专题24.7 相似三角形的判定（第2课时）（高效培优讲义）数学沪教版五四制九年级上册

专题24.7 相似三角形的判定（第2课时） 教学目标 1. 掌握相似三角形的判定定理3及证明； 2. 判断网格中的相似三角形； 3. 了解直角三角形相似的判定定理；掌握相似三角形判定定理综合。 教学重难点 1.重点 （1）相似三角形的判定定理3，并探索其证明过程； （2）直角三角形相似的判定定理，并探索其证明过程； （3）相似三角形的判定综合，及其应用； 2.难点 （1）相似三角形的判定的几何应用； （2）分类讨论思想。 知识点1 相似三角形判定定理3 相似三角形判定定理3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.（简述为：三边对应成比例，两个三角形相似） 例 在△ABC与△A₁B₁C₁中，如果,那么△ABC 与△A₁B₁C₁相似吗?为什么? 证明如下： 如图24-37,在射线AB上截取AB₂=A₁B₁;在射线AC上截取AC₂=A₁C₁,联结B₂C₂. ∵,AB₂=A₁B₁,AC₂=A₁C₁,AB₃=AC 得B₂C₂//BC(三角形一边的平行线判定定理), ∴(平行于三角形一边的直线性质定理推论). 由,即,得, ∴ B₂C₂=B₁C₁. △AB₂C₂≌△A₁B₁C₁. ∵B₂C₂//BC, ∴△ABC∽△AB₂C₂(相似三角形预备定理). ∴△ABC∽△A₁B₁C₁. 要点：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 【即学即练】 1．已知：在和中， ．求证：． 2．如图，每组中的两个三角形是否相似？为什么？ 3．和符合下列条件，其中使与不相似的是（    ） A．，， B．，，，，， C．，，，， D．，，，，， 知识点2 网格中相似三角形的判定 例 如图甲，小正方形的边长均为1，则乙图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是哪一个图形？ 解：由甲图可知AC＝＝，BC＝2，AB＝＝. 同理，图①中，三角形的三边长分别为1，，2； 同理，图②中，三角形的三边长分别为1，，； 同理，图③中，三角形的三边长分别为，，3； 同理，图④中，三角形的三边长分别为2，，. ∵＝＝＝， ∴图②中的三角形与△ABC相似． 要点： （1）各个图形中的三角形均为格点三角形，可以根据勾股定理求出各边的长，然后根据三角形三边的长度是否对应成比例来判断两个三角形是否相似； （2）判定三边是否对应成比例，可以将三角形的三边长按大小顺序排列，然后分别计算他们对应边的比，最后由比值是否相等来确定两个三角形是否相似． 【即学即练】 1．如图，在的方格中，画有格点（阴影部分）与相似的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在大小为的正方形网格中，是相似三角形的是（    ） A．①和② B．②和③ C．①和③ D．②和④ 知识点3 直角三角形相似的判定定理 直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似 例 如图24-39,在Rt△ABC与Rt△A1B1C1中，∠C=∠C₁=90°,.,△ABC与△A1B1C1相似吗?为什么? 相似，理由如下： 设,则AB=kA₁B₁,BC=kB₁C₁. ∵∠C=90°,∠C₁=90°, ∴CA²=AB²—BC², C₁A1²=A₁B1²-B₁C1², 得CA²=k²(A₁B1²-B₁C1²)=k² C₁A1². ∴CA=kC₁A₁,即. 在△ABC与△A₁B₁C₁中， , ∴△ABC∽△A₁B₁C₁. 方法二思路： 也可由, 得, 再利用比例的性质和勾股定理进行推导. 【即学即练】 1．在和中，．依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似，并说明理由． (1)，； (2)，，，； (3)，，，； (4)，，，． 2．如图，，且，，求证：．    题型01 三边对应成比例的两三角形相似 【典例1】．如图中的两个三角形是否相似？为什么？ 【变式1】．如图，每组中的两个三角形是否相似？为什么？ 【变式2】．根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由． (1)； (2)． 【变式3】．已知和的三边长，下列条件能判断它们相似的是（    ） A．，，；    ，， B．，，；    ，， C．，，；    ，， D．，，；    ，， 题型02 网格问题 【典例1】．如图，在边长为1个单位的方格纸上，有与．求证：． 【变式1】．如图，在大小为的正方形网格中，是相似三角形的是（   ） A．①和② B．②和③ C．②和④ D．①和④ 【变式2】．如图，在的正方形网格中，画一个三角形与给定的三角形相似，下列四种画法中，正确的是（   ） A． B． C． D． 题型03 直角三角形中相似三角形的判定 【典例1】．在中，．在中，，则和相似吗？为什么？ 【变式1】．在与中，，，，，，，试问与相似吗？请说明理由. 【变式2】．如图，已知．求证：．    题型04 直角三角形中相似三角形的判定条件辨析 【典例1】．在和中，，下列各组的条件不能判定这两个三角形相似的是（    ） A．，； B．，，，； C．，，，； D．，，，； 【变式1】．在和中，，下列不能判定这两个三角形相似的是（     ） A．， B．，，， C．，，， D．，，， 题型05 判定定理3、直角三角形判定定理的应用 【典例1】．如图，在与中，、分别为边、上的中线，且．求证：∽． 【变式1】．已知：和中，、分别为与的高线，且．求证：∽． 【变式2】．如图，在正方形ABCD中，点E是AD的中点，点F在CD上，且，连接EF、BE．求证：∽ 题型06 相似三角形的判定条件综合辨析（基础） 【典例1】．下列各组条件中，不能判定的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】．下列命题中，假命题是（    ） A．有两边及其第三边上的中线对应成比例的两个三角形相似 B．有两边及其中一条边的中线对应成比例的两个三角形相似 C．有一条直角边及斜边的中线对应成比例的两个三角形相似 D．有两边及其第三条边上的高对应成比例的两个三角形相似 【变式2】．根据下列各组条件，不能判断和相似的是（　　） A． B． C． D． 【变式3】．下列各条件中，能判断的是（    ） A．， B． ， C．， D．，，， 题型07 添加一个条件使三角形相似 【典例1】．如图，与相交于点，可添加一个条件： ，使得与相似． 【变式1】．如图，中，是上一点，连接．请你补充一个条件 ，使． 【变式2】．如图，在中，于点，若增加一个条件，就能使与相似，则这个条件可以是 ． 【变式3】．如图，在四边形中，对角线平分，，，则要使，只要 ． 【变式4】．如图，点分别在的边上，增加下列条件中的一个，①；②；③；④；⑤，能使与一定相似的有 ．（填序号） 题型08 相似三角形的判定条件综合辨析（提升） 【典例1】．如图，在与中，，添加下列一个条件不能使的是（    ）    A． B． C． D． 【变式1】．如图，在中，点分别在边上，下列条件中，不能确定的是（  ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，点是上的一点，下列条件不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】．下列说法中，不正确的是（    ） A．底角为的两个等腰三角形相似 B．一个两边长分别是6和4，另一个两边长分别是9和6，则这两个直角三角形相似 C．一个锐角为的两个直角三角形相似 D．有个角为的两个等腰三角形相似 【变式4】．如图，不能判定和相似的条件是（　　） A． B． C． D． 【变式5】．如图，点是等边三角形的边上的一点，下面四个选项中的条件不能判定与相似的是（   ） A． B．， C． D． 题型09 根据条件、几何图形的性质推断相似三角形 【典例1】．如图，在中，点D在边上，点E在边上，且，则下列结论中不正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】．如图，在中，点D、E分别在边、上，，，那么下列判断中，不正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，四边形的对角线相交于，且将这个四边形分成①②③④四个三角形，若，则下列结论正确的是（    ） A．①和②相似 B．①和③相似 C．①和④相似 D．②和④相似 【变式3】．如图，不等长的两条对角线相交于点，且将四边形分成甲、乙、丙、丁四个三角形．若，则甲、乙、丙、丁这4个三角形中，一定相似的有 ． 题型10 相似三角形判定的应用 【典例1】．如图，在中，，，是内一点，且．求证：． 【变式1】．如图，在中，点E为边上一点，连结：点F为线段上一点，且．求证：． 【变式2】．如图，在正方形中，E是的中点，点F在上，且．    (1)求证：； (2)与相似吗？为什么？ 题型11 分类讨论思想 【典例1】．如图，在中， cm， cm，点P从A出发，以的速度向B运动，同时点Q从C出发，以的速度向A运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为t. （1）用含t的代数式表示：________， （2）当以A，P，Q为顶点的三角形与相似时，求运动时间是多少. 【变式1】．如图，已知于点，于点，，，，为直线上一点，若以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形相似，则这样的点有 个． 【变式2】．如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，的顶点都在格点上，点、、、、、、是边上的7个格点，请在这7个格点中任意选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与相似，符合题意的三角形共有 个． 【变式3】．P是边上的任一点（P不与A、B、C重合），过点P的一条直线截，如果截得的三角形与相似，我们称这条直线为过点P的△ABC的“相似线”．中，，，当点P是边上一个三等分点时（），过点P的的“相似线”最多有 条． 一、单选题 1．已知的三边长为，在下列给定条件的中，与一定相似的是（    ） A． B． C． D．． 2．如图，中，，将沿图中的虚线剪开，下列四种剪开的方法中，剪下的三角形一定与原三角形相似的是（  ） A．①③ B．①②③ C．①②④ D．②④ 3．如图，线段相交于点，连接，则下列条件中不能判定的是（   ） A． B． C． D． 4．中，点是边上一点，联结，下列条件中，不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，已知，下列添加的条件不能使的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在正方形网格中，A、B、C、D、M、N都是格点，从A、B、C、D四个格点中选取三个构成一个与相似的三角形，某同学得到两个三角形：①；②．关于这两个三角形，下列判断正确的是（　　） A．只有①是 B．只有②是 C．①和②都是 D．①和②都不是 二、填空题 7．如图，在中，，则 ． 8．已知一个三角形的三边长分别为、、，另一个三角形的三边长分别为、、 时，这两个三角形相似． 9．如图，D，E是边上的两个点，请你再添加一个条件，使得， ． 10．在和中，，，，，，判定这两个三角形是否相似 ．（填“相似”或“不相似”） 11．的边长分别为的边长分别，则与 （选填“一定”“不一定” “一定不”）相似 12．如图，是斜边上的高，于，则图中与相似的三角形有 个． 13．如图，正方形的边长为8，，，线段的两端在、上滑动，当 时，与相似. 14．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线，在四边形ABCD中，对角线BD是它的相似对角线，∠ABC=70°，BD平分∠ABC，那么∠ADC= 度 15．将三角形纸片按如图的方式折叠，使点B落在边上，记为点，折痕为．已知，若以点为顶点的三角形与相似，则 ． 三、解答题 16．在△ABC和△A′B′C′中，已知：AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，A′B′＝18cm，B′C′＝24cm，A′C′＝30cm．试证明△ABC与△A′B′C′相似． 17．如图，在中，，D，E分别是，上的点，且，求证：．    18．如图，点，在线段上，且是等边三角形，，，．求证：． 19．请用直尺，圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知在中，． (1) 在的延长线上有一点，连接，使得（尺规作图）； (2)在（1）的情况下，求证： ． 20．如图所示，在等腰三角形中，，点E，F在线段上，，点Q在线段上，且． 求证： (1)； (2)． 21．（1）如图1，在四边形中，，连接，过点A作交的延长线于点E，求证：．    （2）如图2，在四边形中，，（1）中的其它条件不变，点M，N分别是的中点，连接，．    ①求证：﹔ ②求证：． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题24.7 相似三角形的判定（第2课时） 教学目标 1. 掌握相似三角形的判定定理3及证明； 2. 判断网格中的相似三角形； 3. 了解直角三角形相似的判定定理；掌握相似三角形判定定理综合。 教学重难点 1.重点 （1）相似三角形的判定定理3，并探索其证明过程； （2）直角三角形相似的判定定理，并探索其证明过程； （3）相似三角形的判定综合，及其应用； 2.难点 （1）相似三角形的判定的几何应用； （2）分类讨论思想。 知识点1 相似三角形判定定理3 相似三角形判定定理3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.（简述为：三边对应成比例，两个三角形相似） 例 在△ABC与△A₁B₁C₁中，如果,那么△ABC 与△A₁B₁C₁相似吗?为什么? 证明如下： 如图24-37,在射线AB上截取AB₂=A₁B₁;在射线AC上截取AC₂=A₁C₁,联结B₂C₂. ∵,AB₂=A₁B₁,AC₂=A₁C₁,AB₃=AC 得B₂C₂//BC(三角形一边的平行线判定定理), ∴(平行于三角形一边的直线性质定理推论). 由,即,得, ∴ B₂C₂=B₁C₁. △AB₂C₂≌△A₁B₁C₁. ∵B₂C₂//BC, ∴△ABC∽△AB₂C₂(相似三角形预备定理). ∴△ABC∽△A₁B₁C₁. 要点：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 【即学即练】 1．已知：在和中， ．求证：． 【答案】见解析 【分析】直接在线段（或它的延长线）上截取，得出，再证明，进而得出答案． 此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定，正确得出是解题关键． 【详解】证明：在线段（或它的延长线）上截取，过点D作，交于点E， ∵，∴， ∴， 又，， ∴，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． 2．如图，每组中的两个三角形是否相似？为什么？ 【答案】（1）不相似，理由见解析；（2）相似，理由见解析． 【分析】根据相似三角形的判定定理进行判断即可． 【详解】解：（1）不相似，理由如下： ∵，，， ∴， ∴与不相似； （2）相似，理由如下： ∵，，， ∴， ∴∽． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 3．和符合下列条件，其中使与不相似的是（    ） A．，， B．，，，，， C．，，，， D．，，，，， 【答案】D 【分析】依据选项提供条件，选择对应的方法进行判断即可． 【详解】解：A、∵,，， ∴， ∴， ∴，故此选项不符合题意； B、∵，，，，，， ∴ ∴，故此选项不符合题意； C、∵，，，， ∴， 又∵， ∴，故此选项不符合题意； D、三边对应比例不相等，故两个三角形不相似，故此选项符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的判定条件． 知识点2 网格中相似三角形的判定 例 如图甲，小正方形的边长均为1，则乙图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是哪一个图形？ 解：由甲图可知AC＝＝，BC＝2，AB＝＝. 同理，图①中，三角形的三边长分别为1，，2； 同理，图②中，三角形的三边长分别为1，，； 同理，图③中，三角形的三边长分别为，，3； 同理，图④中，三角形的三边长分别为2，，. ∵＝＝＝， ∴图②中的三角形与△ABC相似． 要点： （1）各个图形中的三角形均为格点三角形，可以根据勾股定理求出各边的长，然后根据三角形三边的长度是否对应成比例来判断两个三角形是否相似； （2）判定三边是否对应成比例，可以将三角形的三边长按大小顺序排列，然后分别计算他们对应边的比，最后由比值是否相等来确定两个三角形是否相似． 【即学即练】 1．如图，在的方格中，画有格点（阴影部分）与相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似对各选项进行判断． 【详解】解：， A选项中，三条线段的长为，因为，此三角形为直角三角形，长直角边与短直角边的比为2，所以A选项的方格中所画格点三角形（阴影部分）与相似；而B选项中长直角边与短直角边的比为3，C、D选项中的两直角边的比为． 故选：A． 2．如图，在大小为的正方形网格中，是相似三角形的是（    ） A．①和② B．②和③ C．①和③ D．②和④ 【答案】C 【分析】分别求得四个三角形三边的长，再根据三角形三边分别成比例的两三角形相似来判定． 【详解】解：①中的三角形的三边分别是：2，，， ②中的三角形的三边分别是：3，，， ③中的三角形的三边分别是：，2，， ④中的三角形的三边分别是：3，，， ①与③中的三角形的三边的比为：， ①与③相似． 故选：C． 【点睛】此题主要考查勾股定理，相似三角形的判定方法，利用勾股定理求出三角形三边长是解题的关键． 知识点3 直角三角形相似的判定定理 直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似 例 如图24-39,在Rt△ABC与Rt△A1B1C1中，∠C=∠C₁=90°,.,△ABC与△A1B1C1相似吗?为什么? 相似，理由如下： 设,则AB=kA₁B₁,BC=kB₁C₁. ∵∠C=90°,∠C₁=90°, ∴CA²=AB²—BC², C₁A1²=A₁B1²-B₁C1², 得CA²=k²(A₁B1²-B₁C1²)=k² C₁A1². ∴CA=kC₁A₁,即. 在△ABC与△A₁B₁C₁中， , ∴△ABC∽△A₁B₁C₁. 方法二思路： 也可由, 得, 再利用比例的性质和勾股定理进行推导. 【即学即练】 1．在和中，．依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似，并说明理由． (1)，； (2)，，，； (3)，，，； (4)，，，． 【答案】(1)相似，两三角形有两组角对应相等 (2)相似，两三角形两边对应成比例且夹角相等 (3)不相似，两三角形两边对应成比例且有一角相等，但此角不是夹角 (4)相似，斜边和直角边对应成比例 【分析】（1）证明，即可求解； （2）证明，且，即可证明结论； （3）证明，但，则和不相似； （4）利用斜边和直角边对应成比例，证明和相似. 【详解】（1）解：在和中，． ∵， ∴， ∴， ∴和相似，理由是：有两组角对应相等的两个三角形相似； （2）解：在和中，． ∵，，则， ∴和相似，理由是：有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似； （3）解：在和中，． ∵，，则，但， ∴和不相似，理由是：有两边对应成比例且夹角不相等的两个三角形不相似； （4）解：在和中，． 在中，，， ∴， ∵，，则， ∴和相似，理由是：有斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似； 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定定理：两角对应相等，两组边对应成比例且夹角相等；斜边和直角边对应成比例． 2．如图，，且，，求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定，先求出，， 再证明即可． 【详解】证明：，且，， ， ，且， ， ， ， 又∵， 题型01 三边对应成比例的两三角形相似 【典例1】．如图中的两个三角形是否相似？为什么？ 【答案】（1）相似，因为三边成比例；（2）相似，因为两边成比例，夹角相等． 【分析】（1）先标字母，再按大小顺序对应求出两边的比值，根据相似三角形的判定定理进行判断即可； （2）先求两对应边的比值，可得两边对应成比例，夹角为对顶角，根据相似三角形的判定定理进行判断即可． 【详解】解：（1）相似，理由如下： 标字母如图， ∵，，， ∴， ∴∽； （2）相似，理由如下： ∵，， ∴， 又∵∠ACB=∠ECD， ∴∽． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【变式1】．如图，每组中的两个三角形是否相似？为什么？ 【答案】（1）不相似，理由见解析；（2）相似，理由见解析． 【分析】根据相似三角形的判定定理进行判断即可． 【详解】解：（1）不相似，理由如下： ∵，，， ∴， ∴与不相似； （2）相似，理由如下： ∵，，， ∴， ∴∽． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【变式2】．根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由． (1)； (2)． 【答案】(1)与相似，理由见解析 (2)与相似，理由见解析 【分析】（）根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似即可判定求解； （）根据三边对应成比例的两个三角形相似即可判定求解； 本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】（1）解：与相似，理由如下： ∵，， ∴， 又∵， ∴； （2）解：与相似，理由如下： ∵，，， ∴， ∴． 【变式3】．已知和的三边长，下列条件能判断它们相似的是（   ） A．，，；    ，， B．，，；    ，， C．，，；    ，， D．，，；    ，， 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、， 两个三角形的三边成比例，故两个三角形相似； B、， 两个三角形的三边不成比例，故两个三角形不相似； C、， 两个三角形的三边不成比例，故两个三角形不相似； D、， 两个三角形的三边不成比例，故两个三角形不相似； 故选：A． 题型02 网格问题 【典例1】．如图，在边长为1个单位的方格纸上，有与．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了勾股定理和相似三角形的判定，先计算出三角形的各个边的长，再根据三边对应成比例的两个三角形相似证明即可． 【详解】证明：由图知：，，， ，，． ， ． 【变式1】．如图，在大小为的正方形网格中，是相似三角形的是（   ） A．①和② B．②和③ C．②和④ D．①和④ 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，相似三角形的判定，掌握相似三角形的定理是解题关键．利用勾股定理分别求出每个三角形的三边长，再根据两三角形的三组对应边的比例相等，则这两个三角形相似判断即可． 【详解】解：①中三角形三边分别为，2，， ②中三角形三边分别为，3，， ③中三角形三边分别为，，， ④中三角形三边分别为2，，， ∵， ∴是相似三角形的是①和④． 故选D． 【变式2】．如图，在的正方形网格中，画一个三角形与给定的三角形相似，下列四种画法中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 先求出题干三角形的三边长，再分别求出各选项三角形的三边长，判断三边是否对应成比例来判断相似． 【详解】解：可求题干三角形中三边长（从小到大）为：， A、可求三角形三边长（从小到大）为：，不满足三边对应成比例，故不相似，不符合题意； B、可求三角形三边长（从小到大）为：，则，故相似，符合题意； C、同理可求三角形三边长（从小到大）为：，不满足三边对应成比例，故不相似，不符合题意； D、同理可求三角形三边长（从小到大）为：，不满足三边对应成比例，故不相似，不符合题意， 故选：B． 题型03 直角三角形中相似三角形的判定 【典例1】．在中，．在中，，则和相似吗？为什么？ 【答案】．理由见解析． 【分析】直接利用直角三角形的性质得出AC、DE的长，再利用相似三角形的判定方法得出答案． 【详解】解：相似，理由如下： 在中，，由勾股定理得． 在中，，由勾股定理得． ∴有， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键． 【变式1】．在与中，，，，，，，试问与相似吗？请说明理由. 【答案】相似.理由见解析. 【分析】根据三组对应边的比相等的两个三角形相似；证. 【详解】相似.理由如下： ∵， ，， ∴. ∴. 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定方法：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； （2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； （3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； （4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 【变式2】．如图，已知．求证：．    【答案】 【分析】利用三边对应成比例的两个三角形相似，即可得到； 【详解】 证明：， 在中， ， , 在中， 在△ABC和△DEF中，三边对应成比例, ． 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定与性质：三边对应成比例的两个三角形相似，熟悉运用相似三角形的判定与性质即可进行证明． 题型04 直角三角形中相似三角形的判定条件辨析 【典例1】．在和中，，下列各组的条件不能判定这两个三角形相似的是（    ） A．，； B．，，，； C．，，，； D．，，，； 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，根据相似三角形的判定方法和勾股定理，对各个选项进行分析即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，不符合题意； 、有一组角相等两边对应成比例，但该组角不是这两边的夹角，故不相似，符合题意； 、∵，，，， ∴， ∵， ∴，不符合题意； 、∵，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴，不符合题意； 故选：． 【变式1】．在和中，，下列不能判定这两个三角形相似的是（     ） A．， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】C 【分析】本题主要考查相似三角形的判定定理：两角对应相等，两组边对应成比例且夹角相等，三边对应成比例．根据相似三角形的判定方法对各个选项进行分析即可． 【详解】解：A、， ， ， ， 又∵， ，故该选项不符合题意； B、，，，， ， ， ，故该选项不符合题意； C、，，，， ， 不能判定这两个三角形相似，故该选项符合题意； D、，，，， ， ， ，故该选项不符合题意； 故选：C． 题型05 判定定理3、直角三角形判定定理的应用 【典例1】．如图，在与中，、分别为边、上的中线，且．求证：∽． 【答案】见解析. 【分析】根据可得，则可证明∽，即可推出，再根据，则可证明∽． 【详解】解：∵，、分别为边、上的中线， ∴， ∴∽ ∴． 又∵， ∴∽． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定：三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似． 【变式1】．已知：和中，、分别为与的高线，且．求证：∽． 【答案】见解析. 【分析】在Rt△ABD与Rt△A'B'D'中，由直角边和斜边对应成比例得到△ABD∽△A'B'D'，所以∠B=∠B'，再根据两组对边成比例且夹角相等，判定△ABC∽△A'B'C'. 【详解】证明：在Rt△ABD与Rt△A'B'D'中， ∵， ∴△ABD∽△A'B'D'， ∴， 又， ∴∽． 【点睛】本题考查相似三角形判定和性质，熟练掌握判定定理是解决此类问题的关键. 【变式2】．如图，在正方形ABCD中，点E是AD的中点，点F在CD上，且，连接EF、BE．求证：∽ 【答案】见解析 【分析】根据两边对应成比例且夹角相等进行证明即可． 【详解】证明：设， 在正方形ABCD中， ， ，， ， ∽． 【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，要熟练掌握，根据已知条件灵活运用． 题型06 相似三角形的判定条件综合辨析（基础） 【典例1】．下列各组条件中，不能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定逐一分析，即可完成求解． 【详解】A、根据不可判定全等，该项符合题意； B、根据即可判定全等，该项不符合题意； C、根据即可判定全等，该项不符合题意； D、根据即可判定全等，该项不符合题意； 故选：A． 【变式1】．下列命题中，假命题是（    ） A．有两边及其第三边上的中线对应成比例的两个三角形相似 B．有两边及其中一条边的中线对应成比例的两个三角形相似 C．有一条直角边及斜边的中线对应成比例的两个三角形相似 D．有两边及其第三条边上的高对应成比例的两个三角形相似 【答案】D 【分析】本题主要考查命题与定理、相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理判断即可，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A、有两边及其第三边上的中线对应成比例的两个三角形相似，是真命题，不符合题意； B、有两边及其中一条边的中线对应成比例的两个三角形相似，是真命题，不符合题意； C、当斜边上的中线成比例时，斜边也成比例，故有一条直角边及斜边的中线对应成比例的两个三角形相似，是真命题，不符合题意； D、如图：，但与不相似， 故有两边及其第三条边上的高对应成比例的两个三角形相似，是假命题，符合题意； 故选：D． 【变式2】．根据下列各组条件，不能判断和相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理对各选项进行判断作答即可，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴，，则，故选项A不符合要求； ∵，，，， ∴，，则，故选项B不符合要求； ∵，，；，，， ∴，不能判断和相似，故选项C符合要求； ∵，，；，，， ∴，，则，故选项D不符合要求； 故选：C． 【变式3】．下列各条件中，能判断的是（    ） A．， B． ， C．， D．，，， 【答案】C 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，解答的关键是熟记相似三角形的判定条件．两角对应相等的两个三角形相似；两组对应边成比例且其夹角相等的两个三角形相似． 根据相似三角形的判定条件对各选项进行分析即可． 【详解】A、∵，，只有一角一边， ∴不能判断两个三角形相似， 故A不符合题意； B、∵，，不是与的夹角， ∴不能判断两个三角形相似， 故B不符合题意； C、由，可得， 再由，得， ∵两组对应边成比例且其夹角相等的两个三角形相似， ∴可判断， 故C符合题意； D、由，， 得， 由，， 得， ∵只有， ∴不能得， 故D不符合题意． 故选：C． 题型07 添加一个条件使三角形相似 【典例1】．如图，与相交于点，可添加一个条件： ，使得与相似． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似． 本题中已知是对顶角，应用两三角形相似的判定定理，即可作出判断． 【详解】解：如图所示：，再添加另一对对应角相等或该夹角两组对应边的比相等即可． 例如：或或． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式1】．如图，中，是上一点，连接．请你补充一个条件 ，使． 【答案】（或或或）（答案不唯一） 【分析】本题考查两个相似三角形的判定定理，涉及两角分别相等的两个三角形相似、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似判定即可得到答案．熟记两个相似三角形的判定定理是解决问题的关键． 【详解】解：在和中，， 是的一个外角， ， 即，且， ， 当时，；或当时，；或当时，； 故答案为：（或或或）（答案不唯一）． 【变式2】．如图，在中，于点，若增加一个条件，就能使与相似，则这个条件可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形判定的条件：三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形相似；两个角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似等，进行解答，即可． 【详解】解：∵， ∴， 添加条件为：， ∴， 故答案为：． 【变式3】．如图，在四边形中，对角线平分，，，则要使，只要 ． 【答案】4 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据两组对应边成比例，且夹角相等的两个三角形相似，进行求解即可． 【详解】解：∵平分， ∴， 当时，， 即：， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：4． 【变式4】．如图，点分别在的边上，增加下列条件中的一个，①；②；③；④；⑤，能使与一定相似的有 ．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，根据相似三角形的判定定理逐一判断即可得出答案，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，故①符合题意； ∵，， ∴，故②符合题意； ∵，， ∴，故④符合题意； 由，或，不能满足两边成比例且夹角相等，不能证明与相似，故③⑤不符合题意； 故答案为：①②④． 题型08 相似三角形的判定条件综合辨析（提升） 【典例1】．如图，在与中，，添加下列一个条件不能使的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练运用相似三角形的判定定理是解题的关键． 分别根据相似三角形的判定方法进行逐项分析判断即可解答． 【详解】解：A、∵， ∴， 又∵ ∴，故该选项不符合题意； B、∵，， ∴，故该选项不符合题意； C、∵，， ∴，故该选项不符合题意； D、无法得出相似，故该选项符合题意． 故选：D． 【变式1】．如图，在中，点分别在边上，下列条件中，不能确定的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，灵活运用相似三角形判定定理是解题的关键． 根据相似三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A．由，可判定，故A选项正确，不符合题意； B．由可判定，故B选项正确，不符合题意； C．由可得，但没有夹角相等，故C选项错误，符合题意； D． 由可得且，可判定，故D选项正确，不符合题意． 故选：C． 【变式2】．如图，点是上的一点，下列条件不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定．根据相似三角形的判定即可求出答案． 【详解】解：A、，， ，，故A能判定； B、，， ，故B能判定； C、， ． 且， 由已知条件无法判定两三角形相似，故C不能判定 D、， ． 且， 根据两边成比例夹角相等两三角形相似，故D能判定， 故选：C． 【变式3】．下列说法中，不正确的是（    ） A．底角为的两个等腰三角形相似 B．一个两边长分别是6和4，另一个两边长分别是9和6，则这两个直角三角形相似 C．一个锐角为的两个直角三角形相似 D．有个角为的两个等腰三角形相似 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定，等腰三角形，三角形内角和，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 根据有两角对应相等的两个三角形相似判定A；根据三边不对应成比例的三角形不相似判定B；根据有两角对应相等的两个三角形相似判定C；根据有两角对应相等的两个三角形相似判定D． 【详解】解：A、底角为的两个等腰三角形，有两底角对应相等，两三角形相似，故此选项不符合题意； B、一个的斜边为6，直角边为4，则另一直角边为，另一个两直角边长分别是9和6，则斜边为，∵ 两三角形三边不对应成比例，∴两三角形不相似，故此选项符合题意； C、一个锐角为的两个直角三角形，有角和直角两对应角相等，两三角形相似，故此选项不符合题意； D、有个角为的两个等腰三角形，它们顶角是，底角是，顶角与底角分别 对应相等，两三角形相似，故此选项不符合题意； 故选：B． 【变式4】．如图，不能判定和相似的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理进行判定即可． 【详解】解：A、由知，且， 可判断和相似，故选项A不符合题意； B、，且， 可判断和相似，故选项B不符合题意； C、，且， 可判断和相似，故选项C不符合题意； D、由，缺少条件，无法判断和相似，故选项D不符合题意； 故选：D． 【变式5】．如图，点是等边三角形的边上的一点，下面四个选项中的条件不能判定与相似的是（   ） A． B．， C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法进行验证即可求解． 【详解】解：已知是等边三角形， ∴， A选项：∵， ， ∴， ∴本选项能判定与相似，不符合题意． B选项：∵， ∴，， ∴ ， ∴本选项能判定与相似，不符合题意． C选项：当时，无法得到的度数，故无法判定与相似， ∴本选项不能判定与相似，符合题意． D选项：∵， ∴， ∴本选项能判定与相似，不符合题意． 故选：C ． 题型09 根据条件、几何图形的性质推断相似三角形 【典例1】．如图，在中，点D在边上，点E在边上，且，则下列结论中不正确的是（　　） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键；若是两个三角形中两组角对应相等，那么这两个三角形相似，根据此判定作判断即可． 【详解】解：∵，， ∴．故A正确； ∵，， ∴．故B正确； ∵，， ∴．故D正确； 没有条件可证，故C错误． 故选：C 【变式1】．如图，在中，点D、E分别在边、上，，，那么下列判断中，不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键；若是两个三角形中两组角对应相等，那么这两个三角形相似，根据此判定作判断即可． 【详解】解：∵点D、E分别在边、上，， ∴，故A正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故B正确； ∵，， ∴， ∴，故C正确； 与不一定相似，故D不正确； 故选：D． 【变式2】．如图，四边形的对角线相交于，且将这个四边形分成①②③④四个三角形，若，则下列结论正确的是（    ） A．①和②相似 B．①和③相似 C．①和④相似 D．②和④相似 【答案】B 【分析】由，，得到，即可求解， 本题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是：熟练掌握相似三角形的判定定理． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：B． 【变式3】．如图，不等长的两条对角线相交于点，且将四边形分成甲、乙、丙、丁四个三角形．若，则甲、乙、丙、丁这4个三角形中，一定相似的有 ． 【答案】乙和丁 【详解】． 【易错点分析】容易误认为，条件中，是，是，不是两个三角形的对应边成比例，所以不能判定． 题型10 相似三角形判定的应用 【典例1】．如图，在中，，，是内一点，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质的知识点，熟练三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质等知识点．结合题意，可得，从而可得出，又，得出，即可证明． 【详解】证明：，， ． 即． ， ． ． ， ． 【变式1】．如图，在中，点E为边上一点，连结：点F为线段上一点，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质、平行线的性质、相似三角形的判定，根据平行四边形的性质可得，再根据平行线的性质可得，，利用等量代换可得，再根据相似三角形的判定即可得证． 【详解】证明：在中，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式2】．如图，在正方形中，E是的中点，点F在上，且．    (1)求证：； (2)与相似吗？为什么？ 【答案】(1)见解析 (2)相似，理由见解析 【分析】（1）由正方形的性质可得,，再根据可得，进而说明，再结合，即可证明结论； （2）设，利用E为边的中点，，得到，则可计算出,由勾股定理逆定理可得以及再说明即可证明结论． 【详解】（1）解：∵正方形， ∴, ∵， ∴， ∵点F在上， ∴, ∴, ∵, ∴． （2）解：与相似，理由如下： 设， ∵E为边的中点，， ∴， ∴，,, ∴,即, ∴, ∵, ∴, ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定、正方形的性质、勾股定理逆定理等知识点，掌握两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似是解答本题的关键． 题型11 分类讨论思想 【典例1】．如图，在中， cm， cm，点P从A出发，以的速度向B运动，同时点Q从C出发，以的速度向A运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为t. （1）用含t的代数式表示：________， （2）当以A，P，Q为顶点的三角形与相似时，求运动时间是多少. 【答案】（1）2t，（2）运动时间为s或4s 【分析】（1）利用速度公式求解； （2）由于∠PAQ=∠BAC，利用相似三角形的判定，当时，△APQ∽△ABC，即；当时，△APQ∽△ACB，即，然后分别解方程即可． 【详解】（1）2t , ; （2）连接PQ，∵，∴当时，，此时，解得； ∵，∴当时，，此时，解得. ∴运动时间为s或4s. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似,关键是能灵活运用. 【变式1】．如图，已知于点，于点，，，，为直线上一点，若以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形相似，则这样的点有 个． 【答案】6 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 分3种情况求解即可：①当点P在线段上运动时，②当点P在B的左侧运动时，③当点P在点C的右侧运动时． 【详解】解：∵， ∴，设， ①当点P在线段上运动时， 当时，， ∴ ， ∴，； 当时，， ∴， 解得：； ②当点P在B的左侧运动时， 当时，， ∴ ， ∴，（舍去）； 当时，， ∴， 解得：； ③当点P在点C的右侧运动时， 当时，， ∴ ， ∴，（舍去）； 当时，， ∴， 解得：（舍去）； 综上可知，符合题意的x的值有6个，即这样的点有6个． 故答案为：6． 【变式2】．如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，的顶点都在格点上，点、、、、、、是边上的7个格点，请在这7个格点中任意选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与相似，符合题意的三角形共有 个． 【答案】5 【分析】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理与网格．欲求有几个符合条件的三角形与相似，先利用勾股定理求出的三边的长度，然后再去求以，，为顶点构成的三角形的三边长，比较对应三边时否成比例，便可判定是不符合．按这种方法一一计算判定可得结论． 【详解】解：则，，． 连接， ，，． ， ． 同理可找到，，，和相似，共5个． 故答案为：5． 【变式3】．P是边上的任一点（P不与A、B、C重合），过点P的一条直线截，如果截得的三角形与相似，我们称这条直线为过点P的△ABC的“相似线”．中，，，当点P是边上一个三等分点时（），过点P的的“相似线”最多有 条． 【答案】4 【分析】根据相似线的定义，可知截得的三角形与有一个公共角，分①公共角为时；②公共角为时；③公共角为时；三种情况进行讨论，即可得出答案． 【详解】解：①当公共角为时，不存在； ②公共角为时，过点作，交于点D，如图所示： ∵，， ∴； 过点P作于点D，如图所示： ∵，， ∴； ③公共角为时， 连接，如图所示： ∵， ∴， 设，则， ， ∵点P是边上一个三等分点，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴； 过点P作，交于点D，如图所示： ∵， ∴，， ∴； 综上分析可知，过点P的的“相似线”最多有4条． 故答案为：4. 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，平行线的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法． 一、单选题 1．已知的三边长为，在下列给定条件的中，与一定相似的是（    ） A． B． C． D．． 【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形的判定定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键；由题意可知是一个含度的直角三角形，然后可进行排除选项． 【详解】 的三边长为， ， 是一个直角三角形， 要使与相似， 则也为直角三角形， 且由选项可知，， ， 只需满足即可． 故选：D． 2．如图，中，，将沿图中的虚线剪开，下列四种剪开的方法中，剪下的三角形一定与原三角形相似的是（  ） A．①③ B．①②③ C．①②④ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：①剪下的三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似； ②剪下的三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似； ③剪下的三角形与原三角形对应边成比例，且夹角相等，故两三角形相似． ④剪下的三角形与原三角形只有一个角相等，故两三角形不相似； 故正确的有①②③， 故选：B． 3．如图，线段相交于点，连接，则下列条件中不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，熟练掌握其判定定理是解决此题的关键．根据两个三角形相似的判定定理来判断：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似；三边对应成比例，两个三角形相似；两角对应相等，两个三角形相似．即可分析得出答案． 【详解】解：∵， ∴当 或时， ∴， 故 A、B 选项可判断两三角形相似； 当 时，结合， ∴，故 D 能判断两三角形相似； 当 时，没有夹角相等，不可证明，故C不 能判断两三角形相似； 故选：C． 4．中，点是边上一点，联结，下列条件中，不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定，由图可知，是与的公共角，所以再添加一组角相等或者添加夹的两边成比例即可判断． 【详解】解：如图所示， A．， ， ， ， 故A不符合题意； B．， ， ， 不能判定与相似， 故B符合题意； C．， ， 故C不符合题意； D．，， ， 故D不符合题意； 故选：B． 5．如图，已知，下列添加的条件不能使的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据相似三角形的判定定理判断求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故A不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故B不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， 故C不符合题意； 由，，不能判定， 故D符合题意； 故选：D． 6．如图，在正方形网格中，A、B、C、D、M、N都是格点，从A、B、C、D四个格点中选取三个构成一个与相似的三角形，某同学得到两个三角形：①；②．关于这两个三角形，下列判断正确的是（　　） A．只有①是 B．只有②是 C．①和②都是 D．①和②都不是 【答案】B 【分析】此题考查了相似三角形的判定和勾股定理逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理逆定理和相似三角形的判定； 先根据网格判定，，然后用相似三角形的判定定理证明即可 【详解】如图，连接，，，，， 在中，，，， 由网格可知：，，，，， ∴，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴与不相似， 故选：． 二、填空题 7．如图，在中，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，平行线的性质，根据两直线平行，同位角相等得到，再根据两组角对应相等的两三角形相似即可证明． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：；． 8．已知一个三角形的三边长分别为、、，另一个三角形的三边长分别为、、 时，这两个三角形相似． 【答案】 【分析】根据相似三角形的三边对应成比例即可解答． 【详解】解：∵6∶12＝7.5∶15＝1∶2， ∴9∶18＝1∶2， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了三角形相似的判定，解题关键是掌握两个三角形相似的判定方法． 9．如图，D，E是边上的两个点，请你再添加一个条件，使得， ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据相似三角形的判定条件求解即可． 【详解】解：添加条件，理由如下： ∵，， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知两个角对应相等的两个三角形相似是解题的关键． 10．在和中，，，，，，判定这两个三角形是否相似 ．（填“相似”或“不相似”） 【答案】不相似 【分析】求出，利用，即可求出两个三角形不相似． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴这两个三角形不相似． 故答案为：不相似 【点睛】本题考查相似三角形的判定，勾股定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． 11．的边长分别为的边长分别，则与 （选填“一定”“不一定” “一定不”）相似 【答案】不一定 【分析】先求出两个三角形三边的比，再根据三边对应成比例判断两个三角形相似即可． 【详解】解：∵的边长分别为的边长分别， ∴两个三角形对应边的比分别为： ， 当a=b=c时，，这两个三角形相似， 当a≠b≠c时，，这两个三角形不相似， ∴与不一定相似， 故答案为：不一定． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答的关键． 12．如图，是斜边上的高，于，则图中与相似的三角形有 个． 【答案】4 【分析】根据有两个角对应相等的两个三角形相似逐个判断即可． 【详解】解：∵BD是Rt△ABC斜边AC上的高， ∴∠ADB=∠BDC=∠ABC=90°， ∴∠A+∠C=90°，∠A+∠ABD=90°，∠C+∠CBD=90°， ∴∠A=∠CBD，∠C=∠ABD， ∴△ADB∽△BDC， ∵∠ABC=∠BDC，∠C=∠C， ∴△BDC∽△ABC， 同理△ADB∽△ABC；△BDE∽△DEA∽△BAD， 即图中与△ABC相似的三角形有△BDC、△ADB、△AED、△DEB共4个， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理．能利用直角三角形的两锐角互余找到对应角相等的角是解此题的关键． 13．如图，正方形的边长为8，，，线段的两端在、上滑动，当 时，与相似. 【答案】2或4/4或2 【分析】根据，中，所以在中，分与和是对应边两种情况利用相似三角形对应边成比例求出与的关系，然后利用勾股定理列式计算即可． 【详解】解：， ， 又与以、、为顶点的三角形相似， 分两种情况： ①与是对应边时，， ， 即， 解得：； ②与是对应边时，， ， 即， 解得：． 综上所述：当为4或2时，与相似． 故答案是：4或2． 【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定；利用相似三角形对应边成比例的性质和直角三角形勾股定理求解是解题的关键． 14．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线，在四边形ABCD中，对角线BD是它的相似对角线，∠ABC=70°，BD平分∠ABC，那么∠ADC= 度 【答案】145 【分析】先画出示意图，由相似三角形的判定可知，在△ABD和△DBC中，已知∠ABD=∠CBD，所以需另一组对应角相等，若∠A=∠C，则△ABD与△DBC全等不符合题意，所以必定有∠A=∠BDC,再根据四边形的内角和为360°列式求解. 【详解】解：根据题意画出示意图，已知∠ABD=∠CBD， △ABD与△DBC相似，但不全等， ∴∠A=∠BDC，∠ADB=∠C. 又∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°， ∴2∠ADB+2∠BDC+∠ABC=360°， ∴∠ADB+∠BDC=145°， 即∠ADC=145°.    【点睛】对于新定义问题，读懂题意是关键. 15．将三角形纸片按如图的方式折叠，使点B落在边上，记为点，折痕为．已知，若以点为顶点的三角形与相似，则 ． 【答案】2或 【分析】本题考查相似三角形的性质，解答此题时要注意进行分类讨论．由于折叠前后的图形不变，要考虑与相似时的对应情况，分两种情况讨论． 【详解】解：根据与相似时的对应关系，有两种情况： ①时， ， 又∵， ∴ 解得； ②时， ， ， 而，即 解得． 故的长度是2或 故答案为：2或 三、解答题 16．在△ABC和△A′B′C′中，已知：AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，A′B′＝18cm，B′C′＝24cm，A′C′＝30cm．试证明△ABC与△A′B′C′相似． 【答案】见解析 【分析】根据三边对应成比例的三角形相似进行解答即可． 【详解】证明：∵AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，A′B′＝18c m，B′C′＝24cm，A′ C′＝30cm， ∴，， ∴ ∴△ABC∽△A′B′C′． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟知三组对应边的比相等的两个三角形相似是解答此题的关键． 17．如图，在中，，D，E分别是，上的点，且，求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定．等边对等角，得到，利用外角的性质，推出，即可得证．熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 18．如图，点，在线段上，且是等边三角形，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查的知识点是相似三角形的判定和等边三角形的性质，先证明，然后由为等边三角形可证明，从而可证明． 【详解】证明：为等边三角形， ，， ， ． ． 19．请用直尺，圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知在中，． (1) 在的延长线上有一点，连接，使得（尺规作图）； (2)在（1）的情况下，求证： ． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了作图-复杂作图，相似三角形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）在的右侧作，连接交的延长线上有点即可； （2）根据已知条件得到即可证明． 【详解】（1）解：以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再以点为圆心，以长度为半径画弧，两弧相交于点，连接交的延长线上有点，如图，则． （2） 证明：如上图， ∵，， ∴， 在和中，，， ∴． 20．如图所示，在等腰三角形中，，点E，F在线段上，，点Q在线段上，且． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用证明即可； （2）根据得出，，根据，，得出，利用相似三角形的判定得出结论即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴； （2） 证明：∵， ∴，， ∵，， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键． 21．（1）如图1，在四边形中，，连接，过点A作交的延长线于点E，求证：．    （2）如图2，在四边形中，，（1）中的其它条件不变，点M，N分别是的中点，连接，．    ①求证：﹔ ②求证：． 【答案】（1）证明见详解；（2）①证明见详解，②证明见详解 【分析】（1）由，通过角的转换即可证明； （2）①证即可证明； ②由①中结论可得，则 ，进而可证明； 本题主要考查三角形的全等判定及性质，相似三角形的证明，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 【详解】证明（1）∵， ∴， ∴． （2）①∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴． ②∵， ∴， ∵分别是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$