1.5.2余弦函数图像与性质学案-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

授课主题 1.5.2余弦函数的图像与性质 知 识 梳 理 一：余弦函数图象的画法 1．描点法： 按照列表、描点、连线三步法作出余弦函数图象的方法。 2．几何法 利用余弦线作出余弦函数在内的图象，再通过平移得到的图象。 3．五点法 先描出余弦曲线的波峰、波谷和三个平衡位置这五个点，再利用光滑曲线把这五点连接起来，就得到余弦曲线在一个周期内的图象。在确定余弦函数在上的图象形状时，起关键作用的五个点是 注意：（1）熟记余弦函数图象起关键作用的五点。 （2）若，可先作出余弦函数在上的图象，然后通过左、右平移可得到的图象。 （3）由诱导公式，故的图象也可以将的图象上所有点向左平移个单位长度得到。 二：余弦函数的性质 余弦函数y=cosx （1）定义域：R （2）值域及最值：值域为[-1，1]；当时，，当时，。 （3）奇偶性：偶函数 （4）周期性：最小正周期 （5）单调区间：增区间 k∈Z；减区间 k∈Z （6）对称中心： k∈Z ；对称轴： k∈Z 例题讲解 考点一 “五点法”作图的应用 例1、作出下列函数在[－2π，2π]上的图象． （1）；（2）． 【解析】 （1）描点、作图 x 0 1 1 其图象如下图所示． （2）由于；函数y=|cos x|，x∈[－2π，2π]的图象可采用将函数y=cos x，x∈[－2π，2π]的图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方的方法得到，所得图象如下图所示． 例2、用五点法作出函数，的图象． 【解析】 找出五点，列表如下： 0 x y=cos u 1 0 －1 0 1 描点作图（如下图）． 例3、作出函数在一个周期图象的简图。 【解析】因为，取值列表： 0 2 0 2 描点连线，可得函数图象如图示： 考点二 余弦函数的周期 例1、下列函数中，最小正周期为π的函数是(    ) A．y＝sin x B．y＝cos x C．y＝sin D．y＝cos 【答案】D 【解析】A. y＝sin x的最小正周期为，故错误； B. y＝cos x的最小正周期为，故错误； C. y＝sin的最小正周期为，故错误； D. y＝cos，故正确；故选：D 考点三 余弦函数的奇偶性 例1、下列函数中是奇函数，且最小正周期是的函数是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，∵，∴函数是偶函数，故A错误； 对于B，∵，∴函数是偶函数，故B错误； 对于C，函数是偶函数，故C错误； 对于D，函数是奇函数，最小正周期，故D正确． 故选：D. 例2、若函数)是奇函数，则的最小值为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数)是奇函数，所以 ， 解得，所以的最小值为，故选：A 例3、判断下列函数的奇偶性． (1)； (2)； (3). 【答案】(1)偶函数(2)奇函数(3)非奇非偶函数． 【解析】（1）函数定义域为R，且，显然有恒成立．∴函数为偶函数． (2)的定义域为，， 因为，所以为奇函数， (3)由，得，解得，所以函数的定义域为， 因为定义域不关于原点对称，所以该函数是非奇非偶函数． 例4、判断下列函数的奇偶性： （1） （2） （3）； （4）． 【解析】（1）由题意，有，解得 或 可见函数定义域关于原点对称 又 = +=0 故函数为奇函数． （2）由， 得函数定义域为，关于原点对称． 又． ∴ 函数是奇函数． （3）由， ∴ ， ∴ 定义域关于原点对称，而此时， ∴ 即是奇函数又是偶函数． （4）函数的定义域为R，且， ∴ 函数是偶函数． 考点四 余弦函数的对称性 例1、已知常数，如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数的图像关于点中心对称，所以，，所以，，所以当时，当时，时，所以的最小值为. 故选：C 考点五 余弦函数的单调性 例1、函数的单调递增区间是 . 【答案】 【解析】由，解得， 所以函数的单调递增区间是. 故答案为： 例2、(多选)下列函数在区间上单调递增的是(    ) A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】A选项，时，，单调递增，故A符合. B选项，时，，单调递减，故B不符合. C选项，时，，，单调递减，故C不符合. D选项，时，，，单调递增，故D符合. 故选：AD. 例3、已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】由题意有, 可得, 又由，在上为减函数，故必有, 可得. 故实数的取值范围为. 例4、求函数的单调递减区间和最小正周期． 【解析】令，∵ 在上单调递增，在上单调递减，根据复合函数的单调性法则，得在上单调递减． ∴ 其单调递减区间为． 令， ∵ ， ∴ ．∴ 最小正周期． 考点六 余弦函数的单调性的应用 例1、比较，，，，的大小． 【解析】，， ， ， ∵ ， 且在上是减函数， ∴ ， 即． 例2、已知，，，则，，的大小关系为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， ，所以，所以.故选：C. 