1.5.1正弦函数的图像与性质学案-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

授课主题 1.5.1正弦函数的图像与性质 知 识 梳 理 一：正弦函数的画法 1．描点法： 按照列表、描点、连线三步法作出正弦函数图象的方法． 2．几何法 利用三角函数线作出正弦函数在内的图象，再通过平移得到的图象． 3．五点法 先描出正弦曲线的波峰、波谷和三个平衡位置这五个点，再利用光滑曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线在一个周期内的图象． 在确定正弦函数在上的图象形状时，起关键作用的五个点是 二：正弦曲线 （1）定义：正弦函数的图象叫做正弦曲线． （2）图象 注意：（1）由正弦曲线可以研究正弦函数的性质． （2）运用数形结合的思想研究与正弦函数有关的问题，如，方程根的个数． 三：正弦函数的性质 正弦函数y＝sinx （1）定义域：R （2）值域及最值：值域为[-1，1]，当时，，当时，． （3）奇偶性：奇函数 （4）周期性：最小正周期 （5）单调区间： 增区间 减区间 k∈Z （6）对称中心： k∈Z （7）对称轴： k∈Z 例题讲解 考点一 “五点法”作图的应用 例1、用五点法作出函数，的图象． 例2、作出下列函数在一个周期图象的简图： (1)；(2)；(3)； 例3、当时，作出下列函数的图象，把这些图象与的图象进行比较，你能发现图象变换的什么规律？ (1)；(2)；(3). 例4、画出正弦函数（x∈R）的简图，并根据图象写出： （1）时x的集合； （2）时x的集合． 考点二 正弦函数的定义域 例1、求函数的定义域 考点三 正弦函数的周期 例1、下列函数，最小正周期为的是(    ) A． B． C． D． 考点四 正弦函数的奇偶性 例1、判断下列函数的奇偶性： （1） （2） （3）． （4）． 例2、判断函数的奇偶性． 考点五 正弦函数的对称性 例1、函数的图象(    ) A．关于直线对称 B．关于直线对称 C．关于点对称 D．关于点对称 考点六 正弦函数的单调性 例1、(多选)函数 在(    ) A．区间上是增函数 B．区间上是增函数 C．区间上是减函数 D．区间上是减函数 例2、，，的大小顺序是(    ) A． B． C． D． 考点七 正弦函数的最值(值域)问题 例1、已知函数，则的值域是(    ) A． B． C． D． 例2、求下列函数的值域： （1）y=|sin x|+sin x； （2），； 例3、求下列函数的值域： （1）y=3―2sin x； （2）． 例4、已知函数的值域为，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 举一反三 1．用“五点法”作出下列函数的简图. (1)，； (2)，. (3)在一个周期()内的图像． (4),; 2.用“五点法”作出函数y=－sin x（0≤x≤2π）的简图： 3.已知，解不等式． 4．函数的最小正周期是(    ) A． B． C． D． 5．(多选)下列函数，最小正周期为的有(    ) A． B． C． D．y＝sin 6．函数(    ) A．是奇函数，但不是偶函数 B．是偶函数，但不是奇函数 C．既是奇函数，又是偶函数 D．既不是奇函数，又不是偶函数 7.关于x的函数=sin(x+)有以下命题： ①对任意的，都是非奇非偶函数； ②不存在，使既是奇函数，又是偶函数； ③存在，使是奇函数； ④对任意的，都不是偶函数. 其中一个假命题的序号是_____.因为当=_____时，该命题的结论不成立. 8．(多选)已知函数是奇函数，则的值可以是(    ) A．0 B． C． D． 9．(多选)以下函数是偶函数的是(    ) A． B． C． D． 10．函数图象的一个对称中心可以是(　　) A． B． C． D． 11．函数 的单调递减区间为 . 12．已知函数其中．若在区间上单调递增，则ω的取值范围是(    ) A． B． C． D． 13．已知函数在区间上不单调，则的取值范围为(    ) A． B． C． D． 14．下列选项中错误的是(    ) A． B． C． 15.求函数y=3sin2x－4sin x+1，的值域． 课 后 作 业 1．函数y=1－sin x，x∈[0，2π]的大致图象是下列图象中的（ ） 2．