山东省临沂第三中学2024-2025学年高三下学期适应性考试数学试题

2025年临沂三中高三（下）适应性考试（原卷版） 一．选择题（共8小题，满分40分） 1．已知集合，，则　　 A． B． C． D． 2．复数的虚部为　　 A． B． C． D． 3．假定风力等级与风速的关系满足方程：（其中为风速，单位：，为风力等级），2025年4月12日，河北省气象部门发布大风预警，某地区风速达到，则该地区此次大风的风力等级约为　　（注 A．2级 B．3级 C．4级 D．5级 4．在等差数列中，是的前项和，满足，，则有限项数列，，，，中，最大项和最小项分别为　　 A．， B．， C．， D．， 5．函数图象上存在两点，，满足，则下列结论成立的是　　 A． B． C． D． 6．分布在数据分析中常常用于分类变量回归，若连续随机变量满足：，则称服从位置参数为，形状参数为的分布，则　　 A．满足二项分布的随机变量也是连续随机变量 B．若连续随机变量满足：，则服从分布 C．若服从位置参数为0，形状参数为的分布，则 D．若服从位置参数为，形状参数为的分布，则 7．已知两个单位向量与的夹角为，若，，且，则实数　　 A． B． C． D．1 8．已知双曲线的左右焦点分别为，，曲线上的点满足，则双曲线的离心率为　　 A． B． C． D． 二．多选题（共3小题，满分18分） 9．已知实数，满足，则下列不等式正确的是　　 A． B． C． D． 10．已知函数，则下列说法正确的是　　 A．当时， B．当时，过原点与曲线相切的直线为 C．若不等式在，，时恒成立，则 D．若函数恰有1个零点，则 11．如图，在棱长为2的正方体中，点，分别为，的中点，为面的中心，则以下命题正确的是　　 A．平面截正方体所得的截面面积为 B．四面体的外接球的表面积为 C．四面体的体积为 D．若点为的中点，则存在平面内一点，使直线与所成角的余弦值为 三．填空题（共3小题，满分15分） 12．若样本数据，，，的均值为10，则样本数据，，，的均值为 　　 ． 13．在数学教科书《选择性必修第一册》中，有一段对圆锥曲线统一定义的描述．其中提到：设椭圆的一个焦点为，长半轴长为，则一点在椭圆上当且仅当．由于圆不在考虑范围内，，上式经变形化为等价条件，其中是椭圆的离心率，我们还把直线称为椭圆的准线．这样，上式用文字叙述就是：椭圆是到焦点与到准线的距离之比等于离心率的点的轨迹，其中离心率满足．阅读以上文字，并回答以下问题：设椭圆恒过定点，则椭圆的中心到准线的距离的最小值 　　． 14．如图，在的方格中放入棋子，每个格子内至多放一枚棋子，若每行都放置两枚棋子，则恰好每列都有两枚棋子的概率为 　　 ． 四．解答题（共5小题共计77分） 15．已知在三棱柱中，，，，，． （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 16．某学校为了调动学生学习数学的积极性，在高二年级举行了一次数学有奖竞赛，对考试成绩优秀（即考试成绩不小于130分）的学生进行了奖励．学校为了掌握考试情况，随机抽取了部分考试成绩，并以此为样本制作了如图所示的样本频率分布直方图．已知第一小组，的频数为10． （1）求的值和样本容量； （2）估计所有参赛学生的平均成绩； （3）假设在抽取的样本中，男生比女生多20人，女生的获奖率为，填写下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，判断男生与女生的获奖情况是否存在差异？ 性别 奖励 合计 获奖 未获奖 男 女 合计 附：， 0.05 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 17．定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数，使成立，则称函数为极值可差比函数，常数称为该函数的极值差比系数．已知函数． （1）是否存在使的极值差比系数为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （2）若，求的极值差比系数的取值范围． 18．设集合、为正整数集的两个子集，、至少各有两个元素．对于给定的集合，若存在满足如下条件的集合：①对于任意、，若，都有；②对于任意、，若，则．则称集合为集合的“集”． （1）若集合，3，，写出的“集” （不需要证明）； （2）若，，，存在“集”，其中．当时，求的最大值； （3）若三元集存在“集” ，且中恰含有4个元素，求证：． 19．已知圆与抛物线交于，两点，． （1）求曲线的方程； （2）设过抛物线焦点的直线交于、两点，过圆心的直线与曲线的另一个交点为，点在与之间． 证明：线段垂直于轴； 记△的面积为，△的面积为，求的取值范围． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年临沂三中高三（下）适应性考试（解析版） 一．选择题（共8小题，满分40分） 1．已知集合，，则　　 A． B． C． D． 2．复数的虚部为　　 A． B． C． D． 3．假定风力等级与风速的关系满足方程：（其中为风速，单位：，为风力等级），2025年4月12日，河北省气象部门发布大风预警，某地区风速达到，则该地区此次大风的风力等级约为　　（注 A．2级 B．3级 C．4级 D．5级 4．在等差数列中，是的前项和，满足，，则有限项数列，，，，中，最大项和最小项分别为　　 A．， B．， C．， D．， 5．函数图象上存在两点，，满足，则下列结论成立的是　　 A． B． C． D． 6．分布在数据分析中常常用于分类变量回归，若连续随机变量满足：，则称服从位置参数为，形状参数为的分布，则　　 A．满足二项分布的随机变量也是连续随机变量 B．若连续随机变量满足：，则服从分布 C．若服从位置参数为0，形状参数为的分布，则 D．若服从位置参数为，形状参数为的分布，则 7．已知两个单位向量与的夹角为，若，，且，则实数　　 A． B． C． D．1 8．已知双曲线的左右焦点分别为，，曲线上的点满足，则双曲线的离心率为　　 A． B． C． D． 二．多选题（共3小题，满分18分） 9．已知实数，满足，则下列不等式正确的是　　 A． B． C． D． 10．已知函数，则下列说法正确的是　　 A．当时， B．当时，过原点与曲线相切的直线为 C．若不等式在，，时恒成立，则 D．若函数恰有1个零点，则 11．如图，在棱长为2的正方体中，点，分别为，的中点，为面的中心，则以下命题正确的是　　 A．平面截正方体所得的截面面积为 B．四面体的外接球的表面积为 C．四面体的体积为 D．若点为的中点，则存在平面内一点，使直线与所成角的余弦值为 三．填空题（共3小题，满分15分） 12．若样本数据，，，的均值为10，则样本数据，，，的均值为 　　 ． 13．（5分）在数学教科书《选择性必修第一册》中，有一段对圆锥曲线统一定义的描述．其中提到：设椭圆的一个焦点为，长半轴长为，则一点在椭圆上当且仅当．由于圆不在考虑范围内，，上式经变形化为等价条件，其中是椭圆的离心率，我们还把直线称为椭圆的准线．这样，上式用文字叙述就是：椭圆是到焦点与到准线的距离之比等于离心率的点的轨迹，其中离心率满足．阅读以上文字，并回答以下问题：设椭圆恒过定点，则椭圆的中心到准线的距离的最小值 　　． 14．如图，在的方格中放入棋子，每个格子内至多放一枚棋子，若每行都放置两枚棋子，则恰好每列都有两枚棋子的概率为 　　 ． 四．解答题（共5小题共计77分） 15．已知在三棱柱中，，，，，． （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 16．某学校为了调动学生学习数学的积极性，在高二年级举行了一次数学有奖竞赛，对考试成绩优秀（即考试成绩不小于130分）的学生进行了奖励．学校为了掌握考试情况，随机抽取了部分考试成绩，并以此为样本制作了如图所示的样本频率分布直方图．已知第一小组，的频数为10． （1）求的值和样本容量； （2）估计所有参赛学生的平均成绩； （3）假设在抽取的样本中，男生比女生多20人，女生的获奖率为，填写下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，判断男生与女生的获奖情况是否存在差异？ 性别 奖励 合计 获奖 未获奖 男 女 合计 附：， 0.05 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 17．定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数，使成立，则称函数为极值可差比函数，常数称为该函数的极值差比系数．已知函数． （1）是否存在使的极值差比系数为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （2）若，求的极值差比系数的取值范围． 18．设集合、为正整数集的两个子集，、至少各有两个元素．对于给定的集合，若存在满足如下条件的集合：①对于任意、，若，都有；②对于任意、，若，则．则称集合为集合的“集”． （1）若集合，3，，写出的“集” （不需要证明）； （2）若，，，存在“集”，其中．当时，求的最大值； （3）若三元集存在“集” ，且中恰含有4个元素，求证：． 19．