第8讲 函数的概念-2025年暑假初升高数学衔接知识自学讲义

2025年新高一暑假衔接讲义 授课主题 函数的概念 教学目标 1．了解函数的三要素，会求简单函数的定义域与值域，会用图像法、列表法、解析法表示函数，知道简单的分段函数，并能简单应用； 2．经历自主探究的过程，提高计算能力，分析和解决问题的能力，渗透数形结合，转化的思想； 3．体验数学学科的特点，提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心。 教学重难点 重点：会求简单函数的定义域与值域，用解析法，图像法表示函数； 难点：函数的值域的计算，用图像法表示函数。 教学内容 函数的概念 知识点一：函数的概念 1、初中学习的函数的传统定义 设在一个变化的过程中，有两个变量和，如果给定了一个值，相应地就有唯一确定的一个值与之对应，那么我们就称是的函数，其中是自变量，是因变量.它们描述的是两个变量之间的依赖关系. 2、函数的近代定义 一般地，设，是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数（function），记作，.其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合的子集. 知识点二：函数的三要素 1、定义域：函数的定义域是自变量的取值范围． 2、对应关系：对应关系是函数的核心，它是对自变量实施“对应操作”的“程序”或者“方法”． 3、值域：与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域（range）. 知识点三：函数相等 同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才相等，即是同一个函数. 知识点四：区间的概念 1、区间的概念 设，是实数，且，满足的实数的全体，叫做闭区间， 记作，即，。如图：，叫做区间的端点．在数轴上表示一个区间时，若区间包括端点，则端点用实心点表示；若区间不包括端点，则端点用空心点表示． 集合 区间 2、含有无穷大的表示 全体实数也可用区间表示为，符号“”读作“正无穷大”，“”读作“负无穷大”，即。 集合 区间 考点一：集合与区间的转化 【例1】用区间表示下列集合： （1）； （2）且. 【变式训练】 1．已知集合，，则（       ） A． B． C． D． 2．将下列集合用区间表示出来． （1）； （2）； （3）； （4）或． 考点二：函数关系的判断 【例2-1】下列图形中，不能表示以为自变量的函数图象的是（       ） A． B． C． D． 【例2-2】已知集合，，下列从到的各对应关系不是函数的是________．（填序号） ①；②；③；④ 【变式训练】 1．设集合，，给出如下四个图形，其中能表示从集合到集合的函数关系的是（ ） A． B． C． D． 2．若函数y＝f（x）的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f（x）的图象可能是________． 考点三：同一个函数 【例3】下列函数中与函数表示同一函数的是（       ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．下面各组函数中是同一函数的是（       ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．下列四组函数中，表示相同函数的一组是（       ） A．， B．， C． ， D．， 考点四：函数求值问题 【例4】已知函数， （1）点在的图象上吗？ （2）当时，求的值； （3）当时，求x的值； （4）求的值. 【变式训练】 1．若，则_________. 2．若函数f（x）＝，g（x）＝，则的值为____________. 考点五：求函数的定义域 角度1：求常规函数的定义域 【例5-1】函数的定义域为 _________. 【变式训练】 1．函数的定义域为__________． 2．函数的定义域为________． 角度2：求抽象函数、复合函数的定义域 【例5-2】已知的定义域为， （1）求的定义域； （2）求的定义域 【例5-3】已知函数f（x）的定义域为（－1，0），则函数f（2x＋1）的定义域为________． 【变式训练】 1．已知函数的定义域为，则函数的定义域为___________.（用区间或集合作答） 2．若函数的定义域为，则函数的定义域为___________. 3．若函数的定义域是，则函数的定义域是___________． 4．设的定义域为，则函数的定义域是___________. 5．若函数的定义域是，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________. 考点六：函数的值域 【例6】求下列函数的值域（用区间表示） （1）y=x2-2x+4，①；②； 【变式训练】 1．函数的值域是（       ） A． B． C． D． 2．函数的值域为（ ） A． B． C． D． 一、单选题 1．若函数的定义域M＝{x|}，值域为N＝{y|}，则函数的图象可能是（       ） A． B． C． D． 2．已知函数，则的值是（       ）． A． B．0 C．1 D．20 3．函数的定义域为（       ） A． B． C． D． 4．与函数表示同一函数是（       ） A． B． C． D． 5．已知函数的定义域是，则的定义域是（     ） A． B． C． D． 6．函数f（x）的定义域为R，则实数m的取值范围是（       ） A．（0，1） B．（﹣∞，﹣1] C．[1，+∞） D．（﹣∞，﹣1） 二、多选题 7．下列命题正确的是（       ） A．若函数定义域为，则函数的定义域为 B．，不是同一函数 C．函数的图象与直线的公共点的数目是0个或1个 D．存在函数，满足条件：值域相同，对应关系相同，但定义域不同 三、填空题 8．函数的值域为_______． 四、解答题 9．已知，，求： （1）； （2）； （3）. 10．（1）已知函数，求函数的定义域； （2）若关于的不等式的解集为，求的值. 一、本次课我学到了什么？ 二、本次课我需要更努力的地方？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年新高一暑假衔接讲义 授课主题 函数的概念 教学目标 1．了解函数的三要素，会求简单函数的定义域与值域，会用图像法、列表法、解析法表示函数，知道简单的分段函数，并能简单应用； 2．经历自主探究的过程，提高计算能力，分析和解决问题的能力，渗透数形结合，转化的思想； 3．体验数学学科的特点，提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心。 教学重难点 重点：会求简单函数的定义域与值域，用解析法，图像法表示函数； 难点：函数的值域的计算，用图像法表示函数。 教学内容 函数的概念 知识点一：函数的概念 1、初中学习的函数的传统定义 设在一个变化的过程中，有两个变量和，如果给定了一个值，相应地就有唯一确定的一个值与之对应，那么我们就称是的函数，其中是自变量，是因变量.它们描述的是两个变量之间的依赖关系. 2、函数的近代定义 一般地，设，是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数（function），记作，.其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合的子集. 知识点二：函数的三要素 1、定义域：函数的定义域是自变量的取值范围． 2、对应关系：对应关系是函数的核心，它是对自变量实施“对应操作”的“程序”或者“方法”． 3、值域：与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域（range）. 知识点三：函数相等 同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才相等，即是同一个函数. 知识点四：区间的概念 1、区间的概念 设，是实数，且，满足的实数的全体，叫做闭区间， 记作，即，。如图：，叫做区间的端点．在数轴上表示一个区间时，若区间包括端点，则端点用实心点表示；若区间不包括端点，则端点用空心点表示． 集合 区间 2、含有无穷大的表示 全体实数也可用区间表示为，符号“”读作“正无穷大”，“”读作“负无穷大”，即。 集合 区间 考点一：集合与区间的转化 【例1】用区间表示下列集合： （1）； （2）且. 【答案】（1）（2） （1）由题意， （2）由题意，且且 【变式训练】 1．已知集合，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 因为，， 所以， 故选：A 2．将下列集合用区间表示出来． （1）； （2）； （3）； （4）或． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）. （1）解：用区间表示为； （2）解：用区间表示为； （3）解：用区间表示为； （4）解：或用区间表示为. 考点二：函数关系的判断 【例2-1】下列图形中，不能表示以为自变量的函数图象的是（       ） A． B． C． D． 【答案】B B中，当时，有两个值和对应，不满足函数y的唯一性， A，C，D满足函数的定义，故选：B 【例2-2】已知集合，，下列从到的各对应关系不是函数的是________．（填序号） ①；②；③；④ 【答案】③ ①②④满足函数的定义，所以是函数， 对于③，因为当x＝4时，，所以③不是函数． 故答案为：③ 【变式训练】 1．设集合，，给出如下四个图形，其中能表示从集合到集合的函数关系的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 由函数的定义，集合中的每一个x值，在N={y|0≤y≤2}中都有唯一确定的一个y值与之对应，结合图象得出结论． 从集合M到集合能构成函数关系时，对于集合中的每一个x值，在N={y|0≤y≤2}中都有唯一确定的一个y值与之对应． 图象A不满足条件，因为当时，N中没有y值与之对应． 图象B不满足条件，因为当x=2时，N中没有y值与之对应． 图象C不满足条件，因为对于集合中的每一个x值，在集合N中有2个y值与之对应，不满足函数的定义． 只有D中的图象满足对于集合中的每一个x值，在中都有唯一确定的一个y值与之对应． 2．若函数y＝f（x）的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f（x）的图象可能是________． 【答案】② 根据定义域和值域可排除①④， 对于函数来说，对定义域内任意，都有唯一确定的与其对应，所以③错误. 故答案为：② 考点三：同一个函数 【例3】下列函数中与函数表示同一函数的是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 选项A. 函数的定义域为，和y＝x定义域，对应法则相同，是同一函数． 选项B.．函数的定义域为，和y＝x的对应法则不相同，不是同一函数． 选项C.．函数的定义域为 ，和y＝x的定义域不相同，不是同一函数． 选项D.．函数的定义域，和y＝x的对应法则不相同，不是同一函数． 故选: A． 【变式训练】 1．下面各组函数中是同一函数的是（       ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C A．函数的定义域为，， 两个函数的对应法则不相同，不是同一函数， B．，定义域为，函数的定义域不相同，不是同一函数 C．两个函数的定义域和对应法则相同，是同一函数 D．由得得，由得或，两个函数的定义域不相同，不是同一函数， 故选：C． 2．下列四组函数中，表示相同函数的一组是（       ） A．， B．， C． ， D．， 【答案】C 解：由题意得： 对于选项A：的定义域为，的定义域为，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故A错误； 对于选项B：的定义域为，的定义域为，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故B错误； 对于选项C：的定义域为，的定义域为，这两函数的定义域相同，且对应关系也相同，所以表示相同的函数，故C正确； 对于选项D：的定义域为，的定义域为或，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故D错误. 故选：C 考点四：函数求值问题 【例4】已知函数， （1）点在的图象上吗？ （2）当时，求的值； （3）当时，求x的值； （4）求的值. 【答案】（1）不在（2）（3）14（4） （1）将x=3代入解析式得，故点（3，4）不在函数图像上； （2）将x=4代入函数解析式得 ； （3）若，则 ，解得x=14； （4） ， . 【变式训练】 1．若，则_________. 【答案】##-1.5 由题意得.故答案为： 2．若函数f（x）＝，g（x）＝，则的值为____________. 【答案】 【解析】.故答案为： 考点五：求函数的定义域 角度1：求常规函数的定义域 【例5-1】函数的定义域为 _________. 【答案】 解：由题可得，解得，，且； 的定义域为：． 故答案为：. 【变式训练】 1．函数的定义域为__________． 【答案】 由题意，解得且，所以定义域为． 故答案为：． 2．函数的定义域为________． 【答案】 由，得，， 解得， 所以函数的定义域为 故答案为： 角度2：求抽象函数、复合函数的定义域 【例5-2】已知的定义域为， （1）求的定义域； （2）求的定义域 【答案】（1）（3，5）；（2）. 【解析】（1）的定义域为，，则，即的定义域为； （2）的定义域为；由得，即的定义域为． 【例5-3】已知函数f（x）的定义域为（－1，0），则函数f（2x＋1）的定义域为________． 【答案】 【解析】由－1<2x＋1<0，得－1<x<－，所以函数f（2x＋1）的定义域为 【变式训练】 1．已知函数的定义域为，则函数的定义域为___________.（用区间或集合作答） 【答案】## 由题设，，可得， ∴的定义域为. 故答案为： 2．若函数的定义域为，则函数的定义域为___________. 【答案】 因为，所以，所以的定义域为， 要使有意义，需满足，解得. 故答案为： 3．若函数的定义域是，则函数的定义域是___________． 【答案】 因为函数的定义域是，所以， 可得，解得， 所以函数的定义域是． 故答案为： 4．设的定义域为，则函数的定义域是___________. 【答案】 【解析】∵函数的定义域为， ∴函数满足， 解不等式，得，即函数的定义域是，故选A 5．若函数的定义域是，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 因为函数的定义域是， 所以. 故选：D. 6．已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________. 【答案】 函数的定义域为，即，所以， 所以，即， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 考点六：函数的值域 【例6】求下列函数的值域（用区间表示） （1）y=x2-2x+4，①；②； 【答案】（1）[7，28] [3，12]；（2）；（3）（-∞，1）∪（1，+∞）． 【变式训练】 1．函数的值域是（       ） A． B． C． D． 【答案】A ， ，即函数的值域为.故选：A. 2．函数的值域为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 解：设， 则原函数可化为. 又∵， ∴，故， ∴的值域为. 故选：A. 一、单选题 1．若函数的定义域M＝{x|}，值域为N＝{y|}，则函数的图象可能是（       ） A． B． C． D． 【答案】B A中定义域是{x|－2≤x≤0}，不是M＝{x|－2≤x≤2}，故错误； C中图象不表示函数关系，因为存在一个对应两个，不满足函数定义； D中值域不是N＝{y|0≤y≤2}. 只有中的定义域和值域满足题意，且表示函数关系，符合题意. 故选：B. 2．已知函数，则的值是（       ）． A． B．0 C．1 D．20 【答案】B ， 则 故选：B 3．函数的定义域为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 要是函数有意义，必须，解之得 则函数的定义域为 故选：D 4．与函数表示同一函数是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 对于，函数，与函数的定义域不同，不是同一函数； 对于B，函数，与函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数； 对于C，函数，与函数的定义域相同，但对应关系不同，不是同一函数； 对于D，函数，与函数的定义域不相同，不是同一函数． 故选：B 5．已知函数的定义域是，则的定义域是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 因函数的定义域是，即中，则， 因此，有意义，必有，解得， 所以的定义域是. 故选：D 6．函数f（x）的定义域为R，则实数m的取值范围是（       ） A．（0，1） B．（﹣∞，﹣1] C．[1，+∞） D．（﹣∞，﹣1） 【答案】B f（x）的定义域是R，则恒成立， 即恒成立，则，解得， 所以实数m的取值范围为. 故选：B. 二、多选题 7．下列命题正确的是（       ） A．若函数定义域为，则函数的定义域为 B．，不是同一函数 C．函数的图象与直线的公共点的数目是0个或1个 D．存在函数，满足条件：值域相同，对应关系相同，但定义域不同 【答案】ACD 对A，由可得，所以函数的定义域为，A正确； 对B，函数和的定义域都为，对应关系也一样，所以它们是同一函数，B错误； 对C，根据函数的定义可知，对，函数最多只有一个值与之对应，所以函数的图象与直线的公共点的数目是0个或1个，C正确； 对D，比如函数，满足值域相同，对应关系相同，但定义域不同． 故选：ACD． 三、填空题 8．函数的值域为_______． 【答案】 因为 所以，所以值域为故答案为： 四、解答题 9．已知，，求： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1）-23；-1（2）-20；-51（3）8x2-46x+40；4x2-6x-55 （1）解：=2×22-3×2-25=-23；=2×2-5=-1； （2）=f（-1）=2×（-1）2-3×（-1）-25=-20；=g（-23）=2×（-23）-5=-51； （3）=f（2x-5）=2×（2x-5）2-3×（2x-5）-25=8x2-46x+40； =g（2x2-3x-25）=2×（2x2-3x-25）-5=4x2-6x-55. 10．（1）已知函数，求函数的定义域； （2）若关于的不等式的解集为，求的值. 【答案】（1）；（2）. （1）由有意义，则满足， 解得或，即函数的定义域为. （2）由关于的不等式的解集为， 即和是方程的两个实数根，且， 可得，解得，所以. 一、本次课我学到了什么？ 二、本次课我需要更努力的地方？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$