湖北省孝感市楚天教科研协作体2024-2025学年高一下学期6月期末考试数学试题

2024-2025学年度下学期高一期末考试 高一数学试卷 全卷满分150分。考试用时120分钟。 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并认 真核准准考证号条形码上的以上信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的 非答题区域均无效。 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑：非选择题用黑色签字笔在答题 卡上作答；字体工整，笔迹清楚。 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的， 1.1-51的共轭复数的虚部为( ) A.1 B.-1 C.i D.-i 2.sin80°cos(-20)+cos70°cos100°=( A月 B.⑤ c D. 3 2 2 3.己知ā=L,√5)，万=(2,0)，则ā-万在b上的投影向量为() A.(1,0) C.(-1,0) D 4.已知}+ana=-} 1-an2=3'则sin2a的值为( A.3 4 B.- C.4 D.3 5.为了得到函数y=cos(x-乃)的图像，只要把正弦函数上所有点( ) A.向右平移5π个单位长度 B.向右平移3江个单位长度 8 C.向左平移3r个单位长度 D.向左平移刀个单位长度 8 高一数学试卷（共4页）第1页 6.下列命题正确的个数是() ①空间中三条不同的直线a,b,c满足a⊥c,b⊥c,a∥b,则a,b,c共面 ②已知直线a,b和平面a,且a⊥b,a⊥a,则b∥a ③如果平面a⊥平面B,平面B⊥平面y,那么平面⊥平面” ④已知平面a,B,y,且⊥yB⊥5a∩B=,则⊥y A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 7.海上某货轮在A处看灯塔B,在货轮的南偏东75°，距离为60W6海里处：在A处看灯塔C, 在货轮的南偏西30°，距离为40V3海里处，货轮由A处向正南航行到D处时看灯塔B在北 偏东60°，则灯塔C与D处之间的距离为( ) A.406海里 B.40海里 C.40W3海里 D.60W3海里 8.在三棱锥D-ABC中，AB=2N3,AD=BD,AC⊥BC,∠ADB=60°，E为AB的中点，三棱 锥D-ABC的外接球的表面积为36π，则直线DE与平面ABC所成角的正弦值为( ) A. 3 B.v6 C.3 D.V30 6 3 6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.在正四棱柱ABCD-ABC,D中，E,F分别是BC,AD,的中点，则() A.BD⊥CD B.AE∥平面CDFC.DF∥EB D.BD⊥平面CDF 10.某新能源汽车公司对600辆量产车进行电池续航测试，其中360辆为SUV车型，240辆为轿 车车型.质检部门采用分层抽样（按车型分层）抽取60辆车，实测满电续航里程.经计算： SUV车型样本均值为475公里，方差为20：轿车车型样本均值为465公里；所有60辆样本 车的总方差为48.下列说法正确的是() A.SUV车型的样本容量为36 B。每辆轿车被抽入到样本的概率为 C.所有样本车的平均续航里程为471公里D.轿车续航里程的样本方差为30 11.通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似的，我们可以把有序复数对（乙1， z2)(z,z2∈C)看作一个向量，记ā=(z,z2),则称ā为复向量.类比平面向量的相关运算 法则，对于ā=（亿，2），万=(3,24)，名、2、23、24、1∈C,我们有如下运算法则： ①a±b=(3±z,z2±z4)；②a=(,z2):③a.b=z+z224:④1a=Vaā. 则下列结论正确的是() A.若a=1,2-),b=1+i,2),则a.b=-1+5i B.若a=(1,2-i),b=(1+i,2i),则川|ā+b=V10 C.(a)b=a.(2b) D.a.(b+c)=a.b+a.c 高一数学试卷（共4页)第2页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知圆台的上底面直径为1，下底面直径为2，母线长为1，则该圆台的体积为 13.若点(a,0)是函数y=2cos(x-)图像的一个对称中心，则a的最小值为 14△M6C中，点D在边BC上.D=2,am∠CAB-号，∠DAB=45°，则AMBC面积的最小 值是 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 设ā，b是不共线的两个向量. ()若ga+m西∥ma+),求实数m的值： (2)己知向量a,b满足|a=2,b=1,(a+2b)1a,求|2a-b|. 16.