第20章 二次根式（高效培优单元测试·强化卷）数学沪教版五四制2024八年级上册

第20章 二次根式 单元测试卷·强化卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 1、 选择题：（本大题共10题，每题4分，共40分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的.） 1．下列根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．若二次根式有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 4．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 5．若成立，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．下列各式运算正确的是（　　） A． B． C． D． 7．如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为6和24，则图中阴影部分面积为（    ） A．5 B． C．6 D． 8．二次根式化成最简结果为（   ） A． B． C． D． 9．若，，则a与b的关系是（    ） A． B． C． D． 10．如果，那么的值为（     ） A．1 B．-1 C． D． 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分．） 11．比较大小∶ （填“”或“”符号）． 12．写出的一个有理化因式 ． 13．化简： ． 14．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值等于 ． 15．不等式的解集是 16．计算： ． 17．化简： ． 18．古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦——秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么三角形的面积为．如图，中，，，所对的边分别记为a，b，c，若，，，则的面积是 ． 三、解答题：（本大题共10题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式： ，，，，，，，，（）． 20．化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 21．计算题： (1)； (2)． 22．计算： 23．计算：． 24．计算： 25．计算： 26．现有一块长方形木板，木工采用如图所示的方式，在长方形木板上截出两个面积分别为和的正方形木板． (1)木板截出的正方形木板A的边长为_________，B的边长为__________； (2)求木板中剩余部分（阴影部分）的面积． 27．有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数、，使且，则将将变成，即变成开方，从而使得化简． 例如，， 请仿照上例解下列问题： (1)； (2)． 28．阅读材料，并完成下列任务： 材料一：裂项求和 小华在学习分式运算时，通过具体运算：，，，…… 发现规律：（n为正整数），并证明了此规律成立． 应用规律：快速计算． 材料二：根式化简 例1        ； 例2         任务一：化简． (1)化简： (2)猜想：___________________（n为正整数）． 任务二：应用 (3)计算：； 任务三：探究 (4)已知 ， 比较x和y的大小，并说明理由． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第20章 二次根式 单元测试卷·强化卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 1、 选择题：（本大题共10题，每题4分，共40分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的.） 1．下列根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了同类二次根式的判断，先把二次根式化为最简二次根式后，根据被开方数相同的二次根式就是同类二次根式判断即可． 【详解】解：．，与是同类二次根式，故该选项符合题意； ．，与不是同类二次根式，故该选项不符合题意； ．，不是同类二次根式，故该选项不符合题意； ．与不是同类二次根式，故该选项不符合题意； 故选：A． 2．若二次根式有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，二次根式要有意义，那么被开方数为非负数，解不等式即可． 【详解】解：若二次根式有意义，则， 解得， 故选：C． 3．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键．根据二次根式的减法运算对A选项进行判断；根据二次根式的加法运算对B选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对C选项进行判断；根据二次根式的性质对D选项进行判断． 【详解】解：A．，所以A选项不符合题意； B．，所以B选项符合题意； C．，所以C选项不符合题意； D．，所以D选项不符合题意． 故选：B． 4．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的化简，最简二次根式的定义，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．根据最简二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A．，不是最简二次根式，不符合题意； B．，不是最简二次根式，不符合题意； C．，被开方数为多项式，无法分解成含完全平方的因式，是最简二次根式，符合题意， D．不是最简二次根式，不符合题意． 故选：C． 5．若成立，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式有意义的条件可得到关于的一元一次不等式组，求解即可得到答案． 【详解】根据题意，得 ． 解得 ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组和二次根式有意义的条件，能根据二次根式有意义的条件得到一元一次不等式组是解题的关键． 6．下列各式运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次根式的加减法的法则，二次根式的乘除法的法则对各项进行运算即可． 【详解】解：A. 与不属于同类二次根式，不能运算，故A选项运算错误，不符合题意； B. ，故B选项运算错误，不符合题意； C. ，故C不符合题意； D. ，故D选项运算错误，不不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 7．如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为6和24，则图中阴影部分面积为（    ） A．5 B． C．6 D． 【答案】C 【分析】根据图形可以求得图中两个小正方形的边长，本题得以解决． 【详解】解：由题意可得， 大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴图中阴影部分的面积为：， 故选：C． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算和正方形，长方形的面积，解答本题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答． 8．二次根式化成最简结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选B． 9．若，，则a与b的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数的大小比较及分母有理化，先根据二次根式的运算法则将分母有理化，再将与比较即可． 【详解】解：， ， ， 故选：D 10．如果，那么的值为（     ） A．1 B．-1 C． D． 