第11讲 函数的奇偶性-2025年暑假初升高数学衔接知识自学讲义

2025年新高一暑假衔接讲义 授课主题 函数的奇偶性 教学目标 1．理解函数奇偶性的概念与几何特征，判断函数的奇偶性； 2．经历自主探究的过程，提高计算能力，分析和解决问题的能力，渗透数形结合，转化的思想； 3．体验数学学科的特点，提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心。 教学重难点 重点：函数奇偶性的概念与几何特征，判断函数的奇偶性； 难点：函数的奇偶性与单调性结合问题，函数奇偶性的判定。 教学内容 函数的奇偶性 一、函数奇偶性的定义 1、奇函数：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数，图象关于原点对称； 2、偶函数：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数，图象关于轴对称。 偶函数的性质：，可避免讨论． 二、判断函数奇偶性的常用方法 1、定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等. 【注意】判断与的关系时，也可以使用如下结论： （1）如果或，则函数为偶函数； （2）如果或，则函数为奇函数． 2、图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称. 考点一：判断函数的奇偶性 【例1】下列函数中，为偶函数的是（ ） A．= B．= C．=+ D．=x+ 【答案】B 【解析】选项A中，函数定义域是，函数没有奇偶性； 选项B中，函数定义域是，，是偶函数； 选项C中，函数定义域是，函数没有奇偶性； 选项D中，函数定义域是，，函数是奇函数．故选：B． 【变式训练】 1、下列函数为奇函数的是（       ） A． B． C． D． 【解析】解：对于A：定义域为，且，所以为偶函数，故A错误； 对于B：定义域为，且，所以为奇函数，故B正确； 对于C：定义域为，且，所以为偶函数，故C错误； 对于D：定义域为，定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数，故D错误，故选：B 2、下列函数既是偶函数又在上单调递减的是（       ） A． B． C． D． 【解析】A项，B项均为定义域上的奇函数，排除； D项为定义域上的偶函数，在单调递增，排除； C项为定义域上的偶函数，且在上单调递减. 故选：C. 考点二：利用奇偶性求函数值 【例2】设为上的奇函数，且当时，，则（ ） A．12 B． C．13 D． 【答案】C 【解析】因为为上的奇函数，所以，， 所以.故选：C 【变式训练】 1、已知函数是定义在上的奇函数，且，则 . 【答案】 【解析】由函数是定义在上的奇函数， 则，， 由，则. 故答案为：. 2、已知与分别是定义在上的奇函数和偶函数，并且，则（ ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解析】分别令取1和-1得， 因为与分别是定义在上的奇函数和偶函数， 所以，解的.故选：C. 考点三：利用奇偶性求参数 【例3】已知是奇函数，则（ ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【解析】由题设，则， 而满足题设. 所以.故选：C 【变式训练】 1、若函数是定义在上的奇函数，则 . 【答案】1 【解析】因为函数是定义在上的奇函数 所以，解得. 因为， 所以，解得. 所以. 2、已知函数是定义在区间上的偶函数，则 ． 【答案】2 【解析】函数是定义在区间上的偶函数， 得，所以，解得， 且定义域关于原点对称，所以，解得， 所以． 3、已知函数是偶函数，其定义域为，则 . 【答案】5 【解析】因为函数是偶函数，其定义域为， 所以，即， 又，即， 则，所以，则． 考点四：利用奇偶性求解析式 【例4-1】已知函数为R上的奇函数，当时，，则当时，的解析式为（ ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】A 【解析】设，则，又.故选：A 【例4-2】已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，则的解析式为 . 【答案】（或） 【解析】根据题意可知，当时，， 则， 又函数是定义在上的偶函数，所以， 因此当时，， 所以的解析式为. 【变式训练】 1、已知奇函数则 ． 【答案】 【解析】当时，，， 则． 2、已知函数是奇函数，是偶函数，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为是奇函数，是偶函数，所以，． 所以，，即， 因此，.故选：D. 3、设为奇函数，且当时，，则当时，（ 　  ） A． B． C． D． 【解析】设，则，所以，又为奇函数，所以， 所以当时，.故选：B. 4、已知函数为在R上的奇函数，且当时，，则当时，（       ） A． B． C． D． 【解析】当时，则，因为是奇函数，所以.故选：D 考点五：利用奇偶性与单调性解不等式 【例5-1】设定义在上的奇函数在区间上单调递减，若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】由于为奇函数，所以， 在区间上单调递减，故在区间上也单调递减， 故在单调递减， 由得， 所以，解得， 故答案为： 【例5-2】已知函数是定义在上的偶函数，若对于任意不等实数，不等式恒成立，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D．或 【答案】C 【解析】函数是定义在上的偶函数，所以， 对于任意不等实数，不等式恒成立， 所以在上单调递减， 所以，解得.故选：C. 【变式训练】 1、已知定义域为的奇函数在单调递减，且，则不等式的解集是 ． 【答案】 【解析】根据题意，为定义在上的奇函数，则， 为奇函数，且，在是减函数， ∴，在内是减函数， 函数图象草图如图，则不等式的解集为；    故答案为：． 2、已知定义在上的偶函数在上是减函数，若，则实数的取值范围 是 . 【答案】 【解析】由于在上是减函数，且为偶函数，所以在上是增函数， 若，则， 平方可得，解得， 故答案为： 【题型1 函数奇偶性的判断】 1、下列函数是奇函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】的定义域为，因为，所以是奇函数，故A正确； 的定义域为，因为，所以不是奇函数，故B错误； 的定义域为，所以既不是奇函数也不是偶函数，故C错误； 的定义域为，因为，所以是偶函数，故D错误.故选：A. 2、函数是（ ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数 【答案】D 【解析】因为， 所以，即，故的定义域为， 显然的定义域不关于原点对称， 故既不是奇函数又不是偶函数.故选：D. 3、函数满足，则下列函数中为奇函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】A：，定义域为，不关于原点对称，不符合； B：，定义域为关于原点对称，且，符合； C：，定义域为，不关于原点对称，不符合； D：，定义域为，不关于原点对称，不符合；故选：B 【题型2 利用奇偶性求函数值】 1、设为上的奇函数，且当时，，则 ． 【答案】 【解析】由是奇函数，则, 所以. 2、已知函数是定义在上的奇函数，若，则 . 【答案】 【解析】因为函数是定义在上的奇函数，且， 所以. 3、已知函数是定义域的奇函数，且，当时，，则＝ . 【答案】2 【解析】因为，取可得， 因为当时， ，所以 因为函数为奇函数，所以，所以. 【题型3 利用奇偶性求参数】 1、若函数在其定义域上是奇函数，则的值为（ ） A． B．3 C．或3 D．不能确定 【答案】B 【解析】函数在其定义域上是奇函数， 由于奇函数定义域关于原点对称，所以， 即，解得或， 由区间定义可知，当时，，不合题意； 当时，，符合题意；可得.故选：B． 2、函数是奇函数，则 . 【答案】 【解析】函数为奇函数， ，，解得， 此时， ， 所以为奇函数，故. 3、若（，且）是奇函数，则 . 【答案】 【解析】由，可得， 因为是奇函数，所以， 所以，解得. 4、已知是定义在上的偶函数，则 . 【答案】 【解析】由于是定义在上的偶函数， 所以， ， 所以， 不恒为，所以， 所以. 【题型4 利用奇偶性求解析式】 1、已知函数为奇函数，且当时，则当时， ． 【答案】 【解析】因为函数为奇函数， 所以当时，. 2、已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则在上的解析式为 . 【答案】 【解析】因为函数是定义在上的奇函数，则， 当时，则，可得， 所以. 故答案为：. 3、若函数是上的偶函数，且当时，，则当时， . 【答案】 【解析】由题意函数是上的偶函数，且当时，， 则当时， 【题型5 利用奇偶性与单调性解不等式】 1、若定义在R的奇函数，若时，则满足的x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，，时，，时，，， 又是奇函数，所以时，，时，，且， 不等式或或，所以或， 综上．故选：D． 2、已知偶函数在区间上单调递增，若满足，则x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为是偶函数，且在区间上单调递增， 所以由得，解得，故选：B. 3、若函数是R上的偶函数，且在区间上是增函数，则下列关系成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵，且在区间上是增函数， ∴．故选：B. 4、设偶函数在区间上单调递减，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，偶函数在区间上单调递减， 则， 结合偶函数的性质可得， 故.故选：C 5、若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为为偶函数，所以， 因为在上是增函数，且， 所以，所以，故选：D 一、梳理本节课内容的思维导图。 二、本节课还存在的疑惑？ — - 1 - — 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年新高一暑假衔接讲义 授课主题 函数的奇偶性 教学目标 1．理解函数奇偶性的概念与几何特征，判断函数的奇偶性； 2．经历自主探究的过程，提高计算能力，分析和解决问题的能力，渗透数形结合，转化的思想； 3．体验数学学科的特点，提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心。 教学重难点 重点：函数奇偶性的概念与几何特征，判断函数的奇偶性； 难点：函数的奇偶性与单调性结合问题，函数奇偶性的判定。 教学内容 函数的奇偶性 一、函数奇偶性的定义 1、奇函数：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数，图象关于原点对称； 2、偶函数：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数，图象关于轴对称。 偶函数的性质：，可避免讨论． 二、判断函数奇偶性的常用方法 1、定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等. 【注意】判断与的关系时，也可以使用如下结论： （1）如果或，则函数为偶函数； （2）如果或，则函数为奇函数． 2、图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称. 考点一：判断函数的奇偶性 【例1】下列函数中，为偶函数的是（ ） A．= B．= C．=+ D．=x+ 【变式训练】 1、下列函数为奇函数的是（       ） A． B． C． D． 2、下列函数既是偶函数又在上单调递减的是（       ） A． B． C． D． 考点二：利用奇偶性求函数值 【例2】设为上的奇函数，且当时，，则（ ） A．12 B． C．13 D． 【变式训练】 1、已知函数是定义在上的奇函数，且，则 . 2、已知与分别是定义在上的奇函数和偶函数，并且，则（ ） A．2 B． C． D． 考点三：利用奇偶性求参数 【例3】已知是奇函数，则（ ） A． B． C．0 D．1 【变式训练】 1、若函数是定义在上的奇函数，则 . 2、已知函数是定义在区间上的偶函数，则 ． 3、已知函数是偶函数，其定义域为，则 . 考点四：利用奇偶性求解析式 【例4-1】已知函数为R上的奇函数，当时，，则当时，的解析式为（ ） A． B． C． D．以上都不对 【例4-2】已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，则的解析式为 . 【变式训练】 1、已知奇函数则 ． 2、已知函数是奇函数，是偶函数，且，则（ ） A． B． C． D． 3、设为奇函数，且当时，，则当时，（ 　  ） A． B． C． D． 4、已知函数为在R上的奇函数，且当时，，则当时，（       ） A． B． C． D． 考点五：利用奇偶性与单调性解不等式 【例5-1】设定义在上的奇函数在区间上单调递减，若，则实数的取值范围是 . 【例5-2】已知函数是定义在上的偶函数，若对于任意不等实数，不等式恒成立，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D．或 【变式训练】 1、已知定义域为的奇函数在单调递减，且，则不等式的解集是 ．    2、已知定义在上的偶函数在上是减函数，若，则实数的取值范围 是 . 【题型1 函数奇偶性的判断】 1、下列函数是奇函数的是（ ） A． B． C． D． 2、函数是（ ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数 3、函数满足，则下列函数中为奇函数的是（ ） A． B． C． D． 【题型2 利用奇偶性求函数值】 1、设为上的奇函数，且当时，，则 ． 2、已知函数是定义在上的奇函数，若，则 . 3、已知函数是定义域的奇函数，且，当时，，则＝ . 【题型3 利用奇偶性求参数】 1、若函数在其定义域上是奇函数，则的值为（ ） A． B．3 C．或3 D．不能确定 2、函数是奇函数，则 . 3、若（，且）是奇函数，则 . 4、已知是定义在上的偶函数，则 . 【题型4 利用奇偶性求解析式】 1、已知函数为奇函数，且当时，则当时， ． 2、已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则在上的解析式为 . 3、若函数是上的偶函数，且当时，，则当时， . 【题型5 利用奇偶性与单调性解不等式】 1、若定义在R的奇函数，若时，则满足的x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2、已知偶函数在区间上单调递增，若满足，则x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3、若函数是R上的偶函数，且在区间上是增函数，则下列关系成立的是（ ） A． B． C． D． 4、设偶函数在区间上单调递减，则（ ） A． B． C． D． 5、若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ） A． B． C． D． 一、梳理本节课内容的思维导图。 二、本节课还存在的疑惑？ — - 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