第20章 二次根式单元测试卷-2025-2026学年沪教版（五四制）八年级数学上册满分全攻略备考系列

第20章 二次根式 单元测试卷 （考试时间：90分钟  试卷满分：100分） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（本题3分）下列各式中，二次根式的个数有 （        ） ；；；；；． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】二次根式有意义的条件、二次根式的识别 【分析】本题考查了二次根式的定义．根据二次根式的定义：式子叫做二次根式，逐一判断即可． 【详解】解：被开方数1.2是正数，满足条件，属于二次根式； 被开方数为，当时，无论y取何值，；当时，无论x取何值，被开方数为0，但若且，被开方数为负数，无意义，因此，该式子不属于二次根式； 无论m、n取何值，，恒成立，属于二次根式； 被开方数为，需才有意义，但题目未限定x的范围，无法保证非负，不属于二次根式； 配方得，被开方数恒为正，属于二次根式； 被开方数为，需才有意义，但题目未限定x的范围，无法保证非负，不属于二次根式； 故二次根式的个数有3个， 故选：B． 2．（本题3分）对所有实数a，b，下列等式从左到右一定成立的是（        ） A． B． C．= D． 【答案】D 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的乘法 【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的化简，二次根式的乘法法则，熟知上述性质和计算法则是解题的关键．利用二次根式的性质化简，二次根式的乘法法则，逐一判断即可解答． 【详解】解：当时，，当时，，故A不一定成立； 当都小于0时，，故B不一定成立； ，故C不成立； ，故D成立， 故选：D． 3．（本题3分）已知是最简二次根式，且它与是同类二次根式，则（   ） A．4 B．14 C． D． 【答案】A 【知识点】同类二次根式、已知最简二次根式求参数 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，如果被开方式相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．先把化简，然后根据同类二次根式的定义列式求解即可． 【详解】解：， ∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， ∴， 故选：A． 4．（本题3分）化简：，那么化简结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了化简二次根式，先判断m、n的符号，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 5．（本题3分）若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】运用完全平方公式进行运算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，由题意可得，，再利用二次根式的性质化简即可得解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故选：A． 6．（本题3分）已知，那么可化简为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式有意义的条件、二次根式的乘除混合运算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简、二次根式有意义的条件，掌握分式有意义的条件、二次根式有意义的条件和二次根式的乘除法公式是解决此题的关键． 根据二次根式有意义的条件得到，则，根据二次根式的性质利用二次根式的乘除法公式化简即可． 【详解】解：，， ， 原式， 故选：C． 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7．（本题2分）已知，那么可化简为 ． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的化简，掌握是解题的关键． 【详解】解：原式 ； 故答案为：． 8．（本题2分）比较大小： 【答案】 【知识点】比较二次根式的大小、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查二次根式的大小比较，利用二次根式的性质将根号外的系数转入根号内是解题的关键． 利用二次根式的性质将和变形，再比较大小． 【详解】解：，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（本题2分）写出二次根式的一个有理化因式是 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】二次根式的乘法 【分析】本题考查了二次根式的有理化，根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化． 二次根式的有理化的目的就是去掉根号，利用平方差公式可以得到的一个有理化因式是． 【详解】解：∵， ∴的一个有理化因式是． 故答案为：（答案不唯一）． 10．（本题2分）计算： ． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】题目主要考查二次根式的化简，求一个数的算术平方根，熟练掌握运算法则是解题关键． 根据题意得出，然后化简即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 11．（本题2分）化简： 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简等知识，熟练掌握二次根式性质，是解题的关键．根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：根据题意有：，， ∴，即， ∴， 故答案为：． 12．（本题2分）如果代数式有意义，那么的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】二次根式有意义的条件、分式有意义的条件 【分析】根据被开方数大于等于，分母不等于列不等式计算即可得解． 本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为；二次根式的被开方数是非负数． 【详解】解：由题意得，且， 解得且． 故答案为：且． 13．（本题2分）二次根式、、、中是最简二次根式的有 个． 【答案】1 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题考查的是最简二次根式的定义，被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是最简二次根式，根据最简二次根式的定义解答即可． 【详解】解：，，，都不是最简二次根式， 是最简二次根式， 则最简二次根式有1个， 故答案为：1． 14．（本题2分）若，则的值为 ． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件得到，进行求出的值，再进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 15．（本题2分）不等式的解集是 ． 【答案】/ 【知识点】求一元一次不等式的解集、分母有理化 【分析】本题考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的步骤：移项，合并同类项，将系数化为．据此解答即可．也考查了分母有理化． 【详解】解：移项，得：， 合并同类项，得：， 将系数化为，得：，即， ∴不等式的解集是． 故答案为：． 16．（本题2分）计算： ． 【答案】 【知识点】积的乘方的逆用、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，逆用积的乘方公式是解题的关键．逆用积的乘方公式进行化简，即可求解． 【详解】解：原式 故答案为： 17．（本题2分）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值等于 ． 【答案】 【知识点】同类二次根式、其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查同类二次根式，根据同类二次根式的定义得到，，然后求解即可，即可得出答案．解题的关键是掌握同类二次根式的定义：把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．也考查了二元一次方程组的应用． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得：， ∴的值等于． 故答案为：． 18．（本题2分）已知，则 ． 【答案】22 【知识点】二次根式有意义的条件、已知式子的值，求代数式的值、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查二次根式有意义的应用，以及二次根式的性质应用，直接利用二次根式的性质将已知式子化简，再将原式变形求出答案． 【详解】解：∵一定有意义， ∴， ∴ ∴ 整理得：， ∴， 则． 故答案为：22． 三.解答题（本大题共8题，满分58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（本题6分）计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】此题考查了二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 把二次根式化简成最简二次根式后，再合并即可． 【详解】解： ． 20．（本题6分）计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式乘除混合运算法则．根据二次根式乘除混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 21．（本题6分）计算：． 【答案】 【知识点】分母有理化、二次根式的混合运算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的性质以及二次根式的混合运算，将原式正确化简是解本题的关键． 根据二次根式的性质将原式进行化简，然后根据二次根式混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 22．（本题6分）先化简，后求值：，其中，． 【答案】， 【知识点】分式化简求值、已知字母的值，化简求值 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先根据二次根式的混合运算化简，再代入字母的值进行计算即可求解． 【详解】解：原式 当，时， 原式． 23．（本题8分）若最简二次根式与可以合并． (1)求的值； (2)对于任意不相等的两个数，，定义一种运算“※”如下：※＝，如：3※2＝＝．请求※[※（－2）]的值． 【答案】(1)6 (2) 【知识点】同类二次根式、新定义下的实数运算 【分析】（1）根据同类二次根式的性质列出等式即可求解a； （2）代入a的值，根据新定义的运算法则即可求解． 【详解】（1）∵最简二次根式与可以合并， ∴， ∴， （2）当时 ． 【点睛】本题考查了同类二次根式的性质、新定义下的实数的运算等式，理解新定义的运算法则是解答本题的关键． 24．（本题8分）现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板①上截出三个面积分别为和的正方形木板A，B，C． (1)木板①中截出的正方形木板C的边长为_________； (2)求木板①中剩余部分（阴影部分）的面积； (3)乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不能截出 【知识点】二次根式的应用、多项式乘多项式与图形面积、无理数的大小估算 【分析】本题考查了二次根式混合运算的实际应用，熟练掌握二次根的运算是解题的关键， （1）根据正方形的面积，即可求出边长； （2）先求出木板①的边长，根据长方形面积公式即可求解； （3）求出两个面积为的正方形木板的边长，即可得出所需木板的长和宽，将其与实际木板和宽进行比较，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵木板C为正方形，且面积为， ∴木板C的边长为：， 故答案为：． （2）解：∵正方形木板A，B，C的面积分别为：和， ∴正方形木板A，B，C的边长分别为：， ∴长方形木板的长为，宽为 由图可得： ∴ ． （3）解：不能截出； 理由：∵，， ∴两个正方形木板放在一起的宽为，长为， 由（2）得长方形的边长分别为：、， ，但 不能截出． 25．（本题8分）观察下列一组等式，解答后面的问题： ， ， ， ， (1)化简：______； (2)比较大小： ______（填“”或“”）； (3)求 的值． 【答案】(1) (2) (3)44 【知识点】运用平方差公式进行运算、分母有理化、二次根式的混合运算 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，二次根式比较大小，熟练掌握分母有理化是解本题的关键．分母有理化是指把分母中的根号化去．分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式． （1）归纳总结得到一般性规律，原式分母有理化后利用规律计算，即可求出式子的值； （2）利用分母有理化及规律比较与的大小，即可得出结果； （3）原式利用规律计算，即可求出式子的值． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ……， ∴第个等式为：， ∴； （2）解：∵， 又， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3）解： ． 26．（本题10分）阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题 化简：． 解：隐含条件，解得：，． 原式． 【启发应用】 （1）按照上面的解法，试化简：； 【类比迁移】 （2）实数，在数轴上的位置如图所示，化简：； （3）已知，，为的三边长．化简：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【知识点】实数与数轴、三角形三边关系的应用、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了化简二次根式，实数与数轴，三角形三边的关键： （1）先根据题意得到，据此化简二次根式即可； （2）先根据数轴得到，据此化简二次根式和绝对值即可； （3）根据三角形三边的关系得到，据此化简二次根式即可． 【详解】解：（1）∵有意义， ∴，即， ∴ ； （2）由题意得，，， ∴， ∴ ； （3）∵，，为的三边长， ∴， ∴ ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第20章 二次根式 单元测试卷 （考试时间：90分钟  试卷满分：100分） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（本题3分）下列各式中，二次根式的个数有 （        ） ；；；；；． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（本题3分）对所有实数a，b，下列等式从左到右一定成立的是（        ） A． B． C．= D． 3．（本题3分）已知是最简二次根式，且它与是同类二次根式，则（   ） A．4 B．14 C． D． 4．（本题3分）化简：，那么化简结果正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（本题3分）若，则等于（    ） A． B． C． D． 6．（本题3分）已知，那么可化简为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7．（本题2分）已知，那么可化简为 ． 8．（本题2分）比较大小： 9．（本题2分）写出二次根式的一个有理化因式是 ． 10．（本题2分）计算： ． 11．（本题2分）化简： 12．（本题2分）如果代数式有意义，那么的取值范围是 ． 13．（本题2分）二次根式、、、中是最简二次根式的有 个． 14．（本题2分）若，则的值为 ． 15．（本题2分）不等式的解集是 ． 16．（本题2分）计算： ． 17．（本题2分）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值等于 ． 18．（本题2分）已知，则 ． 三.解答题（本大题共8题，满分58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（本题6分）计算：． 20．（本题6分）计算：． 21．（本题6分）计算：． 22．（本题6分）先化简，后求值：，其中，． 23．（本题8分）若最简二次根式与可以合并． (1)求的值； (2)对于任意不相等的两个数，，定义一种运算“※”如下：※＝，如：3※2＝＝．请求※[※（－2）]的值． 24．（本题8分）现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板①上截出三个面积分别为和的正方形木板A，B，C． (1)木板①中截出的正方形木板C的边长为_________； (2)求木板①中剩余部分（阴影部分）的面积； (3)乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． 25．（本题8分）观察下列一组等式，解答后面的问题： ， ， ， ， (1)化简：______； (2)比较大小： ______（填“”或“”）； (3)求 的值． 26．（本题10分）阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题 化简：． 解：隐含条件，解得：，． 原式． 【启发应用】 （1）按照上面的解法，试化简：； 【类比迁移】 （2）实数，在数轴上的位置如图所示，化简：； （3）已知，，为的三边长．化简：． 学科网（北京）股份有限公司 $