已知圆与抛物线交于，两点，． （1）求曲线的方程； （2）设过抛物线焦点的直线交于、两点，过圆心的直线与曲线的另一个交点为，点在与之间． 证明：线段垂直于轴； 记△的面积为，△的面积为，求的取值范围． 2025年临沂三中高三（下）适应性考试 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B D C B C C A 二．多选题（共3小题） 题号 9 10 11 答案 ABC AB ABC 一．选择题（共8小题，满分40分） 1．已知集合，，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：集合，， 则． 故选：． 2．复数的虚部为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：， ， 则虚部为， 故选：． 3．假定风力等级与风速的关系满足方程：（其中为风速，单位：，为风力等级），2025年4月12日，河北省气象部门发布大风预警，某地区风速达到，则该地区此次大风的风力等级约为　　（注 A．2级 B．3级 C．4级 D．5级 【答案】 【解答】解：因为， 当时，， 故． 故选：． 4．在等差数列中，是的前项和，满足，，则有限项数列，，，，中，最大项和最小项分别为　　 A．， B．， C．， D．， 【答案】 【解答】解：，，公差，． ， ，则； 同理由，可得，， 结合，可得，． 时，最小且，而， 最大，最小． 故选：． 5．（5分）函数图象上存在两点，，满足，则下列结论成立的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：由题知， ，，均在上， ， ， ， 故有：，， 两等式联立， 解得， ， ， ， ， 综上选项正确． 故选：． 6．分布在数据分析中常常用于分类变量回归，若连续随机变量满足：，则称服从位置参数为，形状参数为的分布，则　　 A．满足二项分布的随机变量也是连续随机变量 B．若连续随机变量满足：，则服从分布 C．若服从位置参数为0，形状参数为的分布，则 D．若服从位置参数为，形状参数为的分布，则 【答案】 【解答】解：对于选项，满足二项分布的随机变量是离散型随机变量，错； 对于选项，根据分布的定义可知， 若连续随机变量满足，则不服从分布，错； 对于选项，若服从位置参数为0，形状参数为的分布， 则，所以，， ， 故，对； 对于选项，若服从位置参数为，形状参数为的分布， 则，， 所以，， 因为，所以，即，错． 故选：． 7．已知两个单位向量与的夹角为，若，，且，则实数　　 A． B． C． D．1 【答案】 【解答】解：两个单位向量与的夹角为， 则，， ，，且， 则，解得． 故选：． 8．已知双曲线的左右焦点分别为，，曲线上的点满足，则双曲线的离心率为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：因为，所以，所以，， 又， 所以，即双曲线的离心率为． 故选：． 二．多选题（共3小题，满分18分） 9．已知实数，满足，则下列不等式正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：由不等式，可得，且，即， 对于中，由，所以，所以正确； 对于中，由，根据不等式的性质，可得，所以正确； 对于中，由， 当且仅当时，即时等号成立， 因为，所以等号不成立，即，所以正确； 对于中，由，可得，则，所以，所以错误． 故选：． 10．已知函数，则下列说法正确的是　　 A．当时， B．当时，过原点与曲线相切的直线为 C．若不等式在，，时恒成立，则 D．若函数恰有1个零点，则 【答案】 【解答】解：对于：当时，，则， 令，得， 所以当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增， 所以，所以，故正确； 对于：当时，，则， 设切点为，，则过切点的切线方程为， 因为切线过原点，所以，解得， 此时，所以过原点与曲线相切的直线为，故正确； 对于：不等式在，，时恒成立， 不妨令，则不等式转化为在，恒成立，即， 令，则在，上单调递增， 在，恒成立，即在，恒成立， 令，在，恒成立，在，上单调递减， ，所以，故错误； 对于恰有1个零点，是一个零点， 要使函数恰有1个零点，则方程无实根或只有一个根， 令，，当时，，单调递减；当时，，单调递增， ，要使无零点或只有一个零点，则，即，故错误． 故选：． 11．如图，在棱长为2的正方体中，点，分别为，的中点，为面的中心，则以下命题正确的是　　 A．平面截正方体所得的截面面积为 B．四面体的外接球的表面积为 C．四面体的体积为 D．