专题01 平面直角坐标系中的几何图形五种题型 （高效培优专项训练）数学沪科版2024八年级上册

专题01 平面直角坐标系中的几何图形五种题型 题型一：平面直角坐标系中的点与坐标 题型二：平面直角坐标系中三角形的面积 题型三：平面直角坐标系中图形的平移 题型四：平面直角坐标系中点的坐标规律探索 题型五：平面直角坐标系中动点问题 题型一：平面直角坐标系中的点与坐标 1．（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）若点的坐标满足等式，则称该点为“和谐点”．若某个“和谐点”到轴的距离为4，则该点的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知点，且点到轴、轴的距离相等，求点的坐标． 3.已知平面直角坐标系中有一点． (1)若点到轴的距离为3，求点的坐标； (2)若点的坐标为，且轴，求点的坐标； (3)当点到轴、轴的距离相等时，求点的坐标． 4．（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）在平面直角坐标系中，点． (1)若点P到x轴和y轴的距离相等，求点P的坐标； (2)若点P位于第三象限且横、纵坐标都是整数，求点P的坐标． 5．（24-25八年级上·安徽淮北·阶段练习）已知点，根据下列条件，求出点A的坐标． (1)点A在y轴上； (2)点A到x轴的距离为3． 6．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点M到x轴、y轴的距离的较大值称为点M的“长距”，点N到x轴、y轴的距离相等时，称点N为“完美点”． (1)若点是“完美点”求m的值； (2)若点的“长距”为5，且点Q在第三象限内，点D的坐标为，试说明点D是“完美点”． 7．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较小值称为点P的“短距”；当点Q到x轴、y轴的距离相等时，则称点Q为“完美点”． (1)点的“短距”为______． (2)若点是“完美点”，求a的值． (3)若点是“完美点”，求点的“短距”． 8．（24-25八年级上·安徽滁州·阶段练习）在平面直角坐标系中，点，，若，则称点与点互为“对角点”．例如：，，因为，所以点与点互为“对角点”． (1)若点的坐标是，分别判断点，，是否为点的“对角点”，并说明理由； (2)若点的坐标是，其“对角点”在坐标轴上，求点的坐标． 9．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）先阅读下面一段文字，再回答问题． 在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“坐标距离”，给出如下定义：若，则点与的“坐标距离”为；若，则点与的“坐标距离”为． (1)若点，，则点与点的“坐标距离”为______． (2)已知点，为轴上的点． ①若点与点的“坐标距离”为3，求点的坐标． ②点与点的“坐标距离”的最大值为______． (3)若点，，且点与点的“坐标距离”为3，求点的坐标． 题型二：平面直角坐标系中三角形的面积 10.如图，，，点B在x轴上，且． (1)求点B的坐标： (2)求的面积； (3)在y轴上是否存在P，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为10?若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 11.在平面直角坐标系中，点在第一象限，将线段进行平移得到线段，点的对应点为，点的对应点为． (1)若点，，，求点的坐标； (2)若点，，，，三角形的面积为6，点在第三象限，横坐标为． ①求线段的长度； ②在轴上是否存在点，使得三角形与三角形的面积和等于三角形的面积，若存在求点坐标，若不存在，请说明理由． 12.如图1，在平面直角坐标系中，，且满足，过C作轴于B． (1)求的面积． (2)若过B作交y轴于D，且，分别平分，，如图2，求的度数． (3)若交y轴于Q，而Q的坐标为，在y轴上是否存在点P，使得三角形和三角形的面积相等？若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由． 13.如图1，在平面直角坐标系中，O为原点，已知，，且a，b满足关系式：，其中，连接，． (1)填空：_______，_______，三角形的面积是_______； (2)点C是x轴上一点，连接，延长与x轴相交于点D． ①如图2，当点C在x轴负半轴上，三角形的面积与三角形的面积相等时，求点C的坐标； ②若三角形的面积等于三角形面积的一半，三角形的面积等于，求点B，C，D的坐标． 14．已知点，点，且a，b满足关系式 (1)点A的坐标为______，点 B的坐标为______； (2)如图1，点C在x轴上，当三角形的面积为15时，求点C的坐标； (3)如图2，点D是直线第一象限上的点，连接，当三角形的面积为12时，求点D的坐标． 15．在平面直角坐标系中，点A，C的坐标分别是，，且满足，过点C作轴于点B． (1)________，________； (2)如图1，过点B作，交y轴于点D，，分别平分，，若，，求的度数； (3)如图2，在y轴上是否存在一点P使得的面积等于的面积，如果存在请求出点P的坐标，如不存在请说明理由． 16．（23-24八年级上·安徽芜湖·阶段练习）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，连接． (1)如图，过点B作直线轴． ①直线与轴交于点，求三角形的面积； ②若P是直线上一点，三角形的面积大于5，直接写出此时点横坐标的取值范围． (2)如图，将线段向上平移个单位长度得到线段（点A，B的对应点分别为点，），连接，，，，若三角形的面积不小于三角形面积的，求的取值范围． 17.如图1，在平面直角坐标系中，点，点，且满足，过点A作轴于点B． (1)______，_______，______． (2)如图2，过点B作交y轴于点D，且分别平分，，，求的度数． (3)在y轴上是否存在点P，使得?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 题型三：平面直角坐标系中图形的平移 18．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示，点的坐标是．现将平移，使点A与点重合，点B、C的对应点分别是点、．    (1)请画出平移后的，并写出点的坐标； (2)点P是内的一点，当平移到后，若点P的对应点的坐标为，则点P的坐标为． 19．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）定义：在平面直角坐标系中，已知点，这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点的“最佳间距”．例如：点的“最佳间距”是1． （1）点的“最佳间距”是 ； （2）当点的“最佳间距”为1时，点P的横坐标为 ． 20．在平面直角坐标系中，对于点，若点Q的坐标为，则称点Q是点P的“a阶派生点”（其中a为常数，且）．例如：点的“2阶派生点”为点，即点． (1)若点P的坐标为，则它的“3阶派生点”的坐标为__________； (2)若点P的“5阶派生点”的坐标为，求点P的坐标； (3)若点先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到了点．点的“阶派生点”位于坐标轴上，求点的坐标． 题型四：平面直角坐标系中点的坐标规律探索 21．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，设一点自处向上运动个单位长度至，然后向左运动个单位长度至处，再向下运动个单位长度至处，再向右运动个单位长度至处，再向上运动个单位长度至处，…，如此继续运动下去，设，… （1） ． （2） ． 22．在平面直角坐标系中，对于点，如果点，，那么称点Q为点P的“友好点”．如果点的友好点Q坐标为，则点P的坐标为 ． 23．（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，在平面直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成；已知变换过程中各点坐标分别为，，，，，，，． (1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此规律再将变换成，则的坐标为______，的坐标为______，的面积为______． (2)按以上规律将进行n次变换得到，则的坐标为______，的坐标为______； (3)的面积为______ 24．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断地平移，每次平移1个单位长度，其行走路线如图所示． (1)填写下列各点的坐标：： ，： ，： ； (2)写出点的坐标． 25．（24-25八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，动点第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点，第5次运动到点，第6次运动到点，第7次运动到点，第8次运动到点……按这样的规律运动下去． (1)写出点的坐标：____． (2)按照上述规律，指出从点到点的平移方式． (3)若点距离点5个单位长度，且轴，直接写出点的坐标． 26．（24-25八年级上·安徽池州·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于任意一点，存在非实数，构造点的坐标，则称点是点的“倍纠缠点”．例如：点的“倍纠缠点”是点，即． (1)原点的“倍纠缠点”的坐标为_________，的“倍纠缠点”的坐标为_________； (2)若点的“倍纠缠点”的坐标为，求点的坐标； (3)若点先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到了点，点的“倍纠缠点”位于轴上，求点的坐标． 题型五：平面直角坐标系中动点问题 27．如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，且实数、满足． (1)求、两点的坐标； (2)如图1，已知坐标轴上有两动点，同时出发，点从点出发沿轴负方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，点从点出发沿轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动，点到达点整个运动随之结束．的中点的坐标是，设运动时间为秒．是否存在这样的，使得的面积等于面积的2倍？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； (3)如图2，在（2）的条件下，若，点是第二象限中一点，并且轴平分，点是线段上一动点，连接交于点，当点在线段上运动的过程中，探究，，之间的数量关系，并证明你的结论． 28．如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，且a，b满足，现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向左平移3个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接，， (1)请直接写出A的坐标 ，B的坐标 ； (2)在坐标轴上是否存在点M，使三角形的面积与三角形的面积相等？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，试说明理由． (3)点P是直线上的一个动点，点Q是线段的中点，连接，， ①如图2，当点P在线段上移动时（不与A，C重合），请找出，，的数量关系，并证明你的结论； ②若P在直线上运动，请直接写出、、的数量关系． 29.如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是，，点坐标满足，连接，，. (1)的坐标为________，四边形的面积为________； (2)点是轴上一个动点，当三角形的面积为10时，求点的坐标； (3)将线段平移至线段（点的对应点为，点的对应点为），且点在线段上，当三角形的面积为时，求点的坐标. 30.在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，且a，c满足方程为二元一次方程． (1)求A、C的坐标． (2)若点D为y轴正半轴上的一个动点． ①如图1，当时，与的平分线交于点P，求的度数； ②如图2，连接，交x轴于点E．是否存在点D使成立．若存在，求出点D的坐标：若不存在，请说明理由． 31.如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点A、C分别在x轴、y轴上，x轴，轴，点B的坐标为，且． (1)直接写出点A的坐标为________，点B的坐标为________． (2)若动点P从原O出发，沿y轴以每秒2个长度单位的速度向上运动，在运动过程中形成的三角形的面积与长方形面积相等时，点P停止运动，求点P的运动时间； (3)在（2）的条件下，在x轴上是否存在一点Q，使三角形的面积是长方形的面积的2倍？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 32.已知线段两端点坐标，，将向下平移5个单位得线段，其中点的对应点为点． (1)点D的坐标为_________，线段平移到线段扫过的面积为________． (2)若点Р是y轴上的动点，连接． ①当时，求点Р的坐标； ②当将四边形的面积分成两部分时，点P的坐标为__________ 33.如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，且a，b满足． (1)直接写出A，B的坐标，并求出三角形的面积； (2)如图2，点P为x轴上一动点，动点P从原点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴的负方向运动．设点P的运动时间为t秒． ①当三角形的面积为17时，求t的值和点P的坐标； ②过点A作y轴的平行线交x轴于点D（如图3）．当点P从原点O出发1秒时，点Q从点D出发，以每秒1个单位长度的速度在直线上运动，当三角形的面积是三角形的面积的4倍时，求t的值和点Q的坐标． 34.（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）如图，在矩形中，O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为，点C的坐标为且a，b满足，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动． (1)点B的坐标为_________；当点P移动3.5秒时，点P的坐标为_________； (2)在移动过程中，当点P到x轴的距离为4个单位长度时，求点P移动的时间； (3)在移动过程中，当的面积是10时，求点P移动的时间． 35.如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点A、C分别在x轴、y轴上，轴，轴，点B的坐标为，且． (1)直接写出点A的坐标为______，点B的坐标为______． (2)若动点P从原点O出发，沿y轴以每秒1个长度单位的速度向上运动，在运动过程中形成的三角形的面积是长方形面积的的时，点P停止运动，求点P的运动时间； (3)在（2）的条件下，在x轴上是否存在一点Q，使三角形的面积与长方形的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 36．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在以点O为原点的平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，点C在y轴上，且轴，a，b满足．点P从原点出发，以每秒2个单位的速度沿着的路线运动（回到O为止）． (1)写出点A，B，C的坐标； (2)当点P运动4秒时，求出点P的坐标； (3)点P运动t秒后（），是否存在点P到x轴的距离为个单位的情况．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 平面直角坐标系中的几何图形五种题型 题型一：平面直角坐标系中的点与坐标 题型二：平面直角坐标系中三角形的面积 题型三：平面直角坐标系中图形的平移 题型四：平面直角坐标系中点的坐标规律探索 题型五：平面直角坐标系中动点问题 题型一：平面直角坐标系中的点与坐标 1．（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）若点的坐标满足等式，则称该点为“和谐点”．若某个“和谐点”到轴的距离为4，则该点的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【知识点】求点到坐标轴的距离 【分析】本题考查了点的坐标．根据到x轴的距离为4，求出y的值，即可表示出该点的坐标． 【详解】解：∵到x轴的距离为4， ∴或， 当时，， 解得， ∴该点的坐标为； 当时，， 解得， ∴该点的坐标为． 故选：B． 2．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知点，且点到轴、轴的距离相等，求点的坐标． 【答案】点的坐标为或 【知识点】绝对值的其他应用、求点到坐标轴的距离 【分析】本题主要考查平面直角坐标系的特点，绝对值方程的计算，根据点到坐标轴的距离相等可得，，根据绝对值方程即可求解． 【详解】解：∵点到轴、轴的距离相等， ∴， ∴或， 解得或． 当时，，； 当时，，． ∴点的坐标为或． 3.已知平面直角坐标系中有一点． (1)若点到轴的距离为3，求点的坐标； (2)若点的坐标为，且轴，求点的坐标； (3)当点到轴、轴的距离相等时，求点的坐标． 【答案】(1)点的坐标为或 (2)点的坐标为 (3)或 【知识点】坐标与图形、绝对值的几何意义、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题考查直角坐标系中点的坐标特征，绝对值的意义，掌握相关知识点是解题的关键． （1）的绝对值等于3，得到m的值，求出点M的坐标； （2）点M的纵坐标等于点N的纵坐标，得到m的值，再求出点M的坐标； （3），得到m的值，求出点M的坐标． 【详解】（1）解：由题意可知， 解得或4， 当时，， 当时，， 点的坐标为或； （2）∵点，点且轴， ， 解得， ∴点M的坐标为； （3）由题意可知： ， 化简得：，或， 当时，解得：，此时点M坐标为， 当时，解得：，此时点M的坐标为， 或． 4．（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）在平面直角坐标系中，点． (1)若点P到x轴和y轴的距离相等，求点P的坐标； (2)若点P位于第三象限且横、纵坐标都是整数，求点P的坐标． 【答案】(1)或 (2)或 【知识点】已知点所在的象限求参数、求点到坐标轴的距离 【分析】本题考查坐标与图形，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会构建方程或不等式组解决问题，属于中考常考题型． （1）根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值构建方程求解即可． （2）根据不等式组解决问题即可． 【详解】（1）点， ， 或6， 点坐标为或； （2）点位于第三象限， ，，解得， 因为点的横、纵坐标都是整数， 所以或4， 当时，点， 当时，点， 所以坐标为或． 5．（24-25八年级上·安徽淮北·阶段练习）已知点，根据下列条件，求出点A的坐标． (1)点A在y轴上； (2)点A到x轴的距离为3． 【答案】(1)点A的坐标为 (2)点A的坐标为 或 【知识点】已知点所在的象限求参数、求点到坐标轴的距离 【分析】本题考查了点的坐标，熟练掌握坐标轴上点的坐标特征以及点到轴的距离等于纵坐标的绝对值是解题的关键． （1）根据上点的横坐标为0列方程求出的值，再求解即可； （2）根据点到轴的距离列出绝对值方程求解的值，再求解即可． 【详解】（1）解：∵点在y轴上， ∴， 解得， ∴． 则点A的坐标为． （2）∵点A到x轴的距离为3， ∴， ∴或 解得或， ∴或， ∴点A的坐标为 或． 6．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点M到x轴、y轴的距离的较大值称为点M的“长距”，点N到x轴、y轴的距离相等时，称点N为“完美点”． (1)若点是“完美点”求m的值； (2)若点的“长距”为5，且点Q在第三象限内，点D的坐标为，试说明点D是“完美点”． 【答案】(1)或 (2)是，理由见详解 【知识点】坐标与图形、求点到坐标轴的距离 【分析】本题主要考查了点的坐标，属于阅读理解类型题目，关键是要读懂题目里定义的“长距”与“完美点”． （1）根据“完美点”的定义解答即可； （2）由“长距”的定义求出的值，然后根据“完美点”的定义求解即可． 【详解】（1）解：点是“完美点”， ， 或， 解得或； （2）解：点的长距为5，且点Q在第三象限内， ， 解得， ， 点的坐标为， 点到轴、轴的距离都是5， 点是“完美点”． 7．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较小值称为点P的“短距”；当点Q到x轴、y轴的距离相等时，则称点Q为“完美点”． (1)点的“短距”为______． (2)若点是“完美点”，求a的值． (3)若点是“完美点”，求点的“短距”． 【答案】(1)2 (2)或 (3)3或6 【知识点】求点到坐标轴的距离、绝对值的其他应用 【分析】本题考查了新定义背景下坐标的确定，理解新定义是解答本题的关键． （1）根据新定义直接写出“短距”值即可； （2）根据“完美点”的定义列出绝对值方程，求解即可得出答案； （3）先根据“完美点”的定义列出绝对值方程求解，再分别将值代入，然后利用“短距”的定义即可得出答案． 【详解】（1）点P到x轴、y轴的距离的较小值称为点P的“短距”， 又， 点的“短距”为， 故答案为：； （2）∵点是“完美点”， ∴， ∴或， 解得或． （3）由题意，得， ∴或， 解得或． 当时，点． ∵，， ∴“短距”为3； ． 当时，点． ∵，， ∴“短距”为6． 综上所述，点的“短距”为3或6． 8．（24-25八年级上·安徽滁州·阶段练习）在平面直角坐标系中，点，，若，则称点与点互为“对角点”．例如：，，因为，所以点与点互为“对角点”． (1)若点的坐标是，分别判断点，，是否为点的“对角点”，并说明理由； (2)若点的坐标是，其“对角点”在坐标轴上，求点的坐标． 【答案】(1)点不是点的“对角点”；点是点的“对角点”；点是点的“对角点”；见解析； (2)点的坐标为或． 【知识点】坐标与图形 【分析】（）根据“对角点”的定义判断即可； （）分点在轴和轴两种情况讨论，根据“对角点”的定义即可求解； 本题考查了坐标系与图形的性质，理解新定义“对角点”是解题的关键． 【详解】（1）∵， ∴点不是点的“对角点”； ∵， ∴点是点的“对角点”； ∵， ∴点是点的“对角点”； （2）当点在轴上时， 设，由题意得，， 解得， ∴； 当点在轴上时， 设，由题意得，， 解得， ∴， 综上所述，点的坐标为或． 9．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）先阅读下面一段文字，再回答问题． 在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“坐标距离”，给出如下定义：若，则点与的“坐标距离”为；若，则点与的“坐标距离”为． (1)若点，，则点与点的“坐标距离”为______． (2)已知点，为轴上的点． ①若点与点的“坐标距离”为3，求点的坐标． ②点与点的“坐标距离”的最大值为______． (3)若点，，且点与点的“坐标距离”为3，求点的坐标． 【答案】(1)5 (2)①点的坐标为或；②4 (3)点的坐标为或 【知识点】坐标与图形 【分析】本题考查了坐标与图形，正确理解“坐标距离”的定义是解此题的关键． （1）根据“坐标距离”的计算方法求解即可； （2）①设点，则，，再根据“坐标距离”的计算方法求解即可；②设点，则，，根据“坐标距离”的计算方法分情况讨论即可得解； （3）求出，，再根据“坐标距离”的计算方法分情况讨论即可得解． 【详解】（1）解：∵点，， ∴，， ∴， ∴点与点的“坐标距离”为 （2）解：①设点，则，， ∵点与点的“坐标距离”为3， ∴当时，，解得或，此时点的坐标为或； 当时，点与点的“坐标距离”为，此时与题干矛盾，不符合题意； 综上所述，点的坐标为或； ②设点，则，， 当时，“坐标距离”为，小于等于， 当时，“坐标距离”为， 综上所述，点与点的“坐标距离”的最大值为； （3）解：∵点，， ∴，， ∵点与点的“坐标距离”为3， ∴当，， 解得：或， 当时，，，故符合题意，此时点的坐标为； 当时，， ，故不符合题意； 当时，， 解得：或， 当时，，，故不符合题意； 当时，，，故符合题意，此时点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 题型二：平面直角坐标系中三角形的面积 10.如图，，，点B在x轴上，且． (1)求点B的坐标： (2)求的面积； (3)在y轴上是否存在P，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为10?若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2)6 (3)存在，P的坐标为或 【知识点】求点到坐标轴的距离、坐标与图形 【分析】本题考查了坐标与图形性质，主要利用了三角形的面积，难点在于要分情况讨论． （1）分点在点的左边和右边两种情况解答； （2）利用三角形的面积公式列式计算即可得解； （3）利用三角形的面积公式列式求出点到轴的距离，然后分两种情况写出点的坐标即可． 【详解】（1）解：（1）点在点的右边时，， 点在点的左边时，， 所以，的坐标为或； （2）解：的面积； （3）解：设点到轴的距离为， 则， 解得， 点在轴正半轴时，， 点在轴负半轴时，， 综上所述，点的坐标为或． 11.在平面直角坐标系中，点在第一象限，将线段进行平移得到线段，点的对应点为，点的对应点为． (1)若点，，，求点的坐标； (2)若点，，，，三角形的面积为6，点在第三象限，横坐标为． ①求线段的长度； ②在轴上是否存在点，使得三角形与三角形的面积和等于三角形的面积，若存在求点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) ①②存在，点P坐标为或 【知识点】已知点所在的象限求参数、由平移方式确定点的坐标 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的平移，三角形的面积公式等知识点，解题的关键是根据三角形顶点的坐标表示出底和高． （1）先根据点和点坐标确定平移方式，从而可得点坐标； （2）①先求出的值，从而确定点，，的横坐标，根据三角形的面积为，求出的长， ②设点，然后根据列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：，，，， 点先向左平移个单位，再向下平移个单位至点， 点先向左平移个单位，再向下平移个单位至点为； （2）解：①由题意得，， ， ，，， 三角形的面积为， ， ，或， ②点在第三象限， ， ， ， 点横坐标为， 设点， ， ， ， 解得，或， 点坐标为或． 12.如图1，在平面直角坐标系中，，且满足，过C作轴于B． (1)求的面积． (2)若过B作交y轴于D，且，分别平分，，如图2，求的度数． (3)若交y轴于Q，而Q的坐标为，在y轴上是否存在点P，使得三角形和三角形的面积相等？若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，P点坐标为或 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、根据平行线判定与性质求角度、写出直角坐标系中点的坐标、坐标与图形综合 【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的非负性求得A，C两点坐标，即可求得面积； （2）过E作，根据平行线、角平分线以及平角的定义即可求解； （3）设点P的坐标，求得的面积，利用面积相等，求得点P的坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， 又∵， ∴，，， ∴ （2）解：∵轴，， ∴，， ∴， 过E作，如图， ∵， ∴， ∵，分别平分，， ∴，， ∴； （3）解：存在，理由如下：设点P的坐标， ∵的坐标为， ∴， ∵的面积=的面积的面积 ， 当和的面积相等时，， 解得：或， 则点P的坐标为或， ∴和的面积相等时，P点坐标为或． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系与几何的综合应用，平行线的性质和判定，绝对值和算术平方根的非负性等知识点，熟练掌握平面直角坐标系及几何图形的性质是解题的关键． 13.如图1，在平面直角坐标系中，O为原点，已知，，且a，b满足关系式：，其中，连接，． (1)填空：_______，_______，三角形的面积是_______； (2)点C是x轴上一点，连接，延长与x轴相交于点D． ①如图2，当点C在x轴负半轴上，三角形的面积与三角形的面积相等时，求点C的坐标； ②若三角形的面积等于三角形面积的一半，三角形的面积等于，求点B，C，D的坐标． 【答案】(1)3，2，3 (2)① ②，或， 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、坐标与图形综合、乘方的应用 【分析】本题考查坐标与图形，非负性，熟练掌握数形结合的思想，是解题的关键： （1）非负性求出的值，面积公式求出三角形的面积即可； （2）①根据面积公式求出的长，即可求出点C的坐标；②根据三角形的面积等于三角形面积的一半，求出的面积，再根据面积公式求出的长，进而求出点坐标，再根据三角形的面积等于三角形面积的一半，求出点坐标，然后根据三角形的面积等于，求出的长，进而求出点坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴三角形的面积是； （2）①由（1）知：三角形的面积是3，， ∴， ∴； ∴； ②∵三角形的面积等于三角形面积的一半， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴或， ∴或． 14．已知点，点，且a，b满足关系式 (1)点A的坐标为______，点 B的坐标为______； (2)如图1，点C在x轴上，当三角形的面积为15时，求点C的坐标； (3)如图2，点D是直线第一象限上的点，连接，当三角形的面积为12时，求点D的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【知识点】中点坐标、绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、坐标系中的平移 【分析】本题考查三角形的面积、绝对值和算术平方根的非负性质、坐标与图形性质，掌握绝对值和算术平方根的非负性质、三角形面积计算公式、中点坐标公式是解题的关键． （1）根据绝对值和算术平方根的非负性质计算即可求得点A和点B的坐标； （2）根据三角形面积公式求出，再分别计算当点C在点B的左边、右边时对应的坐标即可； （3）根据三角形面积公式求出三角形的面积为24，三角形的面积正好是三角形的面积的一半，从而证明点D是的中点，再由中点坐标公式求出点D的坐标即可． 【详解】（1）解：， ，， ，， 点A的坐标为，点B的坐标为 故答案为：，； （2）解：， ，即， ， 则，， 点C的坐标为或 （3）解：，， ， ， ， 点D是的中点， ，， 点D的坐标为 15．在平面直角坐标系中，点A，C的坐标分别是，，且满足，过点C作轴于点B． (1)________，________； (2)如图1，过点B作，交y轴于点D，，分别平分，，若，，求的度数； (3)如图2，在y轴上是否存在一点P使得的面积等于的面积，如果存在请求出点P的坐标，如不存在请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或 【知识点】求点到坐标轴的距离、根据平行线判定与性质求角度、利用算术平方根的非负性解题、角平分线的有关计算 【分析】（1）根据平方的性质及算术平方根的性质列得，即可求出答案； （2）过E作，证得，，再根据角平分线的定义求出 ， ，由此求出答案； （3）分两种情况作图：①当P在y轴正半轴上时，②当P在y轴负半轴上时，设点，分别过点P，A，B作轴，轴，轴，交于点M，N，然后利用割补法结合图形面积公式列式计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， 故答案为：，； （2）解：如图，过E作． ∵，，，， ∴，， ∴， ∵，分别平分，， ∴， ∴， ∴． （3）解：由（1）得， ∴， ∴； ①当P在y轴正半轴上时，如图所示． 设点，分别过点P，A，B作轴，轴，轴，交于点M，N，则，，，． ∵， ∴， ∴， ∴，即点P的坐标为． ②当P在y轴负半轴上时，如图所示， 同理可得，即点P的坐标为． 综上所述，P点的坐标为或． 