第12讲 幂函数-2025年暑假初升高数学衔接知识自学讲义

2025年新高一暑假衔接讲义 授课主题 幂函数 教学目标 1．掌握幂函数的概念以及幂函数的图象与性质； 2．经历自主探究的过程，提高计算能力，分析和解决问题的能力，渗透数形结合，转化的思想； 3．体验数学学科的特点，提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心。 教学重难点 重点：幂函数的概念；幂函数的图象与性质； 难点：应用幂函数的知识解决相关问题． 教学内容 幂函数 一、幂函数的概念 1、幂函数的定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 2、幂函数的特征：（1）xα的系数是1；（2）xα的底数x是自变量；（3）xα的指数α为常数．只有满足这三个条件，才是幂函数．对于形如y＝（2x）α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数． 二、幂函数的图象与性质 1、五个具体的幂函数的图象，当时，可得到五个幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，，在同一直角坐标系中，通过秒点发得到五个幂函数的图象，如下图所示。 2、五个具体幂函数的性质，观察上图，可以得到五个幂函数的性质如下： 函数 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 增函数 在上递增，在上递减 增函数 增函数 在和上递减 过定点 点 三、一般幂函数的性质 1、所有的幂函数在（0，＋∞）上都有定义，并且图象都过点（1,1）； 2、如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞）上单调递增； 3、如果α＜0，那么幂函数的图象在区间（0，＋∞）上单调递减， 在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴， 当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴； 4、在（1，＋∞）上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴． 四、作幂函数图象的步骤 第一步：画出第一象限的部分。幂函数在第一象限内的图象类似于“三个代表”的图象： （1）当时，以为代表，； （2）当时，以为代表； （3）当时，以为代表. 第二步：求幂函数的定义域。幂函数在第二或第三象限内是否有图象，取决于定义域。 第三步：若幂函数在轴左侧有图象，则可以研究函数的奇偶性，根据其奇偶性画出轴左侧的图象。 考点一：幂函数的定义 【例1-1】下列函数是幂函数的是（ ） A． B． C． D． 【例1-2】已知点在幂函数的图象上，则（ ） A． B． C． D． 【变式训练】 1、在函数，中，幂函数的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 2、现有下列函数：①；②；③；④；⑤，其中幂函数的个数为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 3、已知点在幂函数的图象上，则（ ） A． B． C． D． 4、已知幂函数在为增函数，则实数a的值为 . 考点二：幂函数的图象 【例2】幂函数的大致图象是（ ） A． B． C． D． 【变式训练】 1、给定一组函数解析式： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． 如图所示一组函数图象．图象对应的解析式号码顺序正确的是（ ）                 A．⑥③④②⑦①⑤ B．⑥④②③⑦①⑤ C．⑥④③②⑦①⑤ D．⑥④③②⑦⑤① 2、已知幂函数（且p与q互质）的图像如图所示，则（ ） A．p、q均为奇数且 B．p为奇数，q为偶数且 C．p为奇数，q为偶数且 D．p为偶数，q为奇数且 3、右图的曲线是幂函数在第一象限内的图象，已知n分别取，，2四个值，相应的曲线对应的n依次为（ ）    A．，，1，2 B．2，1，， C．，，2， D．2，，， 考点三：幂函数过定点问题 【例3】函数的图象过定点 ． 【变式训练】 1、已知函数（为不等于0的常数）的图象恒过定点P，则P点的坐标为 . 2、函数的图象必经过定点（ ） A． B． C． D． 考点四：比较大小 【例4】比较下列各题中两个幂的值的大小． （1） （2） （3） 【变式训练】 1、已知若，则下列各式中正确的是（ ） A． B． C． D． 2、设，，，则（ ） A． B． C． D． 考点五：幂函数的综合应用 【例5】已知幂函数满足： ①在上为增函数， ②对，都有， 求同时满足①②的幂函数的解析式，并求出时，的值域. 【变式训练】 1、已知幂函数在上是减函数，． （1）求的解析式； （2）若，求实数的取值范围． 2、已知幂函数的图像关于y轴对称. （1）求m的值; （2）若函数求的单调递增区间. 【题型1 判断是否为幂函数】 1、下列函数是幂函数的是（ ） A． B． C． D． 2、下列函数是幂函数的是（ ） A． B． C． D． 【题型2 求幂函数的解析式】 1、已知幂函数的图象过点，则的值为（ ） A． B． C．0 D．1 2、已知幂函数在上为单调增函数，则实数的值为 . 3、若幂函数为奇函数，则该函数的表达式 . 【题型3 幂函数的图象及应用】 1、函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 2、已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是（ ） A． B． C． D． 3、如图，下列3个幂函数的图象，则其图象对应的函数可能是（ ） A．①，②，③ B．①，②，③ C．①，②，③ D．①，②，③ 【题型4 幂函数过定点问题】 1、不论实数取何值，函数恒过的定点坐标是 ． 2、函数恒过定点 ． 3、函数的图象过定点 ． 【题型5 比较幂值的大小】 1、比较下列各组数中两个数的大小. （1）与； （2）与； （3）与 2、若， ，，则a，b，c的大小关系为（ ） A． B． C． D． 3、已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【题型6 幂函数性质的综合应用】 1、已知幂函数在上是减函数. （1）求的解析式； （2）若，求的取值范围. 2、已知幂函数为偶函数， （1）求函数的解析式； （2）若函数在上的最大值为2，求实数的值． 一、梳理本节课内容的思维导图。 二、本节课还存在的疑惑？ — - 1 - — 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年新高一暑假衔接讲义 授课主题 幂函数 教学目标 1．掌握幂函数的概念以及幂函数的图象与性质； 2．经历自主探究的过程，提高计算能力，分析和解决问题的能力，渗透数形结合，转化的思想； 3．体验数学学科的特点，提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心。 教学重难点 重点：幂函数的概念；幂函数的图象与性质； 难点：应用幂函数的知识解决相关问题． 教学内容 幂函数 一、幂函数的概念 1、幂函数的定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 2、幂函数的特征：（1）xα的系数是1；（2）xα的底数x是自变量；（3）xα的指数α为常数．只有满足这三个条件，才是幂函数．对于形如y＝（2x）α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数． 二、幂函数的图象与性质 1、五个具体的幂函数的图象，当时，可得到五个幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，，在同一直角坐标系中，通过秒点发得到五个幂函数的图象，如下图所示。 2、五个具体幂函数的性质，观察上图，可以得到五个幂函数的性质如下： 函数 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 增函数 在上递增，在上递减 增函数 增函数 在和上递减 过定点 点 三、一般幂函数的性质 1、所有的幂函数在（0，＋∞）上都有定义，并且图象都过点（1,1）； 2、如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞）上单调递增； 3、如果α＜0，那么幂函数的图象在区间（0，＋∞）上单调递减， 在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴， 当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴； 4、在（1，＋∞）上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴． 四、作幂函数图象的步骤 第一步：画出第一象限的部分。幂函数在第一象限内的图象类似于“三个代表”的图象： （1）当时，以为代表，； （2）当时，以为代表； （3）当时，以为代表. 第二步：求幂函数的定义域。幂函数在第二或第三象限内是否有图象，取决于定义域。 第三步：若幂函数在轴左侧有图象，则可以研究函数的奇偶性，根据其奇偶性画出轴左侧的图象。 考点一：幂函数的定义 【例1-1】下列函数是幂函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据幂函数的定义：形如，而，符合幂函数的定义,正确. ABD在形式上都不符合幂函数定义，错误.