精品解析：甘肃省白银市景泰县第三中学2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试卷

景泰县第三中学2024～2025学年度第二学期期中考试试卷 八年级数学 （试卷满分150分，时间120分钟） 一、精心选一选．（每小题3分，共计36分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐项判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B．是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； C．不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D．既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意． 故选D． 2. 若x＞y，则下列各式正确的是（ ） A. x－6＜y－6 B. C. 2x＋1＞2y＋1 D. －x＞－y 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质进行解答即可． 【详解】解：A、不等式两边都减去6，不等号的方向不变，即x-6＞y-6，原变形错误，故此选项不符合题意； B、不等式两边都除以3，不等号的方向不变，即，原变形错误，故此选项不符合题意； C、不等式两边都乘2，再加上1，不等号的方向不变，即2x+1＞2y+1，原变形正确，故此选项符合题意； D、不等式两边都乘-1，不等号的方向改变，即-x＜-y，原变形错误，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了不等式的性质．解题的关键是熟练掌握不等式的性质：不等式两边都加上（或减去）一个数，不等号不改变方向；不等式两边都乘以（或除以）一个正数，不等号不改变方向；不等式两边都乘以（或除以）一个负数，不等号改变方向． 3. 如图于，则的长度为（　　）． A. 5 B. 4 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的性质、平行线的性质、直角三角形的性质等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 作于E，根据角平分线的性质可得，根据平行线的性质可得，由直角三角形中的角所对的直角边等于斜边的一半即可求得，进而完成解答． 【详解】解：如图：作于E， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴在中，， ∴． 故选D． 4. 不等式－3x+6＞0的正整数解有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 无数多个 【答案】A 【解析】 【详解】解：解不等式得到x＜2， 所以x可取的正整数只有1． 故选：A． 【点睛】本题考查解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解题关键． 5. 已知点在第二象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特征、不等式组等知识点，根据各象限点的坐标特征列出不等式组是解题的关键． 根据平面直角坐标系中第二象限为得到不等式组，求出不等式组的解集并在数轴上表示出来，再结合选项即可解答． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴得到不等式组， 解①得：， 解②得：， 在数轴上表示它们的解集如下： ． 故选：A． 6. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 有两边相等的三角形是等腰三角形 C. 等边三角形是锐角三角形 D. 全等三角形的对应角相等 【答案】B 【解析】 【分析】先写出对应命题的逆命题，然后判断真假即可． 【详解】解：A、逆命题为：相等的角是对顶角，是假命题，不符合题意； B、逆命题为：等腰三角形中有两边相等，是真命题，符合题意； C、逆命题为：锐角三角形是等边三角形，是假命题，不符合题意； D、逆命题为：对应角相等的三角形是全等三角形，是假命题，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了判断一个命题的逆命题的真假，全等三角形的判定，等边三角形的判定，等腰三角形的定义等等，正确写出对应命题的逆命题是解题的关键． 7. 如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A＇OB＇，若∠AOB=15°，则∠AOB＇的度数是（ ） A. 25° B. 30° C. 35° D. 40° 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′， ∴∠A′OA=45°，∠AOB=∠A′OB′=15°， ∴∠AOB′=∠A′OA-∠A′OB′=45°-15°=30°， 故选B． 8. 如图，在等边三角形中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等边对等角，三角形内角和定理，先由三线合一定理和垂直的定义得到，再由等边对等角和三角形内角和定理求出，则． 【详解】解：∵在等边三角形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 9. 在平面直角坐标系中，线段的端点分别为，将线段平移到，且点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化−平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．根据点A、的坐标确定出平移规律，求出点的坐标即可． 【详解】解：∵，， ∴平移规律为向右平移6个单位，向上平移4个单位， ∵， ∴点的坐标为， 故选：C． 10. 如图所示．在△ABC中，∠BAC＝106°，EF、MN分别是AB、AC的中垂线，E、N在BC上，则∠EAN＝（　　）     A. 58° B. 32° C. 36° D. 34° 【答案】B 【解析】 【分析】先由∠BAC＝106°及三角形内角和定理求出∠B＋∠C的度数，再根据线段垂直平分线的性质求出∠B＝∠BAE，∠C＝∠CAN，即∠B＋∠C＝∠BAE＋∠CAN，由∠EAN＝∠BAC－(∠BAE＋∠CAN)解答即可. 