1.1 探索勾股定理第2课时 课件 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

第一章 勾股定理 第1课 探索勾股定理 第2课时 2024版北师大数学八年级数学上册 学习目标 1.通过不同方法探究图形面积的过程，验证勾股定理的正确性，感受转化思想在解决问题时的应用. 2.在有理数范围内，能借助勾股定理解决简单的实际问题. 3.通过阅读勾股定理的相关文本,了解勾股定理的历史,感受古代中国在数学上的发展,增强文化自信. 教学设计的基本环节： 协作破冰 问题构建 情境启航 教师示范 巩固拓展 当堂检测 反思总结 作业设计 情境启航 亲爱的同学们，还记得上一节课中我们借助方格纸，采用数格子的方法发现了直角三角形三边之间有重要的关系—勾股定理，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，为了使研究更具有一般性，本节课我们将在新的背景下开展研究. 分别以AC、BC、AB为边向外作正方形得到右侧图形，你能借助这个图形验证勾股定理的正确性吗？ 问题：借助图形，如何验证？ 问题构建 问题1：观察右侧的图形，说出三个正方形的面积是多少？ B A C 追问1：对于以AB为边的正方形，你还有其他表示面积的方法吗？ 将四个与△ABC全等的直角三角形，斜边与正方形的边重合拼放在正方形ABDE中. = = = = 问题构建 追问2：由于对正方形的面积进行了分割，借助转化思想解决了问题，你能说出每一步的依据吗？ = = = = 分割图形，转化思想 正方形和直角三角形面积公式 完全平方公式 合并同类项化简 问题构建 追问3：割补法作为解决面积问题的常用方法.你能补全图形尝试解决问题吗？ = = = = 补全图形，转化思想 正方形和直角三角形面积公式 完全平方公式 合并同类项化简 追问4：对比以上两种验证勾股定理的方法，你有什么发现？ 几何图形 分割 补全 转化思想 得出结论 问题构建 问题2：你能借助右侧的图形验证勾股定理的正确性吗？ = = + = = ∴ += 证明勾股定理的方法多种多样，向我们展示了经典定理的无穷魅力.课下同学们可以大胆尝试，新的证明方法有可能由你创造！ 协作破冰 问题3：勾股定理研究的对象是直角三角形，依据数学知识分类研究的特点，如果对象是锐角三角形或钝角三角形，会产生怎样的结论呢？ 借助数格子的方法，可以得出： =10 =9 =25 结论： 请同学们自己多画几组图形，看看结论是怎样的？ 协作破冰 问题3：勾股定理研究的对象是直角三角形，依据数学知识分类研究的特点，如果对象是锐角三角形或钝角三角形，会产生怎样的结论呢？ 借助数格子的方法，可以得出： =10 =9 =13 结论： 请同学们自己多画几组图形，看看结论是怎样的？ 协作破冰 问题4：借助代数推理，经常能帮助我们合情推理，严密证明结论，具有几何直观不具有的显著优势，以锐角三角形为例，你能尝试证明你的结论吗？ 在锐角三角形ABC中，AB=BC=,求证： 证明：过点A作AD⊥BC于D，设BD=CD=- 在Rt△ABD中，由勾股定理得： 在Rt△ACD中，由勾股定理得： ∴ = ∴ = ∴ ∴ 追问：解决上述问题时使用了哪些方法？ 构造直角三角形、方程思想 协作破冰 对比锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三边关系，我们发现： 三角形形状 图形 三边关系 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 教师示范 例1 在一次军事演习中，红方侦察员王叔叔在距离一条东西向公路 400m 处侦察，发现一辆蓝方汽车在这条公路上疾驶.他用红外测距仪测得汽车与他相距400m；过了10s，测得汽车与他相距500m.你能帮王叔叔计算蓝方汽车这10s的平均速度吗？ 解：在Rt△ABC中，由勾股定理，可得 也就是 所以 BC=300. 蓝方汽车 10s 行驶了 300m，那么它 1s 行驶的距离为 300÷10=30(m), 即蓝方汽车这 10s 的平均速度为 30m/s. 教师示范 例2：如图，某仓库正门的截面是一个半径为 3.4m的半圆 ，一辆高为3m 的长方形货车ABCD 恰好能通过该仓库正门．则车宽CD 为（ ） A．3.2m B． 2.8m C． 2.4m D． 1.6m 解：连接OA，在Rt△AOD中，由勾股定理得： =2.56 ∴OD=1.6 ∴CD=1.6×2=3.2m A 巩固拓展 勾股定理证明方法欣赏： 巩固拓展 勾股定理证明方法欣赏： 巩固拓展 勾股定理证明 方法欣赏： 巩固拓展 勾股定理证明方法欣赏： 当堂检测 (学科融合)1.在地形图上，我们把地面上海拔相同的点连成的闭合曲线叫等高线．如图，曲线即为地形图中的等高线（同一曲线上点的海拔是一样的）．如果量得图中A、T两点之间的距离为3厘米，那么A、T两点之间的实际直线距离为（   ） A． B． C． D． D 当堂检测 2.我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四 个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD，连 接AC，交BE于点P．如图所示，若，AE+EB=7，则正方形ABCD的面 积为( ) A．28 B．25 C．30 D．24 A 方法指引：借助三角形全等转化线段，再使用整体思想计算结果. 当堂检测 如图所示，设DG，AC交于点M ∵AH⊥BE，BE⊥CF，∴AH∥CF， ∴∠EAP=∠GCM， ∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形 拼成的一个大正方形ABCD， ∴△AEB≌△CGD，∴AE=CG， 又∠AEP=∠CGM=90°， ∴△AEP≌△CGM(ASA )， ∴ = ，EP=MG， ∵ - =3.5 ∴ - =(MG+PF)⋅FG= EF⋅FG= =3.5 ∴ =7 ∴ ∴ ∴① ∵AE+EB=7 ∴ ∴ =49② ∴①+②得，2()=56 ∴ =28 ∴正方形ABCD的面积=28． 当堂检测 3.某校八年级（）班的小华和小轩学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米；③牵线放风筝的小明的身高为米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向下降米到点，则他应该往回收线多少米？ 当堂检测 （1）解：由题意得，DE=AB=1.6米，∠BDC=90°， 在Rt△BDC中，==256， ∴CD=16米 ∴CE=CD+DE=16+1.6=17.6米， 答：风筝的垂直高度CE为17.6米； （2）解： ∵CD=16米，CM=11米， ∴MD=CD-CM=16-11=5米， 在Rt△BDM中，BM=BD2+MD2=122+52=13米， ∴BC-BM=20-13=7米， 答：他应该往回收线7米． 反思总结 1.本节课研究的方法和上一节有什么区别与联系？ 2.本节课研究的过程中使用哪些数学思想方法？ 3.数学的学习过程中，有很多定理都存在逆定理，从这个角度思考勾股定理的逆定理是怎样的？. 作业设计 一、基础巩固作业： P8-9 习题1.1 2,3,7 二、素养类作业 搜索勾股定理的证明方法，班级分享. 三、挑战类作业 P9 第8题 作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错. $$