考点七 余弦函数的最值(值域)问题 例1、求函数的值域： 【答案】 【解析】 ∵， 当cos x=－1时，， ∴函数的值域为． 例2、函数的最小值是 ． 【答案】 【解析】函数，， 当时，函数取得最小值. 故答案为： 例3、函数的值域为 ． 【答案】 【解析】令，， 则，即， 所以， 又因为，所以， 即函数的值域为． 故答案为：. 例4、求函数，的最大值和最小值． 【解析】． ∵ ，∴ ． 从而当，即时，； 当，即时，． 例5、奇函数在其定义域上是减函数，且，求的取值范围． 【答案】 【解析】∵ 在上是奇函数，∴ ，即，∴ ． 又∵ ，∴ ． ∵ 在上是减函数，∴ 例6、已知函数． （1）求其定义域和值域； （2）判断奇偶性； （3）判断周期性，若是周期函数，求周期； （4）写出单调区间． 【解析】 （1）由，得，∴x≠kπ，k∈Z． ∴函数的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}． ∵，∴， ∴函数的值域为{y|y≥0}． （2）∵， ∴函数是偶函数． （3）∵， ∴函数是周期函数，且周期是π．（可结合图象验证） （4）设t=|sin x|， 当时，sin x＞0，t=|sin x|为增函数； 当时，sin x＜0，t=|sin x|为减函数． 又∵函数为减函数， ∴函数的单调增区间为，k∈Z；单调减区间为，k∈Z． 举一反三 1． 用“五点法”作出下列函数的简图. （1）y=1+cos x（0≤x≤2π） （2）,． （3）， 【解析】（1）列表： x 0 cos x 1 0 －1 0 1 1+cos x 2 1 0 1 2 描点作图 （2）解:由题知,, 列表如下: 1 0 -1 0 1 根据表格画出图象如下: (3) 根据五点法作图列表得： 画图像得： 2．函数的最小正周期是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由函数，则其最小正周期. 故选：B. 3．下列函数中，最小正周期为π的函数是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，函数的最小正周期为，故A不符合题意； 对于B，作出函数的图象，    由图可知，函数的最小正周期为，故B符合题意； 对于C，函数的最小正周期为，故C不符合题意； 对于D，函数，其图象如图，    由图可知，函数不是周期函数，故D不符合题意. 故选：B. 4．(多选)下列函数中，是周期函数的是(　　) A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】对于A，，的最小正周期为； 对于B，，的最小正周期为； 对于C，，的最小正周期为； 对于D，∵，∴函数图象关于轴对称，不具有奇偶性，故错误. 故选：ABC 5．(多选)下列函数，最小正周期为的有(    ) A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】对于A，为偶函数，图象关于y轴对称，其图象如下，不是周期函数，故A错误； 对于B，作出函数的图象如下，观察可得其最小正周期为，故B正确； 对于C，由周期公式可得，可得的最小正周期为，故C正确； 对于D，由周期公式可得，可得的最小正周期为，故D 错误. 故选：BC 6．下列函数中，最小正周期为的偶函数是( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A，定义域为， 因为，所以函数为偶函数， 因为的图象是由的图象在轴下方的关于轴对称后与轴上方的图象共同组成(如下图所示)， 又的最小正周期为，所以的最小正周期为，故A正确； 对于B：为最小正周期为的奇函数，故B错误； 对于C：定义域为，，即为偶函数， 又，所以为的周期，故C错误； 对于D：为最小正周期为的偶函数，故D错误； 故选：A 7．(多选)以下函数是偶函数的是(    ) A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】四个选项中函数的定义域均为全体实数，满足关于原点对称， 对于:,,所以为奇函数,故错误 对于:,所以为偶函数,故正确; 对于:,, 所以为偶函数,故正确; 对于:,, 所以为偶函数,故正确;故选: 8．下列直线中，可以作为曲线的对称轴的是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 对于A，当时，，则是曲线的对称轴，A是； 对于B，当时，，则不是曲线的对称轴，B不是； 对于C，当时，，则不是曲线的对称轴，C不是； 对于D，当时，，则不是曲线的对称轴，D不是. 故选：A 9．(多选)已知函数，则(    ) A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称 【答案】BD 【解析】因为，令，则， 所以的对称轴方程为：，令，则D正确，A错误； 令，则，所以的对称轴中心为：， 令，则的一个对称中心为，则B正确，C错误.故选：BD. 10．函数的一个单调减区间是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】作出函数的图象如图所示， 由图象可知，A、B都不是单调区间，D是单调增区间，C是单调减区间．故选：C 11．