【详解】∵△ABC中，∠BAC＝106°，∴∠B＋∠C＝180°－∠BAC＝180°－106°＝74°,∵EF、MN分别是AB、AC的中垂线，∴∠B＝∠BAE,∠C＝∠CAN,即∠B＋∠C＝∠BAE＋∠CAN＝74°,∴∠EAN＝∠BAC－(∠BAE＋∠CAN)＝106°－74°＝32°.故选B. 【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质及三角形内角和定理，能根据三角形内角和定理求出∠B＋∠C＝∠BAE＋∠CAN＝74°是解答此题的关键. 11. 若不等式组有实数解，则实数m的取值范围是（　　） A. m≤ B. m＜ C. m＞ D. m≥ 【答案】A 【解析】 【分析】先求出每个不等式的解集，再根据不等式组有实数解求出m的取值范围即可． 【详解】解：解5﹣3x≥0，得x≤； 解x﹣m≥0，得x≥m， ∵不等式组有实数解， ∴m≤． 故选：A． 【点睛】此题考查了一元一次不等式组的解，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键． 12. 如图，在等腰中，，于点D，E、F两动点分别在线段、线段上运动，若，则当取得最小值时，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的性质与判定，连接，先证明，得到，从而推出当三点共线且时最小，即此时最小，由三线合一定理得到，则，故当最小时，，同理可得，则，利用三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线且时最小，即此时最小， ∵， ∴， ∴， ∴当最小时，， 同理可得，则， ∴， ∴当取得最小值时，的度数为， 故选：D． 二、细心填一填．（每小题4分，共计32分） 13. “与3的差大于”用不等式表示为_____________． 【答案】x-3> 【解析】 【详解】由题意得，x-3>． 故答案为：x-3>． 14. 用反证法证明“三角形中至少有一个内角小于或等于”时，应先假设：________________________． 【答案】三角形三个内角都大于 【解析】 【分析】本题主要考查了反证法的步骤与命题的否定，熟练掌握反证法的第一步是假设原命题结论不成立，即写出结论的否定形式是解题的关键． 明确反证法的核心步骤：先对原命题的结论进行否定，再通过推理导出矛盾． 原命题结论为“三角形中至少有一个内角小于或等于”，需找出其否定形式．“至少有一个”的否定是“一个都没有”，即“所有内角都大于”． 【详解】解：用反证法证明“三角形中至少有一个内角小于或等于”时，应先假设原命题的否定，即“三角形三个内角都大于”， 故答案为：三角形三个内角都大于． 15. 如果，那么当时，________（填写“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，根据题意可得，解不等式即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如果一元一次不等式组的解集为，那么a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了含参数的一元一次不等式组，对于端点值的确定是解题关键. 由不等式组的解集为，根据“同大取大”可知. 【详解】解：∵一元一次不等式组的解集为, ∴， 故答案为：. 17. 如图直角三角形沿着的方向平移到直角三角形的位置．若，，，则阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平移的性质，根据平移的性质可得，则可证明，据此列式求解即可． 【详解】解：由平移的性质可得， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则该等腰三角形的底角的度数为______． 【答案】69°或21° 【解析】 【分析】分两种情况①若∠A<90°，利用直角三角形两锐角互余，求∠A，若∠A>90°，利用直角三角形两锐角互余求出∠A的补角即可． 【详解】分两种情况讨论： ①若∠A<90°，如图1所示： ∵BD⊥AC， ∴∠A+∠ABD=90°， ∵∠ABD=48°， ∴∠A=90°−48°=42°， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C= (180°−42°)=69°； ②若∠A>90°，如图2所示： 同①可得：∠DAB=90°−48°=42°， ∴∠BAC=180°−42°=138°， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C= (180°−138°)=21°； 综上所述：等腰三角形底角的度数为69°或21°． 故答案为69°或21°． 【点睛】本题考查直角三角形的两锐角互余性质，等腰三角形性质，三角形内角和，掌握直角三角形的两锐角互余性质，等腰三角形性质，三角形内角和是解题关键． 19. 直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解集为 ________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出a值，再根据图象得到直线在直线的上方部分的点的横坐标取值范围即可求解． 【详解】解：将点代入中，得，解得， ∴， 由图象知，当时，直线在直线的上方， ∴关于x的不等式的解集为 ． 20. 定义：对于实数，符号表示不大于的最大整数，例如：，，，如果，那么的取值范围是________ 【答案】 【解析】 【分析】根据已知得出不等式组，求出不等式组的解集，再得出答案即可． 【详解】解：根据题意， ∵ ∴， 解得：； 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，能根据已知得出不等式组是解此题的关键． 三、用心做一做．（共82分，要求写出文字说明或计算步骤） 21. 解不等式并把它的解集在数轴上表示出来． （1）； （2）． 【答案】（1）， 在数轴上表示为： （2）， 在数轴上表示为： 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤． （1）不等式去括号，移项合并，把系数化为1，即可求出解； （2）不等式去分母，去括号，移项合并，把系数化为1，即可求出解． 