第20章 二次根式（高效培优单元测试·提升卷）数学沪教版五四制2024八年级上册

第20章 二次根式 单元测试卷·提升卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 1、 选择题：（本大题共10题，每题4分，共40分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的.） 1．下列函数中，自变量的取值范围选取错误的是（ ） A．y=2x2中，x取全体实数 B．y=中，x取x≠-1的实数 C．y=中，x取x≥2的实数 D．y=中，x取x≥-3的实数 2．下列代数式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．下列各式中，互为有理化因式的是（ ） A． B． C． D． 4．下列各式中，从左到右的变形正确的是（    ） A． B． C． D． 5．如果三角形的三边长分别为1，k，3，则化简的结果是(   ) A．1 B．7 C．13 D．19－4k 6．下列说法中，正确的是（  ） A．与互为倒数 B．若则 C．若与是同类二次根式，则与3不一定相等 D．若，则 7．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．当时，的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 9．设等式在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不同的实数，则的值是(　　) A．3 B． C．2 D． 10．若，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分．） 11．若，化简： ． 12．不等式的解集是 ． 13．计算 14．比较大小 15．已知，，则的值为 ． 16．若0＜a＜1，则－的值为 ． 17．已知y＝＋＋18，求代数式﹣的值为 ． 18．观察下列等式： 第1个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， … 按上述规律，计算 ． 三、解答题：（本大题共11题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19．求下列二次根式中字母a的取值范围． (1) (2) (3) (4) 20．计算． (1)； (2)． 21．化简下列各式： (1) (2) 22．计算：． 23．计算： 24． 25．（1）先化简，后求值：，其中． （2）已知，求的值． 26．先化简，再求值：，其中．如图是小亮和小芳的解答过程． (1)______的解答过程是错误的（填“小亮”或“小芳”）； (2)错误的解答过程原因在于未能正确地运用二次根式的性质：______（请用符号语言表达）； (3)先化简，再求值：，其中． 27．现有两块同样大小的长方形纸片，小黑采用如图①所示的方式，在长方形纸片上裁出两块面积分别为和的正方形纸片，． (1)求原长方形纸片的周长．（结果化为最简二次根式）； (2)小红想采用如图②所示的方式，在长方形纸片上裁出面积为的两块正方形纸片，请你判断能否裁出，并说明理由． 28．定义：我们将与称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效的将和中的“根号”去掉，于是二次根式除法可以这样计算：如．像这样，通过分子，分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化，根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题： (1)对偶式与之间的关系为 　 　 A．互为相反数B．互为倒数C．绝对值相等D没有任何关系 (2)已知，，求的值； (3)解方程：（提示：利用“对偶式”相关知识，令）． 29．阅读下面材料： 我们在学习二次根式时，熟悉的是分母有理化以及应用，其实，还有一个方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较  和  的大小可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以．再例如：求  的最大值．做法如下：解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而，当x＝2时，分母    有最小值2，所以y的最大值是2． 解决下述问题： (1)由材料可知，__________； (2)比较和 的大小； (3)式子 的最小值是__________． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第20章 二次根式 单元测试卷·提升卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 1、 选择题：（本大题共10题，每题4分，共40分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的.） 1．下列函数中，自变量的取值范围选取错误的是（ ） A．y=2x2中，x取全体实数 B．y=中，x取x≠-1的实数 C．y=中，x取x≥2的实数 D．y=中，x取x≥-3的实数 【答案】D 【分析】根据分式的分母不能为0、二次根式的被开方数的非负性即可得． 【详解】解：A、中，取全体实数，此项正确； B、，即， 中，取的实数，此项正确； C、， ， 中，取的实数，此项正确； D、，且， ， 中，取的实数，此项错误； 故选：D． 【点睛】本题考查了函数自变量、分式和二次根式，熟练掌握分式和二次根式有意义的条件是解题关键． 2．下列代数式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简二次根式的定义判断即可． 本题考查了最简二次根式，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】A. ，不符合题意； B. ，不是二次根式，不符合题意；     C. ，符合题意；     D. ，不符合题意； 故选：Ｃ． 3．下列各式中，互为有理化因式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据互为有理化因式的定义可知，两式相乘得有理数，即可解答. 【详解】A. ，不是互为有理化因式； B. ，不是互为有理化因式； C. ，是互为有理化因式；     D. ，不是互为有理化因式； 故选C 【点睛】本题考查二次根式有理化因式，熟练掌握该知识点是解题关键. 4．下列各式中，从左到右的变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次根式的性质进行化简进而得出答案． 【详解】解：A．，不符合题意； B．，a的符号不确定，需分情况，不符合题意； C．，符合题意； D．，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质是解决问题的关键． 5．如果三角形的三边长分别为1，k，3，则化简的结果是(   ) A．1 B．7 C．13 D．19－4k 【答案】A 【分析】首先根据三角形的三边关系确定k的取值范围，由此即可求出二次根式的值与绝对值的值，再计算即可解答． 【详解】∵一个三角形的三边长分别为1，k，3， ∴2＜k＜4， 又∵4k2-36k+81=（2k-9）2， ∴2k-9＜0，2k-3＞0， ∴原式=7-（9-2k）-（2k-3）=1． 故选A． 【点睛】本题主要考查二次根式的化简、绝对值的化简，熟练掌握化简的方法是解答本题的关键． 6．下列说法中，正确的是（  ） A．与互为倒数 B．若则 C．若与是同类二次根式，则与3不一定相等 D．若，则 【答案】C 【分析】根据二次根式的性质及运算法则计算判断即可． 【详解】A.，不是互为倒数，选项错误； B.若，由于，则，选项错误； C.若与是同类二次根式，则与3不一定相等，选项正确； D.由可得，结合可得，，则，选项错误； 故选：C 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟记相关概念是解题是解题的关键． 7．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，得，故，将平方展开计算，后开平方即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴=-或=， ∵， ∴＜0， ∴= -，=不符合题意，舍去， 故选B． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，完全平方公式，倒数的意义，平方根，熟练进行大小比较，灵活运用公式计算是解题的关键． 8．当时，的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据分式的运算法则以及二次根式的性质即可求出答案． 【详解】解：原式= 将代入得， 原式 . 故选：A. 【点睛】本题考查分式的运算以及二次根式的性质，解题的关键是熟练运用分式的运算法则以及观察出分母可以开根号，本题属于较难题型． 9．设等式在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不同的实数，则的值是(　　) A．3 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据根号下的数要是非负数，得到a（x-a）≥0，a（y-a）≥0，x-a≥0，a-y≥0，推出a≥0，a≤0，得到a=0，代入即可求出y=-x，把y=-x代入原式即可求出答案． 【详解】由于根号下的数要是非负数， ∴a（x-a）≥0，a（y-a）≥0，x-a≥0，a-y≥0， a（x-a）≥0和x-a≥0可以得到a≥0， a（y-a）≥0和a-y≥0可以得到a≤0， 所以a只能等于0，代入等式得 =0， 所以有x=-y， 即：y=-x， 由于x，y，a是两两不同的实数， ∴x＞0，y＜0． 将x=-y代入原式得： 原式=． 故选B． 【点睛】本题主要考查对二次根式的化简，算术平方根的非负性，分式的加减、乘除等知识点的理解和掌握，根据算术平方根的非负性求出a、x、y的值和代入求分式的值是解此题的关键． 10．若，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别将a、b、c平方，利用完全平方公式和二次根式的性质化简后对平方进行比较得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ， ∵，即， ∵a、b、c都是大于0的实数， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了完全平方公式、二次根式大小的比较等知识点，利用完全平方公式计算出值，是解决本题的关键． 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分．） 11．若，化简： ． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质，化简即可． 【详解】解：， ， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确应用二次根式的性质是解题关键． 12．不等式的解集是 ． 【答案】/ 【分析】先移项化为再把未知数的系数化“1”，可得答案. 【详解】解： 移项得： 即 而 即 故答案为： 【点睛】本题考查的是一元一次不等式的解法，二次根式的除法运算，易错点是不等式的两边都除以一个数时，不注意这个数是正数还是负数. 13．计算 【答案】 −−2 【分析】根据二次根式的除法法则化简即可；逆用积的乘方公式化简即可． 【详解】3+； [(−2)( +2)]2015⋅(+2)=−( +2)=−−2， 故答案为；−−2. 【点睛】此题考查二次根式的混合运算，解题关键在于掌握运算法则. 14．比较大小 【答案】 【分析】根据二次根式的性质及倒退回去即可求解． 【详解】∵依题意有， ∴，， ∴， 则，即， 故， 即， ∵， ∴，， ∴， 故＞， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查二次根式的大小比较，解题的关键是熟知二次根式及不等式的性质． 15．已知，，则的值为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了二次根式的加减混合运算以及求值，根据，判断出，将化简再进行加减运算，最后将，代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ， 当，，原式， 故答案为：8． 16．若0＜a＜1，则－的值为 ． 【答案】－2a 【分析】由0＜a＜1，可得＞1＞a＞0，根号内变形后利用二次根式的性质进行化简即可求得答案. 【详解】∵0＜a＜1，∴＞1＞a＞0， ∴原式= = = =-2a， 故答案为-2a. 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，正确分析出＞1＞a＞0是解题的关键. 17．已知y＝＋＋18，求代数式﹣的值为 ． 【答案】- 【分析】首先由二次根式有意义的条件求得x＝8，则y＝18，然后代入化简后的代数式求值． 【详解】解：由题意得，x﹣8≥0，8﹣x≥0， 解得，x＝8，则y＝18， ∵x＞0，y＞0， ∴原式＝﹣ ＝﹣ ＝ ＝﹣ 把x＝8， y＝18代入 原式＝﹣ ＝2﹣3 ＝-， 故答案为：-． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件和二次根式的化简求值，解题关键是根据二次根式有意义的条件确定x、y的值，能够熟练的运用二次根式的性质化简． 18．观察下列等式： 第1个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， … 按上述规律，计算 ． 【答案】/ 【分析】首先根据题意，可得：，然后根据分母有理数化的方法，求出算式的值是多少即可． 【详解】解：第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， … 第个等式：， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了分母有理化的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式． 三、解答题：（本大题共11题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19．求下列二次根式中字母a的取值范围． (1)． (2)． (3)． (4) 【答案】(1)大于或等于的实数； (2)小于的实数； (3)全体实数． (4)a≠3 【分析】根据二次根式的性质：被开方数为非负数，分式有意义的条件：分母不能为0，即可求解 【详解】（1）解：由，得， 所以字母a的取值范围是大于或等于的实数． （2）解：由，得，即， 所以字母a的取值范围是小于的实数． （3） 解：因为无论a取何值，都有，所以a的取值范围是全体实数． （4） a≠3，由二次根式有意义的条件、分式有意义的条件可得． 【点睛】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数． 20．计算． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）利用二次根式的性质和运算法则计算即可求解； （）利用平方差公式、完全平方公式展开再合并即可求解； 本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 21．化简下列各式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了化简二次根式，根据进行化简求解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 22．计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的知识，解题的关键是掌握二次根式的乘法和除法运算法则． 根据二次根式的乘法法则和除法法则：，进行计算，即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ． 23．计算： 【答案】 【分析】根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解： 【点睛】本题考查二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 24． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的乘除运算，二次根式性质，解题的关键是熟练掌握二次根式的乘除运算法则．根据二次根式有意义的条件得出，再根据二次根式的混合运算法则和二次根式性质化简求解即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ． 25．（1）先化简，后求值：，其中． （2）已知，求的值． 【答案】（1），；（2）1 【分析】本题考查二次根式的化简求值，灵活运用二次根式的运算是解答的关键． （1）根据二次根式的运算及分母有理数，结合完全平方公式化简原式，然后代值求解即可； （2）先分母有理数求得a值，再利用完全平方公式化简原式，然后代值求解即可． 【详解】解：（1） ， 当时， 原式． （2）∵， ∴， ∴ ． 26．先化简，再求值：，其中．如图是小亮和小芳的解答过程． (1)______的解答过程是错误的（填“小亮”或“小芳”）； (2)错误的解答过程原因在于未能正确地运用二次根式的性质：______（请用符号语言表达）； (3)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1)小亮 (2)（或） (3)；2030 【分析】此题考查二次根式的性质，熟练掌握是解题的关键． （1）根据二次根式的性质进行判断即可； （2）根据二次根式的性质进行回答即可； （3）由m的值可知，根据二次根式的性质得到化简结果，再把字母的值代入计算即可． 【详解】（1）解：根据二次根式的性质可知，小亮的解答过程是错误的； 故答案为：小亮 （2）小亮错误的解答过程原因在于未能正确地运用二次根式的性质，二次根式的性质：（或）， 故答案为：（或） （3）原式， ， ， 原式            ． 27．现有两块同样大小的长方形纸片，小黑采用如图①所示的方式，在长方形纸片上裁出两块面积分别为和的正方形纸片，． (1)求原长方形纸片的周长．（结果化为最简二次根式）； (2)小红想采用如图②所示的方式，在长方形纸片上裁出面积为的两块正方形纸片，请你判断能否裁出，并说明理由． 【答案】(1) (2)不能裁出，见解析 【分析】本题考查了算术平方根的应用以及二次根式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据正方形面积等于边长的平方，结合面积为，即可计算正方形纸片A的边长，算出正方形纸片B的边长，再得出原长方形纸片的长，宽，即可作答； （2）先计算，则，据此即可作答． 【详解】（1）解：依题意，正方形纸片A的边长为； 则截出的正方形纸片B的边长为， 则原长方形纸片的长为，宽为， ∴， 故答案为： （2）解：不能截出，理由如下： ∵面积为的正方形纸片的边长为， 则， ∴不能在矩形纸片上裁出两块面积是的正方形纸片． 28．定义：我们将与称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效的将和中的“根号”去掉，于是二次根式除法可以这样计算：如．像这样，通过分子，分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化，根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题： (1)对偶式与之间的关系为 　 　 A．互为相反数B．互为倒数C．绝对值相等D没有任何关系 (2)已知，，求的值； (3)解方程：（提示：利用“对偶式”相关知识，令）． 【答案】(1)B (2) (3) 【分析】（1）根据题意可把对偶式与相乘，进而问题可求解； （2）由题意易得，，然后可得，，进而代入求解即可； （3）令，然后方程两边同乘t，则有，进而可得，最后问题可求解． (1) 解：由题意得：， ∴对偶式与互为倒数； 故选B； (2) 解：由题意得：，， ∴，， ∴； (3) 解：令，则方程两边同乘t得：， 解得：， ∴，① ∵，② ∴①+②得：，两边同时平方得：， 解得：． 经检验：x=-1是方程的解． 【点睛】本题主要考查二次根式的分母有理化及分式的值，熟练掌握二次根式的分母有理化及分式的值是解题的关键． 29．阅读下面材料： 我们在学习二次根式时，熟悉的是分母有理化以及应用，其实，还有一个方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较  和  的大小可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以．再例如：求  的最大值．做法如下：解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而，当x＝2时，分母    有最小值2，所以y的最大值是2． 解决下述问题： (1)由材料可知，__________； (2)比较和 的大小； (3)式子 的最小值是__________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，分子有理化： （1）根据分子有理化的方法进行求解即可； （2）利用分子有理化得到，，然后比较和的大小即可得到与的大小； （3）利用二次根式有意义的条件得到，而，利用当时，有最小值，有最小值0得到的最小值． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）， ， 而，， ， ； （3）由，，得， ， 当时，有最大值，则有最小值，此时有最小值0，所以的最小值为． 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$