精品解析：山东省济南市汇才学校2024—2025学年八年级下学期数学期中考试试题

济南汇才学校2024-2025第二学期八年级数数学期中考试试题 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. ﹣3x＜﹣1的解集是（ ） A. x＜ B. x＜﹣ C. x＞ D. x＞﹣ 2. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何学的研究对象之一，下列坐标系中的数学曲线既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列因式分解正确的是(　　) A. B. C. D. 4. 下列分式中，属于最简分式的是（ ） A. B. C. D. 5. 若代数式有意义，则x应满足( ) A. x＝0 B. x≠1 C. x≥﹣5 D. x≥﹣5且x≠1 6. 如图所示，把线段AB平移，使得点A到达点点B到达点D．那么点D的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平行四边形 中， 且 为垂足．如果，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的外角，且∠1=∠2=∠3=∠4=75°，∠AED的度数是(　　) A. 120° B. 115° C. 105° D. 100° 9. 若以A(-0.5，0)，B(2，0)，C(0，1)三点为顶点要画平行四边形，则第四个顶点不可能在(　　) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，M是BC的中点，P是A'B'的中点，连接PM．若BC＝4，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 无法确定 二、填空题（共5小题，每题4分，共20分） 11. 若分式的值为0，则_______． 12. 如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB'C'D'的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°）．若∠1＝115°，则∠α＝____°． 13. 直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（a，2），则关于x的不等式x+1≥mx+n的解集为_____． 14. 如图，在中，对角线与相交于点O，的平分线交于点E，F为的中点，连接．若，，则的长为（ ） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.5 15. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上，顶点的坐标为，点为轴上一点，将沿翻折得，若点落在第二象限且，则点的坐标是_____． 三、解答题（共10小题，共90分．写出必要的文字说明或解题过程） 16. 分解因式：ax3−ax=________． 17. 解方程：． 18. 解不等式组，并求出所有整数解的和． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图所示，在中，对角线与相交于点，点，在对角线上．且．求证：． 21. 春节结束后，为了吸引游客，某市动物园推出了甲、乙两种购票方式． 甲：按照次数收费： 乙：购买一张动物园年卡后，门票每人每次打折优惠． 设某人一年内去动物园次数为次，所需费用为元，且与的函数关系如图所示． 根据图中信息，解答下列问题． （1）填空： 甲种收费的函数关系式是___________．乙种收费的函数关系式是___________． （2）乐乐准备利用本学期的周末去动物园完成“生物多样性”课题实践活动，请问他选择哪种购票方式更划算？说明理由． 22. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的两格中，点A、B、C都是格点． （1）将向左平移6个单位长度得到； （2）将绕点O按逆时针方向旋转得到，请画出； （3）若点O的坐标为，点B的坐标为；写出与的对称中心的坐标 ． 23. 甲、乙两地相距60km，A骑自行车从甲地到乙地，出发2小时40分钟后，B骑摩托车也从甲地去乙地．已知B的速度是A的速度的3倍，结果两人同时到达乙地．求A，B两人的速度． 24. 【类比学习】在八年级上学期，我们学习了全等三角形后，发现有些试题通过构造全等三角形，再利用全等三角形的性质就可以解决这类几何问题．本学期我们学习平行四边形，现在我们一起研究，通过构造平行四边形解决某类几何问题． 例：如图1，在中，，，，，求的值． 通过同学们的思考与交流，归纳以下四种构造平行四边形方法： 思路一：如图2，过点作，可以构造平行四边形，得，，，由勾股定理得，即； 思路二：如图3，过点作； 思路三：如图4，过点作； 思路四：如图5，过点作． 【迁移应用】利用在上述案例中学到的知识与方法，解决以下问题： （1）如图6，、相交于点，，，，，垂足为；求的值； （2）在中，，、分别线段上一点，，，交于点． ①根据题意图7上补全图形； ②直接写出的度数； ③猜想与的数量关系，并证明你的结论． 25. 在等腰中，，是角平分线，过点M作，垂足为N，、将绕点M旋转，使的两边交直线于点E，交直线于点F，请解答下列问题： （1）当绕点M旋转到如图①的位置时，求证：； （2）当绕点M旋转到如图②，图③的位置时，请分别直接写出线段，，之间的数量关系____________；____________． （3）在（1）和（2）条件下，，，直接写出的长______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 济南汇才学校2024-2025第二学期八年级数数学期中考试试题 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. ﹣3x＜﹣1的解集是（ ） A. x＜ B. x＜﹣ C. x＞ D. x＞﹣ 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：将不等式﹣3x＜﹣1系数化1得， x＞． 故选C． 考点：解一元一次不等式． 2. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何学的研究对象之一，下列坐标系中的数学曲线既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故B不符合题意； C．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故D不符合题意． 故选：C． 3. 下列因式分解正确的是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解：因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式根据因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式，完全平方公式）、三检查（彻底分解）．直接根据因式分解方法逐一判断即可． 【详解】A、根据平方差公式，可得，故不正确； B、根据式子特点，不能分解，故不正确； C、根据因式分解的概念，不是积的形式，故不正确； D、根据提公因式法，可得，故正确． 故选D． 4. 下列分式中，属于最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简分式的定义对各选项进行判断．本题考查了最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． 【详解】解：A、该分式的分子、分母中含有公因式2，不属于最简分式，故A选项不符合题意； B、该分式的分子、分母中不含有公因数，则该分式是最简分式，故B选项符合题意； C、该分式的分子、分母中含有公因式，则该分式不是最简分式，故C选项不符合题意； D、该分式的分子、分母中含有公因式，则该分式不是最简分式，故D选项不符合题意； 故选：B． 5. 若代数式有意义，则x应满足( ) A. x＝0 B. x≠1 C. x≥﹣5 D. x≥﹣5且x≠1 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解． 【详解】要使代数式有意义，必须有x+5≥0且x-1≠0， 即x≥-5且x≠1， 故选D. 6. 如图所示，把线段AB平移，使得点A到达点点B到达点D．那么点D的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据用坐标表示平移来进行判断即可． 【详解】解：由数轴可知A(0，1)，B(3，3)， 由点A(0，1)平移到点，其横坐标增加4，纵坐标增加1， 所以点B(3，3)平移后，其横坐标增加4，纵坐标增加1，即D(7，4)． 故选：C． 【点睛】本题考查用坐标表示平移，掌握平移引起点坐标变化的规律是解题关键． 7. 如图，在平行四边形 中， 且 为垂足．如果，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，由平行四边形的性质得，进而由平行四边形的性质可得，再根据直角三角形的性质即可求解，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 8. 如图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的外角，且∠1=∠2=∠3=∠4=75°，∠AED的度数是(　　) A. 120° B. 115° C. 105° D. 100° 【答案】A 【解析】 【分析】如解图所示,根据多边形的外角和即可求出∠5，然后根据平角的定义即可求出结论． 【详解】解：∵∠1=∠2=∠3=∠4=75°， ∴∠5=360°﹣75°×4=360°﹣300°=60°， ∴∠AED=180°﹣∠5=180°﹣60°=120°． 故选：A． 【点睛】此题考查的是多边形的外角和平角的定义，掌握多边形的外角和都等于360°是解决此题的关键． 9. 若以A(-0.5，0)，B(2，0)，C(0，1)三点为顶点要画平行四边形，则第四个顶点不可能在(　　) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】令点A为（-0.5，0），点B（2，0），点C（0，1），①以BC为对角线作平行四边形，②以AC为对角线作平行四边形，③以AB为对角线作平行四边形，从而得出点D三个可能的位置，由此可判断出答案． 【详解】解：根据题意画出图形，如图所示： 分三种情况考虑：①以CB为对角线作平行四边形ABD1C，此时第四个顶点D1落在第一象限； ②以AC为对角线作平行四边形ABCD2，此时第四个顶点D2落在第二象限； ③以AB为对角线作平行四边形ACBD3，此时第四个顶点D3落在第四象限， 则第四个顶点不可能落第三象限． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质及坐标的性质，利用了数形结合的数学思想，学生做题时注意应以每条边为对角线分别作平行四边形，不要遗漏． 10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，M是BC的中点，P是A'B'的中点，连接PM．若BC＝4，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】如图连接PC，由直角三角形性质和旋转性质可得A′B′=AB=8，PC=4，根据PM≤PC+CM，可得PM≤6，由此即可解决问题． 【详解】解：如图连接PC． 在Rt△ABC中，∵∠A=30°，BC=4， ∴AB=8， 根据旋转不变性可知，A′B′=AB=8， ∴A′P=PB′， ， ∵CM=BM=2， 又∵PM≤PC+CM，即PM≤6， ∴PM的最大值为6（此时P、C、M共线）． 故选：C． 【点睛】本题考查旋转变换、直角三角形30度角的性质、直角三角形斜边中线定理，三角形的三边关系等知识．解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用三角形的三边关系解决最值问题． 二、填空题（共5小题，每题4分，共20分） 11. 若分式的值为0，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的值为0的条件．根据分式的分子为0，分母不为0时，分式的值为0，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，且， 解得：； 故答案为：． 12. 如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB'C'D'的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°）．若∠1＝115°，则∠α＝____°． 【答案】25 【解析】 【分析】根据矩形的性质得∠B=∠D=∠BAD=90°，根据旋转的性质得∠D′=∠D=90°，∠4=α，利用对顶角相等得到∠1=∠2=110°，再根据四边形的内角和为360°可计算出∠3=70°，然后利用互余即可得到∠α的度数． 【详解】如图， ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠B=∠D=∠BAD=90°， ∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形AB′C′D′， ∴∠D′=∠D=90°，∠4=α， ∵∠1=∠2=115°， ∴∠3=360°-90°-90°-115°=65°， ∴∠4=90°-65°=25°， ∴∠α=25°， 故答案25． 【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键.旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角． 13. 直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（a，2），则关于x的不等式x+1≥mx+n的解集为_____． 【答案】x≥1 【解析】 【分析】将P(a，2)代入直线l1：y＝x+1中求出a＝1，然后再根据图像越在上方，其对应的函数值越大即可求解． 【详解】解：将点P(a，2)坐标代入直线y＝x+1，得a＝1， 从图中直接看出，在P点右侧时，直线l1：y＝x+1在直线l2：y＝mx+n的上方， 即当x≥1时，x+1≥mx+n， 故答案为：x≥1． 【点睛】本题考查了一元一次不等式与一次函数的关系，图像越在上方，其对应的函数值就越大． 14. 如图，在中，对角线与相交于点O，的平分线交于点E，F为的中点，连接．若，，则的长为（ ） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.5 【答案】C 【解析】 【分析】取的中点G，连接，在中，根据，是的平分线，可得，即得，根据三角形中位线的性质可得，，根据即可求出答案． 【详解】解：取的中点G，连接， 在中，， ， 又是的平分线， ， ， ， O是的中点，F为的中点， ，， G是的中点，F为的中点， ，， ， O，F，G在同一条直线上， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，中位线的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 15. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上，顶点的坐标为，点为轴上一点，将沿翻折得，若点落在第二象限且，则点的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】如图，过点作轴，过点作轴，根据题意，可得、、，设，通过勾股定理得，解方程，推得，设、，再利用勾股定理得，解方程即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴，过点作轴， 四边形是平行四边形，且顶点的坐标为， ，， ，， 沿翻折得， ， ， 在中，， ， 在中，， 设，，， ， 解得：， ， ， 设，则， ，，， 在中，， ， 解得：， ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，翻折图形的性质，平面直角坐标系中坐标的特点，勾股定理，根据题意添加适合的辅助线是解题关键． 三、解答题（共10小题，共90分．写出必要的文字说明或解题过程） 16. 分解因式：ax3−ax=________． 【答案】ax（x+1）（x﹣1） 【解析】 【分析】先提公因式ax,再利用平方差公式因式分解即可. 【详解】ax3﹣ax=ax（x2﹣1）=ax（x+1）（x﹣1）． 故答案为ax（x+1）（x﹣1）． 【点睛】本题考查了提公因式法与公式法综合运用，熟练应用公式法分解因式是解题关键． 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，先去分母，将分式方程化为整式方程，再解这个整式方程，最后检验即可，掌握分式方程的解法是解题的关键． 【详解】解：， ∴ ∴， ∴， ∴， 经检验，是原方程的解， ∴原分式方程的解为：． 18. 解不等式组，并求出所有整数解的和． 【答案】，整数解的和为25 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，先求出不等式组的解集，再找出符合条件的整数解求和即可．解题的关键是求出不等式组的解集． 【详解】解： 解①得：， 解②得：， ∴原不等式的解为：， ∴其整数解为：，故其整数解的和为： 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题主要考查了分式分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算的运算顺序和运算法则． 将该分式分子分母因式分解，括号里面进行通分，除法改写为乘法，再根据分式的运算法则进行化简，最后将x的值代入进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 20. 如图所示，在中，对角线与相交于点，点，在对角线上．且．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，平行线的判定；根据平行四边形的性质与已知条件，得出，证明，得出，根据内错角相等两直线平行，即可得证． 【详解】四边形是平行四边形 ， 在和中， ， ∴． 21. 春节结束后，为了吸引游客，某市动物园推出了甲、乙两种购票方式． 甲：按照次数收费： 乙：购买一张动物园年卡后，门票每人每次打折优惠． 设某人一年内去动物园的次数为次，所需费用为元，且与的函数关系如图所示． 根据图中信息，解答下列问题． （1）填空： 甲种收费的函数关系式是___________．乙种收费的函数关系式是___________． （2）乐乐准备利用本学期的周末去动物园完成“生物多样性”课题实践活动，请问他选择哪种购票方式更划算？说明理由． 【答案】（1），； （2）当乐乐去动物园的次数小于8时，选择甲种购票方式更划算；当乐乐去动物园的次数等于8时，选择甲种购票方式或乙种购票方式同样划算；当乐乐去动物园的次数大于8时，选择乙种购票方式更划算，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际应用，两直线的交点问题．利用待定系数法正确求出一次函数解析式是解题关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出两直线交点，结合图象即可解答． 【小问1详解】 解：设选择甲种购票方式时，y关于x的函数表达式为， 将代入，得：， 解得：， ∴选择甲种购票方式时，y关于x的函数表达式为； 设选择乙种购票方式时，y关于x的函数表达式为， 将，代入，得：， 解得：， ∴选择乙种购票方式时，y关于x的函数表达式为； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：联立，解得：， ∴直线与直线的交点为． ∴由图象可知当时，直线在直线的图象下方，即此时选择甲种购票方式更划算； 当时，直线与直线交于点，即此时选择甲种购票方式或乙种购票方式同样划算； 当时，直线在直线的图象上方，即此时选择乙种购票方式更划算； 当乐乐去动物园的次数小于8时，选择甲种购票方式更划算；当乐乐去动物园的次数等于8时，选择甲种购票方式或乙种购票方式同样划算；当乐乐去动物园的次数大于8时，选择乙种购票方式更划算. 22. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的两格中，点A、B、C都是格点． （1）将向左平移6个单位长度得到； （2）将绕点O按逆时针方向旋转得到，请画出； （3）若点O的坐标为，点B的坐标为；写出与的对称中心的坐标 ． 【答案】（1）作图见解析； （2）作图见解析； （3） 【解析】 【分析】本题考查了作图-旋转变换、作图-平移变换，解决本题的关键是掌握旋转和平移的性质． （1）根据平移的性质即可将向左平移6个单位长度得到； （2）根据旋转的性质即可将绕点O按逆时针方向旋转得到； （3）根据点O的坐标为，点B的坐标为，即可写出与的对称中心的坐标． 【小问1详解】 解：如图所示； 【小问2详解】 解：如图所示； 【小问3详解】 解：旋转中心． 23. 甲、乙两地相距60km，A骑自行车从甲地到乙地，出发2小时40分钟后，B骑摩托车也从甲地去乙地．已知B的速度是A的速度的3倍，结果两人同时到达乙地．求A，B两人的速度． 【答案】A的速度为15km/h，B的速度为45km/h． 【解析】 【分析】设A的速度为xkm/h，则B的速度为3xkm/h，根据时间＝路程÷速度结合A比B多用了2小时40分钟（2小时），即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【详解】解：设A的速度为xkm/h，则B的速度为3xkm/h， 依题意，得：﹣＝2， 解得：x＝15， 经检验，x＝15是原方程的解，且符合题意， ∴3x＝45． 答：A的速度为15km/h，B的速度为45km/h． 【点睛】此题主要考查分式方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列方程求解． 24. 【类比学习】在八年级上学期，我们学习了全等三角形后，发现有些试题通过构造全等三角形，再利用全等三角形的性质就可以解决这类几何问题．本学期我们学习平行四边形，现在我们一起研究，通过构造平行四边形解决某类几何问题． 例：如图1，在中，，，，，求的值． 通过同学们的思考与交流，归纳以下四种构造平行四边形方法： 思路一：如图2，过点作，可以构造平行四边形，得，，，由勾股定理得，即； 思路二：如图3，过点作； 思路三：如图4，过点作； 思路四：如图5，过点作． 【迁移应用】利用在上述案例中学到的知识与方法，解决以下问题： （1）如图6，、相交于点，，，，，垂足为；求的值； （2）在中，，、分别为线段上一点，，，交于点． ①根据题意在图7上补全图形； ②直接写出度数； ③猜想与的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）； （2）①见解析；②；③，见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，作出正确的辅助线是解题的关键． （1）过点作，交的延长线于点，证明四边形是平行四边形，可得，再利用勾股定理即可解答； （2）①按照题意补全图形即可； ②过点作，且，连接、，证明，得到为等腰直角三角形，即可得到，再证明四边形为平行四边形即可解答； ③根据②的解题过程即可． 【小问1详解】 解：如图1，过点作，交的延长线于点， ，， 四边形是平行四边形， ，． ，， ， ， ； 【小问2详解】 解：①根据题意补全图形，如图2； ②如图，过点作，且，连接、， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形，， ， 四边形为平行四边形， ， ； ③是等腰直角三角形， ， ． 25. 在等腰中，，是的角平分线，过点M作，垂足为N，、将绕点M旋转，使的两边交直线于点E，交直线于点F，请解答下列问题： （1）当绕点M旋转到如图①的位置时，求证：； （2）当绕点M旋转到如图②，图③的位置时，请分别直接写出线段，，之间的数量关系____________；____________． （3）在（1）和（2）的条件下，，，直接写出的长______． 【答案】（1）见解析 （2）， （3）或 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的性质可证，再证明，得出，即可得出结论； （2）仿照（1）的方法即可得出结论； （3）先证明，求出，即可求出，，最后求出，再利用勾股定理求出，然后根据（1）（2）的结论求解即可． 【小问1详解】 ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵是的平分线，，， ∴，， 在四边形中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 如图2，同（1）的方法可证， ∵， ∴； 如图3，同（1）的方可证， ∵， ∴． 故答案为：，； 【小问3详解】 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴①由（1）知，如图1，， ∴． ②由（2）知，如图2，∵ ∴不成立； ③由（2）知，如图3，， ∴， 故答案为：或． 【点睛】此题考查了等腰直角三角形的性质，角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$