（15分) 在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c. asin A+asin Ccos B+bsin Ccos A=bsin B+csin A. (1)求角B的大小： (2)BC=4,延长CA至D,使A点是线段CD的中点，BD=2√6，求AB边的长度. 17.(15分) 某科技公司在招聘人工智能工程师的选拔过程中，对200名应聘者进行专业技能测试.应聘 者的测试分数x,(i=1,2,·,200)全部介于30分到80分之间，公司将所有分数分成5组：[30， 40),[40,50)，,,[70,80],整理得到如图所示的频率分布直方图（同组数据以这组数据 的中间值作为代表)， (1)估计此次测试分数的平均值x; (2)公司计划按照分数从高到低选拔前50名的应聘者进入面试环节，试估计这50名应聘 者的最低分数： 高一数学试卷（共4页）第3页 (3)试估计这200名应聘者的分数x,(i=1,2,…,200)的方差s2,并判断此次得分为63 分和72分的两名应聘者的成绩是否进入到了[氏-s,x+]范围内？ (参考公式：=1∑化-，其中f为各组频数，参考数据：而≈3.2). n i=l 个颜率 组距 0.03---1 0.02 0.015 0304050607080测试分数 18.(17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD, PA=AC=2,BC=1,∠BAC=30°. (1)若AD∥平面PBC.证明：AD⊥PB; (2)若平面PAD⊥平面PCD,CD=1, (i)证明：AD⊥CD; ()求二面角A-PCD的正弦值. 19.(17分) 如图，正方形ABCD中，边长为a,E为AB中点，F是边BC上的动点，将△AED,△BEF 分别沿着DE,EF折起，使A,B两点重合于点S. (1)求证：SE⊥DF; (2)当F是边BC的中点时，将△AED,△BEF,△DCF分别沿着DE,EF,DF折起，使A,B, C三点重合于点S,求三棱锥SDEF的外接球的表面积； (3)a=4,若BF>1,设直线SE与平面DEF所成角为0， 求sinO的最大值. A 高一数学试卷（共4页）第4页2024-2025学年度下学期高一期末考试 高一数学答题卡 姓 贴条形码区 准考证号 填涂样例 贴缺考标识 正确填涂■ 考生禁填！由监考老师填写。☐ 注1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定的位置贴好条形码。 意2.选择题必须使用2日铅笔敏涂：非选择题必须使用签字笔或钢笔答题：字体工整、笔迹清楚。 事3请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效：在试题卷、草稿纸上答题无效。 项4保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。考试结束后，请将答题卡，试题卷一并上交。 选择题 1AJBC☒D 5ABCD回 9A®回☒D回 2AIBC☒D回 6因®☐©D 10A®回☒D 3AB回©D 7A®可C回 11因回©回 4因®©回 8ABC☑D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 填空题 12. 13. 14. 请勿在此区域内作答 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 解答题 15.(本小题满分13分) 请在各题日的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 高一数学答题卡（共2页）第1页 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 16.(本小题满分15分) 请在各题日的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 姓名 座位号 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 17.(本小题满分15分) 个频率 组距 0.03----- 0.02 0.015 0304050607080 测试分数 请在各题日的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18.(本小题满分17分) B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 高一数学答题卡（共2页）第2页 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19.(本小题满分17分) S 汐 请在各题日的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效数学答案（共 6 页）第 1页 2024-2025学年度下学期高一期末考试 高一数学答案 1．【答案】A 【解答】 1 5 5i i i     ，∴ 1 5i i  的共轭复数 5 i  ，∴虚部为1． 2．【答案】D 【解答】：原式= 3sin80 cos( 20 ) cos70 cos100 sin80 cos20 sin 20 co s80 sin(80 20 ) sin 60 2                    ． 3．【答案】C 【解答】根据题意，可得 | | 2b   ， ( 1, 3)a b    ， ( ) 1 2 3 0 2a b b           ，所以 a b  在 b  上的投 影向量为 ( ) 1 2| | | | a b b b b b b            ． 4．【答案】B 【解答】根据题意，可得 ,2tan  5 4 tan1 tan22sin 2     5．【答案】C． 【解答】解：由于 3sin cos( ) cos[( ) ] 2 8 8 y x x x        ，所以将函数 siny x 的图像向左平移 3 8  个单 位长度得 cos( ) 8 y x   ． 6.【答案】B 【解答】①是错的，因为 可以不共面cba ,, .②是错的，因为直线 b可以在平面内. ③是错的，因为平面 ， 平面 可以平行. 7．【答案】C 【解答】解：在 ABD△ 中， 75DAB  ， 60ADB  ， 660AB ，则 45ABD  ， 由正弦定理得 sin sin AD AB ABD ADB    ，解得 AD=120. 在 ACD 中, 30CAD  ，AD=120,AC= 340 则由余弦定理得 2 2 2 2 cosCD AC AD AC AD CAD    ∠ 所以 CD= 340 8.【答案】B 数学答案（共 6 页）第 2页 【解答】解：如图，设球心为O， ABD△ 的外接圆圆心为 F ，连接 , , , ,OE OA EF OF FA ， ,FB FD， 因为 90 ,ACB E   为 AB的中点，，所以 E为 ABCV 的外心， 由 ,AD BD F 为 ABD△ 的外心，得 , ,D F E三点共线，且 EF AB . 由题意得OE 平面 ABC， AB 面 ABC，则OE AB ， 故直线DE与平面 ABC所成角为 OEF 的余角， 在 ABD△ 中，由题设可得， 由正弦定理得 FA=FB=FD=2，所以 EF=1,又球的半径为 3，所以 OE= 6 6 6 6 1  EO EFOEFCOS而 ,所以直线 DE与平面 ABC所成角的正弦值是 6 6 9．【答案】BC 【解答】对于 A： 1CD 在底面 ABCD的射影为CD，显然 BD不垂直CD，所以 BD不垂直 1CD ，错误； 对于 B：取 AD中点M ，易知 1AE CM C F  ，所以 1AE C DF平面 ，正确； 对于C：取 1 1B C 中点 N，易知 1DF CN EB  ，所以 1DF EB ，正确； 对于 D： 1BD 在侧面 1CD 的射影为 1CD ，在侧面 1AD 的射影为 1AD ， 1CD 垂直 1DC 与 1AD 垂直 DF不能同时 成立，则 1BD 不垂直 1C DF平面 ，错误． 10．【答案】ACD 【解答】对于 A：由 36060 36 600   辆，正确； 对于 B：由 24060 24 600   辆，每辆轿车被抽入到样本的概率为 24 1 240 10  ，错误； 对于C：所有样本车的平均续航里程为 36 475 224 465 471 60     公里，正确； 对于 D：设轿车车型样本方差为 2s ，由题意可得： 48])471465([ 5 2])471475(20[ 5 3 222  s ， 所以 302 s ， D正确． 11．【答案】BD 【解答】由 (1,2 )a i  ， (1 ,2 )b i i   ， (2 ,2 )a b i i     ， 1 (1 ) 2 (2 ) 1 5a b i i i i          ， | | (2 )(2 ) (2 )(2 ) 10a b i i i i         ，所以 A错误、B正确； 对于 C： 1 2 3 4( , ), ( , )a z z b z z        ， 1 3 2 4( )a b z z z z      ， 1 3 2 4( )a b z z z z      ， 设 a bi   ， 3z c di  ， a ， b ， c ， d R ， 则 3 ( )( ) ( ) ( )z a bi c di ac bd ad bc i        ， 3 ( ) ( )z ac bd ad bc i     ， 3 ( )( ) ( ) ( )z a bi c di ac bd ad bc i        ，所以 3 3z z  ， 故 ( ) ( )a b a b       ，即 C错误； 对于 D：设 1 2( , )a z z  ， 3 4( , )b z z  ， 5 6( , )c z z  ， 1z ， 2z ， 3z ， 4z ， 5z ， 6z C ， 3 5 4 6( , )b c z z z z      ， 1 3 2 4a b z z z z    ， 61 5 2a c z z z z       ， 1 3 5 62 4( )a b c z z z z z z        ， 因为 3 5 3 5z z z z   ， 4 6 4 6z z z z   ，所以 1 3 5 2 4 6 1 3 2 4 1 5 2 6( ) ( ) ( )a b c z z z z z z z z z z z z z z            ， 故 D正确． 数学答案（共 6 页）第 3页 12．【答案】  24 37 【解答】解：由台体的体积公式可得 2 3 243 1 ）（  V =  24 37 13．【答案】 6  【解答】解：由已知， 1 3 2 a k     ， k Z ，所以 5 6 a k   ， k Z ， 所以取 1k   时，得 a 的最小值为 6  ． 14.【答案】 6 7 【解答】解： 213 7sin 17 7)tan(tan, 13 12sin 45, 5 12tan 0   CADDABCABCADCAB DABCAB ，  ,ABDACDABC SSS   设 yACxAB  , DACyDABxCABxy  sin2 2 1sin2 2 1sin 2 1 ，化简可得 xyyx 12713  又 ,91271312 xyyxxy  36 91  xy （当且仅当 6 13, 6 7  yx 时等号成立） 6 7 13 6  xyS ABC 15.（13分） 【解答】解：（1）由 1( ) ( ) 2 2 9 a mb ma b     ，则存在实数 ，使得 1( )9 2 2 a mb ma b      ，.......2分 整理得： 9 1( ) ( ) 0 2 2 m a m b      ，又 ,a b  是不共线的两个向量，..............................3分 所以 9 1 0 2 2 0 m m          ，解得 3m    ，即实数m的值是 3 ；....................................6分 （2）因为 | | 2,| | 1,( 2 )a b a b a        ， 所以 2 2 1( 2 ) 2 0, 2 2 a b a a a b a b a                   ，.............................................9分 所以 2 2 2| 2 | 4 4 4 4 4 ( 2) 1 25a b a a b b                 ，......................................12分 可得 | 2 | 5a b   ．........................................................................13分 数学答案（共 6 页）第 4页 16.（15分） 【解答】（1） sin sin cos sin cos sin sina A a C B b C A b B c A    ， 根据正弦定理，得 2 2cos cosa ac B bc A b ac    ，..........................2分 根据余弦定理，得 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a c b b c aa ac bc b ac ac bc           ，即 2 2 2a c b ac   ，4分 得 2 2 2 1cos 2 2 2 a c b acB ac ac      ． (0, )B  ， 3 B   ．................................................6分 （2）过点 A作 BD的平行线交 BC于点 E,则点 E是 BC的中点 在三角形 ABE中，BE=2,AE= 6 , 060ABC ,................................9分 根据余弦定理， ABEBEABBEABAE  cos2222 ,设 xAB  ， 得， 0222  xx ........................13分 31,031  xxx 所以，又解得， 即 AB边的长度是 31 .................15分 17.（15分） 【解答】解：（1）根据题意可得，所以估计此次校内测试分数的平均值为： 35 0.15 45 0.2 55 0.3 65 0.2 75 0.15 55x            ........................................4分 （2）因为 200 50 75% 200   ，所以这 50名应聘者的最低分数就是该次测试分数的 75%分位数．......6分 又 0.15 0.2 0.3 0.65 0.75 0.85     ，.......................................................7分 设该次考试测试分数的 75%分位数为 a，所以 (60,70)a ，所以 0.75 0.6560 65 0.02 a    分．........9分 （3）因为 2 2 1 1 ( ) n i i i s f x x n    2 2 2 2 20.15 (35 55) 0.2 (45 55) 0.3 (55 55) 0.2 (65 55) 0.15 (75 55)               160 ，........12分 所以 160 12.8s   ，所以 42.2, 67.8x s x s    ， 故得分为 72分的应聘者的成绩没有进入到[42.2， 67.8]内， 得分为 63分的应聘者的成绩进入到了 [42.2， 67.8]内．......................................14分 即：得分为 72 分的应聘者的成绩没有进入到 [ , ]x s x s  范围，得分为 63 分的应聘者的成绩进入到 [ , ]x s x s  范围了．....................................................................15分 数学答案（共 6 页）第 5页 18．（17分） 【解答】解：（1）(1)因为 / /AD 平面 PBC， BCPBCABCD 平面平面 所以 BCAD // ...............................2分 又 AC=2,BC=1, 030BAC ,所以 3AB ,所以 BCAB  ① 又 PA 底面 ABCD，得 BCPA  , ② 由①②可得， PBBCPABBC  ，所以平面 ,又 BCAD // ，所以 AD PB ... 5分 (2) （ⅰ）过 A点作 PDAE  ,交 PD于点 E,...........................7分 又平面 PAD平面 PCD所以 AE平面 PCD,所以 AE CD，又 PA CD, 所以 CD平面 PAD,即得 CDAD  ......................................10分 （ⅱ）在平面 PCD内，过点 E作 PC的垂线交 PC于点 F,连结 AF 因为 PC AE,PC EF,所以 PC平面 AEF,所以 PC AF,所以 AFE 即为二面角 A-PC-D的平面角............................12分 在直角三角形 ACD中，AC=2,CD=1,可得 3AD 在直角三角形 PAD中，PA=2, 3AD ,可得 AE= 7 212 , 同理可得 AF= 2 ...............................15分 所以 7 42sin  AF AEAFE ................................17分 19.（17分） 【解答】解：（1）因为四边形 ABCD是正方形， E为 AB的中点， 所以 SE SD ， SE SF ，又 SD SF S  ， SD，SF 平面 SFD， 所以 SE 平面 SFD，又 SE 平面 SEF，所以 DFSE  ................4分 (2)因为四边形 ABCD是正方形，F为 AB的中点，所以 SD SF,所以 SD,SE,SF两两互相垂直， 构造如图所示的长方体. 设三棱锥 SDEF的外接球的半径为 r ,则 SP=2 r 又 2 ,,2222 aSFSEaSDSFSESDSP  , 所以 2 34 2 2 ar  ，即该三棱锥外接球的表面积是 2 3 2a ....9分 （3）设S在平面 AEF上的射影为O，连接 EO，则 SEO 为直线 SE与平面DEF 所成角， 数学答案（共 6 页）第 6页 设 BF x （1 4x  ），则 4CF x  ，  1 1 14 4 4 2 2 4 4 4 2 2 2DEF S x x x            ， 在 DSF 中， 4DS  ， SF x ， 2 8 32DF x x   ， 可得 2 2 2 2cos 1 2 DS SF DFDSF DS SF x        ， 1 sin 4 1 2DSF S DS SF DSF x      ，.................................11分 其中 SE 平面 SFD， 2SE  ，故 1 3 18 3E DSF DSF SEV S x     ，  1 1 4 3 3S DEF DEF V S SO x SO      ， 因为 S DEF E DSFV V  ，即  1 8 8 14 1 3 3 4 xx SO x SO x         ， 又 2SE  ，所以 4 1sin 4 SO x SE x     ，......................................14分 令 1x t  ， 0, 3t  ， 2 4 4sin 55 t t t t      ， 令   5g t t t   ，  0, 3t ，显然  g t 在 0, 3 上单调递减， 当 3t  ，即 4x  时， sin 最大为 3 2 ....................................17分