合的构成。若集合由方程的根组成，需分方程是一次还是二次等情况讨论，结合判别式等确定参数取值；若集合含不等式等，需根据元素个数列出关于参数的不等式，求解参数范围。​ 最后，对求出的参数值或范围进行验证，确保集合元素个数符合由子集、真子集个数推出的结果，保证逻辑一致性。 题型训练 25．（24-25高一上·山西大同·阶段练习）若集合有且仅有1个子集，则a的值可以为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据子集个数确定是空集，然后由方程无实数解得参数范围，确定正确选项． 【详解】由集合A有且仅有1个子集可知，A是， 当时，，不符合题意； 当时，由可得． 故选：C． 26．（24-25高一上·山西大同·阶段练习）已知集合有且只有两个子集，则的值为 . 【答案】或 【分析】分析可知，关于的方程只有一个实根，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，可得.综合可得出实数的值. 【详解】因为集合有且只有两个子集，则集合只有一个元素， 所以，关于的方程只有一个实根， 当时，即当时，方程为，解得，合乎题意； 当时，即当时，则有，解得. 综上所述，或. 故答案为：或. 27．（24-25高一下·云南玉溪·期末）已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据真子集的个数得，即可求解. 【详解】因为集合有15个真子集，所以集合中包含4个元素， 所以，所以，则实数的取值范围为． 故答案为： 28．（24-25高三上·上海·期中）已知集合，集合P是集合M的三元子集，即，P中的元素a，b，c满足，则符合要求的集合P个数是 . 【答案】1012 【分析】根据题中条件先用表示出，得到，再由，求出范围，即可得出结果. 【详解】因为，所以， 即，整理得，所以， 故或（舍去），则， 所以， 令，得， 又，，所以符合要求的集合的个数为. 故答案为：1012. 【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于根据，用表示出，再由集合满足的条件，求解即可. 29．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）定义：若任意（可以相等），都有，则集合称为集合的生成集． (1)求集合的生成集； (2)若集合，的生成集为，的子集个数为4个，求实数的值； (3)若集合，的生成集为，求证． 【答案】(1) (2)或或 (3)证明见解析 【分析】（1）根据定义计算即可求解； （2）根据定义计算出集合中的元素，再根据的子集个数为4个得出中有2个元素，分别列出方程，求解即可； （3），，根据作差法得出，结合，即可证明． 【详解】（1）由题可知： ①当时，， ②当时，， ③当，或时，， 所以． （2）①当时，， ②当时，， ③当，或，时，， 的子集个数为4个，则中有2个元素， 所以或或， 解得或或（舍去）． （3）证明：，， ， ， ，即， ，又，所以， 综上可得． 考点五 空集的概念及判断 策略方法 0，{0}，∅，{∅}的关系 ∅与0 ∅与{0} ∅与{∅} 相同点 都表示无 的意思 都是集合 都是集合 不同点 ∅是集合； 0是实数 ∅中不含任何元素； {0}含一个元素0 ∅不含任何元素； {∅}含一个元素，该元素是∅ 关系 0∉∅ ∅{0} ∅{∅}或∅∈{∅} 题型训练 30．（2025·福建漳州·模拟预测）下列集合中表示空集的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空集的定义，逐项判别，可得答案. 【详解】对于A，集合存在一个元素为，故A不符合题意； 对于B，集合存在一个元素为，故B不符合题意； 对于C，由，则，即该方程存在两个不相等的实数根， 所以集合存在两个元素，故C不符合题意； 对于D，由，则，即该方程不存在实数根， 所以集合无元素，故D符合题意. 故选：D. 31．（24-25高一上·广西柳州·期末）下列表述正确的有（    ） A． B． C． D．表示没有任何元素的集合 【答案】BD 【分析】根据元素和集合的关系判断AB选项，根据空集的定义判断CD选项. 【详解】A选项，是元素，是集合，之间不能用符号连接，A选项错误； B选项，集合中确实含有元素，即，B选项正确； C，D选项，根据空集的定义，表示没有任何元素的集合，D选项正确， 而是包含一个元素的单元素集合，，C选项错误. 故选：BD 32．（2025高三下·全国·专题练习）已知集合，下列选项中为的元素的是（    ） ①    ②    ③    ④ A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】由集合即可直接判断； 【详解】集合有两个元素：和. 故选：B 考点六 空集的性质及应用 策略方法 空集的性质及应用解题策略如下：​ 首先，明确空集定义：不含任何元素的集合。若集合为空集，需结合其表达式（方程、不等式等）分析元素不存在的条件。​ 对于方程构成的集合，若为一元二次方程，空集意味着方程无实根。分一次方程（参数系数为 0）和二次方程（参数系数非 0）讨论：一次方程需方程不成立；二次方程需判别式小于 0。​ 对于不等式构成的集合，空集表示不等式无解。同样分一次不等式（参数系数为 0 时，不等式不成立）和二次不等式（参数系数非 0 时，结合二次函数图像，开口方向与判别式判断无解条件）。​ 含分式、根式等的方程，空集可能因解为增根或无意义导致，需先化简方程，再分析解的有效性，确定参数使解不存在。​ 最后，对求得的参数范围或值验证，确保集合确实为空集，避免遗漏特殊情况（如参数为 0 时的一次式情形）。 题型训练 33．（24-25高三上·浙江·阶段练习）若集合是空集，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用空集的意义，结合一元二次方程根的情况求得答案. 【详解】集合是空集，则关于的方程无实根， 当时，方程为有两个不等实根，不符合要求， 当时，，方程无实根， 所以的取值范围是. 故选：B 34．（24-25高一上·上海·期中）若，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用空集的定义，结合一元二次不等式的解集情况，分类列式求出范围. 【详解】当时，不成立，，符合题意，； 当时，由，得，解得， 所以m的取值范围为. 故答案为： 35．（24-25高一上·上海浦东新·期中）关于x的不等式解集为空集，则实数m的值为 . 【答案】1 【分析】不等式化为，然后对系数进行分类讨论可得． 【详解】可化为， 若，不等式为，不成立，不等式解集为空集， 若，不等式的解为， 若，不等式的解为， 综上，， 故答案为：1. 36．（24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）关于x的方程的解集为空集，则k的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】先对方程进行整理，然后根据方程的解为增根即可求解.． 【详解】方程整理得， 则有，解得且， 由方程的解集为空集，所以，即. 故选：D. 37．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）已知集合 (1)若A是空集，求a的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求集合A. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）根据空集转化为一元二次方程根的情况求解． （2）根据a分类讨论，从而解决问题． 【详解】（1）当时，集合， 因为A是空集， 所以且， 所以， 所以a的取值范围是． （2）因为A中只有一个元素， 当时，集合，符合题意， 当时，要使A中只有一个元素， 所以且， 所以， 综上所述，或. 考点七 集合相等及其应用 （1） 判断两个集合是否相等 策略方法 判断两个集合是否相等，解题策略如下：​ 首先，明确集合相等的核心：两集合元素完全相同，包括元素的种类、个数及具体内容，与元素顺序无关。 其次，判断集合元素类型是否一致。若一个是数集、一个是点集（如含坐标形式），直接判定不相等；若类型相同，再深入分析元素。​ 然后，化简集合，明确元素具体内容。对于描述法表示的集合，需转化为直观形式（如列举法），比较元素是否完全一致。例如，含方程解集的集合，需求解方程得到元素后再对比。​ 最后，注意特殊情况：空集只与空集相等；单元素集需元素完全相同；多元素集需所有元素一一对应相等，不可有遗漏或差异。 题型训练 38．（25-26高一·全国·假期作业）集合与集合表示同一集合．( ) 【答案】错误 【分析】利用相等集合的定义判断即可. 【详解】集合为数集，集合为点集，不是同一集合，错误； 故答案为：错误 39．（2025高一·全国·专题练习）给出以下集合，其中是相等集合的有（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】利用相等集合的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，集合中有一个元素， 集合中有两个元素，故不是相等集合，故A错误； 对于B，集合是空集，集合有一个元素，故不是相等集合，故B错误； 对于C，集合都只有一个元素，但元素不相等，故不是相等集合，故C错误； 对于D.，，， 所以集合中元素完全相同，故是相等集合，故D正确. 故选：D. 40．（25-26高一上·全国·课后作业）下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由集合元素的特征和属性进行判断. 【详解】A选项：，故A错误； B选项：中的元素为点中的元素为实数，故B错误； C选项：,，故C选项正确； D选项：中的元素为点，而中的元素为点，故D错误． 故选：C. 41．（25-26高一上·全国·课后作业）下列各项中两个集合不是同一个集合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合中的元素是否相同，即可结合选项逐一求解. 【详解】集合中的元素具有无序性，选项A中两个集合是同一个集合，故A不符题意； 选项B中两个集合都是数集，且范围都是全体实数，故是同一个集合，故B不符题意； 选项C中两个集合都是数集，描述的都是大于1的数，故是同一个集合，故C不符题意； 选项D中两个集合都是点集，在平面直角坐标系中，点与点是不同的， 故两集合不是同一个集合，故D正确． 故选：D （二）根据两个集合相等求参数 策略方法 根据集合相等求参数,首先分析一个集合中元素与另一个集合中哪个元素相等,分几种情况进行讨论,然后通过列方程(组)求解.当集合中的未知元素不止一个时,情况会更复杂,需要多次讨论.求出参数后要根据集合中元素的互异性进行检验,排除不符合要求的解. 题型训练 42．（23-24高一上·全国·课后作业）若由组成的集合与由组成的集合相等，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据题意，得到和且，求得，的值，将其代入，进行计算求值，即可得到答案. 【详解】由题意知，集合，可得，所以， 此时，则且，所以， 所以． 故答案为：. 43．（24-25高一上·全国·课前预习）已知集合，．若，则实数m的值为（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】由集合相等得，解方程即可求解. 【详解】因为集合，，且，所以，解得. 故选：D 44．（2025高三·全国·专题练习）已知，若，则 ． 【答案】1 【分析】先根据分式有意义可得到的值，再根据相等集合以及集合元素的互异性得到的值，即可求得结果. 【详解】由已知得，则，所以， 于是，即或， 又由集合中元素的互异性知应舍去，故， 所以． 故答案为：1. 考点八 由集合间的包含关系求参数 策略方法 1.由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法 (1)当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解,此时应注意分类讨论． (2)当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，应注意端点处是实点还是虚点． 注：(1)不能忽视集合为∅的情形． (2)当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论．　 2.利用集合关系求参数的关注点 (1)分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合． (2)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误．一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示． (3)此类问题还要注意“空集”的情况，因为空集是任何集合的子集． 3.空集是任何集合的子集 因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面． 题型训练 45．（24-25高二下·辽宁辽阳·期末）设集合，若，则 ． 【答案】2 【分析】根据包含关系分，，三种情况讨论，运算求解即可. 【详解】因为，所以．当，即时，有相同元素，不符合； 当，即时，，，符合； 当，即时，有相同元素，不符合． 综上所述：. 故答案为：. 46．（2025高一·全国·专题练习）设集合，，且，则实数的取值集合为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的包含关系，判断集合中元素的关系，对参数分类讨论，求出参数可能的取值. 【详解】由题意得. 当时，，； 当时，，由，可得或. 综上，实数的取值集合为. 故选：D. 47．（2025高一·全国·专题练习）已知集合，，且，则实数的取值范围为（ ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】根据，列不等式组，求解即可. 【详解】因为，又 ，且 ， 所以需满足， 解得 . 故选：C 48．（2025高一·全国·专题练习）设集合，若，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由集合间的子集关系求解． 【详解】因为，且， 所以. 故选：D. 49．（24-25高二下·河北·期末）已知集合，非空集合，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用集合关系列出不等式组求解即可. 【详解】因为集合，非空集合，且， 所以，解得：． 故选：C． 50．（24-25高二下·陕西汉中·期末）设集合，若，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过解一元二次不等式化简集合，结合包含关系即可求解参数范围. 【详解】因为，且, 所以. 故选：D. 51．（24-25高二下·河南新乡·期末）已知集合，．若，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．-2 【答案】A 【分析】根据，则，从而可求解. 【详解】因为，所以，即，解得，故A正确. 故选：A. 52．（25-26高一上·全国·课后作业）设集合，． (1)若集合有且仅有两个子集，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)． (2)或． 【分析】（1）由集合有且仅有两个子集，所以集合只有一个元素，结合，求得的值，即可得到答案； （2）先求得，根据，所以集合可能是，，，，分情况讨论，结合二次函数的性质，列出方程组，即可求解. 【详解】（1）解：由集合， 因为集合有且仅有两个子集，所以集合只有一个元素， 故，所以， 所以实数的取值范围是． （2）解：由，解得或，所以， 因为，所以集合可能是，，，； 当时，即方程无实数根， 则，解得； 当时，即方程有且只有一个根0， ，解得； 当时，即方程有且只有一个根， 则，方程组无解； 当时，方程有两根和， 则，解得， 综上所述，实数的取值范围是或． 53．（2025高一上·全国·专题练习）已知集合． (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）解不等式求得集合，根据，可求得的取值范围； （2）分和两种情况解不等式求得集合，利用，可求得的取值范围. 【详解】（1）； ． 由，．故的取值范围为． （2）当时，则，又，所以． 当时，则，又，所以， 综上所述：的取值范围为． $$