【答案】D 【分析】根据算术平方根具有双重非负性，它们相加为0，那个每一个算术平方根都为0，则被开方数都为0，列出二元一次方程组，解方程组求出x和y的值后，即可求解． 【详解】解：由题意： ． 所以D正确. 故选D． 【点睛】本题考查了算术平方根的双重非负性、解二元一次方程组和二次根式的计算等问题，解题关键是要求考生能理解算术平方根的双重非负性并能进行实际的应用，同时能利用加减法解二元一次方程组和利用分母有理化来化简二次根式． 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分．） 11．比较大小∶ （填“”或“”符号）． 【答案】 【分析】可得，从而可得，即可求解． 【详解】解：由题意得 ，， ， ， ， ； 故答案：． 【点睛】本题考查了比较二次根式的大小，掌握比较方法是解题的关键． 12．写出的一个有理化因式 ． 【答案】 【分析】本题主要考查分母有理化的方法，分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．根据二次根式的性质，求解即可． 【详解】解：∵， ∴的一个有理化因式为， 故答案为：（答案不唯一） 13．化简： ． 【答案】 【分析】本题考查化简二次根式，根据二次根式的性质，进行化简即可． 【详解】解：； 故答案为： 14．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查同类二次根式，根据同类二次根式的定义得到，，然后求解即可，即可得出答案．解题的关键是掌握同类二次根式的定义：把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．也考查了二元一次方程组的应用． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得：， ∴的值等于． 故答案为：． 15．不等式的解集是 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，分母有理化，移项，合并同类项，一次项系数化为，即可求解；掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 【详解】解：移项，得， 合并同类项，得， 两边都除以，得； 故答案为：． 16．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算、平方差公式及积的乘方的逆用；因此此题可根据积的乘方、平方差公式及二次根式的运算法则进行求解． 【详解】解： ； 故答案为：． 17．化简： ． 【答案】1 【分析】先将二次根式的被开方数因式分解，然后根据二次根式的性质解答即可． 本题考查了因式分解和二次根式的性质，掌握并灵活运用二次根式的性质是解答本题的关键． 【详解】解：由数轴上点A的位置可得：， ∴ ∴， ． 故答案为：1 18．古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦——秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么三角形的面积为．如图，中，，，所对的边分别记为a，b，c，若，，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用和数学常识，解题的关键是读懂题意，利用材料中提供的公式解答． 根据a，b，c的值求得，然后将其代入三角形的面积求值即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题：（本大题共10题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式： ，，，，，，，，（）． 【答案】、、、、（）是二次根式，、、、不是二次根式． 【分析】根据二次根式的概念即可逐一判定. 【详解】解：根据二次根式的概念，可知、、、、（）是二次根式，其中、的根指数分别为3、4，不是二次根式；、是分式，不是二次根式． 【点睛】此题主要考查二次根式的概念，解题的关键是被开方数为非负数. 20．化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)28 (2)36 (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握，是解答本题的关键． （1）（2）（3）（4）根据二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）． 21．计算题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算： （1）先化简二次根式，再进行加减运算即可； （2）先利用乘法分配律及平方差公式计算，再合并即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 22．计算： 【答案】4 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，二次根式的性质，先根据分母有理化，二次根式的乘法、二次根式的性质化简，再运算加减，即可作答． 【详解】解： ． 23．计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的加减混合运算，二次根式的性质，二次根式的加减运算．先化为最简二次根式，再利用二次根式的加减运算法则，进行运算即可求解． 【详解】解： ． 24．计算： 【答案】 【分析】本题考查分式的混合运算，分母不变，分子利用完全平方公式和平方差公式变形，然后化简求解即可．解题的关键是将分子利用完全平方公式和平方差公式变形． 【详解】 ． 25．计算： 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式加减运算．根据二次根式的性质把各个二次根式化简，合并同类二次根式即可． 【详解】解：∵，∴， ． 26．现有一块长方形木板，木工采用如图所示的方式，在长方形木板上截出两个面积分别为和的正方形木板． (1)木板截出的正方形木板A的边长为_________，B的边长为__________； (2)求木板中剩余部分（阴影部分）的面积． 【答案】(1)， (2)木板中剩余部分（阴影部分）的面积为 【分析】本题主要考查了图形面积和二次根式计算的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行列式、求解． （1）运用正方形的面积公式和二次根式知识进行求解； （2）运用长方形的面积公式和二次根式知识进行求解． 【详解】（1）解：在长方形木板上截出两个面积分别为和的正方形木板，， 正方形木板的边长为，的边长为， ，， 正方形木板的边长为，的边长为． 故答案为：；． （2）解：根据题意得， ， 木板中剩余部分（阴影部分）的面积是． 27．有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数、，使且，则将将变成，即变成开方，从而使得化简． 例如，， 请仿照上例解下列问题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的化简、运算， （1）结合题干思路方法作答即可； （2）结合题干思路方法作答即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ． 28．阅读材料，并完成下列任务： 材料一：裂项求和 小华在学习分式运算时，通过具体运算：，，，…… 发现规律：（n为正整数），并证明了此规律成立． 应用规律：快速计算． 材料二：根式化简 例1        ； 例2         任务一：化简． (1)化简： (2)猜想：___________________（n为正整数）． 任务二：应用 (3)计算：； 任务三：探究 (4)已知 ， 比较x和y的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)，理由见解析 【分析】本题考查二次根式裂项求解，解题关键是熟练进行二次根式分母有理化的化简． （1）根据题目中的例子可以写出答案； （2）根据例2，可以写出相应的猜想； （3）根据分母有理化，可得二次根式的化简，根据二次根式的加减，即可得到答案； （4）结合例1，例2的规律进行计算即可； 【详解】（1） （2） ， ， ， 故答案为：； （3） ； （4） ， ， ， 故． 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$