第11章 平面直角坐标系（高效培优单元测试·提升卷）数学沪科版2024八年级上册

第11章 平面直角坐标系单元测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．在平面直角坐标系中，点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．如图，下列各点在阴影区域内的是（  ） A． B． C． D． 3．已知点在第二象限，则的取值范围在数轴上表示（    ） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，若点在第三象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．若点在轴上，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．在平面直角坐标系中，将点向上平移4个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 7．如图，动点从出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点第2025次碰到矩形的边时，点的坐标为（　　） A． B． C． D． 8．在平面直角坐标系中，已知线段和轴平行，且，若点的坐标为，则点的坐标可能是（  ） A． B．或 C． D．或 9．如图，平面直角坐标系内有一条线段，，，若将线段平移至，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．正方形，，按如图的方式放置，…和点…分别在直线和x轴上，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．将点向右平移1个单位长度后，正好落在y轴上，则m的值是 ． 12．点为平面直角坐标系中第三象限内一点，已知点A到y轴的距离为5．且，则的值为 ． 13．如果点在坐标轴上，那么点坐标为 ． 14．曙光学校拟利用一块空地植树，方案如下：第k棵树种植点记为，其中，当时，，其中表示非负实数a的整数部分，例如：，．请按此方案，解决以下问题： （1）第6棵树种植点为 ； （2）第2025棵树种植点为 ． 三.解答题（本大题共9题，满分90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本题8分）已知点在轴上，求的值以及点的坐标． 16．（本题8分）在平面直角坐标系xOy中，点，若，则称点与点互为“神秘点”．例如，点，点，因为，所以点与点互为“神秘点”． (1)若点的坐标是，且点与点互为“神秘点”，求的值． (2)若点与“神秘点”互为“神秘点”，若m，n均为正整数，求点的坐标． 17．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在网格点上．    (1)将向下平移5个单位长度，再向左平移5个单位长度，得到，请画出； (2)若和关于x轴对称，请画出． 18．（本题8分）与在平面直角坐标系中的位置如图所示、 (1)分别写出下列各点的坐标：　　　　，　　　　，　　　　； (2)若是由平移得到的，点是三角形内部一点，则内与点相对应点的坐标为　　　　； (3)求的面积． 19．（本题10分）已知点，分别根据下列条件求出点P的坐标． (1)点P在x轴上； (2)点P在y轴上； (3)点P到两坐标轴的距离相等； (4)点P与点的连线平行于x轴． 20．（本题10分）当m，n都是实数，且满足时，我们称为巧妙点． (1) 巧妙点（填“是”或“不是”）； (2)若是巧妙点，请求出m的值和A点坐标； (3)已知关于x，y的方程组，当a为何值时，以方程组的解为坐标的点是巧妙点？ 21．（本题12分）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，且． (1)求a，b的值； (2)在y轴的正半轴上存在一点M，使三角形的面积等于三角形面积的一半，求出点M的坐标； (3)在坐标轴的其他位置是否存在点M，使三角形的面积等于三角形面积的一半？若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由． 22．（本题12分）如图，在平面直角坐标系中，点，，且，m是64的立方根． (1)直接写出：点A，B的坐标A（______，0），B（______，______）； (2)将线段平移得到线段，点B的对应点是点，点A的对应点是点D． ①直接写出点D的坐标：（______，______）； ②若点M在y轴上，且三角形的面积是6，求点M的坐标； (3)在（2）的条件下，点E在y轴负半轴上运动，但不与点D重合，写出、之间的数量关系，并说明理由． 23．（本题14分）如图1，在平面直角坐标系中，点A，C在y轴正半轴上，点B在x轴正半轴上，，，，且． (1)求A，B，C三点的坐标； (2)若点P在y轴上，且三角形的面积是三角形面积的，求点P的坐标； (3)过点B作轴，已知平分，点E是y轴上的一个动点（不与点A，C重合），平分交直线于点F，过点F作交直线于点G． ①如图2，点E在点A的上方，，求的值； ②请直接写出和之间的数量关系． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11章 平面直角坐标系单元测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．在平面直角坐标系中，点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查点的坐标，根据点的横纵坐标的符号可得所在象限． 【详解】解：∵， ∴点所在的象限是第四象限， 故选：D． 2．如图，下列各点在阴影区域内的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据阴影部分所在的区域是第一象限进行判断即可； 【详解】由图可知，阴影部分所在区域是第一象限， ∴点符合题意， 故答案选A． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系象限内的点的特征，准确分析判断是解题的关键． 3．已知点在第二象限，则的取值范围在数轴上表示（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了第二象限内的点的坐标特点，解不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，据此可得，解不等式组求出a的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， 解得， 数轴表示如下所示： ， 故选：B． 4．在平面直角坐标系中，若点在第三象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了象限内点的坐标特征，解不等式组等知识，根据第三象限内点的坐标特征，横坐标和纵坐标均小于0，列出不等式组求解即可． 【详解】解∶∵点在第三象限， ∴ 解得 故选∶B． 5．若点在轴上，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了点的坐标，解题的关键是掌握在y轴上的点的横坐标为0．根据y轴上点的横坐标为0，计算出m的值，从而得出点P坐标． 【详解】解：点在y轴上， ， ， ， 点P的坐标为． 故选：A． 6．在平面直角坐标系中，将点向上平移4个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加”求解即可． 【详解】解：将点向上平移4个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点， 点的横坐标为，纵坐标为， 的坐标为． 故选：C． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 7．如图，动点从出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点第2025次碰到矩形的边时，点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了点的坐标的规律，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键．根据反射角与入射角的定义可以在格点中作出图形，可以发现，在经过6次反射后，动点回到起始的位置，将2025除以6得到337余数为3，说明点P第2025次碰到矩形的边时为第338个循环组的第三次，即可解答． 【详解】解：如图，根据反射角与入射角的定义作出图形， ∵第6次反弹时回到出发点， ∴每6次碰到矩形的边为一个循环组依次循环， ∵， ∴点P第2025次碰到矩形的边时是第338个循环组的第三次， ∴点第2025次碰到矩形的边时，点的坐标为． 故选：D． 8．在平面直角坐标系中，已知线段和轴平行，且，若点的坐标为，则点的坐标可能是（  ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了点的坐标，由于线段平行于轴，点的坐标为，故点的纵坐标也为，线段的长度为，因此点的横坐标与点的横坐标相差个单位，分左右两种情况计算即可，掌握平面直角坐标系的特点是解题的关键． 【详解】解：∵线段平行于轴，点的坐标为， ∴点的纵坐标也为， ∵线段的长度为， ∴点的横坐标与点的横坐标相差个单位， ∴点的横坐标为或， ∴点的坐标可能是或， 故选：． 9．如图，平面直角坐标系内有一条线段，，，若将线段平移至，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查平面直角坐标系中平移规律，解题的关键是熟练掌握在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 根据点的坐标的变化分析出的平移方法，再利用平移中点的变化规律算出a、b的值即可解答． 【详解】∵点平移后得到，点平移后得到， ∴点A横坐标从变为4，右平移了个单位． 点B纵坐标从变为，向上平移了个单位． ∵线段，整体平移， ∴平移规律相同， ∴A点向上平移个单位，． 点向右平移个单位，． ∴ 故选C． 10．正方形，，按如图的方式放置，…和点…分别在直线和x轴上，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质和一次函数图象上点的坐标特点，找到规律是解题的关键. 根据一次函数图象上点的坐标特点和正方形的性质依次求出，，，找到规律，可得点的坐标是，即可求解. 【详解】解：对于直线，当时，， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，即， 当时，， ∴，即， ∵四边形是正方形， ∴，即，即， 当时，， ∴，即， ∵四边形是正方形， ∴，即，即， 以此类推，可得点的坐标是； 点的坐标是； 故选：A. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．将点向右平移1个单位长度后，正好落在y轴上，则m的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变换—平移，熟知点的坐标平移规律和坐标轴上点坐标特征是解答的关键．根据点的坐标平移规律“左减右加”和y轴上的点的横坐标为0求解即可． 【详解】解：∵点向右平移1个单位长度后，正好落在y轴上， ∴， 解得：， 故答案为：． 12．点为平面直角坐标系中第三象限内一点，已知点A到y轴的距离为5．且，则的值为 ． 【答案】1 【分析】此题主要考查了点的坐标，绝对值的非负性，代入求值，熟练掌握点在各象限内的特点以及点到坐标轴的距离是解题关键． 【详解】解：∵点A到y轴的距离为5，且， ∴，或， 又∵点为平面直角坐标系中第三象限内一点， ∴， ∴， 故答案为：． 13．如果点在坐标轴上，那么点坐标为 ． 【答案】或 【分析】根据坐标轴上点的坐标特征可以得解 ． 【详解】解：由题意可得：m+3=0或m+1=0； （1）当m+3=0时，m= -3，此时m+1= -3+1= -2，P点坐标为（0，-2）； （2）当m+1=0时，m= -1，此时m+3= -1+3=2，P点坐标为（2，0）； 所以P点坐标为(0,−2)或 (2,0)； 故答案为(0,−2)或 (2,0)． 【点睛】本题考查平面直角坐标系的基础知识，熟练掌握坐标轴上点的坐标特征是解题关键． 14．曙光学校拟利用一块空地植树，方案如下：第k棵树种植点记为，其中，当时，，其中表示非负实数a的整数部分，例如：，．请按此方案，解决以下问题： （1）第6棵树种植点为 ； （2）第2025棵树种植点为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标中点的坐标规律，根据新定义得出的值，找到规律是解题的关键． （1）根据新定义可得，当，11，16，时，，当等于其余大于等于2的正整数时，均等于0，据此可得，，，由此规律可得答案． （2）根据（1）所得规律求解即可． 【详解】解：（1）∵当时，，， ∴，……，， ∵当时， 当，11，16，时，， 当等于其余大于等于2的正整数时，均等于0， ， ， ． ∴第6棵树种植点为， 故答案为：； （2）∵， ，， 第2025棵树种植点为， 故答案为：． 三.解答题（本大题共9题，满分90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本题8分）已知点在轴上，求的值以及点的坐标． 【答案】，或 【分析】根据x轴上点纵坐标等于零，可得答案． 【详解】解：∵点在轴上， ∴， ∴． 当时，， ∴点的坐标为； 当时，， ∴点的坐标为． 即．点的坐标为或． 【点睛】本题考查了点的坐标，利用x轴上点纵坐标等于零得出方程是解题关键． 16．（本题8分）在平面直角坐标系xOy中，点，若，则称点与点互为“神秘点”．例如，点，点，因为，所以点与点互为“神秘点”． (1)若点的坐标是，且点与点互为“神秘点”，求的值． (2)若点与“神秘点”互为“神秘点”，若m，n均为正整数，求点的坐标． 【答案】(1) (2)当时，，点的坐标为；当时，，点的坐标为． 【分析】本题考查了坐标系与图形的性质，理解新定义“神秘点”是解题的关键． （1）根据题意得到，然后求解即可； （2）根据题意得到，求出，然后分情况求解即可． 【详解】（1）根据定义可得， 得； （2）根据题意得， 化简，得． 均为正整数， 当时，，此时点的坐标为； 当时，，此时点的坐标为． 17．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在网格点上．    (1)将向下平移5个单位长度，再向左平移5个单位长度，得到，请画出； (2)若和关于x轴对称，请画出． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）将的三个顶点A、B、C分别向下平移5个单位，再向左平移5个单位，得到、、，再顺次连接、、即可得到； （2）分别作三个顶点A、B、C关于x轴的对称点、、，再顺次连接、、即可得到． 本题主要考查了平面直角坐标系当中的图形变换：平移变换和轴对称变换，正确的找到变换后的对应点是解题的关键． 【详解】（1）如图所示，即为所求． （2）如图所示，即为所求．    18．（本题8分）与在平面直角坐标系中的位置如图所示、 (1)分别写出下列各点的坐标：　　　　，　　　　，　　　　； (2)若是由平移得到的，点是三角形内部一点，则内与点相对应点的坐标为　　　　； (3)求的面积． 【答案】(1)；； (2) (3)． 【分析】本题考查平面直角坐标系，平移的性质，割补法求面积， （1）根据平面直角坐标系的知识结合图像求解直接得到答案； （2）根据三角形的平移得到平移规律，根据平移规律求解即可求解； （3）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三角形面积即可求解； 【详解】（1）解：由图形可得， ，，， 故答案为：；；； （2）解：由图形可得，，， ∴平移规律是：向左平移4个单位向下平移2个单位， ∵， ∴， 故答案为：； （3）解：． 19．（本题10分）已知点，分别根据下列条件求出点P的坐标． (1)点P在x轴上； (2)点P在y轴上； (3)点P到两坐标轴的距离相等； (4)点P与点的连线平行于x轴． 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【分析】本题考查求点的坐标，熟练掌握特殊点的特征，是解题的关键： （1）根据x轴上的点的纵坐标为0，进行求解即可； （2）根据y轴上的点的横坐标为0，进行求解即可； （3）根据点P到两坐标轴的距离为横纵坐标的绝对值，进行求解即可； （4）根据平行于x轴上的点的纵坐标相同，进行求解即可． 【详解】（1）解：点P在x轴上， 纵坐标为0，即   ， ； （2）点P在y轴上， 横坐标为0，即， ， ； （3）点P到两坐标轴的距离相等， 横纵坐标相等或横纵坐标互为相反数 ①，即； ； ②，即， ； 综上：或； （4）点P与点的连线平行于x轴， 点P的纵坐标是3， 即：， ，   ． 20．（本题10分）当m，n都是实数，且满足时，我们称为巧妙点． (1) 巧妙点（填“是”或“不是”）； (2)若是巧妙点，请求出m的值和A点坐标； (3)已知关于x，y的方程组，当a为何值时，以方程组的解为坐标的点是巧妙点？ 【答案】(1)不是 (2)， (3) 【分析】本题考查了新定义，解二元一次方程组，理解新定义是解题的关键． （1）根据题意可得，再根据巧妙点的定义求解判断即可； （2）根据题意可得，再由巧妙点的定义可得，据此可得答案； （3）先根据加减消元法解二元一次方程组，得出，根据巧妙点的定义得出关于的一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴不是巧妙点； （2）解：∵是巧妙点， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：解：， 解得：， ∵点是巧妙点， ∴， 即， 解得：． 21．（本题12分）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，且． (1)求a，b的值； (2)在y轴的正半轴上存在一点M，使三角形的面积等于三角形面积的一半，求出点M的坐标； (3)在坐标轴的其他位置是否存在点M，使三角形的面积等于三角形面积的一半？若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或或 【分析】（1）根据非负式子和为0它们分别等于0直接求解即可得到答案； （2）设，根据面积关系列式求解即可得到答案； （3）分负半轴及x轴两类讨论，设出点坐标列式求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， 解得：，； （2）解：设， ∵，，，， ∴， 解得：， ∴； （3）解：存在． 当M在y轴负半轴时，设， ∵，，，， ∴， 解得：， ∴； 当M在x轴上时，设， ∵，，，， ∴， 解得：， ∴或； 综上所述：或或． 【点睛】本题考查绝对值非负性，算术平方根非负性，平面内点与坐标原点及坐标轴上点围成图形面积问题，解题的关键是熟练掌握点到坐标轴距离问题转换成三角形的高． 22．（本题12分）如图，在平面直角坐标系中，点，，且，m是64的立方根． (1)直接写出：点A，B的坐标A（______，0），B（______，______）； (2)将线段平移得到线段，点B的对应点是点，点A的对应点是点D． ①直接写出点D的坐标：（______，______）； ②若点M在y轴上，且三角形的面积是6，求点M的坐标； (3)在（2）的条件下，点E在y轴负半轴上运动，但不与点D重合，写出、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)；4，5 (2)①点D的坐标为；点M的坐标为或 (3)或，见解析 【分析】本题考查了三角形综合，三角形的面积，算术平方根的非负性，平移，坐标与图形，平行线的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． （1）利用平方根和绝对值得非负性，算出a、b的值，由立方根求出m的值，即可得出A和B的坐标； （2）①根据平移的性质，画出点D的位置即可作答； ②根据三角形的面积是6，建立方程，解方程，即可求解； （3）分类讨论点E的位置，过点E作，根据平行线的性质，得出，，的数量关系． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得：， ∵m是64的立方根， ∴， ∴，； 故答案为：；4，5． （2）解：①如图，线段即为所求，点D的坐标为； ②设点M的坐标为， ∵，，且三角形的面积是6， ∴， ∴， 解得：， ∴点M的坐标为或； （3）解：如图，当点E在之间时，过点E作， ∴， ∴； 如图，当点E在D点的下方时，过点E作， ∴， ∴． 综上所述，或． 23．（本题14分）如图1，在平面直角坐标系中，点A，C在y轴正半轴上，点B在x轴正半轴上，，，，且． (1)求A，B，C三点的坐标； (2)若点P在y轴上，且三角形的面积是三角形面积的，求点P的坐标； (3)过点B作轴，已知平分，点E是y轴上的一个动点（不与点A，C重合），平分交直线于点F，过点F作交直线于点G． ①如图2，点E在点A的上方，，求的值； ②请直接写出和之间的数量关系． 【答案】(1)，， (2)或 (3)①；②当点E在点D的左侧，；当点E在点D的左侧， 【分析】本题考查坐标与图形，非负性，平行线的性质，与角平分线有关的计算，利用属性集合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）非负性求出的值即可得出结果； （2）求出，进而求出，设点P坐标为，根据三角形的面积公式进行求解即可； （3）①根据平行线的性质，结合角平分线的定义，以及角的和差关系进行求解即可；②分点E在点的上方和点E在点的下方，两种情况进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， ∵点C、A在y轴正半轴上，点B在x轴正半轴上， ∴，，． （2）解：由（1）可得， ∴， ∴， 设点P坐标为， 则， 即， 解得：或， ∴P坐标为或． （3）①解：∵， ∴， 设， ∵平分， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， 又∵轴， ∴． ②解：当点E在点的上方，设， ∵， ∴， 设，则， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， 又∵轴， ∴． 当点E在点A的下方，设， ∴， 设，则， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， 又∵轴， ∴， 即：． 综上：或． 2 / 8 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