【点睛】此题考查平方的性质及算术平方根的性质，角平分线的定义，坐标与图形，平行线的性质，利用面积公式求图形的面积，三角形的面积计算公式，直角梯形的面积计算公式，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 16．（23-24八年级上·安徽芜湖·阶段练习）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，连接． (1)如图，过点B作直线轴． ①直线与轴交于点，求三角形的面积； ②若P是直线上一点，三角形的面积大于5，直接写出此时点横坐标的取值范围． (2)如图，将线段向上平移个单位长度得到线段（点A，B的对应点分别为点，），连接，，，，若三角形的面积不小于三角形面积的，求的取值范围． 【答案】(1)①8；②或 (2) 【知识点】利用平移的性质求解、坐标与图形、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，平移的性质，数形结合是解答本题的关键． （1）①根据三角形的面积公式求解即可； ②先求出面积等于5时的长，然后分点P 在点B左边或右边两种情况讨论； （3）构造长方形，过点作交的延长线于点H．用割补法求出的面积，由平移的性质可得，根据三角形的面积不小于三角形面积的得，进而可求出k的取值范． 【详解】（1）解∶①如图 1，过点A作于点D． ∵点B的纵坐标为1， ∴由题意可得点C的坐标为， ∵点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为， ∴， ， ∴三角形的面积为． ②当三角形的面积为5时， ， ∴， ∴， 当点P 在点B左边时，， 当点P 在点B右边时，， 综上可知，或； （2）如图 2，构造长方形，过点作交的延长线于点H． ． 由平移的性质可得， ∴， ∵三角形的面积不小于三角形面积的， ， 解得 ， ∴符合题意的k的取值范为． 17.如图1，在平面直角坐标系中，点，点，且满足，过点A作轴于点B． (1)______，_______，______． (2)如图2，过点B作交y轴于点D，且分别平分，，，求的度数． (3)在y轴上是否存在点P，使得?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；；20 (2) (3)点的坐标为或． 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、坐标与图形综合、利用算术平方根的非负性解题、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查的是三角形的综合应用，涉及到坐标与图形性质，平行线的性质，非负数的性质：偶次方与算术平方根，角平分线的定义，直角坐标系中求三角形的面积等知识，解题的关键是正确的作出辅助线，掌握割补法求面积． （1）先依据非负数的性质可求得、的值，从而可得到点和点的坐标，接下来，再求得点的坐标，最后，依据三角形的面积公式求解即可； （2）过作，首先依据平行线的性质可知，，接下来，依据平行公理的推理可得到，然后，依据平行线的性质可得到，，然后，依据角平分线的性质可得到，，最后，依据求解即可； （3）分两种情况，当点在轴正半轴时和点在轴负半轴时，根据三角形面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：， ，， ，， ， ，，， 的面积为； 故答案为：；；20； （2）解：∵轴，， ，，， 过作交轴于点，如图所示： ， ， 、分别平分、， ，， ； （3）解：存在．理由如下： 当在轴正半轴上时，如图． 设点，分别过点作轴，轴，轴，交于点，则，，． ， ， ． 解得，即点的坐标为； 当在轴负半轴上时，如图作辅助线， 设点，则，，． ， 同理，． 解得，即点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 题型三：平面直角坐标系中图形的平移 18．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示，点的坐标是．现将平移，使点A与点重合，点B、C的对应点分别是点、．    (1)请画出平移后的，并写出点的坐标； (2)点P是内的一点，当平移到后，若点P的对应点的坐标为，则点P的坐标为． 【答案】(1)见解析， (2) 【知识点】已知平移后的坐标求原坐标、已知图形的平移，求点的坐标、平移(作图) 【分析】本题主要考查了作图-平移变换，正确得出对应点位置是解题关键． （1）先根据题意求出平移方向，从而求出的坐标，画出图形即可； （2）根据（1）中的平移方向，即可求解． 【详解】（1）解：∵点的坐标是，点的坐标是， ∴平移方向是先向左平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度， ∵点的坐标是，点的坐标是， ∴点的坐标是，点的坐标是， ∴平移后的如图所示： （2）由（1）得：平移方向是先向左平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度， ∵点的对应点的坐标为， ∴点的坐标为． 19．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）定义：在平面直角坐标系中，已知点，这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点的“最佳间距”．例如：点的“最佳间距”是1． （1）点的“最佳间距”是 ； （2）当点的“最佳间距”为1时，点P的横坐标为 ． 【答案】 3 或2或4 【知识点】坐标系中的平移、求点到坐标轴的距离 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，垂线段最短． （1）分别计算出，，的长度，比较得出最小值即可； （2）分别计算出，的长度，由于斜边大于直角边，故，，所以“最佳间距”为或者的长度，由于“最佳间距”为1，分两种情况讨论，即可求解点的横坐标． 【详解】解：（1）点，，， ，，， 垂线段最短， ， 点，，的“最佳间距”是3． 故答案为：3； （2）点， ∴， ∴，， 垂线段最短， ，， 点，，的“最佳间距”是1， ∴或， ∵，， ∴或， 当时，，点，，的“最佳间距”是1，，符合题意； 当时，，点，，的“最佳间距”是1，符合题意； 当时，，点，，的“最佳间距”是1，符合题意； 当时，，点，，的“最佳间距”是1，符合题意； 点的“最佳间距”为1时，点P的横坐标为或2或4． 故答案为：或2或4． 20．在平面直角坐标系中，对于点，若点Q的坐标为，则称点Q是点P的“a阶派生点”（其中a为常数，且）．例如：点的“2阶派生点”为点，即点． (1)若点P的坐标为，则它的“3阶派生点”的坐标为__________； (2)若点P的“5阶派生点”的坐标为，求点P的坐标； (3)若点先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到了点．点的“阶派生点”位于坐标轴上，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】加减消元法、由平移方式确定点的坐标、坐标与图形 【分析】本题考查点的坐标，“派生点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据派生点的定义，结合点的坐标即可得出结论． （2）根据派生点的定义，结合点的坐标即可得出结论． （3）判断出的坐标，构建方程求出即可． 【详解】（1）；， 点的坐标为，则它的“3级派生点”的坐标为． 故答案为：； （2）设点的坐标为， 由题意可知， 解得：， 点的坐标为； （3）由题意，， 的“阶派生点“为：，，即， 在坐标轴上， 或， 或， 或，． 题型四：平面直角坐标系中点的坐标规律探索 21．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，设一点自处向上运动个单位长度至，然后向左运动个单位长度至处，再向下运动个单位长度至处，再向右运动个单位长度至处，再向上运动个单位长度至处，…，如此继续运动下去，设，… （1） ． （2） ． 【答案】 【知识点】点坐标规律探索 【分析】此题主要考查了点的坐标特点，解决本题的关键是分析得到4个数相加的规律． （1）根据各点横坐标、纵坐标的数据得出规律，进而得出答案即可； （2）经过观察分析可得每4个数的和为2，把2024个数分为506组，再得出,即可得到相应结果． 【详解】解：（1）由题意可知 …… 于是得到的值为1，，，3， ∴； 故答案为：2． （2）∵的值分别为3，，，， ∴； ∵， ， … ， ∵， ∴． ∵，,，…… ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 22．在平面直角坐标系中，对于点，如果点，，那么称点Q为点P的“友好点”．如果点的友好点Q坐标为，则点P的坐标为 ． 【答案】或 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题主要考查了新定义，点的坐标，理解并掌握“友好点”的定义是解题的关键．根据“友好点”的定义，分两种情况进行讨论，求解即可． 【详解】解：分两种情况： 当时，由题意得：， 解得：， ∵， ∴符合题意； 当时，由题意得：， 解得：， ∵， ∴符合题意； 综上所述：点P的坐标为或． 故答案为：或． 23．（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，在平面直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成；已知变换过程中各点坐标分别为，，，，，，，． (1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此规律再将变换成，则的坐标为______，的坐标为______，的面积为______． (2)按以上规律将进行n次变换得到，则的坐标为______，的坐标为______； (3)的面积为______ 【答案】(1)，，48 (2)， (3) 【知识点】点坐标规律探索 【分析】此题考查了坐标规律的探索，解题的关键是根据已知点的坐标，总结出点的坐标规律． （1）根据、、的坐标求出的坐标即可，根据、、的坐标求出的坐标即可； （2）根据前几个点的坐标，总结出规律分别求出、的坐标即可； （3）根据三角形面积公式以及、的坐标，求解即可． 【详解】（1）解：、、． 的横坐标为：，纵坐标为：3． 故点的坐标为：． 又、、． 的横坐标为：，纵坐标为：0． 故点的坐标为：． 的面积为 故答案为：，，48； （2）解：由、、，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是3． 故的坐标为：， 由、、，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是0． 故的坐标为：； 故答案为：，； （3）解：的坐标为：，的坐标为：， 的面积为． 故答案为：． 24．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断地平移，每次平移1个单位长度，其行走路线如图所示． (1)填写下列各点的坐标：： ，： ，： ； (2)写出点的坐标． 【答案】(1)，，， (2) 【知识点】点坐标规律探索、坐标与图形 【分析】本题考查了点的坐标规律求解，发现坐标规律是解题的关键． （1）根据图形直接写出点，，的坐标； （2）由特殊到一般，当，2，3时，观察图形可知，，都在轴上，求出，，的坐标，总结规律，据此进行解答即可； 【详解】（1）解：由图可知，，，， 故答案为：，，，； （2）观察图形可知，，都在轴上，且，，， ，，， ， 点的坐标是． ，，； ， 由， 按照点的坐标规律可知． 25．（24-25八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，动点第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点，第5次运动到点，第6次运动到点，第7次运动到点，第8次运动到点……按这样的规律运动下去． (1)写出点的坐标：____． (2)按照上述规律，指出从点到点的平移方式． (3)若点距离点5个单位长度，且轴，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 (3)或 【知识点】坐标与图形、点坐标规律探索 【分析】本题考查了点坐标规律探索，旨在考查学生的抽象概括能力，解题的关键是找出点坐标规律． （1）根据题意得动点横坐标为对应的运动次数减3，纵坐标依次为：，每5次一个循环，据此即可求解． （2）根据（1）中规律求出点和点的坐标，即可求解； （3）根据（1）中规律求出点的坐标，再根据点距离点5个单位长度，且轴，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：动点在平面直角坐标系中的运动为： ∴横坐标为对应的运动次数减3， 纵坐标依次为：，每5次一个循环， 则点的横坐标为：； ， ∴点的纵坐标为：4； 故答案为：． （2）解：根据（1）中规律可得： 点的横坐标为：； ， ∴点的纵坐标为：2； ∴， 点的横坐标为：； ， ∴点的纵坐标为：4； ∴， 故从点到点的平移方式是：先向右平移1个单位，再向上平移2个单位． （3）解：根据（1）中规律可得： 点的横坐标为：； ， ∴点的纵坐标为：； ∴， ∵点距离点5个单位长度，且轴， ∴，即， 或，即， 综上，或． 26．（24-25八年级上·安徽池州·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于任意一点，存在非实数，构造点的坐标，则称点是点的“倍纠缠点”．例如：点的“倍纠缠点”是点，即． (1)原点的“倍纠缠点”的坐标为_________，的“倍纠缠点”的坐标为_________； (2)若点的“倍纠缠点”的坐标为，求点的坐标； (3)若点先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到了点，点的“倍纠缠点”位于轴上，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】点坐标规律探索、其他问题(二元一次方程组的应用)、由平移方式确定点的坐标 【分析】本题考查平面直角坐标系下的点的变换和平移，纠缠点的定义，熟练掌握变换规律是解题的关键． （1）根据纠缠点的计算方法进行计算即可． （2）逆用纠缠点的计算方法进行计算即可． （3）先根据平移规律得到平移后的坐标，再根据纠缠点的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）解：∵原点的坐标为， ∴原点的“倍纠缠点”的坐标为，即， ∵的“倍纠缠点”的坐标为， ∴的“倍纠缠点”的坐标为， 故答案为：，． （2）解：设点的坐标为， ∴它的“倍纠缠点”的坐标为， ∵点的“倍纠缠点”的坐标为 ∴， 解得， ∴点的坐标为． （3）解：由题意，得点的坐标为， 即， ∵点是点的“倍纠缠点”， ∴点的坐标为， 即， 又∵点位于轴上， ∴， 解得：， 则， ∴点的坐标为． 题型五：平面直角坐标系中动点问题 27．如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，且实数、满足． (1)求、两点的坐标； (2)如图1，已知坐标轴上有两动点，同时出发，点从点出发沿轴负方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，点从点出发沿轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动，点到达点整个运动随之结束．的中点的坐标是，设运动时间为秒．是否存在这样的，使得的面积等于面积的2倍？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； (3)如图2，在（2）的条件下，若，点是第二象限中一点，并且轴平分，点是线段上一动点，连接交于点，当点在线段上运动的过程中，探究，，之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)， (2)存在， (3)，证明见解析 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、根据平行线判定与性质证明、动点问题（一元一次方程的应用）、坐标与图形综合 【分析】本题主要考查了坐标与图形，平行线的性质与判定，非负性的性质，正确作出辅助线是解本题的关键． （1）利用非负性即可求出a，b即可得出结论； （2）先表示出，利用三角形面积，建立方程求解即可得出结论； （3）先判断出，进而判断出，即可判断出，同理，即可得出结论． 【详解】（1）解：，， ∴， ， 解得， ，； （2）解：由（1）知，， ∴， 由运动知，， ∴， ∵， ∴，， ∵的面积是的面积2倍， ∴， ∴， ∴存在时，使得的面积是的面积2倍； （3）解：，理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵y轴平分， ∴， ∴， ∴， 如图，过点H作交x轴于F， ∴， ∴， 同理， ∴，即， ∴． 