【小问1详解】 解： 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 系数化为1得：． ∴不等式的解集为：． 【小问2详解】 解： 去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 系数化为1得：． ∴不等式的解集为：． 22. 解不等式组并写出不等式组的非负整数解． 【答案】－1≤x<3；非负整数解为2，1，0． 【解析】 【分析】先解不等式组求出其解集，再结合解集可得答案． 【详解】解：解不等式①得x≥－1， 解不等式②得x<3， 不等式①和②的解集在数轴上表示为： ∴－1≤x<3． 不等式组的非负整数解为2，1，0 【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的非负整数解，解题的关键是准确求出不等式组的解集． 23. 如图，正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形的三个顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题： （1）将向右平移5个单位长度，画出平移后的．写出点坐标___________，点坐标___________，点坐标___________． （2）将绕坐标原点顺时针方向旋转，画出旋转后的． 【答案】（1） 如图，即为所作： ，， （2） 如图，即为所作： 【解析】 【分析】本题主要考查平移、旋转作图，解题的关键是熟知旋转的性质找到对应点的位置． （1）根据平移的特点找到各顶点的对应点，再顺次连接即可得，根据网格可得各对应点坐标； （2）根据旋转的特点找到各顶点的对应点，再顺次连接即可． 【小问1详解】 解：由图可知：，，． 【小问2详解】 略 24. 某学校团支部书记暑假带领该校同学去旅游，甲旅行社说：“若团支部书记买一张全票，则学生可享受半价优惠．”乙旅行社说：“包括团支部书记在内都享受六折优惠．”若全票票价是1200元，设学生人数为，甲旅行社收费为、乙旅行社收费． （1）分别写出两家旅行社的收费与学生人数的关系式； （2）请就学生人数讨论哪家旅行社更优惠． 【答案】（1）， （2）学生人数是4人时，两家旅行社的收费是一样的；（为整数）时，乙旅行社更优惠；（为整数）时，甲旅行社更优惠 【解析】 【分析】（1）根据题意得出两个旅行社的收费与学生人数的关系式即可； （2）分别利用y甲＝y乙、y甲＞y乙、y甲＜y乙得出x的取值范围，得出答案即可． 【小问1详解】 由题意，得 ， ． 【小问2详解】 ①当时， ， 解得， 当学生人数是4人时，两家旅行社的收费是一样的． ②当时， ， 解得； 当（为整数）时，乙旅行社更优惠； ③当时， ， 解得． 当（为整数）时，甲旅行社更优惠． 【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式的综合应用——最佳方案问题，利用方程与不等式的知识来讨论学生人数与最佳方案之间的关系是解题关键． 25. 已知方程组的解满足． （1）求a的取值范围； （2）当a为何整数时，不等式的解集为． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组，解一元次不等式组，一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确题意，利用不等式的性质解答． （1）两个方程相加可得出，根据列出关于的不等式，解之可得答案； （2）根据不等式的解集为为整数和（1）中的取值范围，可以求得的值； 【小问1详解】 解：两个方程相加可得， 则， 根据题意，得：， 解得：， 即的取值范围是； 【小问2详解】 解：由不等式，得， ∵不等式的解集为， ∴，得， 又∵且为整数， ． 26. 如图，A、B两点分别在射线上，点C在的内部，且，，垂足分别为D，E，且． （1）求证：平分； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）10 【解析】 【分析】（1）证明，得到，得到，即可得证； （2）根据，得到，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．通过已知条件判定三角形全等是解题的关键． 27. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得矛盾文学奖的甲、乙两种书共100本，已知购买2本甲种书和1本乙种书共需100元，购买3本甲种书和2本乙种书共需165元． （1）求甲，乙两种书的单价分别为多少元： （2）若学校决定购买以上两种书的总费用不超过3200元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？ 【答案】（1）甲种书的单价为35元，乙种书的单价为30元 （2）该校最多可以购买甲种书40本 【解析】 【分析】（1）设甲种书的单价为x元，乙种书的单价为y元，利用2本甲种书的价格1本乙种书的价格；3本甲种书的价格2本乙种书的价格，列方程解答即可； （2）设购买甲种书本，则购买乙种书本，根据购买甲种书的总价购买乙种书的总价，列不等式解答即可． 【小问1详解】 解：设甲种书的单价为x元，乙种书的单价为y元， 可得方程， 解得， 原方程的解为， 答：甲种书的单价为35元，乙种书的单价为30元． 【小问2详解】 解：设购买甲种书本，则购买乙种书本， 根据题意可得， 解得， 故该校最多可以购买甲种书40本， 答：该校最多可以购买甲种书40本． 【点睛】本题考查了二元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，列出正确的等量关系和不等关系是解题的关键． 28. 如图，和都是等腰直角三角形，． （1）【猜想】如图1，点在上，点在上，线段与的数量关系是______，位置关系是______； （2）【探究】：把绕点旋转到如图2的位置，连接，，（1）中的结论还成立吗？说明理由； （3）【拓展】：把绕点在平面内自由旋转，若，，当A，，三点在同一直线上时，直接写出的长． 