若点为的中点，则存在平面内一点，使直线与所成角的余弦值为 【答案】 【解答】解：对选项，如图，取的中点， 则易知，且， 平面截正方体所得的截面为菱形， 又易知菱形的对角线，， 菱形的面积为，选项正确； 对选项，如图，取的中点，的中点，的中点， 连接，则易知平面，根据对称性可知： 四面体的外接球的球心在上，且满足该球的半径， 设，则，又易知，， 在与中，由勾股定理可得： ，， 解得，， 四面体的外接球的表面积为，选项正确； 对选项，如图，取的中点，的中点，的中点，的中点， 则在上，易知， 从而可得平面， 到平面的距离等于到平面的距离， 又根据分割补形法可得， 四面体的体积为： ，选项正确； 对选项，如图，取的中点，的中点， 则易知，平面， 与平面所成角为， 又由最小角定理可得：为与平面所成角的最小角， 根据余弦函数在，单调递减， 可得：与平面所成角的余弦值小于或等于， 而易知，，， ， 直线与所成角的余弦值不可能等于，选项错误． 故选：． 三．填空题（共3小题，满分15分） 12．若样本数据，，，的均值为10，则样本数据，，，的均值为 　　 ． 【答案】19． 【解答】解：由题可得：样本数据，，，的均值为． 故答案为：19． 13．在数学教科书《选择性必修第一册》中，有一段对圆锥曲线统一定义的描述．其中提到：设椭圆的一个焦点为，长半轴长为，则一点在椭圆上当且仅当．由于圆不在考虑范围内，，上式经变形化为等价条件，其中是椭圆的离心率，我们还把直线称为椭圆的准线．这样，上式用文字叙述就是：椭圆是到焦点与到准线的距离之比等于离心率的点的轨迹，其中离心率满足．阅读以上文字，并回答以下问题：设椭圆恒过定点，则椭圆的中心到准线的距离的最小值 　　． 【答案】． 【解答】解：椭圆恒过定点，可得， ， 设椭圆的中心到直线的距离为， 椭圆的焦距为，同时可设，， ， ， 有正根，则， 即只需△，且时，方程有解，， 或， 椭圆恒过定点， 则椭圆的中心到准线，， 则椭圆的中心到准线的距离的最小值为． 故答案为：． 14．如图，在的方格中放入棋子，每个格子内至多放一枚棋子，若每行都放置两枚棋子，则恰好每列都有两枚棋子的概率为 　　 ． 【答案】． 【解答】解：设“每行都放置两枚棋子”为事件，“每列都有两枚棋子”为事件， 则所求概率为， 根据题意，每行都放置两枚棋子，即每行都在4个方格中选2个放置棋子，有种方法， 所以（A）， 对于“每行每列都放置两枚棋子”，不妨令第一行的两枚棋子放置在左边第一、二个方格， 此时第二行有种放置方法，则第三、四行的放置方法如图， 图1有1种方法，图2、3、4、5各有2种方法， 图6中，第三行有种放置方法，其选定方格后，第四行只有唯一的放置方法， 所以总共有种方法， 因为第一行棋子有种放置方法，其他5种情况同理，故， 所以若每行都放置两枚棋子，则恰好每列都有两枚棋子的概率． 故答案为：． 四．解答题（共5小题） 15．已知在三棱柱中，，，，，． （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明过程请见解答；（2）． 【解答】（1）证明：设的中点为，连接、， 因为，所以， 因为，且，所以， 又、平面，且，所以平面， 因为平面，所以， 在△中，由余弦定理得，，即， 解得或（舍， 在△和△中，可知，， 在△中，，即， 又，且、平面，且，所以平面， 因为平面，所以平面平面． （2）解：以为坐标原点，以、、所在直线分别为、、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，0，，，0，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则， 令，得， 设平面的法向量为，则， 令，得， 设平面与平面夹角为， 则，， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 16．某学校为了调动学生学习数学的积极性，在高二年级举行了一次数学有奖竞赛，对考试成绩优秀（即考试成绩不小于130分）的学生进行了奖励．学校为了掌握考试情况，随机抽取了部分考试成绩，并以此为样本制作了如图所示的样本频率分布直方图．已知第一小组，的频数为10． （1）求的值和样本容量； （2）估计所有参赛学生的平均成绩； （3）假设在抽取的样本中，男生比女生多20人，女生的获奖率为，填写下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，判断男生与女生的获奖情况是否存在差异？ 性别 奖励 合计 获奖 未获奖 男 女 合计 附：， 0.05 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1），样本容量为100； （2）120； （3）列联表： 性别 奖励 合计 获奖 未获奖 男 12 48 60 女 5 35 40 合计 17 83 100 男生与女生的获奖情况不存在差异． 【解答】解：（1）由频率分布直方图可知，， 解得， 因为第一小组，的频数为10， 所以样本容量为； （2）由题意，估计所有参赛学生的平均成绩为； （3）因为样本容量为100，男生比女生多20人， 所以女生人数为，男生人数为， 因为女生的获奖率为， 所以女生中获奖人数为，可得女生中未获奖人数为， 因为对考试成绩不小于130分的学生进行了奖励，成绩不小于130分的频率为， 所以样本中获奖总人数为人， 所以男生中获奖人数为人，可得男生中未获奖人数为， 可得列联表： 性别 奖励 合计 获奖 未获奖 男 15 45 60 女 5 35 40 合计 20 80 100 零假设：男生与女生的获奖情况不存在差异， 则， 依据小概率值的独立性检验，我们推断成立，即男生与女生的获奖情况不存在差异． 17．定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数，使成立，则称函数为极值可差比函数，常数称为该函数的极值差比系数．已知函数． （1）是否存在使的极值差比系数为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （2）若，求的极值差比系数的取值范围． 【答案】（1）不存在，理由见解析． （2）． 【解答】解：（1）不存在，理由如下： 根据题意函数的定义域为，所以，即， 假设函数是极值可差比函数，且极值差比系数为， 设函数的极小值点为，极大值点为， 因此方程有两个根，分别为，，那么可得，解得， 其中函数开口向上，因此， 又因为，那么． 根据 ， 根据题则有：． 从而， 结合，可得． 令函数，那么导函数， 因此函数在上单调递增，有（1）， 所以方程在时无解，所以不存在使函数的极值差比系数为； （2）根据第一问可知，函数的极值差比系数为， 其中，因此， 设，那么， 又因为，，那么，， 因此，由于， 因此， 令函数，那么导函数， 因此函数在上单调递减， 又因为，因此， 所以函数，那么导函数， 令函数，， 那么导函数恒成立， 因此函数在区间上单调递减， 其中， 因此函数在上恒成立，在上恒成立， 所以在上单调递增， 其中，， 所以的极值差比系数的取值范围为． 18．设集合、为正整数集的两个子集，、至少各有两个元素．对于给定的集合，若存在满足如下条件的集合：①对于任意、，若，都有；②对于任意、，若，则．则称集合为集合的“集”． （1）若集合，3，，写出的“集” （不需要证明）； （2）若，，，存在“集”，其中．当时，求的最大值； （3）若三元集存在“集” ，且中恰含有4个元素，求证：． 【答案】（1），9，； （2）3； （3）证明见解析． 【解答】解：（1）根据题意，若，3，， 则有，，，即3，9，， 此时，满足题意， 假设集合中还有第四个元素为， 分2种情况讨论： 若，即，则，不成立； 若，则，或9或27，矛盾． 故集合中无四个元素，集合，9， （2），，其中， 所以，，又，故，同理可得， 当，可得，从而必有， 对任意的，有，即， 所以，即． 所以的最大值为3． （3）证明：用反证法分析： 设集合，，，不妨设， 假设，即，则且，，， 由②知，由于，故有，即，所以， 故，即，因为集合中有4个元素， 故设， 由于，有和两种情况： 若，则，，矛盾； 若，，则或或，所以或或，与集合元素的互异性矛盾， 综合可得假设不会成立，故． 19．已知圆与抛物线交于，两点，． （1）求曲线的方程； （2）设过抛物线焦点的直线交于、两点，过圆心的直线与曲线的另一个交点为，点在与之间． 证明：线段垂直于轴； 记△的面积为，△的面积为，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）证明见解析；，． 【解答】（1）解：由圆，得， 圆圆心为，半径为， 设与轴交于点，如图所示， 圆和抛物线都关于轴对称，则，两点也关于轴对称，且， 在直角三角形中，由，，得，则， 抛物线过点，即，得， 抛物线方程为； （2）证明：由（1）知， 直线的斜率不为0，故设的方程为，，，，， 联立，得：， △，，， ． ，故直线与直线关于轴对称，即点与点关于轴对称， 线段垂直于轴； 由可知，，不妨设， 点在与之间，，， ，， 则． 令，，则，， 令，则，解得；，解得． 则在上单调递增，在上单调递减， ， 的取值范围为，． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$