函数y=2+sin x，x∈[0，2π]的图象与直线y=2的交点个数是（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 3．方程的解的个数是( ) A. B. C. D. 4．设函数，x∈R，对于以下三个结论： ①函数的值域是[－1，1] ②当且仅当（k∈Z）时，取得最大值1 ③当且仅当2kπ+π＜x＜2kπ+（k∈Z）时，． 根据函数的图象判断其中正确结论的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 5． 的值域是( ) A. B. C. D. 6．定义在R上的函数既是偶函数，又是周期函数，若的最小正周期为π，且当时，则（ ） A． B． C． D． 7.函数的定义域是_________． 8．已知，且，则=________． 9．设定义在R上的函数满足，若f（1）=2，则f（2011）=________ ． 10．已知函数． （1）求的定义域、值域； （2）判断的奇偶性． 11．设函数在区间恰有三条对称轴､两个零点，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 12．已知，，，则(    ) A． B． C． D． 13．已知 在区间上的最大值为(    ) A．1 B． C． D． 14．(多选)若函数是偶函数，则的值不可能为(    ) A． B． C． D． 15．函数与y轴最近的对称轴方程是 ． 16．函数的图象的对称轴方程为 ，对称中心为 . 17．求函数，的最大值为 ，最小值为 ． 18．求下列函数的值域． (1)； (2). 19．已知函数在区间上恰有一个最大值点和一个最小值点，则实数的取值范围为(    ) A． B． C． D． 20．已知，且在区间上有最大值，无最小值，则的值为(　　) A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 授课主题 1.5.1正弦函数的图像与性质 知 识 梳 理 一：正弦函数的画法 1．描点法： 按照列表、描点、连线三步法作出正弦函数图象的方法． 2．几何法 利用三角函数线作出正弦函数在内的图象，再通过平移得到的图象． 3．五点法 先描出正弦曲线的波峰、波谷和三个平衡位置这五个点，再利用光滑曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线在一个周期内的图象． 在确定正弦函数在上的图象形状时，起关键作用的五个点是 二：正弦曲线 （1）定义：正弦函数的图象叫做正弦曲线． （2）图象 注意：（1）由正弦曲线可以研究正弦函数的性质． （2）运用数形结合的思想研究与正弦函数有关的问题，如，方程根的个数． 三：正弦函数的性质 正弦函数y＝sinx （1）定义域：R （2）值域及最值：值域为[-1，1]，当时，，当时，． （3）奇偶性：奇函数 （4）周期性：最小正周期 （5）单调区间： 增区间 减区间 k∈Z （6）对称中心： k∈Z （7）对称轴： k∈Z 例题讲解 考点一 “五点法”作图的应用 例1、用五点法作出函数，的图象． 【解析】 找出五点，列表如下： x 0 0 1 0 －1 0 y=2－u 2 1 2 3 2 描点作图（如下图）． 例2、作出下列函数在一个周期图象的简图： (1)；(2)；(3)； 【解析】(1)解：因为，取值列表： 0 0 0 0 描点连线，可得函数图象如图示： (2)解：因为，取值列表： 0 0 2 0 0 描点连线，可得函数图象如图示： (3)解：因为，取值列表： 0 1 3 1 1 描点连线，可得函数图象如图示： 例3、当时，作出下列函数的图象，把这些图象与的图象进行比较，你能发现图象变换的什么规律？ (1)；(2)；(3). 【答案】答案见解析 【解析】(1)该图象与的图象关于轴对称，故将的图象作关于轴对称的图象即可得到的图象. (2)将的图象在轴上方部分保持不变，下半部分作关于轴对称的图形，即可得到的图象. (3)将的图象在轴右边部分保持不变，并将其作关于轴对称的图形，即可得到的图象. 例4、画出正弦函数（x∈R）的简图，并根据图象写出： （1）时x的集合； （2）时x的集合． 【解析】 （1）过点作x轴的平行线，从图象中看出：在[0，2π]区间与正弦曲线交于、两点，在[0，2π]区间内，时x的集合为．当x∈R时，若，则x的集合为． （2）过、两点分别作x轴的平行线，从图象中看出：在[0，2π]区间，它们分别与正弦曲线交于，点和，点，那么当时，x的集合为 或 ． 考点二 正弦函数的定义域 例1、求函数的定义域 【解析】依题意得2sin x－1＞0，即，∴（k∈Z）， ∴函数的定义域为． 考点三 正弦函数的周期 例1、下列函数，最小正周期为的是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数的最小正周期为，故A不符合； 函数，其最小正周期为，故B不符合； 因为函数的最小正周期为，所以函数的最小正周期为，故C符合； 因为函数的最小正周期为，所以函数的最小正周期为，故D不符合. 故选：C. 考点四 正弦函数的奇偶性 例1、判断下列函数的奇偶性： （1） （2） （3）． （4）． 【解析】（1）当时，，分母有意义； 当时，，分母无意义，可见函数的定义域不关于原点对称． 为非奇非偶函数． （2）由2sin x－1＞0，即，得函数定义域为（k∈Z），此定义域在x轴上表示的区间不关于原点对称．∴该函数不具有奇偶性，为非奇非偶函数． （3）由1+sin x≠0，即sin x≠－1，∴（k∈Z），∴原函数的定义域不关于原点对称， ∴既不是奇函数也不是偶函数． （4）函数定义域为R． ， ∴函数为奇函数． 例2、判断函数的奇偶性． 【答案】偶函数 【解析】的定义域为，， 因为，所以为偶函数， 考点五 正弦函数的对称性 例1、函数的图象(    ) A．关于直线对称 B．关于直线对称 C．关于点对称 D．关于点对称 【答案】B 【解析】A.，所以函数不关于直线对称，故A错误； B. ，所以函数关于直线对称，故B正确； C. ，所以函数不关于点对称，故C错误； D. ，所以函数不关于点对称，故D错误； 故选：B 考点六 正弦函数的单调性 例1、(多选)函数 在(    ) A．区间上是增函数 B．区间上是增函数 C．区间上是减函数 D．区间上是减函数 【答案】BC 【解析】. A选项，因在上单调递增，在上单调递减，则在上无单调性，故A错误； B选项，因在上单调递减，则在上单调递增，故B正确； C选项，因在上单调递增，则在上单调递减，故C正确； D选项，因在上单调递增，在上单调递减，则在上无单调性，故D错误.故选：BC 例2、，，的大小顺序是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由正弦函数的单调性可知：在上单调递增，又易知，所以.故选：B 考点七 正弦函数的最值(值域)问题 例1、已知函数，则的值域是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 所以，所以， 所以的值域是.故选：C. 例2、求下列函数的值域： （1）y=|sin x|+sin x； （2），； 【解析】 （1）∵， 又∵－1≤sin x≤1，∴y∈[0，2]，即函数的值域为[0，2]． （2）∵，∴． ∴．∴， ∴0≤y≤2．∴函数的值域为[0，2]． 例3、求下列函数的值域： （1）y=3―2sin x； （2）． 【答案】（1）[1，5]（2） 【解析】 （1）∵－1≤sin x≤1，∴－2≤2sin x≤2，∴－2≤－2sin x≤2，∴1≤3－2sin x≤5，∴函数的值域为[1，5]． （2）方法一：由，得又，， 即解得，综合上述得． 函数的值域为 例4、已知函数的值域为，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，可得， 因为函数的值域为， 所以，解得. 故选：C. 举一反三 1．用“五点法”作出下列函数的简图. (1)，； (2)，. (3)在一个周期()内的图像． (4),; 【答案】图象见解析图象见解析 【解析】(1)列表： 描点、连线、绘图，如图所示. (2)列表： 1 －1 描点连线如图. (3)列表: 0 0 1 0 -1 0 图像如图所示： (4)解:由题知,, 列表如下: 2 1 2 3 2 根据表格画出图象如下: 2.用“五点法”作出函数y=－sin x（0≤x≤2π）的简图： 【解析】列表： x 0 sin x 0 1 0 －1 0 －sin x 0 －1 0 1 0 描点作图，如图： 3.已知，解不等式． 【解析】画出函数y=sin x，的图象，画出函数的图象，如下图，两函数的图象交于A、B两点，其中，，故满足的x的取值范围是． 4．函数的最小正周期是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由函数，则其最小正周期. 故选：B. 5．(多选)下列函数，最小正周期为的有(    ) A． B． C． D．y＝sin 【答案】BC 【解析】对于A，为偶函数，图象关于y轴对称，其图象如下，不是周期函数，故A错误； 对于B，作出函数的图象如下，观察可得其最小正周期为，故B正确； 对于C，由周期公式可得，可得的最小正周期为，故C正确； 对于D，y＝sin的最小正周期为，故错误；故选：BC 6．函数(    ) A．是奇函数，但不是偶函数 B．是偶函数，但不是奇函数 C．既是奇函数，又是偶函数 D．既不是奇函数，又不是偶函数 【答案】A 【解析】由可知是奇函数．故选:A 7.关于x的函数=sin(x+)有以下命题： ①对任意的，都是非奇非偶函数； ②不存在，使既是奇函数，又是偶函数； ③存在，使是奇函数； ④对任意的，都不是偶函数. 其中一个假命题的序号是_____.因为当=_____时，该命题的结论不成立. 【解析】①，kπ(k∈Z)；或者①，+kπ(k∈Z)；或者④，+kπ(k∈Z)． 8．(多选)已知函数是奇函数，则的值可以是(    ) A．0 B． C． D． 【答案】BD 【解析】由函数为奇函数，可得，解得， 当时，，所以B满足题意； 当时，，所以D满足题意； 故选：BD. 9．(多选)以下函数是偶函数的是(    ) A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】四个选项中函数的定义域均为全体实数，满足关于原点对称， 对于:,,所以为奇函数,故错误 对于:,所以为偶函数,故正确; 对于:,, 所以为偶函数,故正确; 对于:,, 所以为偶函数,故正确;故选: 10．函数图象的一个对称中心可以是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，由，得，， 则不是函数图象的一个对称中心，故A错误； 对于B，由，得， 则不是函数图象的一个对称中心，故B错误； 对于C，由，得， 则不是函数图象的一个对称中心，故C错误； 对于D，，得，， 则是函数图象的一个对称中心，故D正确. 故选：D. 11．函数 的单调递减区间为 . 【答案】 【解析】因为， 所以 的单调递增区间就是的单调递减区间． 令， 解得. 所以函数的单调递减区间为. 故答案为：. 12．已知函数其中．若在区间上单调递增，则ω的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由解得， 所以函数的单调递增区间为， 因为在区间上单调递增，所以，所以. 当时，由在区间上单调递增可知，得； 当时，由解得； 当时，无实数解. 易知，当或时不满足题意. 综上，ω的取值范围为. 故选：D 13．已知函数在区间上不单调，则的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】的图象的对称轴为直线，， 因为在区间上不单调， 所以对称轴，在直线与直线之间， 即，，化简得，， 因为，所以令，得，又当时，， 综上. 故选：B． 14．下列选项中错误的是(    ) A． B． C． 【答案】C 【解析】因为，在上单调递增， 所以，故A正确； 因为，所以比1距离正弦函数的对称轴近， 所以，故B正确； 因为，而，由正弦函数的单调性可知，故C错误.故选：C 15.求函数y=3sin2x－4sin x+1，的值域． 【答案】 【解析】， 令t=sin x，因为，所以t∈[0，1]， ，t∈[0，1]，所以． 课 后 作 业 1．函数y=1－sin x，x∈[0，2π]的大致图象是下列图象中的（ ） 【答案】B 【解析】先由y=sin x，x∈[0，2π]的图象，作出y=－sin x，x∈[0，2π]的图象，再画出y=1－sin x，x∈[0，2π]的图象． 2．函数y=2+sin x，x∈[0，2π]的图象与直线y=2的交点个数是（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【解析】在同一坐标系中作y=2+sin x与y=2的图象，再观察交点个数． 3．方程的解的个数是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】在同一坐标系中分别作出函数的图象，左边三个交点，右边三个交点，再加上原点，共计个. 4．设函数，x∈R，对于以下三个结论： ①函数的值域是[－1，1] ②当且仅当（k∈Z）时，取得最大值1 ③当且仅当2kπ+π＜x＜2kπ+（k∈Z）时，． 根据函数的图象判断其中正确结论的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】作出正弦函数y=sin x，x∈R的图象（如下图），从图中可以看出①②正确，③错误． 5． 的值域是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 6．定义在R上的函数既是偶函数，又是周期函数，若的最小正周期为π，且当时，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】． 7.函数的定义域是_________． 【答案】（0，3] 【解析】由不等式求出． 8．已知，且，则=________． 【答案】 【解析】由，可得，∴． 9．设定义在R上的函数满足，若f（1）=2，则f（2011）=________ ． 【答案】 【解析】由，∴是以4为周期的周期函数， 10．已知函数． （1）求的定义域、值域； （2）判断的奇偶性． 【解析】（1）由已知，又有－1≤sin x≤1，故－1＜sin x＜1． 故的定义域为． 又，因为－1＜sin x＜1，所以，，，．故的值域为（－∞，+∞）． （2）函数的定义域关于原点对称，且sin(―x)=―sin x． 故，故是奇函数． 11．设函数在区间恰有三条对称轴､两个零点，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由函数，其中，可得， 因为函数在区间恰有三条对称轴､两个零点， 则满足，解得，所以的取值范围为. 故选：C. 12．已知，，，则(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由诱导公式知：，， 在上单调递增，，即. 故选：D. 13．已知 在区间上的最大值为(    ) A．1 B． C． D． 【答案】A 【解析】因为所以 结合三角函数的图像性质，函数在单调递增， 所以 故选：A. 14．(多选)若函数是偶函数，则的值不可能为(    ) A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据二次函数与余弦函数的性质求解最值即可. 【详解】由函数是偶函数，可得，即， 则，解得， 当时，可得，无论取何值，都不可能等于或或． 故选：ABD． 15．函数与y轴最近的对称轴方程是 ． 【答案】 【解析】令，解得， 令，则；令，则； 因为，所以与y轴最近的对称轴方程是. 故答案为：. 16．函数的图象的对称轴方程为 ，对称中心为 . 【答案】 【解析】由，解得， 所以函数的对称轴方程为. 令，得， 所以函数的对称中心为. 故答案为：， 17．求函数，的最大值为 ，最小值为 ． 【答案】 4 1 【解析】因为，所以， 所以， 所以， 所以， 故函数，的最大值为4，最小值为1． 故答案为：4，1 18．求下列函数的值域． (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【解析】(1)， ∵， ∴， ∴， ， 即 . ∴函数的值域为. (2)，    根据正弦函数的性质，可知 故. 即函数的值域为. 19．已知函数在区间上恰有一个最大值点和一个最小值点，则实数的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为在区间上恰有一个最大值点和一个最小值点， 所以，所以． 令，当时，， 于是在区间上的最值点个数等价于在上的最值点个数． 由知，，， 因为在上恰有一个最大值点和一个最小值点， 所以解得． 答案：B. 20．已知，且在区间上有最大值，无最小值，则的值为(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 所以函数的图象关于对称， 且在区间上有最大值，无最小值， 所以， 所以， 所以， 当时，， 当时，，此时在区间内已存在最小值; 当时，，此时在区间内已存在最小值． 故选：A． 学科网（北京）股份有限公司 $$