精品解析：湖北省恩施土家族苗族自治州恩施市龙凤镇民族初级中学2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题

恩施市龙凤镇民族初级中学2025年春季学期期中考试 八年级数学试题卷 一、选择题（本大题共10小题，共30．0分） 1. 下列根式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数不含能开方的因数或因式；②被开方数不含分母，对各选项逐一分析即可． 【详解】解：A：，不是最简二次根式； B：，不是最简二次根式； C：，不是最简二次根式； D：是最简二次根式； 故选：D． 2. 适合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为（ ） ①a，b，c②a=6，∠A=45°；③∠A=32°，∠B=58°；④a=7，b=24，c=25⑤a=2，b=2，c=4． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】A 【解析】 【分析】计算出三角形的角利用定义判定或在知道边的情况下利用勾股定理的逆定理判定则可． 【详解】解：①，故△ABC不是直角三角形； ②a=6，∠A=45°不是成为直角三角形的必要条件，故△ABC不是直角三角形； ③∠A=32°，∠B=58°，∠C=180°－∠A－∠B=90°，故△ABC是直角三角形； ④72+242=252，故△ABC是直角三角形； ⑤22+22≠42，故△ABC不是直角三角形． 符合条件的有2个 故选A． 【点睛】本题考查了直角三角形的定义和勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断． 3. 化简的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方的逆用，二次根式的混合运算． 将化为，再化简即可． 【详解】解： ， 故选：C． 4. 能判断一个四边形是平行四边形的为（ ） A. 一组对边平行，另一组对边相等 B. 一组对边平行，一组对角相等 C. 一组对边平行，一组对角互补 D. 一组对边平行，两条对角线相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键； 根据平行四边形的判别方法逐一进行判断即可得；判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形． 【详解】A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故不符合题意； B.如图，四边形中，， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 故一组对边平行，一组对角相等能判定四边形是平行四边形 ，符合题意； C. 一组对边平行，一组对角互补，不能判定四边形是平行四边形，故不符合题意； D. 一组对边平行，两条对角线相等，不能判定四边形是平行四边形，故不符合题意； 故选B． 5. 如果，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：可知：， 所以， 解得， 故选：B． 6. 如图，把一块含角的三角板放入的网格中，三角板三个顶点均在格点上，直角顶点与数轴上表示的点重合，则数轴上点A所表示的数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了数轴上的点与实数一一对应和勾股定理，正确理解题意是解题的关键； 本题需要通过勾股定理求得，进而得到，然后即可求解； 【详解】解：如图： ， 由题意可知，，，， ∴， ∴， ∴数轴上点A所表示的数为， 故选：C； 7. 平行四边形的一边长为，那么这个平行四边形的两条对角线长可以是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】C 【解析】 【分析】设平行四边形的对角线分别为：，进而可确定，即可进行判断． 【详解】解：设平行四边形的对角线分别为： ∵平行四边形的对角线互相平分 ∴ A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，符合题意； D、，不符合题意； 故选：C 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、构成三角形的条件．明确对角线的一半与平行四边形的一边构成三角形是解题关键． 8. 若代数式 有意义，则实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式及二次根式有意义的条件；根据二次根式中被开方数非负、分母不为零即可确定实数x的取值范围； 【详解】解：由题意得：， ∴， 故选：C． 9. 问题：已知：如图，四边形是菱形，、是直线上两点，．求证：四边形是菱形．几名同学对这个问题，给出了如下几种解题思路，其中正确的是（ ） 甲：利用全等，证明四边形四条边相等，进而说明该四边形是菱形； 乙：连接，利用对角线互相垂直平分的四边形是菱形，判定四边形是菱形； 丙：该题目错误，根据已知条件不能够证明该四边形是菱形． A. 甲、乙对，丙错 B. 乙、丙对，甲错 C. 三个人都对 D. 甲、丙对，乙错 【答案】A 【解析】 【分析】由全等三角形的性质证出，则四边形是菱形，故甲对；再由菱形的性质得，，，则，得四边形是平行四边形，然后由，得平行四边形是菱形，故乙对，即可得出结论． 【详解】解：甲：四边形是菱形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 同理：，， ，， ， 四边形是菱形； 乙：连接交于，如图所示： 四边形是菱形， ，，， ， ， 即， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是菱形； 综上所述，甲对、乙对，丙错， 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的判定于性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握菱形的判定与性质，证明、是解题的关键，属于中考常考题目． 10. 如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC=60°，AB=BC，连接OE，下列结论：①∠CAD=30°；②S▱ABCD=AB•AC；③OB=AB；④OE=BC，成立的个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】由四边形ABCD是平行四边形，得到∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，根据AE平分∠BAD，得到∠BAE=∠EAD=60°推出△ABE是等边三角形，由于AB=BC，得到AE=BC，得到△ABC是直角三角形，于是得到∠CAD=30°，故①正确；由于AC⊥AB，得到S▱ABCD=AB•AC，故②正确，根据AB=BC，OB=BD，且BD＞BC，得到AB＜OB，故③错误；根据三角形的中位线定理得到OE=AB，于是得到OE=BC，故④正确． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE=∠EAD=60° ∴△ABE是等边三角形， ∴AE=AB=BE， ∵AB=BC， ∴AE=BC， ∴∠BAC=90°， ∴∠CAD=30°，故①正确； ∵AC⊥AB， ∴S▱ABCD=AB•AC，故②正确， ∵AB=BC，OB=BD，且BD＞BC， ∴AB＜OB，故③错误； ∵CE=BE，CO=OA， ∴OE=AB， ∴OE=BC，故④正确． 故选C． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质以及等边三角形的判定与性质．注意证得△ABE是等边三角形，OE是△ABC的中位线是关键． 二、填空题（本大题共5小题，共15．0分） 11. 若是整数，则正整数n的最小值为__________． 【答案】7 【解析】 【分析】根据题意可得是完全平方数，即可求解． 【详解】解∶∵，且是整数， ∴是整数，即是完全平方数， ∴， 即正整数n的最小值为7． 故答案为：7 【点睛】主要考查了算术平方根，解题的关键是分解成一个完全平方数和一个代数式的积的形式． 12. 已知，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用完全平方公式得出，进而得出的值． 此题主要考查了二次根式的化简求值以及完全平方公式的应用，正确应用完全平方公式是解题关键． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， 故答案为：． 13. 如图，在矩形中，小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作： ①分别以点A和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N； ②作直线交于点E，若，，对角线的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了作图-基本作图以及矩形的性质，勾股定理，垂直平分线的性质，熟练掌握相关的性质，是解题的关键．根据题意利用基本作图即可判断垂直平分，则，然后利用勾股定理先计算出，再计算出即可． 【详解】解：由作法得垂直平分， ∴， ∵， ∴， 在中，， 在中， ． 故答案为：． 14. 如图，在边长为6的正方形中，点为对角线上一动点，于于，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，证出四边形为矩形，由矩形的性质得出，当时，取得最小值，此时是等腰直角三角形，得出，即可得出结果．本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质以及垂线段最短问题；熟练掌握矩形的对角线相等是解决问题的关键． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵于E，于F， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 当时，取得最小值， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为： 15. 如图，中，，，，点、、分别是边、、的中点；点、、分别是边、、的中点；；以此类推，则第2025个三角形的周长是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，图形的变化规律，根据三角形的中位线性质可得后一个三角形的周长是前一个三角形周长的，据此得到第n个三角形的周长为，把代入计算即可求解． 【详解】解：由题可得的周长为， ∵点、、分别是边、、的中点， ∴、、是的三条中位线， ∴的周长是， 同理，的周长是， ⋯， 以此类推，的周长是， ∴第2025个三角形的周长是， 故答案为：． 三、解答题（本大题共75分） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算和零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． （1）根据完全平方公式和去括号法则进行化简，再根据二次根式的混合运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式的性质，负整数指数幂，绝对值的定义和零指数幂的运算法则进行化简，再进行加减计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 如图连接四边形的对角线，已知，，，，． （1）求证：是直角三角形； （2）求四边形面积. 【答案】（1） 证明：，，， ， ，， ， 是直角三角形，； （2） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求得，再利用勾股定理的逆定理证明即可； （2）利用四边形的面积是两个三角形的面积之和求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知，，，， ． 【点睛】本题考查勾股定理和勾股定理逆定理的运用，解题的关键是根据勾股定理求得，进而利用勾股定理的逆定理解答． 18. 如图，在中，对角线，相交于点，分别过点，作，，垂足分别为，，平分． （1）当时，求的大小； （2）求证：． 【答案】（1） （2） 证明: ∵四边形是平行四边形, ∴,, ∴， ∵, ∴, 在和中, ， ∴, ∴. 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识. （1）利用三角形内角和定理求出，利用角平分线的定义求出，再利用平行线的性质解决问题即可. （2）运用可证, 可得. 【小问1详解】 解：∵, ∴, ∵, ∴, ∵平分, ∴, ∵四边形是平行四边形， ∴, ∴； 【小问2详解】 略 19. 如图1，在每个边长为的小正方形的网格中，点、、均在格点上．仅用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． （1）画出以为边的菱形； （2）直接写出点到的距离 ； （3）在上画点，使； （4）如图，点为与格线交点，取中点，连，在上画点，使． 【答案】（1） 如图1中，四边形即为所求； （2）4 （3）如图1中，即为所求； （4） 如图2中，点，点即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了网格中的无刻度直尺作图，结合菱形的判定与性质、直角三角形斜边上中线的性质，熟练掌握知识点作图是解题的关键． （1）根据菱形的定义画出图形； （2）利用菱形的高的性质解决问题； （3）取格点，构造等腰直角，交一点，即为所求； （4）取的中点，连接，利用平行线的判定定理在上取一点，使得．作线段即可，这里利用直角三角形斜边中线的性质证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 点到的距离是菱形的高， 故答案为：； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 略 20. 武汉光谷中央生态大走廊大草坪上，不仅有空轨旅游专线，而且视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所．某校801班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明站在原地想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ （3）小亮想一边收线，一边后退，也使风筝沿方向下降12米，且让收线的长度和后退的距离相等．试问小亮的想法能否实现，如果能实现，请求出收线的长度；如果不能实现，请说明理由． 【答案】（1）21.6米 （2）8米 （3）4.2米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理求出的长即可得出结果； （2）设他应该往回收线米，根据勾股定理得出方程求解即可； （3）设收线的长度为米，根据勾股定理得出方程求解即可． 【小问1详解】 解：在中，由勾股定理得， （米）， （米）； 风筝的垂直高度为21.6米． 【小问2详解】 解：设他应该往回收线米， 根据勾股定理得，， 解得， 答：他应该往回收线8米． 【小问3详解】 解：设收线的长度为米，如图， 则米，（米，米， 根据勾股定理得，， 解得， 答：收线的长度为4.2米． 21. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF． （1）求证：四边形OEFG是矩形； （2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的长． 【答案】 (1)证明:∵四边形ABCD为菱形， ∴点O为BD的中点， ∵点E为AD中点， ∴OE为△ABD的中位线， ∴OE∥FG， ∵OG∥EF，∴四边形OEFG为平行四边形 ∵EF⊥AB，∴平行四边形OEFG为矩形． (2)OE=5，BG=2. 【解析】 【分析】(1)先证明EO是△DAB的中位线，再结合已知条件OG∥EF，得到四边形OEFG是平行四边形，再由条件EF⊥AB，得到四边形OEFG是矩形； (2)先求出AE=5，由勾股定理进而得到AF=3，再由中位线定理得到OE=AB=AD=5，得到FG=5，最后BG=AB-AF-FG=2． 【详解】解：(1)略 (2)∵点E为AD的中点，AD=10， ∴AE= ∵∠EFA=90°，EF=4， ∴在Rt△AEF中，． ∵四边形ABCD为菱形， ∴AB=AD=10， ∴OE=AB=5， ∵四边形OEFG为矩形， ∴FG=OE=5， ∴BG=AB-AF-FG=10-3-5=2． 故答案为：OE=5，BG=2． 【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，菱形的性质、勾股定理等知识点，解题的关键是掌握特殊四边形的性质和判定属于中考常考题型，需要重点掌握． 22. 综合与实践 （1）如图1，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为___________千米（直接填空）； （2）在（1）的条件下，要在上建造一个供应站，使得，求的距离； （3）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式（）的最小值为___________． 【答案】（1）；（2）千米；（3）20 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． （1）连接，过点作于点，由题意根据勾股定理求出的长即可； （2）在 中，，在 中，得出方程求解即可； （3）先作出点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点，则的长就是代数式的最小值，再结合勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：如图，连接，过点作于点， ，， 四边形是矩形， 千米，千米， 千米， 千米， 两个村庄的距离为千米， 故答案为：； （2）解：由题意可知，点在的垂直平分线上，如图，连接，作的垂直平分线交于点，则点即为所求， 设千米，则千米， 在中，根据勾股定理可得： ， 在中，根据勾股定理可得： ， ， ， 解得：，即：千米； （3）解：如图，， 先作出点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点， 设， 则就是代数式的最小值， 代数式的几何意义是线段上一点到点、的距离之和，而它的最小值就是点的对称点和点的连线，与线段的交点就是它取最小值时的点， 由轴对称的性质可得：， ，，， 四边形是矩形， ，， 从而构造出了以为一条直角边，和的和为另一条直角边的直角三角形，斜边就是代数式的最小值， 代数式的最小值为： ． 故答案为:20 23. 背景知识：宽与长的比等于（约为0.618）的矩形称为黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界上很多著名建筑，为了取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如希腊帕特农神庙等． （1）如图，经测量，帕特农神庙的面宽约为31米，那么它的高度大约是______米．（结果取整数） 实验操作：折一个黄金矩形 第一步，在矩形纸片的一端利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步：如图2，将正方形折成两个相等的矩形，再将其展平； 第三步：折出内侧矩形的对角线，并将折到图3所示的处； 第四步，展平纸片，按照所得的点折出，矩形就是黄金矩形（如图4）． 问题思考： （2）图4中是否还存在其它黄金矩形，请判断并说明理由； （3）以图3中的折痕为边，构造黄金矩形，若，则这个矩形的面积是______（直接写出结果）． 【答案】（1）19； （2）存在，理由如下： 设，则：， 由折叠可知 ， ∵矩形就是黄金矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形为黄金矩形； （3）或 【解析】 【分析】本题考查黄金分割，掌握黄金矩形的定义，是解题的关键： （1）直接根据黄金矩形的定义，列式计算即可； （2）设，根据题意，易得：，根据黄金分割求出，进而求出，求出的值，即可得出结论； （3）分为黄金矩形的长和黄金矩形的宽，两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】解：（1）由题意，得：帕特农神庙的高度与面宽的比约为， ∴帕特农神庙的高度； 故答案为：19； （2）略 （3）∵，则：， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∵矩形纸片， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当为黄金矩形的长时，则宽为， 则矩形的面积为：； 当为黄金矩形的宽时，则长为， 则矩形的面积为：； 综上：矩形的面积为或． 24. 在平面直角坐标系中，矩形的顶点O、A、C的坐标分别为，，，且x、y满足． （1）矩形的顶点B的坐标是______； （2）若D是中点，沿折叠矩形，使A点落在点E处，折痕为，连接并延长交y轴于Q点．求证：四边形是平行四边形； （3）若点M在y轴上，则在坐标平面内，是否存在这样的点N，使得A、C、N、M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） 证明： ∵是中点， ∴， 由折叠可得， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （3） 【解析】 【分析】本题是四边形的综合题，坐标与图形，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键． （1）由题意可求得，的值，再将其代入A，B的坐标即可求得； （2）由折叠的性质可得， ，由三角形外角性质可得，可得，即可证明四边形是平行四边形； （3）分别以，为圆心，长为半径画圆和的线段垂直平分线与轴交点得出点的可能性，进而得出点N的坐标． 【小问1详解】 解：由题意可得： ， 解得：， ∴， ∴点， 点， ∴点， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵、、、为顶点的四边形是菱形，分别以，为圆心，长为半径画圆和的线段垂直平分线与轴交点得出点，如图所示： ， ， ， 此时 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 恩施市龙凤镇民族初级中学2025年春季学期期中考试 八年级数学试题卷 一、选择题（本大题共10小题，共30．0分） 1. 下列根式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 适合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为（ ） ①a，b，c②a=6，∠A=45°；③∠A=32°，∠B=58°；④a=7，b=24，c=25⑤a=2，b=2，c=4． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 3. 化简的结果为（ ） A. B. C. D. 4. 能判断一个四边形是平行四边形的为（ ） A. 一组对边平行，另一组对边相等 B. 一组对边平行，一组对角相等 C. 一组对边平行，一组对角互补 D. 一组对边平行，两条对角线相等 5. 如果，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，把一块含角的三角板放入的网格中，三角板三个顶点均在格点上，直角顶点与数轴上表示的点重合，则数轴上点A所表示的数为（　　） A. B. C. D. 7. 平行四边形的一边长为，那么这个平行四边形的两条对角线长可以是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 8. 若代数式 有意义，则实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 9. 问题：已知：如图，四边形是菱形，、是直线上两点，．求证：四边形是菱形．几名同学对这个问题，给出了如下几种解题思路，其中正确的是（ ） 甲：利用全等，证明四边形四条边相等，进而说明该四边形是菱形； 乙：连接，利用对角线互相垂直平分的四边形是菱形，判定四边形是菱形； 丙：该题目错误，根据已知条件不能够证明该四边形是菱形． A. 甲、乙对，丙错 B. 乙、丙对，甲错 C. 三个人都对 D. 甲、丙对，乙错 10. 如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC=60°，AB=BC，连接OE，下列结论：①∠CAD=30°；②S▱ABCD=AB•AC；③OB=AB；④OE=BC，成立的个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共5小题，共15．0分） 11. 若是整数，则正整数n的最小值为__________． 12. 已知，那么______． 13. 如图，在矩形中，小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作： ①分别以点A和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N； ②作直线交于点E，若，，对角线的长为______． 14. 如图，在边长为6的正方形中，点为对角线上一动点，于于，则的最小值为________． 15. 如图，中，，，，点、、分别是边、、的中点；点、、分别是边、、的中点；；以此类推，则第2025个三角形的周长是_______． 三、解答题（本大题共75分） 16. 计算： （1） （2） 17. 如图连接四边形的对角线，已知，，，，． （1）求证：是直角三角形； （2）求四边形面积. 18. 如图，在中，对角线，相交于点，分别过点，作，，垂足分别为，，平分． （1）当时，求的大小； （2）求证：． 19. 如图1，在每个边长为的小正方形的网格中，点、、均在格点上．仅用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． （1）画出以为边的菱形； （2）直接写出点到的距离 ； （3）在上画点，使； （4）如图，点为与格线交点，取中点，连，在上画点，使． 20. 武汉光谷中央生态大走廊大草坪上，不仅有空轨旅游专线，而且视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所．某校801班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明站在原地想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ （3）小亮想一边收线，一边后退，也使风筝沿方向下降12米，且让收线的长度和后退的距离相等．试问小亮的想法能否实现，如果能实现，请求出收线的长度；如果不能实现，请说明理由． 21. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF． （1）求证：四边形OEFG是矩形； （2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的长． 22. 综合与实践 （1）如图1，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为___________千米（直接填空）； （2）在（1）的条件下，要在上建造一个供应站，使得，求的距离； （3）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式（）的最小值为___________． 23. 背景知识：宽与长的比等于（约为0.618）的矩形称为黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界上很多著名建筑，为了取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如希腊帕特农神庙等． （1）如图，经测量，帕特农神庙的面宽约为31米，那么它的高度大约是______米．（结果取整数） 实验操作：折一个黄金矩形 第一步，在矩形纸片的一端利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步：如图2，将正方形折成两个相等的矩形，再将其展平； 第三步：折出内侧矩形的对角线，并将折到图3所示的处； 第四步，展平纸片，按照所得的点折出，矩形就是黄金矩形（如图4）． 问题思考： （2）图4中是否还存在其它黄金矩形，请判断并说明理由； （3）以图3中的折痕为边，构造黄金矩形，若，则这个矩形的面积是______（直接写出结果）． 24. 在平面直角坐标系中，矩形的顶点O、A、C的坐标分别为，，，且x、y满足． （1）矩形的顶点B的坐标是______； （2）若D是中点，沿折叠矩形，使A点落在点E处，折痕为，连接并延长交y轴于Q点．求证：四边形是平行四边形； （3）若点M在y轴上，则在坐标平面内，是否存在这样的点N，使得A、C、N、M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $