精品解析：云南省红河州、文山州2024-2025学年高一下学期学业质量监测数学试题

红河州、文山州2025年高中学业质量监测 高一数学 （全卷满分150分，考试用时120分钟） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、学校、班级、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并将条形码准确粘贴在条形码区域内. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 样本数据5，9，1，3，7的中位数是（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】根据中位数的定义求解． 【详解】先将样本数据按照从小到大排序1，3，5，7，9，中位数是第三个数5. 故选：C 2. 复数，则（ ） A. 1 B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数模的概念求值. 【详解】由题意可知，所以. 故选：C 3. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称命题的否定判断，即可得到结果. 【详解】命题“”， 则其否定为 故选:C. 4. 连续抛一枚硬币三次，事件“至多有一次硬币正面朝上”的对立事件是（ ） A. 至少有一次硬币正面朝上 B. 至少有两次硬币正面朝上 C. 至少有一次硬币反面朝上 D. 至少有两次硬币反面朝上 【答案】B 【解析】 【分析】根据对立事件定义判断求解. 【详解】因为事件“至多有一次硬币正面朝上”是“0次或1次硬币正面朝上”， 对立事件是“2次或3次硬币正面朝上”，即“至少有两次硬币正面朝上”. 故选：B. 5. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解一元二次不等式确定集合，求函数的值域确定集合，再结合交集的概念求交集. 【详解】由. . 所以，， 则. 故选：A 6. 已知函数，若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用对数的运算法则，把分别转化为，再利用函数的单调性比较大小. 【详解】因为，，， 且在单调递增， 所以，即. 故选：D 7. 如图，某地一天从6至14时的温度变化曲线近似满足函数：，则这天12时的气温约是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据图象的周期得出，再根据最值得出振幅，得出解析式后代入计算求解. 【详解】由，故最小正周期，则， 又因为，可得， 所以当时，. 故选：C. 8. 若奇函数对任意都有，且当时，，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先根据判断函数是周期函数，再结合函数的奇偶性求函数值. 【详解】由于函数对任意都有， 所以，所以是周期为4的函数， 所以. 由于是奇函数，所以. 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知在矩形中，对角线，相交于点，则下列选项一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由矩形的几何性质，结合各线段对应向量的关系判断各项的正误. 【详解】因为在矩形中，对角线，相交于点，如图： 对于A，，故A选项错误； 对于B，因为矩形的对角线的长度相等，所以，故B选项正确； 对于C，因为矩形的对角线不一定垂直，所以不一定等于0，故C选项错误； 对于D，因为矩形的对角线互相平分，所以，故D选项正确. 故选：BD. 10. 在正方体中，下列位置关系一定正确的是（ ） A. 与是异面直线 B. 平面 C. D. 平面平面 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据异面直线的判断方法判断A的真假，根据线面平行的判定定理判断B的真假，根据异面直线所成的角的大小判断C的真假，根据面面平行的判定方法判断D的真假. 【详解】如图： 对于A，因为平面，平面且，平面，所以与是异面直线，故A选项正确； 对于B，因为，平面，平面，所以平面，故B选项正确； 对于C，因为，所以为与所成角，因为四边形为正方形，所以，即与所成角为，故C选项错误； 对于D，由题意可知平面，平面， 且平面，， 所以平面平面，故D选项正确. 故选：ABD 11. 已知，，都是正数，则下列选项中一定正确的是（ ） A. B. 的最小值为1 C. D. 若，则的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据基本不等式逐项判断即可. 【详解】对于A，，，，当且仅当时等号成立，故A选项正确； 对于B，，当且仅当或时等号成立，由题意可得等号不成立，故B选项错误； 对于C，，，，，当且仅当时等号成立，故C选项正确； 对于D，，，，当且仅当时等号成立，故D选项正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. __________. 【答案】2 【解析】 【分析】由对数的运算法则直接求解. 【详解】. 故答案为：2. 13. 《史记·田敬仲完世家》上写道：“其收赋税于民以小斗受之，其禀予民以大斗，行阴德于民.”