1.7正切函数学案-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

授课主题 1.7正切函数 知 识 梳 理 一、正切函数的定义 （1）根据函数的定义，比值是x的函数，称为x的正切函数，记作y=tan x，其中定义域为｛｝ （2）若角α的终边上任取一点Q()()，则 二、正切函数的诱导公式 tan (kπ＋α)＝tan α tan(－α)＝－tan α tan(π－α)＝－tan α tan(π＋α)＝tan α tan(α+)＝ tan()＝ 三、正切函数的图象与性质 1、正切函数，且的图象，称“正切曲线” （1）复习单位圆中的正切线： AT=tanα （2）利用正切线画函数y= tanx，x∈的图象 步骤是：①作直角坐标系，并在x=的左侧作单位圆 ②把单位圆的右半圆分成8份，（每份）.分别在单位圆中作出正切线； ③把横坐标从到也分成8份 ④把正切线的端点移到对应的位置； ⑤把上面的点连成光滑的曲线． 由于tan（x+π）=tanx , y=tanx 是周期为π的周期函数只把y=tanx , x∈的图象左、右移动kπ个单位（k∈z）就得到y=tanx（x∈R且x≠kπ+）的图象. 2、正切函数的性质 （1）定义域：， （2）值域：R 由正切函数的图象可知，当且无限接近于时，无限增大，记作（趋向于正无穷大）；当，无限减小，记作（趋向于负无穷大）．也可以从单位圆上的正切线来考虑．因此可以取任何实数值，但没有最大值和最小值．称直线为正切函数的渐进线． （3）周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是 （4）奇偶性：正切函数是奇函数，即． 注意：观察正切函数的图象还可得到：点是函数，且的对称中心，正切函数图象没有对称轴 （5）单调性：在开区间内，函数单调递增 注意：正切函数在开区间内单调递增，不能说正切函数在整个定义域上是增函数． 四、正切函数型的性质 1．定义域：将“”视为一个“整体”．令解得． 2.值域： 3．单调区间：（1）把“”视为一个“整体”；（2）时，函数单调性与的相同（反）；（3）解不等式，得出范围． 注意：若，一般先用诱导公式化为，使的系数为正值，然后求单调区间． 4．奇偶性：当时为奇函数，否则，不具备奇偶性． 5．周期：最小正周期为． 例题讲解 一 坐标法求正切函数值 例1、已知角的终边上一点的坐标为，则角的最小正值为(    ) A． B． C． D． 二 正切函数值在各象限的符号 例1、若且，则的终边所在象限为(    ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 例2、若，，则的终边在(    ) A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限或在x轴的非负半轴上 D．第二、四象限或在x轴上 三 诱导公式 例1、求下列各式的值． (1)．(2). 例2、求证：． 四 正切函数图像及性质 例1、(多选)已知函数，则下列说法正确的是(    ) A．的最小正周期为 B．在上单调递减 C． D．的定义域为 例2、求下列函数的定义域． （1）；（2）． 例3、函数在一个周期内的图象是下图中的（ ） 例4、（1）作出函数y=tan x+2，的简图； （2）作出下列函数的图象，并判断它们的周期性． ①y=tan |x|；②y=|tan x| 例5、已知函数． （1）求f（x）的定义域与单调区间 （2）比较与的大小． 例6、设函数． （1）求函数的定义域、周期和单调区间 （2）求不等式的解集． 举一反三 1、(多选)已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上存两点，且，则(    ) A． B． C． D． 2、“且”是“为第三象限角”的(    ) A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 3、若，，则是(    ) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 4、已知为第二或第三象限角，则(    ) A． B． C． D． 5、求下列各值. (1)；(2) ；(3)；(4)(5)；(6)；(7)． 6、已知，且为第三象限角．求的值． 7、已知 ，且为第二象限角,，则的值为(    ) A．－ B．－ C． D．－ 8、求证：. 9、求证：． 10、求证：＝． 11、(1)求证：； (2)设，求证. 12、(多选)已知函数，则下列说法正确的是(    ) A．函数是奇函数 B．函数的最小正周期是 C．函数在上单调递增 D．函数图象的对称中心是 13、(多选)已知函数，则下列说法错误的是(    ) A．的最小正周期为 B．的定义域为 C． D．在上单调递减 14、(多选)已知函数，则(     ) A． B．为奇函数 C．图象的对称中心为 D．的定义域为 15、利用正切函数的图象解不等式． 16、函数在区间内的图象大致是（ ） 17、求函数的单调增区间. 18、函数在区间单调递减，求实数的取值范围. 19、函数f（x）=tanωx（ω＞0）的图象的相邻两个零点的距离为，则的值是（ ） A． B． C． D．1 课 后 作 业 1、若，，则是(    ) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 2、“”是“角是第一象限角”的(    ) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3、“为第一象限角”是“”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4、已知角满足，，则的终边在(    ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5、已知是第二象限角，且，则的值是(    ) A． B． C． D． 6、(多选)若角的终边经过点，则下列结论正确的是(    ) A．是第二象限角 B．是钝角 C． D．点在第二象限 7、(    ) A． B． C． D． 8、点在直角坐标平面上位于(    ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 9、(多选)已知角的终边经过点，则(    ) A． B． C． D． 10、已知是方程的根，α是第三象限角，则＝ . 11、已知 12、求证：当或3时，. 13、(多选)下列坐标所表示的点中，是函数图像的对称中心的是(    ) A． B． C． D． 14、(多选)已知函数的最小正周期是，则(    ) A． B． C．的对称中心为 D．在区间上单调递增 15、(多选)下列关于函数的说法正确的是(　　) A．在区间上单调递减 B．最小正周期是 C．图象关于点成中心对称 D．图象关于直线成轴对称 16、函数的单调递减区间为 ． 17、关于x的函数有以下说法： （1）对任意的，既不是奇函数也不是偶函数； （2）不存在，使既是奇函数，又是偶函数； （3）存在，使是奇函数； （4）对任意的，都不是偶函数． 其中不正确的说法的序号是________，因为当=________，该说法不成立． 18、已知函数，且对于定义域内任何实数x，都有，试比较与的大小． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 授课主题 1.7正切函数 知 识 梳 理 一、正切函数的定义 （1）根据函数的定义，比值是x的函数，称为x的正切函数，记作y=tan x，其中定义域为｛｝ （2）若角α的终边上任取一点Q()()，则 二、正切函数的诱导公式 tan (kπ＋α)＝tan α tan(－α)＝－tan α tan(π－α)＝－tan α tan(π＋α)＝tan α tan(α+)＝ tan()＝ 三、正切函数的图象与性质 1、正切函数，且的图象，称“正切曲线” （1）复习单位圆中的正切线： AT=tanα （2）利用正切线画函数y= tanx，x∈的图象 步骤是：①作直角坐标系，并在x=的左侧作单位圆 ②把单位圆的右半圆分成8份，（每份）.分别在单位圆中作出正切线； ③把横坐标从到也分成8份 ④把正切线的端点移到对应的位置； ⑤把上面的点连成光滑的曲线． 由于tan（x+π）=tanx , y=tanx 是周期为π的周期函数只把y=tanx , x∈的图象左、右移动kπ个单位（k∈z）就得到y=tanx（x∈R且x≠kπ+）的图象. 2、正切函数的性质 （1）定义域：， （2）值域：R 由正切函数的图象可知，当且无限接近于时，无限增大，记作（趋向于正无穷大）；当，无限减小，记作（趋向于负无穷大）．也可以从单位圆上的正切线来考虑．因此可以取任何实数值，但没有最大值和最小值．称直线为正切函数的渐进线． （3）周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是 （4）奇偶性：正切函数是奇函数，即． 注意：观察正切函数的图象还可得到：点是函数，且的对称中心，正切函数图象没有对称轴 （5）单调性：在开区间内，函数单调递增 注意：正切函数在开区间内单调递增，不能说正切函数在整个定义域上是增函数． 四、正切函数型的性质 1．定义域：将“”视为一个“整体”．令解得． 2.值域： 3．单调区间：（1）把“”视为一个“整体”；（2）时，函数单调性与的相同（反）；（3）解不等式，得出范围． 注意：若，一般先用诱导公式化为，使的系数为正值，然后求单调区间． 4．奇偶性：当时为奇函数，否则，不具备奇偶性． 5．周期：最小正周期为． 例题讲解 一 坐标法求正切函数值 例1、已知角的终边上一点的坐标为，则角的最小正值为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为角终边上一点的坐标为，所以有， 因为，所以角是第四象限角，所以角的最小正值为， 故选：D 二 正切函数值在各象限的符号 例1、若且，则的终边所在象限为(    ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】因为，则的终边在第三、四象限或轴负半轴上， 因为，则的终边在第一、三象限， 因此，的终边所在象限为第三象限. 故选：C. 例2、若，，则的终边在(    ) A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限或在x轴的非负半轴上 D．第二、四象限或在x轴上 【答案】D 【解析】因为，可得，则是第一、四象限或x轴正半轴， 又因为，可得，则是二、四象限或x轴， 所以是第四象限或x轴正半轴，所以， 可得，令，可得， 则在二象限或x轴负半轴；令，可得， 则在四象限或x轴正半轴，综上可得，的终边在第二、四象限或在x轴上.故选：D. 三 诱导公式 例1、求下列各式的值． (1)．(2). 【答案】(1)(2) 【解析】(1) (2)原式 . 例2、求证：． 【解析】证明：左边 =右边，所以原式成立． 四 正切函数图像及性质 例1、(多选)已知函数，则下列说法正确的是(    ) A．的最小正周期为 B．在上单调递减 C． D．的定义域为 【答案】AC 【解析】因为，对于A：的最小正周期为，故A正确；对于B：当时，，因为在上单调递增，故在上单调递增，故B错误；对于C：因为的最小正周期为，所以，故C正确；对于D：令，，解得，，所以的定义域为，故D错误．故选：AC． 例2、求下列函数的定义域． （1）；（2）． 【答案】（1）（k∈Z） （2） 【解析】 （1）要使有意义，必须满足，即， ∴函数的定义域为（k∈Z）． （2）（2）由 得 ．则有 ． 所以函数定义域为． 例3、函数在一个周期内的图象是下图中的（ ） 【答案】A 【解析】该题目借助于函数的图象考查了函数的周期、单调性、图象分布的规律等知识，可从函数的周期与坐标轴的交点两个方面确定答案． 由函数周期，排除选项B、D．将代入函数式中，．故函数图象与x轴的一个交点为．故选A． 例4、（1）作出函数y=tan x+2，的简图； （2）作出下列函数的图象，并判断它们的周期性． ①y=tan |x|；②y=|tan x| 【解析】（1）本题主要考查正切函数图象，可以看出函数y=tan x+2的图象是将函数y=tan x的图象向上平移2个单位得到，，如图所示． （2）①∵ 故当x≥0时，函数y=tan |x|在y轴右侧的图象就是y=tan x的图象； 当x＜0时，函数y=tan |x|在y轴左侧的图象为y=tan x在y轴左侧的图象关于x对称的图象，如下图所示． 观察图象可知，y=tan |x|不是周期函数． ②∵，类似①可作出其图象，如下图所示． 观察图象可知，y=|tan x|是以π为周期的周期函数． 例5、已知函数． （1）求f（x）的定义域与单调区间 （2）比较与的大小． 【答案】（1）定义域为，单调增区间为；（2） 【解析】（1）由函数，可得， 求得，k∈Z，故函数的定义域为． 令，求得， 故函数的单调增区间为． （2）， ， ∴． 例6、设函数． （1）求函数的定义域、周期和单调区间 （2）求不等式的解集． 【答案】（1）定义域为，T=2π，函数的增区间为，k∈Z；（2）不等式的解集为，k∈Z 【解析】（1）根据函数，可得，k∈Z， 求得，故函数的定义域为．它的周期为． 令，k∈Z，求得， 故函数的增区间为，k∈Z． （2）求不等式，即，∴， 求得，故不等式的解集为，k∈Z． 举一反三 1、(多选)已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上存两点，且，则(    ) A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】因为角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上存两点，且， 所以， 所以，由，可知，所以角为第二象限的角，所以，所以，所以A错误，B正确，所以，，所以CD正确，故选：BCD 2、“且”是“为第三象限角”的(    ) A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】充分性：由可知， 由可知或， 综上，，即为第三象限角. 必要性：若为第三象限角，则且. 所以“且”是“为第三象限角”的充要条件.故选：A 3、若，，则是(    ) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】A 【解析】由，，得，，所以是第一象限角.故选：A. 4、已知为第二或第三象限角，则(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】若角为第二象限角，则， 此时； 若角为第三象限角，则， 此时； 所以当为第二或第三象限角时，.故选：A. 5、求下列各值. (1)；(2) ；(3)；(4)(5)；(6)；(7)． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)(5)(6)(7)1 【解析】(1)； (2)； (3)； (4). (5)． (6). (7) 6、已知，且为第三象限角．求的值． 【答案】 【解析】. 7、已知 ，且为第二象限角,，则的值为(    ) A．－ B．－ C． D．－ 【答案】C 【解析】因为，且为第二象限角，所以， 则 故选:C. 8、求证：. 【解析】证明：左边==右边 所以原等式成立 9、求证：． 【解析】左边==–tanα=右边， ∴等式成立． 10、求证：＝． 【答案】证明见解析 【解析】左边 . 右边. ∴左边＝右边，故原等式成立． 11、(1)求证：； (2)设，求证. 【解析】(1)左边=  =右边，所以原等式成立. (2)方法1：左边=  ===右边，所以原等式成立. 方法2：由，得， 所以，等式左边= ===右边，等式成立. 12、(多选)已知函数，则下列说法正确的是(    ) A．函数是奇函数 B．函数的最小正周期是 C．函数在上单调递增 D．函数图象的对称中心是 【答案】ACD 【解析】对于A，的定义域为，定义域关于原点对称， 因为，所以是奇函数，所以A正确， 对于B，的最小正周期为，所以B错误， 对于C，由，得，因为在上单调递增， 所以在上单调递增，所以C正确， 对于D，由，得，所以图象的对称中心是，所以D正确， 故选：ACD 13、(多选)已知函数，则下列说法错误的是(    ) A．的最小正周期为 B．的定义域为 C． D．在上单调递减 【答案】BD 【解析】因为，对于A：所以的最小正周期为，故A正确；对于B：令，解得，所以的定义域为，故B错误； 对于C：，，故C正确； 对于D：当时，，因为在上单调递增， 故在上单调递增，故D错误.故选：BD 14、(多选)已知函数，则(     ) A． B．为奇函数 C．图象的对称中心为 D．的定义域为 【答案】ABD 【解析】因为函数， 所以，故A正确； 由得，， 对于函数，令，得， 可知定义域为关于原点对称，又， 所以函数为奇函数，即为奇函数，故B正确； 由，得到， 所以的对称中心为，故C错误； 令，得， 所以的定义域为，故D正确； 故选：ABD 15、利用正切函数的图象解不等式． 【解析】如图，利用正切函数图象知，不等式的解集为，k∈Z． 16、函数在区间内的图象大致是（ ） 【答案】D 17、求函数的单调增区间. 【答案】 18、函数在区间单调递减，求实数的取值范围. 【解析】函数在区间单调递减 ，且，即 ， 解得： 19、函数f（x）=tanωx（ω＞0）的图象的相邻两个零点的距离为，则的值是（ ） A． B． C． D．1 【答案】C 【解析】∵函数f（x）=tanωx（ω＞0）图象相邻两个零点的距离为，∴， ∴ω=2，∴f（x）=tan2x；∴．故选：C． 课 后 作 业 1、若，，则是(    ) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】D 【解析】由，，得，，所以是第四象限角.故选:D. 2、“”是“角是第一象限角”的(    ) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】由同角三角函数的关系，角是第一象限角或第二象限角，故“”是“角是第一象限角”的必要不充分条件.故选：C 3、“为第一象限角”是“”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若为第一象限角则必有；反之，若，则为第一或第三象限角.故选：A. 4、已知角满足，，则的终边在(    ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】由，得角是第二或第四象限角；又，得角是第一或第四象限角. 综上，的终边在第四象限．故选：D 5、已知是第二象限角，且，则的值是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】方法一  ∵为第二象限角，∴，∴． 方法二 ∵，∴角终边上一点的坐标为，则．故选：D 6、(多选)若角的终边经过点，则下列结论正确的是(    ) A．是第二象限角 B．是钝角 C． D．点在第二象限 【答案】AC 【解析】由点在第二象限，可得是第二象限角，但不一定是钝角，A正确，B错误； ，C正确；由，，则点在第四象限，D错误.故选：AC 7、(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】.故选：D. 8、点在直角坐标平面上位于(    ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】， ，所以在第二象限.故选：B 9、(多选)已知角的终边经过点，则(    ) A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】角的终边经过点，，，，，，，故AB正确、CD错误，故选：AB 10、已知是方程的根，α是第三象限角，则＝ . 【答案】 【解析】，解得或1，又α是第三象限角，∴，，故， ∴，∴， ∴.故答案为： 11、已知 【答案】-1 【解析】. 故答案为：-1 12、求证：当或3时，. 【答案】证明见解析 【解析】当时，左边=； 当时，左边=； 综上，或有原等式恒成立. 13、(多选)下列坐标所表示的点中，是函数图像的对称中心的是(    ) A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】令，解得，A选项，当时，，故对称中心为，A正确；B选项，当时，，故对称中心为，B正确；C选项，令，解得，不合要求，舍去，C错误；D选项，当时，，故对称中心为，D正确； 故选：ABD 14、(多选)已知函数的最小正周期是，则(    ) A． B． C．的对称中心为 D．在区间上单调递增 【答案】BCD 【解析】因为函数的最小正周期是，所以， 又，得到，所以， 选项A，因为，故选项A错误； 选项B，因为， 又，由的性质知，，所以，故选项B正确； 选项C，由，得到， 所以的对称中心为，故选项C正确； 选项D，当时，，由的性质知，在区间上单调递增，故选项D正确.故选：BCD. 15、(多选)下列关于函数的说法正确的是(　　) A．在区间上单调递减 B．最小正周期是 C．图象关于点成中心对称 D．图象关于直线成轴对称 【答案】AC 【解析】对于A，令，，解得， 当时，，所以在上单调递减， 又，故函数在区间上单调递减，正确； 对于B，最小正周期为，错误； 对于C，令得，，所以对称中心为，当时，是对称中心，正确； 对于D，函数不成轴对称，没有对称轴，错误.故选：AC. 16、函数的单调递减区间为 ． 【答案】 【解析】． 由， 故函数的单调递减区间为 故答案为： 17、关于x的函数有以下说法： （1）对任意的，既不是奇函数也不是偶函数； （2）不存在，使既是奇函数，又是偶函数； （3）存在，使是奇函数； （4）对任意的，都不是偶函数． 其中不正确的说法的序号是________，因为当=________，该说法不成立． 【答案】（1） π（或kπ，k∈Z） 【解析】 对于（1），显然当，k∈Z时，，此时函数为奇函数，故（1）错；（3）正确． （2）也正确，因为定义在R上的函数如果既是奇函数，又是偶函数，那么这个函数恒为零，显然对于任意的，都不可能恒为零，从而不存在，使既是奇函数，又是偶函数； （4）是正确的，不存在这样的，使是偶函数． 因此本题不正确的说法的序号是（1），因为当（或kπ，k∈Z）时，该说法不成立． 18、已知函数，且对于定义域内任何实数x，都有，试比较与的大小． 【解析】∵，∴． 两式相加，得，即， ∴， 上式对定义域内任何实数x都成立，故是周期T=6的周期函数． ∵， ∴． ． ∵， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$