精品解析：上海市闵行区莘光学校2024-2025学年七年级下学期期中数学考试卷

2024学年第二学期期中质量监测七年级数学试卷 （90分钟完成，满分100分） 一、选择题（本大题共6题，每题2分，共12分） 1. 已知命题“若a ＞b，则ac ＞bc”，下列判断正确的是（ ） A. 该命题及其逆命题都是真命题 B. 该命题是真命题，其逆命题是假命题 C. 该命题是假命题，其逆命题是真命题 D. 该命题及其逆命题都是假命题 2. 下列说法错误的是（ ） A. 不等式的解集为 B. 不等式的整数解有无数个 C. 是不等式的一个解 D. 不等式解一定是不等式的解 3. 已知关于的方程的解是正数，那么的取值范围为（ ） A. B. C 或 D. 或 4. 长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边长为（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. 健康骑行越来越受到大众的喜欢，某自行车的示意图如图所示，其中，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，点、分别是边、上的点，且，，如果，那么（　　）． A. B. C. D. 二、填空题（本大题共12题，每题2分，共24分） 7. 的与的差不小于2，用不等式表示为______． 8. 已知是关于的一元一次不等式，则的值为_________． 9. 如果分式的值是非负数，那么的取值范围是_____． 10. 已知关于的不等式组恰好有三个整数解，则的取值范围是______． 11. 程序框图的算法思路源自于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，根据如图的程序进行计算，规定从“输入一个值”到“结果是否”为一次程序操作，已知某同学输入后经过了两次操作停止，则的取值范围为________． 12. 用反证法证明“三角形的三个内角中至多有一个钝角”时，应假设________________． 13. 如图，中，是的角平分线，，交于点E，，，则的度数为 _________． 14. 如图，点B、C、D在同一直线上，若，则_______． 15. 将直角三角板如图所示放置，，，，直线，平分，在直线上确定一点D，满足，则______． 16. 西气东输工程是我国迄今为止距离最长、口径最大的管道运输工程之一，肩负着将西部天然气输送到东部的重要任务．某工程队在管道铺设到某段落的B点时，施工人员遇到了一处无法穿越的地质障碍，不得不调整铺设路线．新的铺设路线在B的南偏东方向上，且，若要回到最初的铺设方向上，必须保证________°． 17. 如图，在中，是边上的高，且，平分，交于点，过点作，分别交、于点、，以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有________（填序号）． 18. 如图，在中，，，点D为边中点，点E为射线上一动点，将沿折叠，点A落在点处，当与平行时，的度数为___________． 三、简答题（本大题共4题，第19、20、21题，每小题6分，第22题8分，共26分） 19. 解下列不等式： ，并求出满足不等式的非负整数解． 20. 解不等式组并将它的解集表示在数轴上，同时求出不等式组所有整数解的和． 21. 如图，按要求画图并回答问题： （1）过点A画点A到直线BC的垂线段，垂足为D； （2）过点D画线段，交AC的延长线于点E； （3）同位角是_______，内错角是_______； （4）在线段，，中，最短是________，理由为________． 22. 如图，已知，射线交于点F，交于点D，从D点引一条射线，若． 求证： 证明：∵（已知），且（ ）， ∴______（等量代换），∴______（____________）， ∴______（____________）， 又∵（已知）， ∴______（____________）， ∴． 四、解答题（本大题共3题，其中23题7分，24题8分，25题7分，共22分） 23. 如图，在三角形中，，是上的点，是上一点，，是上的点，．连接，，．有下列三个条件：①；②；③． （1）请从三个条件中任选两个与题干结合作为题设，另一个作为结论．写出所有命题，并判断这些命题是真命题还是假命题； （2）请你选择（1）中的一个真命题进行证明． 24. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E． （1）求∠CBE的度数； （2）过点D作DFBE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数． （3）若把直线FD绕点F旋转，直线DF和直线BE相交于点M，当DF和三角形ABC的一边平行时，请直接写出∠FME的度数． 25. 根据以下学习素材，完成下列两个任务： 学习素材 素材一 某校组织学生去农场进行学农实践，体验草莓采摘、包装和销售．同学们了解到该农场在包装草莓时，通常会采用精包装和简包装两种包装方式． 素材二 精包装 简包装 每盒2斤，每盒售价25元 每盒3斤，每盒售价35元 问题解决 任务一 在活动中，学生共卖出了700斤草莓，销售总收入为8500元，请问精包装和简包装各销售了多少盒？ 任务二 现在需要对75斤草莓进行分装，既有精包装也有简包装，且恰好将这75斤草莓整盒分装完．每个精包装盒的成本为1元，每个简包装盒的成本为0.5元．若要将购买包装盒的成本控制在18元以内，请你设计出一种符合要求的分装方案，并说明理由． 五、综合题（本大题共2题，其中26题8分，27题8分，共16分） 26. 问题提出：射到平面镜上的光线（入射光线）和变向后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，是平面镜，若入射光线与水平镜面夹角为，反射光线与水平镜面夹角为，则． （1）若，则直接写出的大小． （2）数学探究：如图2，有两块平面镜，，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线． 完成如下问题： ①若，直接写出度数． ②求证：． 拓展运用：有两块平面镜，，入射光线经过两次反射，得到反射光线，光线与相交于点，如图3，图4．若，．直接写出，满足的数量关系． 27. 中，，点分别是边的点，点是直线上一动点，连接，设． （1）如图1，若点在线段上，且，则___________； （2）当点在线段上运动时，依题意补全图2，用等式表示与的数量关系（用含的式子表示），并证明； （3）当点在线段的延长线上运动时，请直接用等式表示与的数量关系（用含α的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第二学期期中质量监测七年级数学试卷 （90分钟完成，满分100分） 一、选择题（本大题共6题，每题2分，共12分） 1. 已知命题“若a ＞b，则ac ＞bc”，下列判断正确的是（ ） A. 该命题及其逆命题都真命题 B. 该命题是真命题，其逆命题是假命题 C. 该命题假命题，其逆命题是真命题 D. 该命题及其逆命题都是假命题 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质，判断该命题及其逆命题真假，即可求解． 【详解】解：若a ＞b，当 时， ， ∴原命题是假命题， 逆命题为若ac ＞bc，则a ＞b， 若ac ＞bc，当时， ， ∴该命题的逆命题是假命题，故A、B、C错误，D正确 ． 故选：D 【点睛】本题主要考查了不等式的性质，判断命题的真假，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 2. 下列说法错误的是（ ） A. 不等式的解集为 B. 不等式的整数解有无数个 C. 是不等式的一个解 D. 不等式的解一定是不等式的解 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查不等式的解和解集，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 根据不等式性质3计算判定A；根据不等式整解判定B；求出不等式的解集即可判定C；根据不等式解意义好戏可判定D． 【详解】解：A、∵，∴，正确，故此选项不符合题意； B、不等式的整数解有无数个，正确，故此选项不符合题意； C、∵，∴，又，所以是不等式的一个解说法错误，故此选项符合题意； D、不等式的解一定是不等式的解，正确，故此选项不符合题意； 故选：C． 3. 已知关于的方程的解是正数，那么的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查的是解分式方程和一元一次不等式的应用，求得方程的解，从而得到关于m的不等式是解题的关键．先求得分式方程的解（含m的式子），然后根据解是正数可知，从而可求得，然后根据分式的分母不为0，可知，即，由此即可求解． 【详解】解：将分式方程转化为整式方程得：， 解得：． ∵方程的解为正数， ∴， 解得：． ∵分式的分母不能为0， ∴， ∴，即． ∴． 故且． 故选：C． 4. 长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边长为（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角形的三边关系列举出所围成三角形的不同情况，通过比较得到结论. 【详解】①长度分别为5、3、4，能构成三角形，且最长边为5； ②长度分别为2、6、4，不能构成三角形； ③长度分别为2、7、3，不能构成三角形； ④长度分别为6、3、3，不能构成三角形； 综上所述，得到三角形的最长边长为5． 故选：B. 【点睛】此题考查构成三角形的条件，三角形的三边关系，解题中运用不同情形进行讨论的方法，注意避免遗漏构成的情况. 5. 健康骑行越来越受到大众的喜欢，某自行车的示意图如图所示，其中，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． 根据和、的度数分别求出和的度数，然后根据求出，进而求出，即可． 【详解】， ，， ， ，， ， ， ， ． 故选：C． 6. 如图，在中，点、分别是边、上的点，且，，如果，那么（　　）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的中线的性质，二元一次方程组的解法，结合三角形的中线与面积，再建立方程组解题即可. 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴设，， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， 解得：， ∴； 故选B 二、填空题（本大题共12题，每题2分，共24分） 7. 的与的差不小于2，用不等式表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用不等式号列不等式，准确理解不小于的意义是解题的关键． 【详解】解：的与的差表示为，不小于2，即大于等于2， 故答案为：． 8. 已知是关于的一元一次不等式，则的值为_________． 【答案】2 【解析】 【分析】利用一元一次不等式的定义判断即可确定出m的值． 【详解】解：∵不等式（m+2）x|m|-1+3＞0是关于x的一元一次不等式， ∴|m|-1=1，且m+2≠0， 解得：m=-2（舍去）或m=2， 则m的值为2， 故答案为2. 【点睛】本题考查一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解题的关键． 9. 如果分式的值是非负数，那么的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的值，解一元一次不等式，熟练掌握分式的定义和解一元一次不等式是解题的关键．利用分式的值是非负数，得，求解即可． 【详解】解：∵分式的值是非负数， ∴， 解得：， 故答案为：． 10. 已知关于的不等式组恰好有三个整数解，则的取值范围是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，利用不等式的解得出关于a的不等式是解题关键．根据解不等式组，可得不等式组的解，根据不等式组的解是整数，可得答案． 【详解】解：解不等式组，得 ， ∵ 关于 x 的不等式组仅有三个整数解，即 0 ，，， ∴． 故答案为：． 11. 程序框图的算法思路源自于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，根据如图的程序进行计算，规定从“输入一个值”到“结果是否”为一次程序操作，已知某同学输入后经过了两次操作停止，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，理解运行程序并列出不等式组是解题的关键．根据运行程序，第一次运算结果小于或等于37，第二次运算结果大于37列出不等式组，然后求解即可． 【详解】解：由题意得，， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ， 故答案为． 12. 用反证法证明“三角形的三个内角中至多有一个钝角”时，应假设________________． 【答案】三角形的三个内角中至少有两个钝角 【解析】 【分析】根据“至多有一个”的反面“至少有两个”假设即可； 【详解】解：由题意应假设：三角形的三个内角中至少有两个钝角， 故答案为：三角形的三个内角中至少有两个钝角； 【点睛】本题考查了反证法：假设命题结论的反面成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立；确定结论的反面是解题关键． 13. 如图，中，是的角平分线，，交于点E，，，则的度数为 _________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角性质、平行线的性质以及角平分线的定义，利用三角形的外角性质、角平分线的定义及平行线的性质，求出的度数是解题的关键． 由是的外角，利用三角形的外角性质可求出的度数，结合角平分线的定义，可求出的度数，再由，利用“两直线平行，同旁内角互补”，即可求出的度数． 【详解】解：∵是的外角， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 14. 如图，点B、C、D在同一直线上，若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，线段的和差，根据全等三角形的性质得到，，再根据线段的和差即可求解，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 将直角三角板如图所示放置，，，，直线，平分，在直线上确定一点D，满足，则______． 【答案】15°或105°##105°或15° 【解析】 【分析】当点D在C、E之间时，则，结合平行线，得到，代入计算；当点D在C的左侧时，则，代入计算． 【详解】当点D在C、E之间时，则， 因为，平分，， 所以， 所以； 当点D在C的左侧时，则， 所以， 故答案为：15°或105°． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质，三角形外角性质，角的平分线是解题的关键． 16. 西气东输工程是我国迄今为止距离最长、口径最大的管道运输工程之一，肩负着将西部天然气输送到东部的重要任务．某工程队在管道铺设到某段落的B点时，施工人员遇到了一处无法穿越的地质障碍，不得不调整铺设路线．新的铺设路线在B的南偏东方向上，且，若要回到最初的铺设方向上，必须保证________°． 【答案】110 【解析】 【分析】本题主要考查了方向角的概念、平行线的性质等知识点，熟练掌握方向角的概念是解题的关键． 如图：过点O作交延长线于F，过点C作交延长线于H，依题意得，则，由此得，进而得，据此可得的度数． 【详解】解：如图所示：过点O作交延长线于F，过点C作交延长线于H， 依题意得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：110． 17. 如图，在中，是边上的高，且，平分，交于点，过点作，分别交、于点、，以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有________（填序号）． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】证明即可判断①正确；无法判断，即可判断②错误；利用三角形的外角的性质，角的和差定义即可判断③正确，证明即可判断④正确． 【详解】解：， ， ， ， ， ； 故①正确， 平分， ， ，， ， 故③正确， ， ， ， ， ，， ， 故④正确， 无法判断，故②错误； 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质，三角形的外角性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 18. 如图，在中，，，点D为边中点，点E为射线上一动点，将沿折叠，点A落在点处，当与平行时，的度数为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查折叠的性质，以及三角形内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．根据平行的性质得到，再根据折叠的性质即可得到答案． 【详解】解：设与交于点， 在中，，， ， ， ， 将沿折叠，点A落在点处， ， ， ， ； 在中，，， ， ， ， 将沿折叠，点A落在点处， ， ． 故答案为：或． 三、简答题（本大题共4题，第19、20、21题，每小题6分，第22题8分，共26分） 19. 解下列不等式： ，并求出满足不等式的非负整数解． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据解一元一次不等式的方法求解即可，解题的关键是掌握一元一次不等式的求解方法． 【详解】解： ， ∴不等式的非负整数解为． 20. 解不等式组并将它的解集表示在数轴上，同时求出不等式组所有整数解的和． 【答案】，画图见解析，整数解的和为． 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解．解题的关键在于正确的运算．分别求解不等式的解集，进而可得不等式组的解集，然后求整数解即可． 【详解】解： 解不等式①得，, ∴， 解不等式②得，， ∴， 不等式组的解集在数轴上表示如下： ∴不等式组解集为， ∴不等式组的整数解为，0，1，． ∴不等式组所有整数解的和为． 21. 如图，按要求画图并回答问题： （1）过点A画点A到直线BC的垂线段，垂足为D； （2）过点D画线段，交AC延长线于点E； （3）的同位角是_______，内错角是_______； （4）在线段，，中，最短的是________，理由为________． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）， （4），垂线段最短 【解析】 【分析】（1）根据题意画出点A到直线BC的垂线段； （2）根据题意过点D画线段，交AC的延长线于点E； （3）根据同位角、内错角的定义即可求解； （4）根据点到直线的距离为垂线段的长度，垂线段最短即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求， 【小问2详解】 解：如图所示，， 【小问3详解】 解：的同位角是，内错角是， 故答案为：，． 【小问4详解】 解：在线段，，中，最短的是，理由为垂线段最短， 故答案为：，垂线段最短． 【点睛】本题考查了画垂线，画平行线，同位角、内错角的定义，点到直线的距离，垂线段最短，掌握以上知识是解题的关键． 22. 如图，已知，射线交于点F，交于点D，从D点引一条射线，若． 求证： 证明：∵（已知），且（ ）， ∴______（等量代换），∴______（____________）， ∴______（____________）， 又∵（已知）， ∴______（____________）， ∴． 【答案】对顶角相等，，，同位角相等，两直线平行；，，两直线平行，内错角相等 【解析】 【分析】此题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．先证明，得到，证明，利用等量代换即可证明结论． 【详解】证明：∵（已知），且（对顶角相等）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴． 故答案为：对顶角相等，，，同位角相等，两直线平行；，，两直线平行，内错角相等 四、解答题（本大题共3题，其中23题7分，24题8分，25题7分，共22分） 23. 如图，在三角形中，，是上的点，是上一点，，是上的点，．连接，，．有下列三个条件：①；②；③． （1）请从三个条件中任选两个与题干结合作为题设，另一个作为结论．写出所有命题，并判断这些命题是真命题还是假命题； （2）请你选择（1）中的一个真命题进行证明． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质和判定，垂直的定义； （1）根据题意写出命题，并判断真假即可； （2）选择命题一：先根据垂直得到，即可得到，然后根据角的和差解题即可；选择命题二：延长、交于点，根据垂直可得，然后根据，得到，然后根据等量代换的到，即可得到，证明结论；选择命题三：延长、交于点，可以得到，即可得到，然后推导，即可得到平行． 【小问1详解】 命题一：已知， 若，，则；真命题． 命题二：已知， 若，，则；真命题． 命题三：已知， 若，，则；真命题． 【小问2详解】 选择命题一． 证明：，， ， ， ． 又， ， ， ． 选择命题二：延长、交于点， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 选择命题三：延长、交于点， ，， ， ， ∴， 又∵， ∴， ∴． 24. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E． （1）求∠CBE的度数； （2）过点D作DFBE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数． （3）若把直线FD绕点F旋转，直线DF和直线BE相交于点M，当DF和三角形ABC的一边平行时，请直接写出∠FME的度数． 【答案】（1）65° （2）25° （3）65°或115°． 【解析】 【分析】（1）根据三角形外角的性质得出∠CBD的度数，再根据角平分线定义即可求得∠CBE的度数； （2）先根据三角形外角的性质得出∠CEB的度数，再根据平行线的性质求出∠F的度数； （3）根据题意分别画出图形，再利用平行线的性质解决． 【小问1详解】 解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°， ∴∠CBD=∠ACB+∠A=130°， ∵BE是∠CBD的角平分线， ∴∠CBE=∠CBD=65°； 【小问2详解】 解：∵∠ACB＝90°，∠CBE=65°， ∴∠CEB=∠ACB-∠CBE=25°， ∵DFBE， ∴∠F=∠CEB=25°； 【小问3详解】 解：当FD与BC平行时，如图3-1所示， ∴∠FME=∠CBE=65°； 当FM与AB平行时，如图3-2所示， ∴∠FME=∠ABE=∠ABC+∠CBE=180°-∠ACB-∠A+∠CBE=115°； ∵F在AC上， ∴FM与AC平行不存在， 综上所述：∠FME=65°或115°． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、平行线的性质、角平分线的定义，正确画出符合题意的图形是解题的关键． 25. 根据以下学习素材，完成下列两个任务： 学习素材 素材一 某校组织学生去农场进行学农实践，体验草莓采摘、包装和销售．同学们了解到该农场在包装草莓时，通常会采用精包装和简包装两种包装方式． 素材二 精包装 简包装 每盒2斤，每盒售价25元 每盒3斤，每盒售价35元 问题解决 任务一 在活动中，学生共卖出了700斤草莓，销售总收入为8500元，请问精包装和简包装各销售了多少盒？ 任务二 现在需要对75斤草莓进行分装，既有精包装也有简包装，且恰好将这75斤草莓整盒分装完．每个精包装盒的成本为1元，每个简包装盒的成本为0.5元．若要将购买包装盒的成本控制在18元以内，请你设计出一种符合要求的分装方案，并说明理由． 【答案】任务一：精包装销售了200盒，简包装销售了100盒；任务二：精包装6个，简包装21个，见解析 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程组的实际应用， （1）设精包装销售了x盒，简包装销售了y盒，列二元一次方程组求解即可； （2）设分装时使用精包装m个，简包装n个（m，n为正整数）．依题意可列出下列方程和不等式解答 【详解】任务一： 解：设精包装销售了x盒，简包装销售了y盒． 解这个方程组，得 答：精包装销售了200盒，简包装销售了100盒． 任务二： 解：设分装时使用精包装m个，简包装n个（m，n为正整数）． 依题意可列出下列方程和不等式： ，① ．② 由①得．将代入②．得； 因为m，n为正整数，所以，或，． 分装方案1：精包装6个，简包装21个 分装方案2：精包装3个，简包装23个 五、综合题（本大题共2题，其中26题8分，27题8分，共16分） 26. 问题提出：射到平面镜上的光线（入射光线）和变向后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，是平面镜，若入射光线与水平镜面夹角为，反射光线与水平镜面夹角为，则． （1）若，则直接写出的大小． （2）数学探究：如图2，有两块平面镜，，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线． 完成如下问题： ①若，直接写出的度数． ②求证：． 拓展运用：有两块平面镜，，入射光线经过两次反射，得到反射光线，光线与相交于点，如图3，图4．若，．直接写出，满足的数量关系． 【答案】（1）； （2）①；②证明见解析；拓展运用：图3：；图4：． 【解析】 【分析】本题考查了角的等量代换，三角形的定义，平行线的判定等知识点，灵活运用角的等量代换是解题的关键． （1）利用，运算求解即可； （2）①：利用角的等量代换运算求解即可； ②：利用角的等量代换运算出和的度数后判定即可； 扩展运用：分类讨论图3和图4两种情况，利用角的等量代换寻找关系即可； 【小问1详解】 解：由题意可得：， ∵， ∴； 【小问2详解】 ①解：由题意可得：，， ∵， ∴， ∴， ∴； ②解：∵，， ∴， ∴； 扩展运用： 在图3中，解：由题意可得：，，， ∴，， ∵在中：， ∴， ∴， 又∵在中：， ∴， ∴， ∴； 在图4中，解：由题意可得：，， 在中，，即：， 在中，，即：， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 27. 中，，点分别是边的点，点是直线上一动点，连接，设． （1）如图1，若点在线段上，且，则___________； （2）当点在线段上运动时，依题意补全图2，用等式表示与的数量关系（用含的式子表示），并证明； （3）当点在线段的延长线上运动时，请直接用等式表示与的数量关系（用含α的式子表示）． 【答案】（1） （2），见解析 （3）或或． 【解析】 【分析】（1）连接，由三角形的外角性质即可得出结论； （2）根据题意画出图形，由三角形的外角性质即可得出结论； （3）分三种情况讨论，由三角形的外角性质即可得出结论． 【小问1详解】 解：；理由如下； 连接，如图1所示 ∵是的外角， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 补全图形如图2所示； ，证明如下： 连接PC，如图3所示： ∵是的外角， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴； ∴； 【小问3详解】 分三种情况： ①如图4所示： 连接， 由三角形的外角性质得： ， ∴， 即； ②如图5所示： 连接， 由三角形的外角性质得： ， ∴， 即； ③如图6所示：在同一条直线上，连接， 由三角形的外角性质得： ， ∴； 综上所述：如果点在线段的延长线上运动， 与之间的数量关系是或或． 【点睛】本题考查了三角形外角的性质，分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$