春秋时田厘子任齐国大夫，暗施仁惠于民众，收取赋税时是用小斗量，赐给百姓粮食则用大斗.但是，米斗早在先秦时期就有，并没有统一的度量标准，米斗的大小容积因不同的地域有着不小的区别，如图所示米斗工艺摆件是一个正四棱台，上内口径，下内口径，内深，则该米斗工艺摆件的容积为__________. 【答案】2100 【解析】 【分析】利用台体的体积公式求解. 【详解】该米斗工艺摆件的容积为 . 故答案为：2100 14. 已知函数若有4个不等实数根，，，，且，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的对称性可得，根据对数的运算性质可得，且，设，利用函数的单调性，可求的范围，进而可得问题答案. 【详解】由图可知： 有4个不等实数根，则， 则， 又，， 则，则， 所以，则， 因为，函数在上单调递增， 所以， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知锐角中，，，所对边分别为，，，，，且. （1）求角； （2）若，则选择__________（两个条件选择其一），求，的值. 条件①：的面积为； 条件②：的周长为6. 注：从以上两个条件中选一个，将问题（2）补充完整并作答，只需要选择其中一个作答即可，若选择两个作答，以第一种情况的解答给分. 【答案】（1） （2），. 【解析】 【分析】（1） 先应用垂直的数量积坐标公式计算结合角的范围计算求解； （2）①应用面积公式结合及角得出，最后应用余弦定理计算求解；②应用周长得出，再应用余弦定理计算求解； 【小问1详解】 因为，所以， 因为，，所以， 即， 又因为，所以. 【小问2详解】 若选择条件① 因为，， 所以. 由余弦定理，得，即，从而， 故，. 若选择条件② 因为的周长为6，， 所以. 由余弦定理，得，即，从而， 故，. 16. 近年来，我国肥胖人群的规模急剧增长，肥胖人群有很大的心血管安全隐患.目前，国际上常用身体质量指数（Body Mass Index，缩写BMI）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是. 中国成人的BMI数值标准为：为偏瘦：为正常：为偏胖；为肥胖. 为了解某公司员工的身体肥胖情况，研究人员从公司员工体检数据中，采用随机抽样方法抽取了100名员工的身高和体重数据，计算得到他们的BMI值，绘制成如下的频率分布直方图： （1）求图中的值，并估计该公司员工BMI值的平均数；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表） （2）根据需要，在偏胖和肥胖的员工中用分层随机抽样的方法抽取5名员工，再从抽取的5名员工中随机选取2名员工进行采访，求采访的2名员工均为偏胖的概率. 【答案】（1），22.4 （2） 【解析】 【分析】（1）利用频率和为1可求的值，再利用评率分布直方图估算平均数.； （2）先利用分层抽样求出抽取的偏胖和肥胖的员工人数，再利用列举法求概率. 【小问1详解】 ， 的频率为， 的频率为， 的频率为， 的频率为， 的频率为， 平均数为. 【小问2详解】 由题意可知，偏胖在，频数为， 肥胖在，频数为， 抽取偏胖的人数为，用，，表示， 抽取肥胖的人数为，用，表示， 从5人中任选2人，样本空间为： ， 共有10种不同的结果，每个样本点都是等可能发生的. 记事件“采访的2名员工均为偏胖”， ，共有3种不同的结果， 所以. 17. 已知. （1）求的值及函数的单调递增区间； （2）将函数图象上所有点向右平移个单位长度，横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数的解集. 【答案】（1），， （2），. 【解析】 【分析】（1）先利用三角恒等变换公式化简函数表达式，再求函数值和单调区间. （2）利用三角函数图象的变换求函数的表达式，再结合正弦函数的性质解不等式即可. 【小问1详解】 因为， 所以， 故. 由，， 解得，. 所以函数的单调递增区间为，. 【小问2详解】 将函数图象上所有点向右平移个单位长度，得：， 再将的图象横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得. 所以函数， 由，得：，. 解得，， 所以函数的解集为，. 18. 如图，在正三棱锥中，，分别是，的中点，，. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明：因为在中，，分别是，的中点，所以. 又因为平面，平面， 所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理判断线面平行. （2）构造直线与平面所成的角，利用三角形的边角关系求角. （3）用等体积法求点到平面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图: 分别连接，相交于点， 则在等边中，分别是，的中点，所以点是的中心， 从而在正三棱锥中点是点在底面内的射影点，即平面， 故在底面内的射影为，所以为与平面所成角的平面角. 因为在等边中，，分别是，的中点， 所以，. 又因为，所以，， 故直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 如图连接，，则在三棱锥中 设点到平面的距离为， ， ， ， ，故. 点到平面的距离为. 19. 已知函数. （1）判断函数的奇偶性； （2）证明：； （3）若的最小值为求实数的值. 