12.3 一次函数与二元一次方程 第1课时 课件 2025--2026学年沪科版八年级数学上册

第12章 函数与一次函数 12.3 一次函数与二元一次方程 第1课时 一次函数与二元一次方程 沪科版 八年级上册 学习目标 学习重难点 重点 难点 1.理解一次函数与二元一次方程组的关系. 2.能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解. 理解一次函数与二元一次方程组的关系. 能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解. 新课导入 (1)什么叫二元一次方程的解？ (2)一次函数的图象是什么？ (3)如图，求一次函数的解析式． 解：(1)使二元一次方程左右两边相等的未知数的值，叫二元一次方程的解； (3)把点(0，2)，(3，0)代入y＝kx＋b，得 (2)一次函数y＝kx＋b(k≠0)图象是一条直线； 创设情境 方程x＋y＝5的解有多少个？写出其中的几个解来． 解：无数个 …… 想一想 二元一次方程 3x+2y=6 可以转化成一次函数的形式. 画出 的图象. x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … … 7.5 6 4.5 3 1.5 0 -1.5 … 解：1.列表 2.描点 3.连线 y 8 7 6 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 x -3 -2 -1 1 2 3 O 新知引入 知识点1 一次函数与二元一次方程 一般地，一个二元一次方程可以转化成一次函数 y=kx+b （k，b为常数，且k≠0）的形式，所以，每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线. 一次函数与二元一次方程组的联系 二元一次方程组的两个方程可以转化为两个一次函数．求解二元一次方程组实质就是求这两个一次函数图象交点坐标． 范例 方程4x－b＝5的解为x＝2，则直线y＝4x－b的图象一定经过点 (　 　) A 仿例 下列图象中，以方程－2x＋y－2＝0的解为坐标的点组成的图象是 (　 　) B A．(2，5) B．(0，3) C．(0，4) D．(－3，0) 1.在平面直角坐标系中画出下列二元一次方程所对应的直线. （1）x-y=0 （2）x+y=0 y 3 2 1 -1 -2 -3 x -3 -2 -1 1 2 3 O y 3 2 1 -1 -2 -3 x -3 -2 -1 1 2 3 O 练习 2.点P为直线3x＋y＝10上的任意点，满足横、纵坐标均为正整数的P点有(　 　) A．1个 B．3个 C．4个 D．无数个 B 3.下面的有序数对，哪些是二元一次方程3x+y=6的解？ A（2，0），B（3，-3），C（5，-9）， D（6，-10），E（-2，10），F（-3，15）. √ √ √ √ 例1 （1）在平面直角坐标系中画直线 l1： 与直线 l2：y=2x+6 的图象； （2）如果直线 l1与 l2相交于点P，写出点P的坐标P（____，____）； x -6 -4 -2 2 4 6 y 6 4 2 -2 -4 -6 O • l2：y=2x+6 p -2 2 x -6 -4 -2 2 4 6 y 6 4 2 -2 -4 -6 O • l2：y=2x+6 p （3）检验点P的坐标是不是下面方程组的解？ x+2y=2 2x-y=-6 解：方程x+2y=2可以转化成 的形式，因此，直线l1： 上任意一点的坐标都是方程x+2y=2的解； 同理，直线 l2上任意一点的坐标都是方程 2x-y=-6的解，所以直线 l1与 l2的交点P是方程组的解. 新知引入 知识点2 二元一次方程组的图象解法 用图象法解二元一次方程组步骤 (1)把二元一次方程化成一次函数的形式； (2)在直角坐标系中画出两个一次函数的图象，并标出交点； (3)交点坐标就是方程组的解； (4)检验其交点是否是方程组的解． 例2 利用函数图象解方程组： 5x-2y=4 ① 10x-4y=8 ② 解：对于方程①，有 x 0 2 y -2 3 过点A （0，-2）和B（2，3）画出方程①所对应的直线l： . 同样的，点A （0，-2）和B（2，3）也在方程②所对应的直线上. 所以方程①②所对应的直线都是通过A（0， -2）和B（2， 3）两点的直线l，所以原方程组有无穷多组解. x -4 -2 2 4 y 4 2 -2 -4 O • A • B 利用函数图象解方程组： 3x+2y=-2 6x+4y=4 解：方程3x+2y=-2对应直线l1： . 作出l1和l2的图象，如图所示，两条直线平行，故方程组无解. 例3 方程6x+4y=4对应直线l2： . x -6 -4 -2 2 4 6 y 6 4 2 -2 -4 -6 O 用作图象的方法解方程组 解：由x＋y＝3，得y＝3－x， 所以方程组的解是 范例 由3x－y＝5，得y＝3x－5. 在同一坐标系内作出函数y＝3－x 的图象l1和y＝3x－5的图象l2， 观察图象，得l1、l2的交点为M(2，1)． x -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 y 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 O • • • l1 l2 M（2,1） 思考 上述例题直观地说明二元一次方程组的解有三种情况.当把其中的各个二元一次方程组化为标准形式： a1x+b1y=c1 a2x+b2y=c2 比较一下每例中两个方程中x的系数之比、y的系数之比以及常数项之比，从中你发现怎样的规律？ （1）当 时，方程组有一组解； a1 a2 ≠ b1 b2 c1 c2 = 发现 （2）当 时，方程组有无穷多组解； a1 a2 b1 b2 = （3）当 时，方程组无解. a1 a2 b1 b2 = ≠ c1 c2 既不解方程组也不画图，你能判断下列方程组的解的情况吗？ 3x+5y=8 2x-3y=7 （1） （2） y=2x-3 4x-2y=6 （3） 3x-4y=5 6x-8y=12 （4） 2x+3y=5 y=x 一组解 无穷组解 无解 一组解 练习 知识归纳 一般地，任何一个二元一次方程都可转化为一次函数的形式，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线. 只有一组解（两直线只有一个交点） 有无穷多组解（两直线直线重合） 无解（两直线平行） 归纳小结 二元一次方程的解与一次函数图象的关系 二元一次方程与一次函数 二元一次方程组与对应两条相交直线的关系 二元一次方程组与对应两条平行线的关系 知识点 一次函数与二元一次方程 1.［知识初练］二元一次方程 的解有______组，以 该方程的解为坐标的点都在函数_____________的图象上；直 线 上的点的坐标都是二元一次方程__________的解. 无数 随堂练习 22 2.［2024·芜湖月考］以方程 的解为坐标的点组 成下列哪个函数的图象？( ) D A. B. C. D. 23 3. 如图，已知直线，则关于 的方程 的解为( ) A A. B. C. D. 24 4.以二元一次方程 的解为坐标的点组成的图象 画在坐标系中可能是( ) C A. B. C. D. 25 5. 若点在函数 的图象上，则代数 式 的值为___. 3 26 6.若二元一次方程的一组解是则点 一定不在( ) C A.第一、三象限 B.第二、四象限 C.第二象限 D.坐标轴上 27 7.若以关于，的二元一次方程 的解为坐标 的点都在直线上，则常数 的值为 ( ) D A. B.1 C. D.2 28 8.直线，为常数，且过点 ，则关 于，的二元一次方程 必有一组解为 _ _______. 29 9.已知二元一次方程 化为一次函数的形 式后，经过画图发现，其图象与轴交点的横坐标为 . (1)求的值，并将二元一次方程化为一次函数的形式 用表示 ； 解：由题意可知，一次函数的图象经过点 ， 将, 代入二元一次方程，得 ,解得 ,故将二元一次方程化为 一次函数的形式为 . 30 (2)直接写出这个一次函数的图象不经过的象限； 这个一次函数的图象不经过第四象限. (3)求这个一次函数的图象与 轴的交点坐标. 当时，，故这个一次函数的图象与 轴的交点坐 标为 . 31 $$