【答案】（1）， （2） 解：（1）中结论仍然成立， 理由： 由旋转知，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）或 【解析】 【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质得出，得出，再用，即可得出结论； （2）先由旋转得出，进而判断出，得出，进而得出，即可得出结论； （3）分两种情况，①当点E在线段上时，过点C作于M，求出，再用勾股定理求出，即可得出结论； ②当点E在线段的延长线上时，过点C作于N，求出，再由勾股定理求出根据勾股定理得，即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ， ， ∵， ， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①当点E在线段上时，如图3，过点C作于M， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， 在中， ； ②当点D在线段上时，如图4，过点C作于N， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， 在中， ； 综上，的长为或． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线构造出直角三角形是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 景泰县第三中学2024～2025学年度第二学期期中考试试卷 八年级数学 （试卷满分150分，时间120分钟） 一、精心选一选．（每小题3分，共计36分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 若x＞y，则下列各式正确的是（ ） A. x－6＜y－6 B. C. 2x＋1＞2y＋1 D. －x＞－y 3. 如图于，则的长度为（　　）． A. 5 B. 4 C. 2 D. 1 4. 不等式－3x+6＞0的正整数解有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 无数多个 5. 已知点在第二象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 有两边相等的三角形是等腰三角形 C. 等边三角形是锐角三角形 D. 全等三角形的对应角相等 7. 如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A＇OB＇，若∠AOB=15°，则∠AOB＇的度数是（ ） A. 25° B. 30° C. 35° D. 40° 8. 如图，在等边三角形中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 在平面直角坐标系中，线段的端点分别为，将线段平移到，且点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示．在△ABC中，∠BAC＝106°，EF、MN分别是AB、AC的中垂线，E、N在BC上，则∠EAN＝（　　）     A. 58° B. 32° C. 36° D. 34° 11. 若不等式组有实数解，则实数m的取值范围是（　　） A. m≤ B. m＜ C. m＞ D. m≥ 12. 如图，在等腰中，，于点D，E、F两动点分别在线段、线段上运动，若，则当取得最小值时，的度数为（ ） A. B. C. D. 二、细心填一填．（每小题4分，共计32分） 13. “与3的差大于”用不等式表示为_____________． 14. 用反证法证明“三角形中至少有一个内角小于或等于”时，应先假设：________________________． 15. 如果，那么当时，________（填写“”或“”）． 16. 如果一元一次不等式组的解集为，那么a的取值范围是______． 17. 如图直角三角形沿着的方向平移到直角三角形的位置．若，，，则阴影部分的面积为________． 18. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则该等腰三角形的底角的度数为______． 19. 直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解集为 ________． 20. 定义：对于实数，符号表示不大于的最大整数，例如：，，，如果，那么的取值范围是________ 三、用心做一做．（共82分，要求写出文字说明或计算步骤） 21. 解不等式并把它的解集在数轴上表示出来． （1）； （2）． 22. 解不等式组并写出不等式组的非负整数解． 23. 如图，正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形的三个顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题： （1）将向右平移5个单位长度，画出平移后的．写出点坐标___________，点坐标___________，点坐标___________． （2）将绕坐标原点顺时针方向旋转，画出旋转后的． 24. 某学校团支部书记暑假带领该校同学去旅游，甲旅行社说：“若团支部书记买一张全票，则学生可享受半价优惠．”乙旅行社说：“包括团支部书记在内都享受六折优惠．”若全票票价是1200元，设学生人数为，甲旅行社收费为、乙旅行社收费． （1）分别写出两家旅行社的收费与学生人数的关系式； （2）请就学生人数讨论哪家旅行社更优惠． 25. 已知方程组的解满足． （1）求a的取值范围； （2）当a为何整数时，不等式的解集为． 26. 如图，A、B两点分别在射线上，点C在的内部，且，，垂足分别为D，E，且． （1）求证：平分； （2）若，求的长． 27. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得矛盾文学奖的甲、乙两种书共100本，已知购买2本甲种书和1本乙种书共需100元，购买3本甲种书和2本乙种书共需165元． （1）求甲，乙两种书的单价分别为多少元： （2）若学校决定购买以上两种书的总费用不超过3200元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？ 28. 如图，和都是等腰直角三角形，． （1）【猜想】如图1，点在上，点在上，线段与的数量关系是______，位置关系是______； （2）【探究】：把绕点旋转到如图2的位置，连接，，（1）中的结论还成立吗？说明理由； （3）【拓展】：把绕点在平面内自由旋转，若，，当A，，三点在同一直线上时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $