1.6函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质与图像学案-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

授课主题 1.6函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质 知 识 梳 理 一：用五点法作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 1.实质：利用“五点法”作函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象，实质是利用函数的三个零点，两个最值点画出函数在一个周期内的图象． 2．用“五点法”作函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤 第一步：列表 ωx＋φ 0 π 2π x － － － － － f(x) 0 A 0 －A 0 第二步：在同一坐标系中描出各点． 第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象．　 二：函数y＝Asin(ωx＋φ)中有关概念 表示一个振动量时，A叫做振幅，叫做周期，叫做频率，叫做相位，x=0时的相位称为初相. 三：由得图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象 1.φ对函数y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响-----横坐标平移-----左加右减 2.ω(ω>0)对函数y＝sin(ωx＋φ)图象的影响-----横坐标伸缩 3.A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响-----纵坐标的伸缩 例题讲解 考点一 “五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 例1、(1)利用“五点法”画出函数在长度为一个周期的闭区间的简图. 列表:   x y 作图:    (2)并说明该函数图象可由的图象经过怎么变换得到的. 【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析. 【解析】(1)先列表，后描点并画图. 0 x y 0 1 0 0   (2)把的图象上所有的点向左平移个单位，得到的图象，再把所得图象的点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到的图象. 例2、画出函数y=3sin(2x+)，x∈R的简图. 【解析】(五点法)由，得，列表： x 2x+ 0 3sin(2x+) 0 3 0 -3 0 描点画图： 例3、已知函数f（x）=sin（ωx﹣）（ω＞0，x∈R）的最小正周期为π． （1）求f（）． （2）在图3给定的平面直角坐标系中，画出函数y=f（x）在区间[﹣，]上的图象，并根据图象写出其在（﹣，）上的单调递减区间． 【解析】（1）依题意得=π，解得ω=2，∴f（x）=sin（2x﹣）， ∴f（）=sin（）=sincos﹣cossin== （2）∵x∈[﹣，]∴2x﹣∈[﹣，]， 列表如下： 2x﹣ ﹣ ﹣π ﹣ 0 x ﹣ ﹣ ﹣ f（x） 0 ﹣1 0 1 画出函数y=f（x）在区间[﹣，]上的图象如下： 由图象可知函数y=f（x）在（﹣，）上的单调递减区间为（﹣，﹣），（，） 考点二 三角函数图象的伸缩平移变换 例1、要得到函数的图象，可以将函数的图象(    ) A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】B 【解析】因为, 所以将函数的图象向左平移个单位可得到函数的图象. 故选:B. 例2、为了得到函数的图象，只要将函数图象上所有点的(    ) A．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度 B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度 C．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度 D．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度 【答案】A 【解析】将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得， 再把得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．故选：A 例3、将函数的图像向左平移个单位长度后，得到的函数图像关于y轴对称，则的最小值为 . 【答案】 【解析】将函数的图像向左平移个单位长度后， 得到函数的图像， 因为图像关于轴对称，所以，，则，. 令，得的最小值为.故答案为： 例4、把函数的图像适当变动就可以得到图像，这种变动可以是(    ) A．向右平移 B．向左平移 C．向右平移 D．向左平移 【答案】D 【解析】，， 函数的图象向左平移可以得到的图象.故选：D 考点三 由图象求三角函数的解析式 例1、(多选)已知函数(，，)的部分图象如图所示，则(    )    A．的最小正周期为 B．当时，的值域为 C．为是偶函数 D．将的图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称 【答案】ACD 【解析】由图可知，，最小正周期，故选项A正确； 由，知，因为，所以，所以，，即，，又，所以，所以， 对于选项B，当时，，所以，故选项B错误； 对于选项C，令，定义域为， ，所以为偶函数，即为偶函数，故选项C正确； 对于选项D，将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，因为当时，，故选项D正确.故选：ACD. 例2、已知函数（，，），在同一周期内的最高点是，最低点为，求f (x)的解析式． 【解析】由题又是函数的最大值点，是函数的最小值点，又函数最高点为（2，2），即 例3、 如图，它是函数，的图象，由图中条件，写出该函数解析式. 【解析】 A=5，由点(，5)在此函数的图象上，则 法一：(单调性法) ∵点在递减的那段曲线上 ∴ 由得 ∴∵. 法二：(最值点法) 将最高点坐标(，5)代入得∴ ∴取. 法三：(起始点法) 函数的图象一般由“五点法”作出，而起始点的横坐标x正是由解得的，故只要找出起始点横坐标x0，就可以迅速求得角.由图象求得，∴ 法四：(平移法) 由图象知，将的图象沿x轴向左平移个单位，就得到本题图象，故所求函数为，即. 考点四 y＝Asin(ωx＋φ)的性质的综合应用 例1、已如函数． (1)用“五点法”作出函数在区间上的图像； (2)将函数的图像向右平移个单位长度，再将图像上的每个点的横坐标都伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图像，求在区间上的取值范围． 【答案】(1)图像见解析(2) 【解析】(1)依题意，列表如下： 所以数在区间上的图象如下：    . (2)因为， 所以将函数的图像向右平移个单位长度，可得到的图像， 再将得到的图像上的每个点的横坐标都伸长为原来的2倍，纵坐标不变，可得到的图像， 因为，所以，则故的取值范围是. 例2、设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜，x∈R）的部分图象如图所示． （1）求函数y=f（x）的解析式； （2）当x∈[﹣，]时，求f（x）的取值范围． 【解析】（1）由图象知，A=2，又==，ω＞0，所以T=2π=，得ω=1．所以f（x）=2sin（x+φ）， 将点（，2）代入，得+φ=2k（k∈Z），即φ=+2kπ（k∈Z），又﹣＜φ＜， 所以，φ=．所以f（x）=2sin（x+） （2）当x∈[﹣，]时，x+∈[﹣，]所以sin（x+）∈[﹣，1]，即f（x）∈[﹣，2] 例3、函数的图象如图所示，试依图推出： （1）的最小正周期； （2）时x的取值集合； （3）使的x的取值集合； （4）的单调递增区间和递减区间； （5）使取最小值时的x的取值集合； （6）图象的对称轴方程； （7）图象的对称中心； （8）要使成为偶函数，应对的图象作怎样的平移变换？ 【解析】 （1）。 （2）在一个周期中，使的x是，π，。 故所求的x的取值集合是。 （3）使的x的取值集合是。 （4）的单调递增区间是； 单调递减区间是。 （5）取最小值时x的取值集合是。 （6）对称轴方程是。 （7）对称中心是。 （8）要使成为偶函数，可以把其图象向左平移个单位长度。 举一反三 1．已知函数 (1)用“五点法”画出函数在一个周期内的图象； (2)直接写出函数的值域和最小正周期． 列表： 作图：    【答案】(1)答案见解析(2)值域，最小正周期为 【解析】(1)解：列表: 0 图象如图所示：    (2)解：因为，则， 故函数的值域为，最小正周期为. 2．已知函数. (1)试用“五点法”画出它的图象； 列表： 作图： (2)从正弦曲线出发，如何通过图象变换得到函数的图象？(两种方法) 【答案】(1)详见解析； (2)详见解析； 【解析】(1)令，则，列表如下， 描点画图. (2)方法一：先将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，然后使曲线上各点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，最后将曲线上各点的纵坐标变为原来的，得到的图象. 方法二：先将的图象各点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，然后将曲线向左平移个单位，得到函数的图象，最后将曲线上各点的纵坐标变为原来的，得到的图象. 3．设函数. (1)在给定的平面直角坐标系中，用“五点法”画出函数在区间上的简图(请先列表，再描点连线)； (2)若，求的值. 【答案】(1)答案见解析；(2). 【解析】(1)列表如下： 0 2 0 -2 0 2 (2)解：由，得，由， 得， 由，得， 则. 4.某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表： ωx+φ 0 π 2π x Asin（ωx+φ） 0 5 ﹣5 0 （1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式； （2）将y=f（x）图象上所有点向左平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g（x）的图象．若y=g（x）图象的一个对称中心为（，0），求θ的最小值． 【解析】（1）根据表中已知数据，解得A=5，ω=2，φ=﹣．数据补全如下表： ωx+φ 0 π 2π x Asin（ωx+φ） 0 5 0 ﹣5 0 且函数表达式为f（x）=5sin（2x﹣）． （2）由（Ⅰ）知f（x）=5sin（2x﹣），得g（x）=5sin（2x+2θ﹣）． 因为y=sinx的对称中心为（kπ，0），k∈Z．令2x+2θ﹣=kπ，解得x=，k∈Z． 由于函数y=g（x）的图象关于点（，0）成中心对称，令=， 解得θ=，k∈Z．由θ＞0可知，当K=1时，θ取得最小值． 5.如何由y=sin x的图象变化到的图象？ 【解析】 解法一： 。 解法二： 。 6．要得到函数的图象，需将函数的图象(    ) A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移1个单位长度 D．向右平移1个单位长度 【答案】B 【解析】由于，所以将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象．故选：B 7．为了得到函数的图象，只需要把函数图象(        ) A．先将横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位 B．先将横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位 C．先向左平移个单位，再将横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变) D．先向左平移个单位，再将横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变) 【答案】B 【解析】先将函数图像横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)得到，再向右平移个单位得到的图像；或者将函数图像向右平移个单位，再将横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)可得到的图像.故选：B 8．已知函数，若将的图象向左平移个单位长度后所得的图象关于坐标原点对称，则m的最小值为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】的图象向左平移m个单位长度后，得到的图象对应函数， 因为的图象关于坐标原点对称，所以，即， 因为，故当时，m取得最小值．故选：B. 9．要得到函数的图像，只需把函数的图像(    ) A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】D 【解析】因为， 即只需要把函数的图像向右平移个单位长度即可.故选：D 10．(多选)函数的部分图象如图所示，下列结论中正确的是(    )    A．的最小正周期为 B．直线是函数图象的一条对称轴 C．函数的单调递增区间为 D．将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象 【答案】CD 【解析】由图象可得又 ，又，故，所以.显然A错误；对于B项，，不是对称轴，故B错误；对于C项，令，故C正确；对于D项，将函数的图象向右平移个单位得，故D正确.故选：CD. 11.函数的图象如下图，确定A、ω、的值，确定其一个函数解析。 【解析】方法一：（逐一定参法）由图象知，振幅A=3，又， ∴。由点，令，得。 ∴。 方法二：（待定系数法） 由图象知A=3，又图过点和，根据五点作图法原来（以上两点可判为“五点法”中的第三点和第五点），有，解得ω=2，。∴。 12.（1）已知函数的图象如下图①所示，求解析式： （2）函数的图象如下图②所示，确定A、ω、的值，确定其一个函数解析式。 【解析】 （1）∵T=(2+1)×4=12，∴。∵C点为第四点，∴，∴。 ∵，∴。又∵点在图象上，∴。 ∴A=2，∴。 （2）由题图知，振幅A=3，又，∴。 由点，令，得。∴。 13．已知函数的部分图象如图所示，为了得到函数的图象，只要把的图象上所有的点(    )    A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 【答案】D 【解析】根据题中函数的部分图象，结合五点法作图可得， 故，又，故，所以， 为了得到函数的图象，只要把的图象上所有的点向右平行移动个单位长度即可． 故选：D． 14.已知函数，，其中，。若的最小正周期为6π，且当时，取得最大值，则（ ） A．在区间[―2π，0]上是增函数 B．在区间[―3π，―π]上是增函数 C．在区间[3π，5π]上是减函数 D．在区间[4π，6π]上是减函数 【答案】A 15.已知函数的图象过点，图象上与点最近的一个最高点是。 （1）求函数的解析式； （2）求函数的递增区间。 【解析】（1）依题意得：，周期,,故， 又图象过点，，解得：，即。 （2）由得： 故函数的递增区间为：。 16．已知函数． (1)若，求的值； (2)将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求函数在上的值域． 【答案】(1)(2) 【解析】(1)， 由，得，即， 故或，， 即或，，又∵∴； (2)将函数的图象向左平移个单位，可得函数图象的解析式为，，， 所以函数在上的值域为． 17．已知函数. (1)求的最大值及相应的取值； (2)若把的图象向左平移个单位长度得到的图象，求在上的单调递增区间. 【答案】(1)时，取得最大值.(2). 【解析】(1)因为 所以当，即时，取得最大值. (2)， 由，得:， 取得：在上的单调递增区间为 18．已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)将函数的图象向下平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到函数的图象，当时，若方程有两个不等的实根，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2). 【解析】(1) , 故函数的最小正周期为. (2)将函数的图象向下平移个单位长度，得到的图象， 再把横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到的图象. 当时，，令, 当时,方程有两个不等的实根， 即与的图象在上有两个交点, 画出在上的图象如图所示： 由图可得， 故实数的取值范围为. 课 后 作 业 1．把函数图象上所有的点向右平移个单位长度，可以得到函数y＝( )的图象 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以把图象上所有的点向右平移个单位长度即可得到函数的图象故选：D. 2．将函数图像上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再将图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，以下方程是函数图像的对称轴方程的是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将函数的图像上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，再将图像向右平移个单位长度，得到， 其图像的对称轴满足，即，令时，有，故选：C. 3．为了得到函数的图象，可以将函数的图象(    ) A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】D 【解析】对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确.故选：D. 4．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到y=cos2x的图象，则只要将f（x）的图象（　　） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】C 【解析】由图象可知A=1，T=π，∴ω==2∴f（x）=sin（2x+φ），又因为f（）=sin（+φ）=﹣1 ∴+φ=+2kπ，φ=（k∈Z）∵|φ|，∴φ= ∴f（x）=sin（2x+）=sin（﹣2x﹣）=cos（﹣2x）=cos（2x﹣） ∴将函数f（x）向左平移可得到cos[2（x+）﹣]=cos2x=y故选C． 5．为了得到函数的图象，只要把的图象上所有的点(    ) A．向右平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向左平行移动个单位长度 【答案】B 【解析】因为，所以只要把的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，可得的图象，故选：B 6．要得到函数的图象，只需要将函数的图象(    ) A．向右平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向左平移个单位 【答案】B 【解析】因为，所以将函数的图象向右平移个单位得到，即函数的图象.故选：B 7．函数的最小值为―2，其图象上相邻的最高点与最低点的横坐标之差是3π，又图象过点（0，1），则这个函数的解析式是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知得A=2，T=2×π=6π，又，所以，故，又图象过点（0，1），所以，，因为，所以，所以，选B． 8．已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则下列说法正确的是(    )      A． B． C．函数为偶函数 D．函数在区间上单调递减 【答案】BD 【解析】函数的部分图象， 可得，，，则． 又，所以，， 所以，，又，，，故A错误． 由，， ，故B正确； 将函数的图象向左平移个单位长度得到， 则为奇函数，故C错误； 当则，因为在上单调递减，所以函数在区间上单调递减，故D正确，故选：BD． 9．已知a是实数，则函数的图象不可能是（ ） 【答案】D 【解析】当a=0，图象如C；当0＜a＜1，图象如A；当1＜a＜2，图象如B；在D中，就振幅看a＞1，就周期看0＜a＜1． 10．若函数对于任意的都有成立，则的最小值为（ ） A． 1 B． 2 C． D．4 【答案】B 【解析】“对于任意的都有成立”的含义是是函数的最小值，是函数的最大值，是使得函数取得最小值的一个自变量，是使得函数取得最大值的一个自变量，那么，的最小值应为半个周期．因为函数的最小正周期为4，所以的最小值为2． 11.(多选)已知函数，则下列说法中不正确的是(    ) A．函数的周期是 B．函数的图象的一条对称轴方程是 C．函数在区间上为减函数 D．函数是偶函数 【答案】ACD 【解析】因为函数，所以周期是函数的周期的一半， 所以函数的周期为．故A错误； 当时，，所以是函数图象的一条对称轴．故B正确； ，， 所以, 故C错误； ，则图像不关于y轴对称，故D错误，故选ACD． 12．(多选)已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是(    )      A． B．函数的图象关于直线对称 C．函数图象向右平移个单位可得函数的图象 D．若方程在上有两个不等实数根，，则 【答案】ACD 【解析】对于A：由图可知，，所以，所以，则， 将点代入得：，所以，，又，所以， 所以，A正确； 对于B，因为，故B错误； 对于C，将函数图象向右平移个单位， 可得函数，故C正确； 对于D，因为，所以函数图象关于对称， 由条件结合图象可知，于是，所以，故D正确．故选：ACD． 13．(多选题)设函数，若的图象与直线在上有且仅有1个交点，则下列说法正确的是(    ) A．的取值范围是 B．在上有且仅有2个零点 C．若的图象向右平移个单位长度后关于轴对称，则 D．若将图象上各点的横坐标变为原来的，得到函数的图象，则在上单调递增 【答案】AC 【解析】， 因为的图象与直线在上有且仅有1个交点， 且，结合正弦函数的图象：      所以，解得：，故A选项正确； 由图可知，在上可能有2个、3个、4个零点，故B选项错误； 的图象向右平移个单位长度得到， 则，解得，因为，所以，故C选项正确； ，则因为，所以，因为，故在上不一定单调递增，D选项错误； 故选：AC. 14．函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为 ，若将的图象向右平移个单位后，得到新函数解析式为 .    【答案】 【解析】根据图象知，， 将点代入，得，，又，则， ，将的图象向右平移个单位后，得到新函数解析式为．故答案为：，． 15．设函数的图像上一个最高点，离最近的一个对称中心． (1)求函数的解析式； (2)将函数的图像上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，再将所得函数图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，求函数的单调减区间； (3)求函数在闭区间内的最大值以及此时对应的的值． 【答案】(1)(2)单调递减区间为(3)时，有最大值为2 【解析】(1)解：因为图象的一个最高点为，则， 又最高点，离最近的一个对称中心之间的横向距离是， 所以最小正周期为，则， 故，且图像过，代入得， 即，所以， 又，所以，故； (2)解：由题意可得 令，解得， 函数的单调递减区间为． (3)解：因为，所以，则． 当时，即时，有最大值为2． 16．已知函数，的图象关于点对称，且在区间上是单调函数，求的值． 【解析】由，得，因为，所以 又的图象关于点对称，所以，即， 结合，可得， 当时，在上是减函数； 当时，在上是减函数； 当时，在上不是单调函数； 所以，综上得． 17.将函数的图象先向左平移个单位长度，再把所得函数图象的横、纵坐标都变为原来的倍，得到函数的图象，若函数在区间内没有零点，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将函数的图象向左平移个单位长度，得到， 再把所得函数图象的横、纵坐标都变为原来的倍，得到函数的图象， 即，因为函数在上没有零点，则，即， 即，则，由，得，得， 若函数在上有零点，则，， 即，又，则.当时，解得. 当时，解得.当时，解得，与矛盾. 综上，若函数在上有零点，则或， 则若没有零点，则或.故选：C. 18．(多选)已知函数，(    ) A．若在区间上单调，则 B．将函数的图像向左平移个单位得到曲线C，若曲线C对应的函数为偶函数，则的最小值为 C．若方程在区间上恰有三个解，则 D．关于x的方程在上有两个不同的解，则 【答案】BCD 【解析】对于A，，， 若在区间上单调递增，则， 解得，由，则，又，解得，所以， 若在区间上单调递减，则， 解得，同理可得，有，综上，或，A错误； 对于B，的图像向左平移个单位得到，若为偶函数，则有，解得，，而，所以最小值为，B正确； 对于C，，，函数在区间上恰有三个极值点，则有， 解得：，C正确； 对于D，，即，，，则， 解得： ，D正确.故选：BCD 19．已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)将图象上每个点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数的图象，若与的图象关于对称，求不等式的解集． 【答案】(1)；(2) 【解析】(1)由函数的图象，可得，所以， 又由，所以，可得，所以， 因为，即，解得，即， 又因为，所以，所以，即函数的解析式为. (2) 将图象上每个点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)， 得到函数， 设是函数的图象上的任意一点，点关于直线的对称点为， 则，代入函数，可得，即， 又由不等式，即，设，即， 由余弦函数的性质，可得，即， 解得或， 即，即不等式的解集为. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 授课主题 1.6函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质 知 识 梳 理 一：用五点法作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 1.实质：利用“五点法”作函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象，实质是利用函数的三个零点，两个最值点画出函数在一个周期内的图象． 2．用“五点法”作函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤 第一步：列表 ωx＋φ 0 π 2π x － － － － － f(x) 0 A 0 －A 0 第二步：在同一坐标系中描出各点． 第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象．　 二：函数y＝Asin(ωx＋φ)中有关概念 表示一个振动量时，A叫做振幅，叫做周期，叫做频率，叫做相位，x=0时的相位称为初相. 三：由得图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象 1.φ对函数y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响-----横坐标平移-----左加右减 2.ω(ω>0)对函数y＝sin(ωx＋φ)图象的影响-----横坐标伸缩 3.A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响-----纵坐标的伸缩 例题讲解 考点一 “五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 例1、(1)利用“五点法”画出函数在长度为一个周期的闭区间的简图. 列表:   x y 作图:    (2)并说明该函数图象可由的图象经过怎么变换得到的. 例2、画出函数y=3sin(2x+)，x∈R的简图. 例3、已知函数f（x）=sin（ωx﹣）（ω＞0，x∈R）的最小正周期为π． （1）求f（）． （2）在图3给定的平面直角坐标系中，画出函数y=f（x）在区间[﹣，]上的图象，并根据图象写出其在（﹣，）上的单调递减区间． 考点二 三角函数图象的伸缩平移变换 例1、要得到函数的图象，可以将函数的图象(    ) A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 例2、为了得到函数的图象，只要将函数图象上所有点的(    ) A．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度 B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度 C．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度 D．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度 例3、将函数的图像向左平移个单位长度后，得到的函数图像关于y轴对称，则的最小值为 . 例4、把函数的图像适当变动就可以得到图像，这种变动可以是(    ) A．向右平移 B．向左平移 C．向右平移 D．向左平移 考点三 由图象求三角函数的解析式 例1、(多选)已知函数(，，)的部分图象如图所示，则(    )    A．的最小正周期为 B．当时，的值域为 C．为是偶函数 D．将的图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称 例2、 已知函数（，，），在同一周期内的最高点是，最低点为，求f (x)的解析式． 例3、 如图，它是函数，的图象，由图中条件，写出该函数解析式. 考点四 y＝Asin(ωx＋φ)的性质的综合应用 例1、已如函数． (1)用“五点法”作出函数在区间上的图像； (2)将函数的图像向右平移个单位长度，再将图像上的每个点的横坐标都伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图像，求在区间上的取值范围． 例2、设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜，x∈R）的部分图象如图所示． （1）求函数y=f（x）的解析式； （2）当x∈[﹣，]时，求f（x）的取值范围． 例3、函数的图象如图所示，试依图推出： （1）的最小正周期； （2）时x的取值集合； （3）使的x的取值集合； （4）的单调递增区间和递减区间； （5）使取最小值时的x的取值集合； （6）图象的对称轴方程； （7）图象的对称中心； （8）要使成为偶函数，应对的图象作怎样的平移变换？ 举一反三 1．已知函数 (1)用“五点法”画出函数在一个周期内的图象； (2)直接写出函数的值域和最小正周期． 列表： 作图：    2．已知函数. (1)试用“五点法”画出它的图象； 列表： 作图： (2)从正弦曲线出发，如何通过图象变换得到函数的图象？(两种方法) 3．设函数. (1)在给定的平面直角坐标系中，用“五点法”画出函数在区间上的简图(请先列表，再描点连线)； (2)若，求的值. 4.某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表： ωx+φ 0 π 2π x Asin（ωx+φ） 0 5 ﹣5 0 （1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式； （2）将y=f（x）图象上所有点向左平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g（x）的图象．若y=g（x）图象的一个对称中心为（，0），求θ的最小值． 5.如何由y=sin x的图象变化到的图象？ 6．要得到函数的图象，需将函数的图象(    ) A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移1个单位长度 D．向右平移1个单位长度 7．为了得到函数的图象，只需要把函数图象(        ) A．先将横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位 B．先将横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位 C．先向左平移个单位，再将横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变) D．先向左平移个单位，再将横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变) 8．已知函数，若将的图象向左平移个单位长度后所得的图象关于坐标原点对称，则m的最小值为(    ) A． B． C． D． 9．要得到函数的图像，只需把函数的图像(    ) A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 10．(多选)函数的部分图象如图所示，下列结论中正确的是(    )    A．的最小正周期为 B．直线是函数图象的一条对称轴 C．函数的单调递增区间为 D．将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象 11.函数的图象如下图，确定A、ω、的值，确定其一个函数解析。 12.