故选：C 【例1-2】已知点在幂函数的图象上，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得：，解得，所以.故选：B. 【变式训练】 1、在函数，中，幂函数的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】∵幂函数y＝xa， ∴是幂函数，不是幂函数，不是幂函数， 不是幂函数，比幂函数的图象多一个点， ∴幂函数的个数为1．故选：B. 2、现有下列函数：①；②；③；④；⑤，其中幂函数的个数为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【解析】由于幂函数的一般表达式为：； 逐一对比可知题述中的幂函数有①；⑤共两个.故选：C. 3、已知点在幂函数的图象上，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数是幂函数， ，即点在幂函数的图象上， 2，即，故.故选：D. 4、已知幂函数在为增函数，则实数a的值为 . 【答案】4 【解析】因为为幂函数， 所以，解得或， 又在为增函数，所以；故答案为：4. 考点二：幂函数的图象 【例2】幂函数的大致图象是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】幂函数定义域为，且， 所以为偶函数，函数图象关于轴对称， 又当时单调递减，则在上单调递增， 故符合题意的只有C，故选：C 【变式训练】 1、给定一组函数解析式： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． 如图所示一组函数图象．图象对应的解析式号码顺序正确的是（ ）                 A．⑥③④②⑦①⑤ B．⑥④②③⑦①⑤ C．⑥④③②⑦①⑤ D．⑥④③②⑦⑤① 【答案】C 【解析】图象（1）关于原点对称，为奇函数，且不过原点、第一象限递减，故满足； 图象（2）关于轴对称，为偶函数，且不过原点、第一象限递减，故满足； 图象（3）非奇非偶函数，且不过原点、第一象限递减，故满足； 图象（4）关于轴对称，为偶函数，且过原点、第一象限递增，故满足； 图象（5）关于原点对称，为奇函数，且过原点、第一象限递增，故满足； 图象（6）非奇非偶函数，且过原点、第一象限递增， 而增长率随增大递减，故满足； 图象（7）非奇非偶函数，且过原点、第一象限递增， 而增长率随增大递增，故满足；故图象对应解析式顺序为⑥④③②⑦①⑤.故选：C 2、已知幂函数（且p与q互质）的图像如图所示，则（ ） A．p、q均为奇数且 B．p为奇数，q为偶数且 C．p为奇数，q为偶数且 D．p为偶数，q为奇数且 【答案】D 【解析】由图像知函数为偶函数，所以p为偶数，且由图像的形状判定， 又因为p与q互质，所以q为奇数，故选：D. 3、右图的曲线是幂函数在第一象限内的图象，已知n分别取，，2四个值，相应的曲线对应的n依次为（ ）    A．，，1，2 B．2，1，， C．，，2， D．2，，， 【答案】B 【解析】函数在第一象限内单调递减，对应的图象为； 对应的图象为一条过原点的直线，对应的图象为； 对应的图象为抛物线，对应的图象应为； 在第一象限内的图象是； 所以与曲线对应的n依次为2，1，，.故选：B 考点三：幂函数过定点问题 【例3】函数的图象过定点 ． 【答案】 【解析】当时，，所以定点为. 【变式训练】 1、已知函数（为不等于0的常数）的图象恒过定点P，则P点的坐标为 . 【答案】 【解析】因为的图象恒过， 所以的图象恒过定点. 2、函数的图象必经过定点（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令,解得,当时,， 所以图象恒过，故选D. 考点四：比较大小 【例4】比较下列各题中两个幂的值的大小． （1） （2） （3） 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）因为在上单调递增，，所以. （2）因为在上单调递减，，所以. （3）因为函数在上的增函数，且， 所以，即：. 【变式训练】 1、已知若，则下列各式中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在单调递增， 因为，则， 所以，故选：C. 2、设，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知，， ， 因为在上是增函数，，所以.故选：D. 考点五：幂函数的综合应用 【例5】已知幂函数满足： ①在上为增函数， ②对，都有， 求同时满足①②的幂函数的解析式，并求出时，的值域. 【答案】， 【解析】因为在上为增函数，所以，解得， 又，所以，或． 又因为，所以是偶函数，所以为偶数． 当时，满足题意； 当时，不满足题意，所以， 又因为在上递增， 所以，， 故时，的值域是． 【变式训练】 1、已知幂函数在上是减函数，． （1）求的解析式； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）根据幂函数的定义和单调性可知：，解得，于是 （2）根据幂函数的单调性，在定义域上单调递减， 由， 即， 于是，解得 2、已知幂函数的图像关于y轴对称. （1）求m的值; （2）若函数求的单调递增区间. 【答案】（1）2；（2）. 【解析】（1）由题意知，解得，或． 又因为的图像关于y轴对称，所以为偶函数，从而． 所以，. （2）由（1）知，， 当时，，对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增． 当时，，对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增． 因此，的单调递增区间为． 【题型1 判断是否为幂函数】 1、下列函数是幂函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】形如（为常数且）为幂函数， 所以，函数为幂函数，函数、、均不是幂函数.故选：C. 2、下列函数是幂函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由幂函数的定义可知，B选项中的函数为幂函数， ACD选项中的函数都不是幂函数.故选：B. 【题型2 求幂函数的解析式】 1、已知幂函数的图象过点，则的值为（ ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【解析】由题意是幂函数，则， 即，将代入可得， 故，故选：C 2、已知幂函数在上为单调增函数，则实数的值为 . 【答案】 【解析】由题意可得，解得.故答案为：. 3、若幂函数为奇函数，则该函数的表达式 . 【答案】 【解析】由为幂函数，得，解得或， 当时，，函数是偶函数，不符合题意， 当时，，函数是奇函数，符合题意， 所以. 【题型3 幂函数的图象及应用】 1、函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由幂函数性质知：的定义域为，且在第一象限内单调递减， ABC错误，D正确.故选：D. 2、已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设幂函数为，则，，得，得， 所以，定义域为，所以排除AD， 因为，所以函数为偶函数，所以排除B，故选：C 3、如图，下列3个幂函数的图象，则其图象对应的函数可能是（ ） A．①，②，③ B．①，②，③ C．①，②，③ D．①，②，③ 【答案】A 【解析】由函数是反比例函数，其对应图象为①； 函数的定义域为，应为图②； 因为的定义域为且为奇函数，故应为图③.故选：A. 【题型4 幂函数过定点问题】 1、不论实数取何值，函数恒过的定点坐标是 ． 【答案】 【解析】因为，故当，即时，， 即函数恒过定点. 2、函数恒过定点 ． 【答案】 【解析】当，即时，，函数恒过定点. 3、函数的图象过定点 ． 【答案】 【解析】幂函数的图象过， 将代入，可得，所以函数的图象过定点. 【题型5 比较幂值的大小】 1、比较下列各组数中两个数的大小. （1）与； （2）与； （3）与 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】（1）函数在上单调递增，而，所以. （2）函数在上单调递减，而，所以. （3）函数在上单调递增，，， 因此，所以. 2、若， ，，则a，b，c的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】幂函数在上单调递增，值域为， 由，则， 又，所以.故选：D 3、已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由于幂函数在上单调递增， 又，，， ，所以，则.故选：D. 【题型6 幂函数性质的综合应用】 1、已知幂函数在上是减函数. （1）求的解析式； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）（2，5）. 【解析】（1）由题意得：根据幂函数的性质可知，即，解得或. 因为在上是减函数，所以，即，则. 故. （2）由（1）可得，设， 则的定义域为，且在定义域上为减函数. 因为，所以解得. 故的取值范围为（2，5）. 2、已知幂函数为偶函数， （1）求函数的解析式； （2）若函数在上的最大值为2，求实数的值． 【答案】（1）；（2）或 【解析】（1）因为为幂函数， 所以，解得或 因为为偶函数，所以， 故的解析式； （2）由（1）知，对称轴为，开口向上， 当即时，，即； 当即时，，即；综上所述：或． 一、梳理本节课内容的思维导图。 二、本节课还存在的疑惑？ — - 1 - — 学科网（北京）股份有限公司 $$