专题24.5 三角形一边的平行线（第2课时）（高效培优讲义）数学沪教版五四制九年级上册

专题24.5 三角形一边的平行线（第2课时） 教学目标 1. 掌握三角形一边的平行线的性质中间比代换； 2. 学会构造平行的七种技巧； 3. 掌握重心的概念及性质；重心性质的几何应用。 教学重难点 1.重点 （1）常用构造平行辅助线的作法； （2）比例线段的化简；中间比代换； （3）重心的性质的推导过程；重心性质的应用。 2.难点 （1）构造平行； （2）综合分析法，比例线段的化简与几何图形的性质综合分析； （3）分类讨论思想。 知识点1 三角形的重心及其性质 1.知识引入 例题 已知：如图24-19,BE、CF 是△ABC 的中线，交于点G .求证 ： . 分析 要证明,只要证明 EF//BC. 根据已知条件，可知 EF是 △ABC的中位线，由此可推出所要证明的结论. 证明 联结EF. 由BE、CF是△ABC的中线，可知EF是△ABC的中位线. ∴EF//BC,,即 ∵ EF//BC, ∴(三角形一边的平行线性质定理的推论). ∴ 问题：在图24-19中，如果△ABC的另一条中线AD与 BE相交于点G', 如图24-20所示，那么这个交点G'与交点G是否同一个点? 解释：通过联结 DE,运用例题的证明方法，可得 因为点G'与点G同在中线 BE上 ，,且，所以点G '与点G是同一点.这就是说，三角形的三条中线交于一点. 2.三角形的重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心. 3.重心的性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的二倍. 4.重心的画法：两条中线的交点. 【即学即练】 1．已知在中，是中线，G是重心，如果，那么 ． 2．如图，在中，D是的中点，点G是的重心．，则 ．     3．如图，点G是的重心，DE过点G，，，那么BF：CF= ． 4．如图，在中，，若点是的重心，，则 ． 5．如图，在平面直角坐标系中，已知，，，则重心的坐标是 ． 6．如图，点G是重心，，如果，那么线段的长为 知识点2 三角形一边的平行线（续） 1.三角形一边的平行线的六种解题技巧： ①中间比代换法证比例式；②等积代换法证比例式；③等比代换法证比例中项； ④平行法证比例式；⑤等比过渡法证线段相等；同分母的中间比代换法。 2.构造平行 ①连接两点构造平行；②作三角形一边的平行线；③截长补短法；④构造平行四边形.......... 【即学即练】 1．如图，在中，点D、E、F分别在边上，，，则下列比例式中错误的是（    ）    A． B． C． D． 2．如图，在中，，，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知E是AC的中点，C是BD的中点，那么＝ ． 4．如图所示，在中，点E是上的一点，，F是上的中点，则的值（   ） A．1∶4 B．2∶5 C．1∶5 D．3∶5 5．如图，在△ABC中，点D为AB上一点，过点D作BC的平行线交AC于点E，过点E作AB的平行线交BC于点F，连接CD，交EF于点K，则下列说法正确的是(   ) A． B． C． D． 题型01 在梯子型中构造平行 【典例1】．如图，已知，它们依次交直线、于点、、和点、、． （1）如果，，，求的长； （2）如果，，，求的长． 【变式1】．如图，在梯形中，是两腰上的点，且则 题型02 连接两点构造平行 【典例1】．如图，点、分别在的边、上，若，点在上，，连接并延长交于点，则等于　　 A． B． C． D． 【变式1】．如图，在△ABC中，点G为ABC的重心，过点G作DE∥AC分别交边AB、BC于点D、E，过点D作DF∥BC交AC于点F，如果DF＝4，那么BE的长为 ．    题型03 作三角形一边的平行线 【典例1】．如图，已知点在上，且，点是延长线上一点，，连接 与交于点，求的值． 【变式1】．如图，是的中线，点是上一点，且，连接并延长交于点． (1)若，求的长； (2)求的值． 题型04 截长补短法 【典例1】．如图，在中，是的中点，是的平分线，交于点，若，，则的长为 ． 【变式1】．如图，在平行四边形中，连接，点E是上一点，交于点F．若，，，，则的长为 ． 题型05作三角形的中位线 【典例1】．如图，在中，，是边上的两个三等分点，是的中点，分别交，，于，，，求． 【变式1】．如图， 中，是边上的点，且，是边上的点，且，分别交于，则等于（　　） A.3:2:1 B. 5:3:1 C.25;12:5 D.51:24:10 题型06构造平行四边形 【典例1】．如图，、，、分别是和的中点，过的直线依次交、、、于点、、、， 求证：． 【变式1】．已知如图，点是边上一点，且，过点任作一条直线与、分别交于点和，求证：． 题型07其他辅助线作法 【典例1】．如图， 在中，，，． 连接交于点， 求 的值 ． 【变式1】．已知：如图，，，垂足分别为、，和相交于点，，垂足为，我们可以证明成立（不要求考生证明）． 若将图中的垂线改为斜交，如图，，，相交于点，过点作交于点，则： （1）还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由； （2）请找出，和间的关系式，并给出证明． 题型08 三角形一边的平行线—中间比代换 【典例1】．如图，，，则下列式子中成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，在△ABC中，点D在边BC上，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（　　）    A．； B．； C．； D．． 【变式2】．如图，在中，，，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，在中，点,点为边的三等分点，与交于点，则下列比例式正确的是（  ） A． B． C． D． 题型09 三角形的重心概念及性质 【典例1】．三角形的重心正确的叙述是（　　） A．三角形三条角平分线的交点 B．三角形三条中垂线的交点 C．三角形三条中线的交点 D．三角形三条高的交点 【变式1】．如图，在中，是边上的中线，是重心．如果，那么线段的长为（     ） A．1 B．2 C．3 D．6 【变式2】．如图，在中，与交于点G，点G为的重心，点M、N分别在边、上，若，则的值为 ． 题型10：三角形重心的性质的几何应用 【典例1】．在中，已知是中线，点G是重心，那么 ． 【变式1】．如图，点是的重心，经过点，且．那么的周长与的周长之比为 ． 【变式2】．新定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做等高底三角形，这条边叫做等底．如图，是等高底三角形，是等底，点关于直线的对称点是点，连接，如果点是的重心，那么的值是 ．    一、单选题 1．如果点是的重心，连接并延长，交对边于点，那么是（    ） A． B． C． D． 2．如图，E是平行四边形ABCD的BA边的延长线上的一点，CE交AD于点F，下列各式中，错误的是(   ). A． B． C． D． 3．如图，在中，，，点是重心，点在上且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 4．如图，△ABC中，点D、F在边AB上，点E在边AC上，如果DE∥，EF∥CD，那么一定有（  ） A． B． C． D． 5．在中，，，，平分交于点D，垂直平分线段交于点E，交的延长线于点F，则之长为（　　） A．5 B．6 C． D．7 6．如图，两条不平行的直线与直线相交于点，四条平行线分别交直线于点、、、，分别交直线于点、、、，则有．如果，，，那么在下列结果中，线段之差最大的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．在中，，那么它的重心G到C点距离是 . 8．如图，已知为角平分线，，如果，，那么 ． 9．如图，已知，是的中线，是的中点，则 ． 10．如图，在中，是边上的中线，G是重心，，交于点E，则 ．    11．如图，已知点在的边上，联结为上一点，过点分别作的平行线交于点如果，那么 ． 12．如图，在中，点E、D在边AC上，点F、M在边AB上，且，，如果FD的延长线交BC的延长线于N，那么的值为 ． 13．如图，菱形ABCD的边长为1，直线l过点C，交AB的延长线于M，交AD的延长线于N，则= ． 14．如图，在中，与交于点G，点G为的重心，点M、N分别在边、上，若，则的值为 ． 15．在中，，，，重心为点，直线经过边的中点，将沿直线翻折得到（点、、分别与点、、对应），的重心点在的内部．若点到的距离与点到的距离相等，那么到直线的距离为 ． 16．阅读：对于线段与点O（点O与不在同一直线上），如果同一平面内点P满足：射线与线段交于点Q，且，那么称点P为点O关于线段的“准射点”．问题：如图，矩形中，，点E在边上，且，连接．设点F是点A关于线段的“准射点”，且点F在矩形的内部或边上，如果点C与点F之间距离为d，那么d的取值范围为 ． 三、解答题 17．如图，已知，与相交于点，点在线段上，，． (1)求证：； (2)求． 18．如图，如图，是的一条中线，P为的重心，，交，于点E，F，交于点 P． (1)求与的比值． (2)若 ，求 的长． 19．如图，为对角线上任意一点．求证：．    20．如图，已知在中，中线，交于点，交于点． (1)如果，求和的长． (2)求证：． 21．已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B、D，AD和BC相交于点E，EF⊥BD，垂足为F，我们可以证明成立（不要求考生证明）． 若将图中的垂线改为斜交，如图，ABCD，AD，BC相交于点E，过点E作EFAB交BD于点F，则： (1)还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由； (2)请找出S△ABD，S△BED和S△BDC间的关系式，并给出证明． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题24.5 三角形一边的平行线（第2课时） 教学目标 1. 掌握三角形一边的平行线的性质中间比代换； 2. 学会构造平行的七种技巧； 3. 掌握重心的概念及性质；重心性质的几何应用。 教学重难点 1.重点 （1）常用构造平行辅助线的作法； （2）比例线段的化简；中间比代换； （3）重心的性质的推导过程；重心性质的应用。 2.难点 （1）构造平行； （2）综合分析法，比例线段的化简与几何图形的性质综合分析； （3）分类讨论思想。 知识点1 三角形的重心及其性质 1.知识引入 例题 已知：如图24-19,BE、CF 是△ABC 的中线，交于点G .求证 ： . 分析 要证明,只要证明 EF//BC. 根据已知条件，可知 EF是 △ABC的中位线，由此可推出所要证明的结论. 证明 联结EF. 由BE、CF是△ABC的中线，可知EF是△ABC的中位线. ∴EF//BC,,即 ∵ EF//BC, ∴(三角形一边的平行线性质定理的推论). ∴ 问题：在图24-19中，如果△ABC的另一条中线AD与 BE相交于点G', 如图24-20所示，那么这个交点G'与交点G是否同一个点? 解释：通过联结 DE,运用例题的证明方法，可得 因为点G'与点G同在中线 BE上 ，,且，所以点G '与点G是同一点.这就是说，三角形的三条中线交于一点. 2.三角形的重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心. 3.重心的性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的二倍. 4.重心的画法：两条中线的交点. 【即学即练】 1．已知在中，是中线，G是重心，如果，那么 ． 【答案】6 【分析】本题考查重心的性质，掌握重心的性质是解题的关键．根据重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1求解即可． 【详解】解：由题意可知，即， ∴． 故答案为：6． 2．如图，在中，D是的中点，点G是的重心．，则 ．     【答案】4 【分析】根据重心的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵D是的中点，点G是的重心， ∴， ∴； 故答案为：4． 【点睛】本题考查重心的性质，熟练掌握重心到顶点的距离是中心到对边中点距离的2倍，是解题的关键． 3．如图，点G是的重心，DE过点G，，，那么BF：CF= ． 【答案】 【分析】连接并延长，交于H，先根据重心的性质，得出，再由平行线分线段成比例定理，得出，． 【详解】 如图，连接并延长，交于H， ∵点G是的重心， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了重心的概念和性质以及平行线分线段成比例定理，难度中等，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍． 4．如图，在中，，若点是的重心，，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了重心的性质及直角三角形的性质，延长交于点D，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及重心的性质求解即可． 【详解】解：如图，延长交于点D， ∵，若点是的重心，， ∴，， ∴， 故答案为：2． 5．如图，在平面直角坐标系中，已知，，，则重心的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形的重心的概念和性质、坐标与图形性质等知识点，根据三角形的重心的概念作出重心，根据重心的性质得到，然后根据平行线分线段成比例定理计算即可．掌握重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴点O是的中点， 如图：连接，作中线交于G，则点G是的重心， ∴， 如图：作于E，于F，则， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴△ABC重心的坐标是， 故答案为． 6．如图，点G是重心，，如果，那么线段的长为 【答案】2 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质：两个三角形相似对应角相等，对应边的比相等．先根据三角形重心性质得到，，再证明，然后利用相似比可计算的长． 【详解】解：∵点G是的重心， ∴为中线，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 故答案为：2．（利用三角形一边的性质定理推论也可得） 知识点2 三角形一边的平行线（续） 1.三角形一边的平行线的六种解题技巧： ①中间比代换法证比例式；②等积代换法证比例式；③等比代换法证比例中项； ④平行法证比例式；⑤等比过渡法证线段相等；同分母的中间比代换法。 2.构造平行 ①连接两点构造平行；②作三角形一边的平行线；③截长补短法；④构造平行四边形.......... 【即学即练】 1．如图，在中，点D、E、F分别在边上，，，则下列比例式中错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可． 【详解】A、∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∴，不符合题意； B、∵， ∴， ∴，不符合题意； C、∵， ∴， ∴，不符合题意； D、∵， ∴， ∴， 故D错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线判定三角形的相似和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键． 2．如图，在中，，，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线分线段成比例的性质，即可解答． 【详解】 ， ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例的性质，解题关键是熟练运用这个性质得到线段的比例关系． 3．如图，已知E是AC的中点，C是BD的中点，那么＝ ． 【答案】 【分析】过点C作，交DF于点G，根据平行线分线段成比例定理可得，，由此即可求得答案． 【详解】解：如图，过点C作，交DF于点G， ∵，E是AC的中点， ∴， ∴， ∴， ∵，C是BD的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，熟练掌握平行线分线段成比例定理并能作出正确的辅助线是解决本题的关键． 4．如图所示，在中，点E是上的一点，，F是上的中点，则的值（   ） A．1∶4 B．2∶5 C．1∶5 D．3∶5 【答案】C 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理等知识．过点F作交于点G，得到，进一步得到，由得到即可． 【详解】解：∵F是上的中点， ∴， 过点F作交于点G， ∴， ∴ ∵， ∴, ∴， ∵， ∴， 故选：C 5．如图，在△ABC中，点D为AB上一点，过点D作BC的平行线交AC于点E，过点E作AB的平行线交BC于点F，连接CD，交EF于点K，则下列说法正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用相似三角形的判定和性质以及平行线分线段成比例定理证明即可； 【详解】∵DE∥CF， ∴△DEK∽△CFK， ∴， ∵EK∥AD， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握基本知识． 题型01 在梯子型中构造平行 【典例1】．如图，已知，它们依次交直线、于点、、和点、、． （1）如果，，，求的长； （2）如果，，，求的长． 【解析】解：（1）， ， ，，， ， ． （2）过点作，交于点，交于点， 则， ， ， ， ，， ， ， ． 【点评】本题考查平行线分线段成比例的知识，综合性较强，关键是掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 【变式1】．如图，在梯形中，是两腰上的点，且则 【答案】 【分析】过点A作AG∥CD交EF于H，交BC于G，易证四边形AHFD、AGCD均为平行四边形，则有CG=HF=AD=3，BG=2,再由平行线分线段成比例可得，可求得EH，进而可求得EF的长． 【详解】解：过点A作AG∥CD交EF于H，交BC于G， ∵AD∥BC∥EF， ∴四边形AHFD、AGCD均为平行四边形， ∴CG=HF=AD=3， ∴BG=BC﹣CG=2， ∵ ∴， ∴EH=BG=， ∴EF=EH+HF=, 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、平行线分线段成比例，将梯形问题通过作辅助平行线转化为三角形问题是解答的关键． 题型01连接两点构造平行 【典例1】．如图，点、分别在的边、上，若，点在上，，连接并延长交于点，则等于　　 A． B． C． D． 【解析】解：如图，作交于． ， ， 可以假设，则， ， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解 决问题，属于中考常考题型． 【变式1】．如图，在△ABC中，点G为ABC的重心，过点G作DE∥AC分别交边AB、BC于点D、E，过点D作DF∥BC交AC于点F，如果DF＝4，那么BE的长为 ．    【答案】8 【分析】连接BG并延长交AC于H，根据重心的性质可得2，根据平行四边形的定义,可证四边形DECF是平行四边形，然后根据平行四边形的性质可得CE＝DF＝4，利用平行线分线段成比例定理列出比例式,即可求出BE. 【详解】解：连接BG并延长交AC于H，    ∵G为ABC的重心， ∴2， ∵DE∥AC，DF∥BC， ∴四边形DECF是平行四边形， ∴CE＝DF＝4， ∵GE∥CH， ∴2， ∴BE＝8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了三角形重心的性质，平行四边形的判定及性质,平行线分线段成比例定理，难度适中．准确作出辅助线是解题的关键． 题型03 作三角形一边的平行线 【典例1】．如图，已知点在上，且，点是延长线上一点，，连接 与交于点，求的值． 【解析】解：过点作，交于点， ， ， ， ， 即， ， ， ， ． 即． 证法二、连接、， ，， ， ， ， ，， ， ， ． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意：平行线分的线段对应成比例，此题具有一定的代表性，但是一定比较容易出错的题目． 【变式1】．如图，是的中线，点是上一点，且，连接并延长交于点． (1)若，求的长； (2)求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查中线定义，线段和差关系，平行线分线段成比例等知识内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）过作交于点，继而得到，再利用中线定义得到，再利用平行线分线段定理可得，继而得到本题答案； （2）如图，过作交于点，，再利用中线定义得到，再利用平行线分线段定理可得，继而得到本题答案． 【详解】（1）解：如图，过作交于点， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：如图，过作交于点， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 题型04 截长补短法 【典例1】．如图，在中，是的中点，是的平分线，交于点，若，，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形中位线，角平分线的定义，平行线分线段成比例，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键．过点作交的延长线于点，先利用平行线的性质以及角平分线的定义，证明，再证明为的中位线，从而得到，最后算出的长度． 【详解】解：过点作交的延长线于点，如图所示 ，是的平分线 ， 又是中点 为的中位线 ， 故答案为：4． 【变式1】．如图，在平行四边形中，连接，点E是上一点，交于点F．若，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】延长、交于点G，由可得，由两直线平行同位角相等可得，由平行四边形的性质可得，，即，由两直线平行内错角相等可得，，再结合，可证得四边形是平行四边形，于是可得，，由平行线分线段成比例定理可得，设，则，，，，在中，根据勾股定理可得，在中，根据勾股定理可得，即，解方程即可求出的值，然后根据即可求出的长． 【详解】解：如图，延长、交于点G， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，，即， ，， 又， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 设，则，，，， 在中，根据勾股定理可得： ， 在中，根据勾股定理可得： ， 即：， 解得：或（不符合题意，故舍去）， ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理，直接开平方法解一元二次方程，两直线平行同位角相等，两直线平行内错角相等等知识点，添加适当辅助线构造直角三角形是解题的关键． 题型05作三角形的中位线 【典例1】．如图，在中，，是边上的两个三等分点，是的中点，分别交，，于，，，求． 【解析】解：过作，交于，于， 为中点， 是的中位线， ，， ， ， ， ， ， 是的中位线， ， ， ， ，， ． 【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理和三角形中位线定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 【变式1】．如图， 中，是边上的点，且，是边上的点，且，分别交于，则等于（　　） A.3:2:1 B. 5:3:1 C.25;12:5 D.51:24:10 【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理和三角形中位线定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 题型06构造平行四边形 【典例1】．如图，、，、分别是和的中点，过的直线依次交、、、于点、、、， 求证：． 【解析】证明：延长、，设交点为，则四边形为平行四边形， 是的中点， 的延长线必过点，且． ， ． ， ． ． 又， ． ，． ． ． 即． 【点评】综合运用了平行四边形的性质和平行线分线段成比例定理． 【变式1】．已知如图，点是边上一点，且，过点任作一条直线与、分别交于点和，求证：． 【解析】证明：过点分别作，， 得到四边形是平行四边形， ， ， ，（平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例） ， ， ， 设，则，，， ， ， （如果一条直线截三角形的两边的延长线，所得的对应线段成比例）， ， ， ， ， 即． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例；如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． 题型07其他辅助线作法 【典例1】．如图， 在中，，，． 连接交于点， 求 的值 ． 【解析】解： 如图， 连接、， 则， ，，， ，，，， ． 【点评】本题主要考查比例线段的基本性质， 根据共高两三角形的底边之比等于面积比将线段 的比转化为面积的比是解题的关键 ． 【变式1】．已知：如图，，，垂足分别为、，和相交于点，，垂足为，我们可以证明成立（不要求考生证明）． 若将图中的垂线改为斜交，如图，，，相交于点，过点作交于点，则： （1）还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由； （2）请找出，和间的关系式，并给出证明． 【解析】（1）成立． 证明： ； （2）关系式为： 证明如下：分别过作于，过作于，过作交的延长线于 由题设可得： 即 又， ． 【点评】此题考查平行线分线段成比例定理的运用． 题型08 三角形一边的平行线—中间比代换 【典例1】．如图，，，则下列式子中成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线分线段成比例的性质，即可解答． 【解析】 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例的性质，解题关键是熟练运用这个性质得到线段的比例关系． 【变式1】．如图，在△ABC中，点D在边BC上，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（　　）    A． ； B．； C．； D．． 【答案】A 【分析】抓住已知条件：GE∥BD， GF∥AC，利用平行线分线段成比例以及中间比代换，对各选项一一判断即可求解. 【解析】∵GE∥BD，∴ ∵GF∥AC，∴ ∴，A选项正确； ∵GE∥BD，∴ ∵GF∥AC，∴ ∴，B选项错误； ∵GE∥BD，∴ ∵GF∥AC，∴ ∴，C选项错误； ∵GE∥BD，∴，D选项错误； 故选：A 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用中间比是解题的关键. 【变式2】．如图，在中，，，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线分线段成比例的性质，即可解答． 【解析】 ， ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例的性质，解题关键是熟练运用这个性质得到线段的比例关系． 【变式2】．如图，在中，点,点为边的三等分点，与交于点，则下列比例式正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例的定理去求出各个线段的比例关系，选出正确选项． 【解析】解：A选项错误， ∵点D、点E是AB的三等分点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 则； B选项错误，无法证明； C选项正确， ∵， ∴， ∵， ∴， 则； D选项错误， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练运用这个定理求出线段的比例关系． 题型09 三角形的重心概念及性质 【典例1】．三角形的重心正确的叙述是（　　） A．三角形三条角平分线的交点 B．三角形三条中垂线的交点 C．三角形三条中线的交点 D．三角形三条高的交点 【答案】C 【分析】根据三角形重心定义判断即可得解． 【解析】三角形的重心是三角形三条中线的交点， 故选：C． 【点睛】此题考查了三角形重心，熟记三角形重心的定义是解题的关键． 【变式1】．如图，在中，是边上的中线，是重心．如果，那么线段的长为（     ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为，熟记重心的性质是解题的关键．根据重心性质可得，从而可得答案． 【解析】解：∵是边上的中线，点是重心， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【变式2】．如图，在中，与交于点G，点G为的重心，点M、N分别在边、上，若，则的值为 ． 【答案】/0.6 【分析】过点B作分别交，于点E，F点，过点D作交于P点，通过构造平行线，灵活运用和这条中线，逐步求解即可． 【解析】如图，过点B作分别交，于点E，F点，过点D作交于P点， ∴为的中位线， ∴点P为的中点， ∵，且， ∴， ∵点G为的重心， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形重心和平行线对应边成比例，能够运用三角形的重心将三角形的中线所在的线段分为两部分是解答本题的关键． 题型10：三角形重心的性质的几何应用 【典例1】．在中，已知是中线，点G是重心，那么 ． 【答案】/ 【分析】本题考查三角形的重心，三角形的面积，由，得到，由三角形重心的性质得到，因此，得到，于是，关键是由三角形重心的性质得到，由三角形面积公式得到，． 【详解】解：如图， 是△的中线， ， ， 是△的重心， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式1】．如图，点是的重心，经过点，且．那么的周长与的周长之比为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，重心的性质，连接并延长交于点，平行线分线段成比例，得到，证明，利用相似三角形的性质，进行求解即可． 【详解】解：连接并延长交于点， ∵点是的重心， ∴， ∵， ∴，， ∴； ∴的周长与的周长之比为； 故答案为：． 【变式2】．新定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做等高底三角形，这条边叫做等底．如图，是等高底三角形，是等底，点关于直线的对称点是点，连接，如果点是的重心，那么的值是 ．    【答案】/ 【分析】延长与交于点，根据轴对称性质得，，，再由是等高底三角形，是等底，得，再根据三角形的重心定理得，设，则，由勾股定理用表示，进而计算的值便可． 【详解】解：延长与交于点，如图所示：    点A关于直线的对称点是点， ，，， 是等高底三角形，是等底， ， 点是的重心， ， 设，则， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了对称变换，三角形的重心性质，新定义，关键是根据三角形的重心性质得出与的数量关系． 一、单选题 1．如果点是的重心，连接并延长，交对边于点，那么是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的重心，熟记三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍是解题的关键． 根据三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍可得，那么，代入即可求得的值． 【详解】解：如图， 点是的重心， ， ， ． 故选：． 2．如图，E是平行四边形ABCD的BA边的延长线上的一点，CE交AD于点F，下列各式中，错误的是(   ). A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AB=CD；AD∥BC，再根据平行线分线段成比例得到==，用AB等量代换CD，得到==；再利用AF∥BC，根据平行线分线段成比例得=，由此可判断A选项中的比例是错误的． 【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD；AD∥BC， ∴==，而AB=CD， ∴==； 又∵AF∥BC， ∴=． 故选A． 3．如图，在中，，，点是重心，点在上且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形重心的定义、中线的性质，熟练掌握三角形中线把三角形分成两个面积相等的小三角形是解题关键，根据重心的定义得出、是中线，根据，可求出的面积，根据中线的性质可求出的面积，根据可得，即可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵点是重心， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 4．如图，△ABC中，点D、F在边AB上，点E在边AC上，如果DE∥，EF∥CD，那么一定有（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由DE∥BC可得 ，再由EF∥CD可得，所以，即可得 ，故选B. 5．在中，，，，平分交于点D，垂直平分线段交于点E，交的延长线于点F，则之长为（　　） A．5 B．6 C． D．7 【答案】B 【分析】本题主要考查角平分线的性质和垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，掌握应用等积变换可求得边之比是解题的关键．根据三角形的等积变换，可得出，则结合已知可得，，根据平行线的性质及等量代换可得，代入解答出即可． 【详解】解：如图，延长交于G，连接， ，， 平分 到、的距离h相等， 设点A到距离为y 则，， ， 又， ，， 又， ， ， ， 垂直平分线段，得， 同理， 即， ； 故选：B． 6．如图，两条不平行的直线与直线相交于点，四条平行线分别交直线于点、、、，分别交直线于点、、、，则有．如果，，，那么在下列结果中，线段之差最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例，分别求出线段之间的数量关系，逐一计算，比较大小即可． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ， ∵， ∴的差最大； 故选D． 二、填空题 7．在中，，那么它的重心G到C点距离是 . 【答案】 【分析】延长交于点，连接并延长交于点，利用中位线的性质证明，即可证明，可得，利用勾股定理求得的长，则可得到的长，根据线段比即可解答。 【详解】解：如图，延长交于点，连接并延长交于点， 点是的重心， 为边上的中线，为边上的中线， 且， ， ， ， 在中，， ， ， ， 故答案为：．    【点睛】本题考查了三角形的重心，三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线性质，勾股定理，看到重心想到证明相似三角形来得到重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比是解题的关键． 8．如图，已知为角平分线，，如果，，那么 ． 【答案】 【分析】由可得，再根据题干条件，即可求解． 【详解】解：∵， ， 又， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解决问题的关键． 9．如图，已知，是的中线，是的中点，则 ． 【答案】 【分析】过点作，交于，根据平行线分线段成比例定理得到，，根据线段中点的性质得到，得到，，计算即可． 本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 【详解】解：过点作交于， 则， 是的中线，是的中点， ，， ， ． 故答案为：． 10．如图，在中，是边上的中线，G是重心，，交于点E，则 ．    【答案】2 【分析】根据重心的概念得到，根据平行线分线段成比例定理解答． 【详解】解：是重心， ， ， ， 故答案为：2．      【点睛】本题考查的是三角形的重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍． 11．如图，已知点在的边上，联结为上一点，过点分别作的平行线交于点如果，那么 ． 【答案】2 【分析】根据平行线分线段成比例性质可得，再由等比性质可得，即可得出． 【详解】解：∵PE∥AB，PF∥AC， ∴，． ∴． ∵BC＝3EF， ∴． ∴． ∴． 答案：． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例性质，掌握平行线分线段成比例性质定理及等比性质是解答此题的关键． 12．如图，在中，点E、D在边AC上，点F、M在边AB上，且，，如果FD的延长线交BC的延长线于N，那么的值为 ． 【答案】 【分析】首先证明EF：BC=1：3，再利用全等三角形的性质证明即可解决问题． 【详解】解：，， ， 又，， ≌， ， ：：3， ：：4， ， 故答案为． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 13．如图，菱形ABCD的边长为1，直线l过点C，交AB的延长线于M，交AD的延长线于N，则= ． 【答案】1． 【分析】根据菱形的性质得出AD=DC=AB=BC=1，DC∥AB，BC∥AD，根据平行线分线段成比例定理求出，再相加即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=DC=AB=BC=1，DC∥AB，BC∥AD， ∴， ∴， ∴ 故答案为：1． 14．如图，在中，与交于点G，点G为的重心，点M、N分别在边、上，若，则的值为 ． 【答案】/0.6 【分析】过点B作分别交，于点E，F点，过点D作交于P点，通过构造平行线，灵活运用和这条中线，逐步求解即可． 【详解】如图，过点B作分别交，于点E，F点，过点D作交于P点， ∴为的中位线， ∴点P为的中点， ∵，且， ∴， ∵点G为的重心， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形重心和平行线对应边成比例，能够运用三角形的重心将三角形的中线所在的线段分为两部分是解答本题的关键． 15．在中，，，，重心为点，直线经过边的中点，将沿直线翻折得到（点、、分别与点、、对应），的重心点在的内部．若点到的距离与点到的距离相等，那么到直线的距离为 ． 【答案】或5 【分析】该题考查了勾股定理，折叠的性质，直角三角形的性质等知识点，根据勾股定理求出，根据点到的距离与点到的距离相等，重心为点，的重心为点，故分为以下两种情况：（1）直线垂直平分，此时点与点重合；（2）直线过点，此时点与点重合，到直线的距离是的边上的高， 分别求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵点到的距离与点到的距离相等，重心为点，的重心为点， 故分为以下两种情况： （1）直线垂直平分，此时点与点重合，点与点关于直线对称， 根据折叠可得点到的距离与点到的距离相等， 故点到直线的距离是； （2）直线过点，此时点与点重合，到直线的距离是的边上的高， ∵， ∴， 根据折叠可得，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：或5． 16．阅读：对于线段与点O（点O与不在同一直线上），如果同一平面内点P满足：射线与线段交于点Q，且，那么称点P为点O关于线段的“准射点”．问题：如图，矩形中，，点E在边上，且，连接．设点F是点A关于线段的“准射点”，且点F在矩形的内部或边上，如果点C与点F之间距离为d，那么d的取值范围为 ． 【答案】 【分析】设交于点Q，由点F是点A关于线段的“准射点”可得，过点F作交于点G，交于点H，由平行线分线段成比例定理得，，连接，求出的长，作于M，求出的长即可． 【详解】解：如图，设交于点Q， ∵点F是点A关于线段的“准射点”， ∴， ∴Q是的中点，即， 过点F作交于点G，交于点H， ∴， ∴，， 连接，由矩形性质可得：，，， 则． 作于M， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴d的取值范围是． 故答案为： 【点睛】本题考查了新定义，矩形的性质，勾股定理，垂线段最短，三角形的面积公式，平行线分线段成比例定理，以及平行四边形的判定与性质，判断出点F的位置是解答本题的关键． 三、解答题 17．如图，已知，与相交于点，点在线段上，，． (1)求证：； (2)求． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）由，推出，得到，即可得到； （2）由，推出，由，推出，据此即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 18．如图，如图，是的一条中线，P为的重心，，交，于点E，F，交于点 P． (1)求与的比值． (2)若 ，求 的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由重心性质可得，再结合，可得结论； （2）证明，再利用相似三角形的性质可得答案． 【详解】（1）解：∵P为的重心， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵是中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，重心的性质，三角形的中线，平行线分线段成比例，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 19．如图，为对角线上任意一点．求证：．    【答案】见解析 【分析】根据平行四边形的性质得到，进而根据平行线分线段成比例定理得到，由此即可证明． 【详解】证明：四边形为平行四边形， ， ， ∴ ∴， ． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，平行四边形的性质，熟知平行线分线段成比例定理是解题的关键． 20．如图，已知在中，中线，交于点，交于点． (1)如果，求和的长． (2)求证：． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】（1）结合重心的性质、平行线分线段成比例定理推得，将，代入可得，又，即可求得； （2）证明，由相似三角形的性质可得，再由重心性质得到，即可证明． 【详解】（1）解：中线，交于点， 点为重心， ， ， ， ，， ， ． （2）解：， ， 由（1）得， ， 点为重心， ， ， ． 【点睛】本题考查的知识点是重心的性质、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握重心的性质． 21．已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B、D，AD和BC相交于点E，EF⊥BD，垂足为F，我们可以证明成立（不要求考生证明）． 若将图中的垂线改为斜交，如图，ABCD，AD，BC相交于点E，过点E作EFAB交BD于点F，则： (1)还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由； (2)请找出S△ABD，S△BED和S△BDC间的关系式，并给出证明． 【答案】(1)成立 (2) 【分析】（1）由题意知，两直线平行是很关键的条件，要根据三角形平行线分线段成比例，找出关系，然后相加就得到结果； （2）要用到第一问的结论，作出各个三角形的高，再把各面积用边表示出来，即可找到关系． 【详解】（1）成立．证明：∵  ABEF, 所以, ∵CDEF, ∴, ∴=1, ∴, （2）关系式为:, 证明如下:分别过A作AM⊥BD于M,过E作EN⊥BD于N,过C作CK⊥BD交BD的延长线于K, 由题设可得:, ∴, 又∵•BD•AM=S△ABD, =S△BCD ∴BD•EN=S△BED, ∴. 【点睛】此题考查平行线分线段成比例定理的运用，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$