（1）已知函数的图象如下图①所示，求解析式： （2）函数的图象如下图②所示，确定A、ω、的值，确定其一个函数解析式。 13．已知函数的部分图象如图所示，为了得到函数的图象，只要把的图象上所有的点(    )    A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 14.已知函数，，其中，。若的最小正周期为6π，且当时，取得最大值，则（ ） A．在区间[―2π，0]上是增函数 B．在区间[―3π，―π]上是增函数 C．在区间[3π，5π]上是减函数 D．在区间[4π，6π]上是减函数 15.已知函数的图象过点，图象上与点最近的一个最高点是。 （1）求函数的解析式； （2）求函数的递增区间。 16．已知函数． (1)若，求的值； (2)将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求函数在上的值域． 17．已知函数. (1)求的最大值及相应的取值； (2)若把的图象向左平移个单位长度得到的图象，求在上的单调递增区间. 18．已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)将函数的图象向下平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到函数的图象，当时，若方程有两个不等的实根，求实数的取值范围. 课 后 作 业 1．把函数图象上所有的点向右平移个单位长度，可以得到函数y＝( )的图象 A． B． C． D． 2．将函数图像上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再将图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，以下方程是函数图像的对称轴方程的是(    ) A． B． C． D． 3．为了得到函数的图象，可以将函数的图象(    ) A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 4．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到y=cos2x的图象，则只要将f（x）的图象（　　） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 5．为了得到函数的图象，只要把的图象上所有的点(    ) A．向右平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向左平行移动个单位长度 6．要得到函数的图象，只需要将函数的图象(    ) A．向右平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向左平移个单位 7．函数的最小值为―2，其图象上相邻的最高点与最低点的横坐标之差是3π，又图象过点（0，1），则这个函数的解析式是（ ） A． B． C． D． 8．已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则下列说法正确的是(    )      A． B． C．函数为偶函数 D．函数在区间上单调递减 9．已知a是实数，则函数的图象不可能是（ ） 10．若函数对于任意的都有成立，则的最小值为（ ） A． 1 B． 2 C． D．4 11.(多选)已知函数，则下列说法中不正确的是(    ) A．函数的周期是 B．函数的图象的一条对称轴方程是 C．函数在区间上为减函数 D．函数是偶函数 12．(多选)已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是(    )      A． B．函数的图象关于直线对称 C．函数图象向右平移个单位可得函数的图象 D．若方程在上有两个不等实数根，，则 13．(多选题)设函数，若的图象与直线在上有且仅有1个交点，则下列说法正确的是(    ) A．的取值范围是 B．在上有且仅有2个零点 C．若的图象向右平移个单位长度后关于轴对称，则 D．若将图象上各点的横坐标变为原来的，得到函数的图象，则在上单调递增 14．函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为 ，若将的图象向右平移个单位后，得到新函数解析式为 .    15．设函数的图像上一个最高点，离最近的一个对称中心． (1)求函数的解析式； (2)将函数的图像上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，再将所得函数图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，求函数的单调减区间； (3)求函数在闭区间内的最大值以及此时对应的的值． 16．已知函数，的图象关于点对称，且在区间上是单调函数，求的值． 17.将函数的图象先向左平移个单位长度，再把所得函数图象的横、纵坐标都变为原来的倍，得到函数的图象，若函数在区间内没有零点，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 18．(多选)已知函数，(    ) A．若在区间上单调，则 B．将函数的图像向左平移个单位得到曲线C，若曲线C对应的函数为偶函数，则的最小值为 C．若方程在区间上恰有三个解，则 D．关于x的方程在上有两个不同的解，则 19．已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)将图象上每个点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数的图象，若与的图象关于对称，求不等式的解集． 学科网（北京）股份有限公司 $$