函数的一个单调递减区间为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令， 解得， 即函数的单调递减区间为， 取可得，为函数的单调递减区间，B正确； 取可得，为函数的单调递减区间， 令， 解得， 即函数的单调递增区间为， 取可得，为函数的单调递增区间，A错误； 因为在上单调递增，C错误； 取可得，为函数的单调递增区间， 所以在上单调递增，D错误 故选：B. 13.下列各式中正确的为( ) A. B. C. D. 【答案】D 14．函数的单调递增区间为 ． 【答案】， 【解析】由题意，得，所以，， 解得，． 令，，则，． 所以的单调递增区间为，， 所以函数的单调递增区间为，． 故答案为：， 15．下列选项中错误的是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，在上单调递增， 所以，故A正确； 因为，所以比1距离正弦函数的对称轴近， 所以，故B正确； 因为，而，函数在上单调递增， 所以，故C正确； 因为，而，由正弦函数的单调性可知，故D错误. 故选：D 16．设，则大小关系(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，且在上单调递增， 则，即； 又因为，且在上单调递减， 则，即， 且，所以. 故选：B. 17.函数的值域是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 因为函数在上递增，上递减， 又，，，所以 即.故选：A． 18.求函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 19．已知函数，若在上的值域是，则实数的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得，令 则 ,如图所示， ∵的值域是，， ∴，即： ∴由图可知，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 20．函数的值域为 . 【答案】 【解析】， ，则，，故. 故答案为： 21.已知函数． （1）画出函数的简图； （2）这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期； （3）指出这个函数的单调增区间． 【解析】 （1） ． 函数图象如右图所示． （2）由图象知函数的周期是2π． （3）由图象知函数的单调区间为（k∈Z） 课 后 作 业 1．下列函数中，是偶函数且其图象关于点对称的是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，函数是奇函数，A不是；对于C，函数是奇函数，C不是； 对于B，函数是偶函数，而，即的图象不关于点对称，B不是；对于D，函数是偶函数，，即的图象关于点对称，D是.故选：D 2．设函数的最小正周期为，则它的一条对称轴方程为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为的最小正周期为，所以，所以， 令，，解得，所以的对称轴为直线， 当时，，其它各项均不符合，所以是函数的对称轴，故选：A． 3．已知函数，则“＋2kπ，k∈Z”是“为奇函数”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】当，时，，所以为奇函数． 当为奇函数时，，． 综上，“，”是“为奇函数”的充分不必要条件． 故选：A. 4．在内，使成立的取值范围为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】在同一坐标系中分别作出函数的图象，观察：刚刚开始即时，；到了中间即时，；最后阶段即时，. 5．使在区间上至少出现2次最大值，至多出现3次最大值，则周期T的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由已知，函数的最小正周期且，故 6．已知奇函数在区间上为单调递减函数，又为锐角三角形的两个内角，则（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵奇函数y=f（x）在[-1，0]上为单调递减函数， ∴f（x）在[0，1]上为单调递减函数，∴f（x）在[-1，1]上为单调递减函数，又α、β为锐角三角形的两内角，∴α+β＞，， ∴f（sinα）＜f（cosβ），故选D． 7．函数的单调递减区间是（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，解得，解得． 8．函数的图象是下图中的（ ） A 【解析】当时，cos x递增，也递增；当时，cos x递减，也递减，又为偶函数． 9．下列结论错误的是（ ） A．正弦函数与函数是同一函数 B．向左、右平移2π个单位，图象都不变的函数一定是正弦函数 C．直线是正弦函数图象的一条对称轴 D．点是余弦函数图象的一个对称中心 【答案】B 【解析】向左、右平移2π个单位，图象都不变的函数并不只有正弦函数． 10．函数的定义域是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数有意义，则，即， 因此，解得， 所以函数的定义域是.故选：D 11．不等式在上的解集为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵，则， 注意到，结合余弦函数图象解得. 故选：D. 12．已知函数，则函数的定义域为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得：，即，则.故选：A 13．函数的最小值是(    ) A． B． C．0 D． 【答案】A 【解析】函数 又函数，所以当时，函数的最小值为.故选：A. 14．(多选)下列大小关系中正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】，又，； 且.故选：BC. 15．(多选)下列不等式中成立的是(　　) A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】对于A，因为，且函数在上单调递增，则，故A错误； 对于B，因为，，且函数在上单调递减， 则，即，故B正确； 对于C，因为，且函数在上单调递减，则，故C错误； 对于D，因为，，且， 函数在上单调递增，则，即，故D正确； 故选：BD 16．若是奇函数，则 . 【答案】 【解析】由题设且，故，， 又，故有. 故答案为： 17．已知函数的图象关于点中心对称，则的最小值为 . 【答案】 【解析】因为函数的图象关于点中心对称， 所以，所以， 则当时，的最小值为. 故答案为： 18．已知函数的单调增区间为 ． 【答案】 【解析】令，由，可得，所以， 解得，所以函数的定义域为， 由余弦函数的性质可知：在上单调递增，在上单调递减，又因为在定义域上为单调递增函数， 由复合函数的单调性可知：函数的单调增区间为. 故答案为： 19．若，函数在区间上单调递减，且在区间上存在零点，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】当时，， 因为，函数在区间上单调递减， 所以，所以，即， 当时，， 因为，在区间上存在零点， 所以，解得， 综上：， 故答案为： 20．求函数的定义域为 ． 【答案】 【解析】根据题意可得，解得， 所以； 又，即，解得 取交集部分可得，的定义域为. 故答案为： 21．已知关于的不等式在内恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由得， 设，因，所以，则在上恒成立， 设，则二次函数的对称轴为， 因其开口向下，所以时函数单调递增，所以的最大值， 故，故答案为： 22．函数在上是减函数，且在上恰好取得一次最小值，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为，所以. 因为在上恰好取得一次最小值， 所以，所以. 因为，所以. 因为，在上是减函数， 根据余弦函数的单调性可知，解得.所以，. 故答案为：. 23．已知函数 (1)求的单调递增区间；(2)若，求f(x)的最大值和最小值. 【解析】(1)单增区间为 (2). 24．已知函数在上单调递增，且当时，恒成立，则的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知，函数在上单调递增， 所以，解得：， 由于，所以，解得：① 又因为函数在上恒成立， 所以，解得：， 由于，所以，解得：② 又因为，当时，由①②可知：，解得； 当时，由①②可知：，解得. 所以的取值范围为. 故选：B. 25．若函数在上不单调，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】由题意得， 若函数在上单调递增， 则, 解得：， 所以， 解得， 即， 因为，所以且， 所以，      ① 若函数在上单调递减， 则, 解得， 所以， 解得， 即， 因为，所以且， 所以，      ② 又因为函数在上不单调，且， 所以的取值为①②所表示的不等式的补集， 即或. 故答案为：或. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 授课主题 1.5.2余弦函数的图像与性质 知 识 梳 理 一：余弦函数图象的画法 1．描点法： 按照列表、描点、连线三步法作出余弦函数图象的方法。 2．几何法 利用余弦线作出余弦函数在内的图象，再通过平移得到的图象。 3．五点法 先描出余弦曲线的波峰、波谷和三个平衡位置这五个点，再利用光滑曲线把这五点连接起来，就得到余弦曲线在一个周期内的图象。在确定余弦函数在上的图象形状时，起关键作用的五个点是 注意：（1）熟记余弦函数图象起关键作用的五点。 （2）若，可先作出余弦函数在上的图象，然后通过左、右平移可得到的图象。 （3）由诱导公式，故的图象也可以将的图象上所有点向左平移个单位长度得到。 二：余弦函数的性质 余弦函数y=cosx （1）定义域：R （2）值域及最值：值域为[-1，1]；当时，，当时，。 （3）奇偶性：偶函数 （4）周期性：最小正周期 （5）单调区间：增区间 k∈Z；减区间 k∈Z （6）对称中心： k∈Z ；对称轴： k∈Z 例题讲解 考点一 “五点法”作图的应用 例1、作出下列函数在[－2π，2π]上的图象． （1）；（2）． 例2、用五点法作出函数，的图象． 例3、作出函数在一个周期图象的简图。 考点二 余弦函数的周期 例1、下列函数中，最小正周期为π的函数是(    ) A．y＝sin x B．y＝cos x C．y＝sin D．y＝cos 考点三 余弦函数的奇偶性 例1、下列函数中是奇函数，且最小正周期是的函数是(    ) A． B． C． D． 