【答案】（1）奇函数 （2） 由，则， ， 所以得证. （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数奇偶性的概念进行判断. （2）分别写出与进行化简整理即可. （3）先明确的解析式，利用换元法，结合二次函数的性质，分类讨论求函数的最小值，利用最小值为，可得实数的值. 【小问1详解】 的定义域为，关于原点对称， 由题意，得， 因为，所以为奇函数. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由，得， 令，所以， ①当时在上单调递增，，解得； ②当时，在上单调递减，在上单调递增， ，解得（舍去）. 综上所述，实数的值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 红河州、文山州2025年高中学业质量监测 高一数学 （全卷满分150分，考试用时120分钟） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、学校、班级、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并将条形码准确粘贴在条形码区域内. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 样本数据5，9，1，3，7的中位数是（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 2. 复数，则（ ） A. 1 B. C. D. 5 3. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 4. 连续抛一枚硬币三次，事件“至多有一次硬币正面朝上”的对立事件是（ ） A. 至少有一次硬币正面朝上 B. 至少有两次硬币正面朝上 C. 至少有一次硬币反面朝上 D. 至少有两次硬币反面朝上 5. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，某地一天从6至14时的温度变化曲线近似满足函数：，则这天12时的气温约是（ ） A. B. C. D. 8. 若奇函数对任意都有，且当时，，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知在矩形中，对角线，相交于点，则下列选项一定正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 在正方体中，下列位置关系一定正确的是（ ） A. 与是异面直线 B. 平面 C. D. 平面平面 11. 已知，，都是正数，则下列选项中一定正确的是（ ） A. B. 的最小值为1 C. D. 若，则的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. __________. 13. 《史记·田敬仲完世家》上写道：“其收赋税于民以小斗受之，其禀予民以大斗，行阴德于民.”春秋时田厘子任齐国大夫，暗施仁惠于民众，收取赋税时是用小斗量，赐给百姓粮食则用大斗.但是，米斗早在先秦时期就有，并没有统一的度量标准，米斗的大小容积因不同的地域有着不小的区别，如图所示米斗工艺摆件是一个正四棱台，上内口径，下内口径，内深，则该米斗工艺摆件的容积为__________. 14. 已知函数若有4个不等实数根，，，，且，则的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知锐角中，，，所对边分别为，，，，，且. （1）求角； （2）若，则选择__________（两个条件选择其一），求，的值. 条件①：的面积为； 条件②：的周长为6. 注：从以上两个条件中选一个，将问题（2）补充完整并作答，只需要选择其中一个作答即可，若选择两个作答，以第一种情况的解答给分. 16. 近年来，我国肥胖人群的规模急剧增长，肥胖人群有很大的心血管安全隐患.目前，国际上常用身体质量指数（Body Mass Index，缩写BMI）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是. 中国成人的BMI数值标准为：为偏瘦：为正常：为偏胖；为肥胖. 为了解某公司员工的身体肥胖情况，研究人员从公司员工体检数据中，采用随机抽样方法抽取了100名员工的身高和体重数据，计算得到他们的BMI值，绘制成如下的频率分布直方图： （1）求图中的值，并估计该公司员工BMI值的平均数；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表） （2）根据需要，在偏胖和肥胖的员工中用分层随机抽样的方法抽取5名员工，再从抽取的5名员工中随机选取2名员工进行采访，求采访的2名员工均为偏胖的概率. 17. 已知. （1）求的值及函数的单调递增区间； （2）将函数图象上所有点向右平移个单位长度，横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数的解集. 18. 如图，在正三棱锥中，，分别是，的中点，，. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 19. 已知函数. （1）判断函数的奇偶性； （2）证明：； （3）若的最小值为求实数的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $