第6讲 等式性质与不等式性质讲义-2025年暑假初升高数学衔接知识自学

2025年新高一暑假衔接讲义 授课主题 等式性质与不等式性质 教学目标 1.理解等式的性质与不等式的性质,会进行应用,熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题; 2.经历自主探究的过程,提高计算能力,分析和解决问题的能力,渗透数形结合,转化的思想; 3.体验数学学科的特点,提高学习数学的兴趣,树立学好数学的信心。 教学重难点 重点:基本不等式的证明过程,利用基本不等式求函数的最值问题; 难点:利用基本不等式求解实际应用问题。 教学内容 等式性质与不等式性质 知识点一:等式的性质 (1) 性质1 如果a=b,那么b=a; (2) 性质2 如果a=b,b=c,那么a=c; (3) 性质3 如果a=b,那么a c=b c; (4) 性质4 如果a=b,那么ac=bc; (5) 性质5 如果a=b,c≠0,那么=. 知识点二:不等式的性质 1、实数大小的比较 (1)作差法: ①;②;③ (2)作商法:作商、变形、判断商与1的大小、得出结论. 2、不等式的性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 (等价于) 传递性 (推出) 可加性 (等价于 可乘性 注意c的符号(涉及分类讨论的思想) 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 a,b同为正数 可开方性 【题型1 利用不等式的性质判断正误】 【例1-1】下列四个命题: ①若a>|b|,则a2>b2 ②若a>b,c>d,则a﹣c>b﹣d ③若a>b,c>d,则ac>bd ④若a>b>0,c<0,则 其中正确命题的个数有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【分析】①由a>|b|,利用不等式的性质可得a2>b2; ②由a>b,c>d,利用不等式的性质可得a+c>b+d,即可判断a﹣c>b﹣d是否正确; ③取a=2,b=1,c=﹣2,d=﹣3,满足a>b,c>d,即可判断出; ④由a>b>0,c<0,利用不等式的性质可得,﹣c>0,于是,因此. 【解答】解:①∵a>|b|,∴a2>b2,故正确; ②∵a>b,c>d,∴a+c>b+d,因此a﹣c>b﹣d不正确; ③取a=2,b=1,c=﹣2,d=﹣3,满足a>b,c>d,但是ac=﹣4<bd=﹣3,故不正确; ④∵a>b>0,c<0,∴,﹣c>0, ∴,∴,故正确. 综上可知:只有①④正确. 故选:B. 【例1-2】对于任意实数a,b,c,则下列四个命题: ①若,,则; ②若,则; ③若,则; ④若,则. 其中正确命题的个数为( ) A.3 B.2 C.1 D.0 【答案】C 【解析】时,若,则,①错误; 若,则,②错误; 若,则,∴,③正确; ,若,仍然有,④错误. 正确的只有1个.故选:C. 【变式1-1】下列不等式中,正确的是( ) A.若a>b,则a2>b2 B.若a>b,则c﹣a<c﹣b C.若a>b,c>d,e>f,则ace>bdf D.若a>b,c>d,e>f,则 【分析】根据不等式的性质只能判断选项B正确,得不出其它选项正确,然后可举反例说明其它选项都错误. 【解答】解:A.a>b得不出a2>b2,比如a=2,b=﹣3,∴该选项错误; B.∵a>b,∴﹣a<﹣b,∴c﹣a<c﹣b.该选项正确; C.a>b,c>d,e>f得不出ace>bdf,比如,a=1,b=﹣2,c=2,d=﹣3,e=2,f=1,∴该选项错误; D.a>b,c>d,e>f得不出,比如,a=1,b=﹣6,c=1,d=﹣2,e=6,f=1. 故选:B. 【变式1-2】(多选题)对于任意实数a,b,c,d,则下列命题正确的是( ) A.若ac2>bc2,则a>b B.若a>b,c>d,则a+c>b+d C.若a>b,c>d,则ac>bd D.若a>b,则 【答案】A B 【解答】解:若ac2>bc2,则a>b,A对, 由不等式同向可加性,若a>b,c>d,则a+c>b+d,B对, 当令a=2,b=1,c=﹣1,d=﹣2,则ac=bd,C错, 令a=﹣1,b=﹣2,则,D错.故选:AB. 【题型2 利用作差法比较大小】 【例2】设,比较与的大小 【答案】 【解析】,,. 两数作商,. 【变式2-1】若a>b>0,m>0,n>0,则,,,按由小到大的顺序排列为( ) A. B. C. D. 【分析】利用作差比较法,分别计算它们的差,与0 比较,即可得到结论. 【解答】解:, ∵a>b>0,m>0,n>0, ∴0, ∴, ∵, ∵a>b>0,m>0,n>0, ∴0, ∴0, ∴, , ∵a>b>0,n>0, ∴0, ∴, 综上可知,, 故选:A. 【变式2-2】已知,则_.(用“>”或“<”填空) 【答案】> 因为, 又,,所以,所以, 故答案为:>. 【变式2-3】已知0<a,且M,N,则M,N的大小关系是( ) A.M>N B.M<N C.M=N D.不能确定 【分析】直接利用代数式的运算的应用和数的大小比较的应用求出结果. 【解答】解:由于0<a,所以0<ab<1.即1﹣ab>0. 所以M﹣N0. 所以M>N, 故选:A. 【题型3 利用不等式的性质证明不等式】 【例3】(1)a<b<0,求证:; (2)已知a>b,,求证:ab>0. 【分析】(1)由a<b<0,可得b2<a2,又ab>0,即可证明结论. (2)由a>b,,假设ab<0,可得a<0<b,与a>b矛盾,即可证明结论. 【解答】证明:(1)∵a<b<0,∴b2<a2,又ab>0,∴. (2)∵a>b,, 若ab<0,则a<0<b,与a>b矛盾,舍去. ∴ab>0. 【变式3-1】已知a>b>0,d<c<0,用不等式性质证明:. 【分析】利用不等式的各种性质进行推理和证明.先将d<c<0,变为﹣d>﹣c>0,然后利用正号不等式可以同时相乘的性质取证明. 【解答】解:因为a>b>0,所以. 因为d<c<0,所以﹣d>﹣c>0,所以, 所以,即, 所以成立. 【变式3-2】(1)已知,求证:; (2)已知,求证:; (3)已知,求证:. 【解析】证明:(1)因为,所以.则. (2)因为,所以.又因为,所以,即,因此. (3)因为,根据(2)的结论,得. 又因为,则 ,即. 【题型4 利用不等式的性质求取值范围】 【例4】设2<a<3,﹣4<b<﹣3,求a+b,a﹣b,,ab,的取值范围. 【分析】根据不等式的性质进行运算即可得到结论. 【解答】解:∵2<a<3,﹣4<b<﹣3, ∴3<﹣b<4,, ∴﹣2<a+b<0, 5<a﹣b<7, ∵, ∴1, 即﹣1, ∵6<﹣ab<12, ∴﹣12<ab<﹣6, ∵9<b2<16,, ∴38, 综上:﹣2<a+b<0,5<a﹣b<7,﹣1,﹣12<ab<﹣6,38. 【变式4-1】已知,,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】A 因为,所以, 由,得. 故选:A. 【变式4-2】已知﹣1<a+b<3,且2<a﹣b<4,那么2a+3b的取值范围是 . 【分析】把2a+3b设为m(a+b)+n(a﹣b),解出m,n,回代,然后利用不等式的性质,求出2a+3b的取值范围. 【解答】解:2a+3b=m(a+b)+n(a﹣b), ∴∴m,n.∴2a+3b(a+b)(a﹣b). ∵﹣1<a+b<3,2<a﹣b<4,∴(a+b),﹣2(a﹣b)<﹣1, ∴(a+b)(a﹣b)即2a+3b. 故答案为:2a+3b. 【变式4-3】设,,求,,的范围. 【答案】,, ∵,, ∴,,,, ∴,, ∴. 故,,. 一、单选题 1.若,,则( ) A. B. C. D. 【答案】D 对于选项A:当时,不等式,故A不正确;对于选项B:当时,,故B不正确; 对于选项C:当时,,故C不正确;对于选项D:因为,所以,故D正确. 故选:D. 2.设,,,则P、Q的大小为( ) A. B. C. D. 【答案】A 解:因为,,所以, 所以; 故选:A 3.若a,b,c为实数,且,则下列不等关系一定成立的是( ) A. B. C. D. 【答案】D A:当时,显然不成立; B:当时,显然没有意义; C:当时,显然不成立; D:根据不等式的性质,由能推出, 故选:D 二、多选题 4.若,,则一定有( ) A. B. C. D. 【答案】ABD 对A,由,故A正确; 对B,,故B正确; 对D,由,又,故D正确; 故选:ABD 5.已知,,,则下列等式不可能成立的是( ) A. B. C. D. 【答案】ABC A:由,则,可得,,故错误; B:由题设,得:,当且仅当时取等号,此时的最大值为,故错误; C:由,当且仅当时取等号,故错误; D:若,又,解得,显然满足条件,故正确. 故选:ABC. 三、解答题 6.(1)已知,,求和的取值范围; (2)已知,,求的取值范围. 【答案】(1),;(2). (1), 又, , 又, (2)设,得 即 而, 7.若,,,比较,,的大小. 【答案】. 详解:∵,,, ∴ ,即, ,即, 综上可得:. 8.已知,,求,的取值范围. 【解析】∵,, ∴,. ∴, 即. 又,∴, ∴. 9.若,,求证:. 【解析】证明:, , , . 10.已知,比较与的大小. 【解析】因为, . 所以. 所以, 即. 11.已知,. ( )证明:; ( )证明:. 【解析】( )由a>b>c>d>0得a-d>b-c>0,即(a-d)2>(b-c)2, 由ad=bc得(a-d)2+4ad>(b-c)2+4bc,即(a+d)2>(b+c)2,故a+d>b+c. ( ). 因为,所以,故.同理,. 从而.即 12.已知x,y,z是互不相等的正数,且x+y+z=1,求证:(1)(1)(1)>8. 【解析】∵x+y+z=1,x、y、z是互不相等的正实数, ∴(1)(1)(1)8. ∴(1)(1)(1)>8 一、本次课我学到了什么? 二、本次课我需要更努力的地方? 1 学科网(北京)股份有限公司 $$2025年新高一暑假衔接讲义 授课主题 等式性质与不等式性质 教学目标 1.理解等式的性质与不等式的性质,会进行应用,熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题; 2.经历自主探究的过程,提高计算能力,分析和解决问题的能力,渗透数形结合,转化的思想; 3.体验数学学科的特点,提高学习数学的兴趣,树立学好数学的信心。 教学重难点 重点:基本不等式的证明过程,利用基本不等式求函数的最值问题; 难点:利用基本不等式求解实际应用问题。 教学内容 等式性质与不等式性质 知识点一:等式的性质 (1) 性质1 如果a=b,那么b=a; (2) 性质2 如果a=b,b=c,那么a=c; (3) 性质3 如果a=b,那么a c=b c; (4) 性质4 如果a=b,那么ac=bc; (5) 性质5 如果a=b,c≠0,那么=. 知识点二:不等式的性质 1、实数大小的比较 (1)作差法: ①;②;③ (2)作商法:作商、变形、判断商与1的大小、得出结论. 2、不等式的性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 (等价于) 传递性 (推出) 可加性 (等价于 可乘性 注意c的符号(涉及分类讨论的思想) 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 a,b同为正数 可开方性 【题型1 利用不等式的性质判断正误】 【例1-1】下列四个命题: ①若a>|b|,则a2>b2 ②若a>b,c>d,则a﹣c>b﹣d ③若a>b,c>d,则ac>bd ④若a>b>0,c<0,则 其中正确命题的个数有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【例1-2】对于任意实数a,b,c,则下列四个命题: ①若,,则; ②若,则; ③若,则; ④若,则. 其中正确命题的个数为( ) A.3 B.2 C.1 D.0 【变式1-1】下列不等式中,正确的是( ) A.若a>b,则a2>b2 B.若a>b,则c﹣a<c﹣b C.若a>b,c>d,e>f,则ace>bdf D.若a>b,c>d,e>f,则 【变式1-2】(多选题)对于任意实数a,b,c,d,则下列命题正确的是( ) A.若ac2>bc2,则a>b B.若a>b,c>d,则a+c>b+d C.若a>b,c>d,则ac>bd D.若a>b,则 【题型2 利用作差法比较大小】 【例2】设,比较与的大小 【变式2-1】若a>b>0,m>0,n>0,则,,,按由小到大的顺序排列为( ) A. B. C. D. 【变式2-2】已知,则_.(用“>”或“<”填空) 【变式2-3】已知0<a,且M,N,则M,N的大小关系是( ) A.M>N B.M<N C.M=N D.不能确定 【题型3 利用不等式的性质证明不等式】 【例3】(1)a<b<0,求证:; (2)已知a>b,,求证:ab>0. 【变式3-1】已知a>b>0,d<c<0,用不等式性质证明:. 【变式3-2】(1)已知,求证:; (2)已知,求证:; (3)已知,求证:. 【题型4 利用不等式的性质求取值范围】 【例4】设2<a<3,﹣4<b<﹣3,求a+b,a﹣b,,ab,的取值范围. 【变式4-1】已知,,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 【变式4-2】已知﹣1<a+b<3,且2<a﹣b<4,那么2a+3b的取值范围是 . 【变式4-3】设,,求,,的范围. 一、单选题 1.若,,则( ) A. B. C. D. 2.设,,,则P、Q的大小为( ) A. B. C. D. 3.若a,b,c为实数,且,则下列不等关系一定成立的是( ) A. B. C. D. 二、多选题 4.若,,则一定有( ) A. B. C. D. 5.已知,,,则下列等式不可能成立的是( ) A. B. C. D. 三、解答题 6.(1)已知,,求和的取值范围; (2)已知,,求的取值范围. 7.若,,,比较,,的大小. 8.已知,,求,的取值范围. 9.若,,求证:. 10.已知,比较与的大小. 11.已知,. ( )证明:; ( )证明:. 12.已知x,y,z是互不相等的正数,且x+y+z=1,求证:(1)(1)(1)>8. 一、本次课我学到了什么? 二、本次课我需要更努力的地方? 1 学科网(北京)股份有限公司 $$