例2、若函数)是奇函数，则的最小值为(    ) A． B． C． D． 例3、判断下列函数的奇偶性． (1)； (2)； (3). 例4、判断下列函数的奇偶性： （1） （2） （3）； （4）． 考点四 余弦函数的对称性 例1、已知常数，如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为(    ) A． B． C． D． 考点五 余弦函数的单调性 例1、函数的单调递增区间是 . 例2、(多选)下列函数在区间上单调递增的是(    ) A． B． C． D． 例3、已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为 . 例4、求函数的单调递减区间和最小正周期． 考点六 余弦函数的单调性的应用 例1、比较，，，，的大小． 例2、已知，，，则，，的大小关系为(    ) A． B． C． D． 考点七 余弦函数的最值(值域)问题 例1、求函数的值域： 例2、函数的最小值是 ． 例3、函数的值域为 ． 例4、求函数，的最大值和最小值． 例5、奇函数在其定义域上是减函数，且，求的取值范围． 例6、已知函数． （1）求其定义域和值域； （2）判断奇偶性； （3）判断周期性，若是周期函数，求周期； （4）写出单调区间． 举一反三 1． 用“五点法”作出下列函数的简图. （1）y=1+cos x（0≤x≤2π） （2）,． （3）， 2．函数的最小正周期是(    ) A． B． C． D． 3．下列函数中，最小正周期为π的函数是(    ) A． B． C． D． 4．(多选)下列函数中，是周期函数的是(　　) A． B． C． D． 5．(多选)下列函数，最小正周期为的有(    ) A． B． C． D． 6．下列函数中，最小正周期为的偶函数是( ) A． B． C． D． 7．(多选)以下函数是偶函数的是(    ) A． B． C． D． 8．下列直线中，可以作为曲线的对称轴的是(    ) A． B． C． D． 9．(多选)已知函数，则(    ) A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称 10．函数的一个单调减区间是(　　) A． B． C． D． 11．函数的一个单调递减区间为(    ) A． B． C． D． 13.下列各式中正确的为( ) A. B. C. D. 14．函数的单调递增区间为 ． 15．下列选项中错误的是(    ) A． B． C． D． 16．设，则大小关系(    ) A． B． C． D． 17.函数的值域是(    ) A． B． C． D． 18.求函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 19．已知函数，若在上的值域是，则实数的取值范围为(    ) A． B． C． D． 20．函数的值域为 . 21.已知函数． （1）画出函数的简图； （2）这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期； （3）指出这个函数的单调增区间． 课 后 作 业 1．下列函数中，是偶函数且其图象关于点对称的是(    ) A． B． C． D． 2．设函数的最小正周期为，则它的一条对称轴方程为( ) A． B． C． D． 3．已知函数，则“＋2kπ，k∈Z”是“为奇函数”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．在内，使成立的取值范围为( ) A. B. C. D. 5．使在区间上至少出现2次最大值，至多出现3次最大值，则周期T的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．已知奇函数在区间上为单调递减函数，又为锐角三角形的两个内角，则（ ）． A． B． C． D． 7．函数的单调递减区间是（ ）． A． B． C． D． 8．函数的图象是下图中的（ ） 9．下列结论错误的是（ ） A．正弦函数与函数是同一函数 B．向左、右平移2π个单位，图象都不变的函数一定是正弦函数 C．直线是正弦函数图象的一条对称轴 D．点是余弦函数图象的一个对称中心 10．函数的定义域是(　　) A． B． C． D． 11．不等式在上的解集为(    ) A． B． C． D． 12．已知函数，则函数的定义域为(    ) A． B． C． D． 13．函数的最小值是(    ) A． B． C．0 D． 14．(多选)下列大小关系中正确的是(    ) A． B． C． D． 15．(多选)下列不等式中成立的是(　　) A． B． C． D． 16．若是奇函数，则 . 17．已知函数的图象关于点中心对称，则的最小值为 . 18．已知函数的单调增区间为 ． 19．若，函数在区间上单调递减，且在区间上存在零点，则的取值范围是 . 20．求函数的定义域为 ． 21．已知关于的不等式在内恒成立，则实数的取值范围是 ． 22．函数在上是减函数，且在上恰好取得一次最小值，则的取值范围是 ． 23.已知函数 (1)求的单调递增区间；(2)若，求f(x)的最大值和最小值. 24．已知函数在上单调递增，且当时，恒成立，则的取值范围为(    ) A． B． C． D． 25．若函数在上不单调，则实数的取值范围是 . 学科网（北京）股份有限公司 $$