精品解析：辽宁省沈阳市铁西区2024—2025学年 下学期八年级期中考试数学试题

2024—2025学年度下学期第一次质量监测八年数学 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四幅图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A B. C. D. 2. 下列数中，能使不等式成立的x的值为（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 若等腰三角形底角为，则它顶角是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 不等式组的解集是（ ） A. B. C. 或 D. 6. 如图，将绕点顺时针旋转得到，已知，，当与在一条直线上时，的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 下列条件中，不能判断是等边三角形的是（ ）． A. ， B. ， C. D. 8. 如图，直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 9. 下列命题的逆命题成立的是（ ） A. 如果两个实数相等，那么它们的平方相等 B. 两直线平行，同旁内角互补 C. 如果两个角是直角，那么它们相等 D. 等边三角形是锐角三角形 10. 如图，长方形绕点逆时针旋转得到长方形，连接，点是的中点，连接，若，，则长方形的周长为（ ） A. 14 B. 12 C. 10 D. 7 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：______． 12. 在平面直角坐标系中，线段的端点坐标分别为，，将线段平移后，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为______． 13. 如图，在中，，，以点B为圆心，长为半径画弧，交边于点D，连接，则的度数为______． 14. 为增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，某校组织学生参加劳动实践．经学校与劳动基地联系，计划组织学生参加协助种植甲、乙两种作物．已知协助种植1亩甲作物需要5名学生，协助种植1亩乙作物需要6名学生．要种植甲、乙两种作物共亩，所需学生人数不超过人，则至少种植甲作物______亩． 15. 定义：在平面直角坐标系中，对于点，若x，y均为整数，则称点P为“整点”．特别地，当（其中）的值为整数时，称“整点”P为“超整点”．已知点在第二象限，下列说法：①；②若点P为“整点”，则点P的个数为4个；③若点P为“超整点”，则点P的个数为1个；④若点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和大于5．其中正确的是______．（填序号即可） 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 因式分解： （1）； （2）． 17. 解不等式：，并把它的解集表示在数轴上． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． （1）画出向右平移个单位长度后得到，并写出点的坐标； （2）画出绕点逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标． 19. 如图，已知和，点C在边上，，，，若，求的度数． 20. 如图，在正方形纸片中，点E在边上，，将正方形纸片折叠，点B落在线段上的点G处，折痕为．若，求的长． 21. 为了响应国家提倡的“节能环保”号召，某共享电动车公司准备投入资金购买A，B两种电动车．若购买A种电动车25辆，B种电动车80辆，需投入资金30.5万元；若购买A种电动车60辆，B种电动车120辆，需投入资金48万元．已知这两种电动车的单价不变． （1）求A，B两种电动车的单价分别是多少元？ （2）为适应共享电动车出行市场需求，该公司计划购买A，B两种电动车共200辆，其中A种电动车的数量不多于B种电动车数量的一半．当购买A种电动车多少辆时，所需的总费用最少，最少费用是多少元？ 22. （1）如图，在中，，若，则______． （2）在（1）的条件下，作点A关于直线的对称点，连接． ①如图2，分别以点，C为圆心，大于为半径画弧，两弧分别交于点G，H，连接，分别交，于点D，E，求DE的长； ②如图3，若点P是边的延长线上一点，连接交BC的延长线于点M，的平分线交边于点N，过点N作交于点H．求证：． 23. 在中，，点为的中点、点在直线上（不与点重合），连接，线段绕点顺时针旋转，得到线段，过点作直线，过点作直线，垂足为点，直线交直线于点． （1）如图1，当点与点重合时，求度数； （2）如图2，当点在线段上，且时，若，求线段的长； （3）当时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度下学期第一次质量监测八年数学 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四幅图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．本题主要考查了中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故A选项不合题意； B．不是中心对称图形，故B选项不合题意； C．不是中心对称图形，故C选项不合题意； D．是中心对称图形，故D选项合题意； 故选：D． 2. 下列数中，能使不等式成立的x的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解不等式，不等式的解，熟练掌握解不等式是解题的关键．解不等式，得到，以此判断即可． 【详解】解：∵， ∴． ∴符合题意的是A 故选A． 3. 若等腰三角形底角为，则它的顶角是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形内角和为、等腰三角形两底角相等即可得到答案． 【详解】解：∵等腰三角形底角为， ∴顶角的度数为， 故选：B 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的两底角相等是解题的关键． 4. 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查因式分解的定义，注意一定要化成多个整式相乘的形式才叫因式分解．根据因式分解的定义，需要将式子变形为几个整式相乘的形式，据此可判断． 【详解】解：A是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意； B符合因式分解的定义，故本选项符合题意； C的右边不是几个式子相乘的形式，故本选项不符合题意； D右边不是整式，故本选项不符合题意； 故选：B． 5. 不等式组的解集是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，分别求出每个不等式的解集，再确定它们的公共部分即可． 【详解】解：， 解①，移项得：，即 ， 解②，移项得：，即 ，两边乘以（不等号方向改变），得 ， ∴不等式组的解集为， 故选：D． 6. 如图，将绕点顺时针旋转得到，已知，，当与在一条直线上时，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题重点考查旋转的性质、三角形内角和定理等知识，根据题意求得是解题的关键．由旋转得，而，则，因为，则，进而即可得出答案． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到，，， ∴， ∴， ∵与在一条直线上， ∴， ∴． 故选：C． 7. 下列条件中，不能判断是等边三角形的是（ ）． A. ， B. ， C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等边三角形的定义和判定定理判断即可． 【详解】解：A选项：∵AB=AC．∠B=60°． ∴△ABC是等边三角形，故A选项不符合题意； B选项：∵∠B=∠A，∴AC=BC， ∵AB=AC，∴AB=AC=BC， ∴△ABC是等边三角形，故B选项不符合题意； C选项：∵∠A=∠B=60°，∠C=180°−∠A−∠B=60°， ∴∠A=∠B=∠C，∴AB=AC=BC， ∴△ABC是等边三角形，故C选项不符合题意； D选项：∵∠A+∠B=2∠C，∠A+∠B+∠C=180°， ∴∠C=60°，不能判断△ABC是等边三角形，故D选项符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定，解题的关键是熟悉等边三角形的定义及等边三角形的判定定理．注意：等边三角形的判定定理有：①三边都相等的三角形是等边三角形，②三角都相等的三角形是等边三角形，③有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形． 8. 如图，直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法，两直线交点求不等式的解集，理解图示是关键． 根据交点，运用待定系数得到交点坐标，结合图形求不等式的解集即可． 【详解】解：把点代入得，， 解得，， ∴两直线交点坐标为， 不等式，即直线在直线的下方， ∴， 故选：C ． 9. 下列命题的逆命题成立的是（ ） A. 如果两个实数相等，那么它们的平方相等 B. 两直线平行，同旁内角互补 C. 如果两个角是直角，那么它们相等 D. 等边三角形是锐角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查逆命题，命题真假的判定，分别写出各选项的逆命题，并判断其正确性． 【详解】解：A、原命题：“如果两个实数相等，那么它们的平方相等”， 逆命题：“如果两个实数的平方相等，那么它们相等”， 反例：和的平方相等但本身不相等，逆命题不成立； B、原命题：“两直线平行，同旁内角互补”， 逆命题：“如果同旁内角互补，那么两直线平行”， 根据平行线的判定定理，同旁内角互补可推出两直线平行，逆命题成立； C、原命题：“如果两个角是直角，那么它们相等”， 逆命题：“如果两个角相等，那么它们是直角”， 反例：两个的角相等但不是直角，逆命题不成立； D、原命题：“等边三角形锐角三角形”， 逆命题：“锐角三角形是等边三角形”， 反例：存在锐角三角形不是等边三角形（如三内角分别为的三角形），逆命题不成立； 故选：B． 10. 如图，长方形绕点逆时针旋转得到长方形，连接，点是的中点，连接，若，，则长方形的周长为（ ） A. 14 B. 12 C. 10 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握以上知识，合理作出辅助线是关键． 如图所示，延长交于点，，可证，，则，，即，在中，运用勾股定理得到，则，由此即可求解． 【详解】解：长方形绕点逆时针旋转得到长方形，连接， ∴，， 如图所示，延长交于点，， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴，且， ∴， ∴，则， ∴，即， 在中，， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴， ∴长方形的周长为， 故选：A ． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了先提取公因式，掌握利用提公因式法是解题关键．利用提公因式法求解即可． 【详解】解： 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，线段的端点坐标分别为，，将线段平移后，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的平移，熟练掌握知识点是解题的关键． 先由点A和点确定平移方式，即可求出点的坐标． 【详解】解：由点平移至点得，点A向上平移了2个单位得到点， ∴向上平移2个单位后得到点， 故答案为：． 13. 如图，在中，，，以点B为圆心，长为半径画弧，交边于点D，连接，则的度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，先求出，由作图可得，根据等边对等角得到，最后利用计算即可． 【详解】解：∵中，，， ∴， ∵以点B为圆心，的长为半径画弧， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 为增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，某校组织学生参加劳动实践．经学校与劳动基地联系，计划组织学生参加协助种植甲、乙两种作物．已知协助种植1亩甲作物需要5名学生，协助种植1亩乙作物需要6名学生．要种植甲、乙两种作物共亩，所需学生人数不超过人，则至少种植甲作物______亩． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设种植甲作物a亩，则种植乙作物亩，根据“所需学生人数不超过55人”列不等式求解即可． 【详解】解：设种植甲作物a亩，则种植乙作物亩， 根据题意，得：， 解得， 则至少种植甲作物5亩． 故答案为：． 15. 定义：在平面直角坐标系中，对于点，若x，y均为整数，则称点P为“整点”．特别地，当（其中）的值为整数时，称“整点”P为“超整点”．已知点在第二象限，下列说法：①；②若点P为“整点”，则点P的个数为4个；③若点P为“超整点”，则点P的个数为1个；④若点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和大于5．其中正确的是______．（填序号即可） 【答案】②③④ 【解析】 【分析】本题考查了新定义，点到坐标轴的距离，各象限内点的特征，不等式组的解法等知识，利用各象限内点的特征求出a的取值范围，即可判断①，利用“整点”定义即可判断②，利用“超整点”定义即可判断③，利用“超整点”和点到坐标轴的距离即可判断④． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， ∴，故①错误； ∵点为“整点”， ， ∴整数a为，，0，1， ∴点P的个数为4个，故②正确； ∴“整点”P为，，，， ∵，，，， ∴“超整点”P为，故③正确； ∵点为“超整点”， ∴点P坐标为， ∴点P到两坐标轴的距离之和，故④正确， 故答案为：②③④． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． （1）先提取公因式，再利用平方差公式分解即可． （2）先乘法公式展开，再利用完全平方公式分解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 解不等式：，并把它的解集表示在数轴上． 【答案】，数轴见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解，再在数轴上表示出不等式的解集即可． 【详解】解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 在数轴上表示为： ． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． （1）画出向右平移个单位长度后得到的，并写出点的坐标； （2）画出绕点逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标． 【答案】（1）图见解析， （2）见解析， 【解析】 【分析】本题考查了作图——旋转变换，平移变换，解决本题的关键是掌握旋转和平移的性质． （1）根据平移的性质即可向右平移个单位，作出平移后的，即可； （2）根据旋转的性质即可画出绕点逆时针旋转后得到的，进而写出点的坐标． 【小问1详解】 解：∵．将△ABC向右平移6个单位，作出平移后的， ∴， 如图，即为所求， 【小问2详解】 解：如图，即为所求， ． 19. 如图，已知和，点C在边上，，，，若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质．根据证明，由全等三角形的性质得，，则可证为等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：在和中， ， ； ， 是等边三角形． ． 20. 如图，在正方形纸片中，点E在边上，，将正方形纸片折叠，点B落在线段上的点G处，折痕为．若，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的性质，折叠的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．先求出，在中，由勾股定理求出，根据折叠的性质可知，，，进而求出，设，则，，在，中，利用勾股定理可得，，得到关于的方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵正方形纸片中，，， ∴，， ∴， ∴， 在中，， 根据折叠的性质可知，，， ∴， 设，则，， 在中，， 在中，， 则， 解得：， ∴． 21. 为了响应国家提倡的“节能环保”号召，某共享电动车公司准备投入资金购买A，B两种电动车．若购买A种电动车25辆，B种电动车80辆，需投入资金30.5万元；若购买A种电动车60辆，B种电动车120辆，需投入资金48万元．已知这两种电动车的单价不变． （1）求A，B两种电动车的单价分别是多少元？ （2）为适应共享电动车出行市场需求，该公司计划购买A，B两种电动车共200辆，其中A种电动车的数量不多于B种电动车数量的一半．当购买A种电动车多少辆时，所需的总费用最少，最少费用是多少元？ 【答案】（1）A、B两种电动车的单价分别为1000元、3500元 （2）当购买A种电动车66辆时所需的总费用最少，最少费用为535000元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设A、B两种电动车的单价分别为x元、y元，根据购买A种电动车25辆，B种电动车80辆，需投入资金30.5万元；若购买A种电动车60辆，B种电动车120辆，需投入资金48万元，列出方程组，解方程即可． （2）设购买A种电动车m辆，则购买B种电动车辆，列出不等式，即可作答． ②设所需购买总费用为w元，则，根据一次函数的性质进行作答即可． 【小问1详解】 解：设A、B两种电动车的单价分别为x元、y元， 由题意得， 解得：， 答：A、B两种电动车的单价分别为1000元、3500元； 【小问2详解】 解：设购买A种电动车m辆，则购买B种电动车辆，根据题意得： ， ∴（m为正整数）； 设所需购买总费用为w元， 则， ∵， ∴随着的增大而减小， ∵m取正整数， ∴时，最少， ∴（元）， 答：当购买A种电动车66辆时所需的总费用最少，最少费用为535000元． 22. （1）如图，在中，，若，则______． （2）在（1）的条件下，作点A关于直线的对称点，连接． ①如图2，分别以点，C为圆心，大于为半径画弧，两弧分别交于点G，H，连接，分别交，于点D，E，求DE的长； ②如图3，若点P是边的延长线上一点，连接交BC的延长线于点M，的平分线交边于点N，过点N作交于点H．求证：． 【答案】（1）；（2）①；②见解析 【解析】 【分析】（1）由含30度角的直角三角形的性质可求，由勾股定理可求的长； （2）①由轴对称的性质可得，由勾股定理可求解； ②连接，要证，则可证是等腰三角形，即，有平行线+等腰三角形，则必遇角平分线，所以可证平分，即可得证； 详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）①解∵点A关于直线的对称点， ∴， 由作图可知：是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴； ②证明：如图，连接，过N作于点G，作交延长线于点K，作于点L， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即平分， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，尺规作图，轴对称的性质，角平分线的性质与判定等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 23. 在中，，点为的中点、点在直线上（不与点重合），连接，线段绕点顺时针旋转，得到线段，过点作直线，过点作直线，垂足为点，直线交直线于点． （1）如图1，当点与点重合时，求的度数； （2）如图2，当点在线段上，且时，若，求线段的长； （3）当时，求的值． 【答案】（1）； （2） （3）当时，的值为或． 【解析】 【分析】（1）根据题意得到是等腰直角三角形，，由三线合一得到当点重合时，，则，根据题意得到，由平行线的性质即可求解； （2）根据勾股定理，结合题意得到，如图所示，过点作于点，过点作于点，得到，再证明，得到，，再证四边形是矩形，得到，即可求解； （3）根据题意，分类讨论：当点在点上方时；当点在点下方，且在上时；当点在点下方，且在延长线上时，根据平行四边形的判定和性质、数形结合分析即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴是等腰直角三角形，， ∵点是斜边中点， ∴当点重合时，， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，，则， ∴， 如图所示，过点作于点，过点作于点， ∴， ∴， 在中，，即， 解得，（负值舍去）， ∵线段绕点顺时针旋转， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴； 【小问3详解】 解：①当点在点上方时，如图所示，连接， ∵， ∴设， ∵， ∴， ∴， ∵线段绕点顺时针旋转，得到线段， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴等腰直角三角形， ∴， ∵点是等腰直角三角形斜边中点， ∴，且点在直线上， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，点到的高等于点到的高，设为， ∴， ∴， ∴； ②当点在点下方，且在上时，如图所示， 同理，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，点到的高等于点到的高，设为， ∴， ∴， ∴； ③当点在点下方，且在延长线上时，如图所示， 由上述证明得到，， ∴延长交于点，则， ∴， 过点作于点， ∴四边形是正方形， ∴， ∴，即，不符合题意，故此种情况舍去； 综上所述，当时，的值为或． 【点睛】本题主要考查等腰三角形判定和性质，平行线的判定和性质，矩形、正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质等知识的综合，掌握以上知识，数形结合分析，分类讨论思想结合是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$