28．如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，且a，b满足，现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向左平移3个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接，， (1)请直接写出A的坐标 ，B的坐标 ； (2)在坐标轴上是否存在点M，使三角形的面积与三角形的面积相等？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，试说明理由． (3)点P是直线上的一个动点，点Q是线段的中点，连接，， ①如图2，当点P在线段上移动时（不与A，C重合），请找出，，的数量关系，并证明你的结论； ②若P在直线上运动，请直接写出、、的数量关系． 【答案】(1)， (2)或或或． (3)①②当点P在直线的延长线上时，，当点P在直线的延长线上时， 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、坐标与图形综合、利用算术平方根的非负性解题、利用平移的性质求解 【分析】本题考查了实数的非负性，平行线的判定与性质，坐标系中平移的性质，分类思想，熟练掌握实数的非负性，平行线的判定与性质，平移的性质是解题的关键． （1）由绝对值和算术平方根的非负数的性质即可求解； （2）先求出，分点在轴上与在轴上两种情况考虑即可． （3）①过点作，得出，则，证明，结合，，即可证明； ②分两种情况，当点P在直线的延长线上时，当点P在直线的延长线上时，利用平线的性质和角的和差关系即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴，， ∴，， ∴，， （2）解：存在，理由如下： 由平移知，，，， ∴，， ； ①当点在轴上时， 设点坐标为，则， ， 解得：或， 故或； ②当点在轴上时，设， 则，， ， 解得：或， 即或； 综上，点的坐标为或或或． （3）解：①， 证明如下： 如图，过点作， ， 点、分别向上平移2个单位，再向左平移3个单位，分别得到其对应点，， ， ， ； ， 而，， ， ； ②如下图，当点P在直线的延长线上时，过点P作， 则， 由平移的性质可知， ∴， ∴， ∵， ∴ 当点P在直线的延长线上时，过点P作， 同上，可知， ∴，， ∵ ∴． 综上：当点P在的延长线上时，，点P在的延长线上时，． 29.如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是，，点坐标满足，连接，，. (1)的坐标为________，四边形的面积为________； (2)点是轴上一个动点，当三角形的面积为10时，求点的坐标； (3)将线段平移至线段（点的对应点为，点的对应点为），且点在线段上，当三角形的面积为时，求点的坐标. 【答案】(1) (2)或 (3) 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、由平移方式确定点的坐标 【分析】本题考查坐标与图形变化-平移、非负数的性质：绝对值、非负数的性质：算术平方根、三角形的面积，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据非负数的性质可得，进而可得点C的坐标为．利用割补法求四边形的面积即可． （2）设点D的坐标为，根据题意可列方程为，求出m的值，即可得出答案． （3）设点P的坐标为，根据题意可列方程为，可得，则点P的坐标为，即线段是向左平移3个单位长度，向下平移3个单位长度得到线段，结合平移的性质可得答案． 【详解】（1）解：∵，上 ∴， 解得， ∴点C的坐标为． ∴四边形的面积为． 故答案为：11． （2）解：设点D的坐标为， ∵三角形的面积为10， ∴， 解得或， ∴点D的坐标为或． （3）解：如图， ∵点P在线段上， ∴设点P的坐标为， ∴三角形的面积为， 解得， ∴点P的坐标为， ∴线段是向左平移3个单位长度，向下平移3个单位长度得到线段， ∴点A的对应点Q的坐标为． 30.在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，且a，c满足方程为二元一次方程． (1)求A、C的坐标． (2)若点D为y轴正半轴上的一个动点． ①如图1，当时，与的平分线交于点P，求的度数； ②如图2，连接，交x轴于点E．是否存在点D使成立．若存在，求出点D的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为 (2)①；②存在； 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、坐标与图形综合、二元一次方程的定义、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】（1）根据可得，，，，即可求得a、c的值，坐标可求； （2）①作，根据角平分线的定义、平行线的性质计算，得到答案； ②连接，交y轴于F，根据点的坐标特征分别求出、，根据题意列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵是二元一次方程， ∴，，， 解得，，， 则点的坐标为，点的坐标为； （2）解：①如图1，作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵与的平分线交于点， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴； ②存在；连接，交轴于，设， ∵， ∴，即， ∵，，， ∴， 过作轴的平行线，作于点H、于点， ， ， 由题意得，， 解得，， ∴． 【点睛】本题考查的是二元一次方程的定义、平行线的性质、坐标与图形综合、三角形的面积计算，一元一次方程，掌握平行线的性质、三角形面积公式是解题的关键． 31.如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点A、C分别在x轴、y轴上，x轴，轴，点B的坐标为，且． (1)直接写出点A的坐标为________，点B的坐标为________． (2)若动点P从原O出发，沿y轴以每秒2个长度单位的速度向上运动，在运动过程中形成的三角形的面积与长方形面积相等时，点P停止运动，求点P的运动时间； (3)在（2）的条件下，在x轴上是否存在一点Q，使三角形的面积是长方形的面积的2倍？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)4秒 (3)或 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、坐标系中的动点问题（不含函数） 【分析】本题考查了绝对值，平方的非负性，坐标与图形，一元一次方程的应用，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （1）由，可得，解得，则，； （2）设，则，由题意知，，得到，进一即可求出答案； （3）由（2）可知，设，得，由列方程，求出n的值即可． 【详解】（1）解：， ， 解得， ，． 故答案为：，． （2）解：设，则， 由题意知，， ， 解得， （秒）， 点P的运动时间为4秒； （3）解：由（2）可知 设，则，， ， 解得或， 或 32.已知线段两端点坐标，，将向下平移5个单位得线段，其中点的对应点为点． (1)点D的坐标为_________，线段平移到线段扫过的面积为________． (2)若点Р是y轴上的动点，连接． ①当时，求点Р的坐标； ②当将四边形的面积分成两部分时，点P的坐标为__________ 【答案】(1)，20 (2)①或；②点坐标为或 【知识点】由平移方式确定点的坐标、利用平移的性质求解 【分析】本题主要考查了平移的坐标变换，长方形的性质，坐标与图形，三角形的面积公式，清晰的分类讨论的思想是解本题的关键． （1）先根据线段向下平移5个单位可得B的纵坐标减去5，横坐标不变，可得D的坐标，再求解的长度，乘以平移距离即可得到平移后线段扫过的面积； （2）①设，得出的高为：，结合面积解方程，即可得出结论； ②分交线段和交两种情况，利用三角形面积法讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，，将向下平移5个单位得线段，其中点的对应点为点． ∴，，， ∴线段平移到线段扫过的面积为， 故答案为：，20； （2）解：①根据题意，设， ∵，， ∴的边上的高为：， ∵， ∴， 解得：或， ∴或； ②交线段于E时，过点P作，如图所示： ∵将四边形的面积分成两部分， ∴， ∴， 解得， ∴， 设， 根据题意得：， ∵， ∴， 解得：， ∴； 当交线段于F时，过点P作的延长线于点H，如图所示： ∵将四边形的面积分成两部分， ∴， ∴， 解得， ∴， 设， 根据题意得：， ∴， 解得：， ∴； 综上，点坐标为或． 33.如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，且a，b满足． (1)直接写出A，B的坐标，并求出三角形的面积； (2)如图2，点P为x轴上一动点，动点P从原点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴的负方向运动．设点P的运动时间为t秒． ①当三角形的面积为17时，求t的值和点P的坐标； ②过点A作y轴的平行线交x轴于点D（如图3）．当点P从原点O出发1秒时，点Q从点D出发，以每秒1个单位长度的速度在直线上运动，当三角形的面积是三角形的面积的4倍时，求t的值和点Q的坐标． 【答案】(1)； (2)①；②，点Q的坐标为，或，点Q的坐标为 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、几何问题(一元一次方程的应用)、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题考查坐标与图形，非负数的性质，熟练掌握非负数的性质，灵活利用数形结合的思想是解题的关键： （1）利用非负性，求出的值，进而求出A，B的坐标，然后即可求解三角形的面积； （2）①根据，求出的长，进而求出t的值和点P的坐标即可； ②分点在上，点在线段的延长线上和在点下方，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； 三角形的面积； （2）①由题意，得：， ∵； ∴， ∴， ∴， ∴； ②由①可知：， ∵三角形的面积是三角形的面积的4倍， ∴， 由题意，得，， 当点在上时，， ∴，解得：， 此时点Q的坐标为， 当点在线段的延长线上时，， ∴，解得：（舍去）； 当点Q在点D下方时，， ，解得：， 此时； 综上可得，当时，点Q的坐标为；当时，点Q的坐标为． 34.（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）如图，在矩形中，O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为，点C的坐标为且a，b满足，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动． (1)点B的坐标为_________；当点P移动3.5秒时，点P的坐标为_________； (2)在移动过程中，当点P到x轴的距离为4个单位长度时，求点P移动的时间； (3)在移动过程中，当的面积是10时，求点P移动的时间． 【答案】(1)， (2)点P移动的时间是或 (3)或或或 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、坐标与图形、利用算术平方根的非负性解题 【分析】（1）根据非负数的性质可以求得a、b的值，根据长方形的性质，可以求得点B的坐标；根据题意点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动，可以得到当点P移动3.5秒时，点P的位置和点P的坐标； （2）由题意可以得到符合要求的有两种情况，分别求出两种情况下点P移动的时间即可； （3）分为点P在、、、上分类计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得，， ∴， ∴， 当点P移动3.5秒时，P运动的路程为，此时P在上，且， ∴ 故答案为：，； （2）解：由题意，得在移动过程中，当点P到x轴的距离为4个单位长度时，存在两种情况， 第一种情况，当点P在上时，点P移动的时间是：； 第二种情况，当点P在上时，点P移动的时间是：． 故在移动过程中，当点P到x轴的距离为4个单位长度时，点P移动的时间是或； （3）解：设点P移动的时间为． 当点P在边上时，如解图1所示， 的面积是10， ，即， 解得， 此时； 当点P在边上时，如解图2所示， 的面积是10， ，即， 解得， ， 此时； 当点P在边上时，如解图3所示， 的面积是10， ，即， 解得， 此时； 当点P在边上时，如解图4所示， 的面积是10， ，即， 解得， 此时． 综上所述，满足条件的时间的值为或或或． 【点睛】本题考查矩形的性质，三角形的面积，坐标与图形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题． 35.如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点A、C分别在x轴、y轴上，轴，轴，点B的坐标为，且． (1)直接写出点A的坐标为______，点B的坐标为______． (2)若动点P从原点O出发，沿y轴以每秒1个长度单位的速度向上运动，在运动过程中形成的三角形的面积是长方形面积的的时，点P停止运动，求点P的运动时间； (3)在（2）的条件下，在x轴上是否存在一点Q，使三角形的面积与长方形的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)点P的运动时间为3秒 (3)存在，或 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、绝对值非负性、坐标与图形综合、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了绝对值，平方的非负性，坐标与图形，一元一次方程的应用，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （1）由，可得，解得，则，； （2）设，则，由题意知，，则，解得，（秒）； （3）由（2）可知设，得，由列方程，求出n的值即可． 【详解】（1）解：， ，， 解得，， ，． 故答案为：；； （2）解：设，则， 由题意知，， ， 解得， （秒）， 点P的运动时间为3秒； （3）解：由（2）可知 设，则，， ， 解得或， 或 36．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在以点O为原点的平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，点C在y轴上，且轴，a，b满足．点P从原点出发，以每秒2个单位的速度沿着的路线运动（回到O为止）． (1)写出点A，B，C的坐标； (2)当点P运动4秒时，求出点P的坐标； (3)点P运动t秒后（），是否存在点P到x轴的距离为个单位的情况．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)符合条件的点P坐标为或 【知识点】坐标与图形综合、绝对值非负性 【分析】本题考查非负数的性质、坐标与图形的性质、一元一次方程的应用，分类讨论是解题关键． （1）直接利用非负数的性质即可解答； （2）先求出运动4秒时点P的运动路程，再求出，可得此时点P在上，求出此时的长即可． （3）分两种情况：点P在上运动和点P在上运动，根据点P到x轴的距离为，列出方程求解即可 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； ∵轴，且点C在y轴上， ∴； （2）解：∵点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线运动， ∴当点P运动4秒时，点P的运动路程为， ∵， ∴， ∴当点P运动4秒时，点P在上，且， ∴； （3）解：存在： ①当P在上运动时，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； ②当P在上运动时，， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为， 综上可知，点P的坐标为或． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$