第5讲 常用的逻辑用语-2025年暑假初升高数学衔接知识自学讲义

2025年新高一暑假衔接讲义 授课主题 常用的逻辑用语 教学目标 1．理解充分条件、必要条件与充要条件的意义； 2．结合具体命题掌握判断充分条件、必要条件、充要条件的方法； 3．能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定，能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定。 教学重难点 重点：掌握充分必要条件的概念，掌握全称量词命题和存在量词命题真假的判定； 难点：判断条件与结论之间的充分、必要性，对全称量词命题与存在量词命题真假的判定。 教学内容 常用的逻辑用语 知识点一：充分必要条件 1. 命题的概念及结构 （1）一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题． （2）当命题表示为“若p，则q”时，p是命题的条件，q是命题的结论． 2. 充分条件与必要条件 一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可以推出q，记作p⇒q，并且说，p是q的充分条件（sufficient condition），q是p的必要条件（necessary condition）． 如果“若p，则q”为假命题，那么由条件p不能推出结论q，记作pq.此时，我们就说p不是q的充分条件， q不是p的必要条件． 命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题 推出关系 p⇒q pq 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 3．充要条件 如果既有p⇒q，又有q⇒p，则可以记作p⇔q，这时称p是q的充分必要条件，简称充要条件． p与q互为充要条件时，也称“p等价于q”“q当且仅当p”等． 4．充分、必要、充要条件的判断方法 （1）定义法 若p⇒q，qp，则p是q的充分不必要条件； 若pq，q⇒p，则p是q的必要不充分条件； 若p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件； 若pq，qp，则p是q的既不充分也不必要条件． （2）集合法 对于集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，具体情况如下： 若A⊆B，则p是q的充分条件； 若A⊇B，则p是q的必要条件； 若A＝B，则p是q的充要条件； 若AB，则p是q的充分不必要条件； 若AB，则p是q的必要不充分条件．　 知识点二：全称量词与存在量词 1．全称量词与全称量词命题 （1）短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示，含有全称量词的命题，叫做全称量词命题． （2）全称量词命题的表述形式：对M中任意一个x，有p（x）成立，可简记为：∀x∈M，p（x）． （3）常用的全称量词还有“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”，表示整体或全部的含义． 2．存在量词与存在量词命题 （1）短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示，含有存在量词的命题，叫做存在量词命题． （2）存在量词命题的表述形式：存在M中的一个x0，使p（x0）成立，可简记为，∃x0∈M，p（x0）． （3）存在量词：“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”，表示个别或一部分的含义． 3．命题的否定 （1）全称命题p：∀x∈M，p（x），它的否定¬p：∃x0∈M，¬p（x0），全称量词命题的否定是存在量词命题． （2）存在量词命题p：∃x0∈M，p（x0），它的否定¬p：∀x∈M，¬p（x），存在量词命题的否定是全称量词命题． 4．常见的命题的否定形式有： 原语句 是 都是 > 至少有 一个 至多有 一个 对任意x∈A 使p（x）真 否定 形式 不是 不都是 ≤ 一个也 没有 至少有 两个 存在x∈A 使p（x）假 考点一：充分条件、必要条件的判断 【例1-1】设集合，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【答案】A 【解析】当，集合，，所以正确，即“”是“”的充分条件，所以正确选项为A. 【例1-2】设，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】化简不等式，可知 推不出；由能推出， 故“”是“”的必要不充分条件，故选B． 【变式训练】 1、已知：，：，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】 q：x2＋x－2＞0x＜－2或x＞1，令，或， 因为是的真子集，故p是q的充分不必要条件， 故选：A． 2、设，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】，解得， ，解得或， “”成立，则“或”成立， 而“或”成立，“”不一定成立， 所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A 3、已知，则“”是“”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 对于不等式，可解得或. 所以可以推出，而不可以推出. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4、设，则“”是“”成立的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B ，解得：， ，解得：， 因为，而， 所以“”是“”成立的必要不充分条件. 故选：B 5、不等式成立的一个充分不必要条件是（ ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【解析】解不等式，得或， 结合四个选项，D是其充要条件，AB是其既不充分也不必要条件，C选项是其充分不必要条件.故选：C. 考点二：求参数取值范围 【例2-1】若“”是““的充分不必要条件，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】因为“”是“”的充分不必要条件， ∴． 故答案为：． 【例2-2】已知 ，，且是的充分不必要条件，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知：可化简为，， 所以中变量取值的集合是中变量取值集合的真子集，所以. 【例2-3】“关于x的不等式的解集为R”的一个必要不充分条件是（ ） A． B． C． D．或 【答案】C 【解析】因为关于的不等式的解集为， 所以函数的图象始终落在轴的上方， 即，解得， 因为要找其必要不充分条件，从而得到是对应集合的真子集， 对比可得C选项满足条件，故选C. 【变式训练】已知，p：，q：，若p是q成立的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 由p：，设 设满足q：的集合为 由p是q成立的充分不必要条件，则集合是集合的真子集 所以，解得 当时，，此时不满足条件 所以 故选：B 考点三：全称量词命题与存在量词命题的真假判断 【例3】指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假. （1）∀x∈N，2x＋1是奇数； （2）存在一个x∈R，使＝0； （3）对任意实数a，|a|＞0； 【答案】（1）是全称量词命题；是真命题；（2）是存在量词命题；是假命题；（3）是全称量词命题；是假命题. 【解析】（1）是全称量词命题.因为都是奇数，所以该命题是真命题. （2）是存在量词命题.因为不存在，使成立，所以该命题是假命题. （3）是全称量词命题.因为，所以不都成立，因此，该命题是假命题. 【变式训练】 1、判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，然后写出对应的否定命题，并判断真假： （1）不论取何实数，关于的方程必有实数根； （2）所有末位数字是0或5的整数都能被5整除； （3）某些梯形的对角线互相平分； （4）函数图象恒过原点. 【答案】见解析 【解析】（1）即“所有，关于的方程都有实数根”，是全称量词命题，其否定为“存在实数，使得方程没有实数解”，真命题； （2）是全称量词命题，其否定为“存在末位数字是0或5的整数不能被5整除”，假命题； （3）是存在量词命题，其否定为“所有梯形的对角线不互相平分”，真命题； （4）即“所有，函数图象都过原点”，是全称量词命题，其否定为“存在实数，使函数图象不过原点”，是假命题. 2、用符号“”与“”表示下列含有量词的命题，并判断真假： （1）任意实数的平方大于或等于0； （2）对任意实数a，二次函数的图象关于y轴对称； （3）存在整数x，y，使得； （4）存在一个无理数，它的立方是有理数. 【解析】（1），是真命题； （2），二次函数的图象关于y轴对称，真命题，； （3）假命题，因为必为偶数； （4）.真命题，例如. 考点四：全称量词命题与存在量词命题的否定 【例4-1】命题“”的否定是 ． 【答案】 命题“”是全称量词命题，其否定是“”. 故答案为： 【例4-2】命题：的否定为 ． 【答案】 命题：是存在量词命题，其否定是全称量词命题， 所以命题：的否定是：. 故答案为： 【变式训练】 1、命题“，”的否定是 ． 【答案】“，” 解：因为命题“，”是全称量词命题， 所以其否定是存在量词命题，即 “，”， 故答案为：“，” 2、命题“”的否定为 ． 【答案】 解：命题“，”的否定为“，”. 故答案为：，. 3、曲线，，则为 ． 【答案】， 命题“R，”的否定为： “R，”. 故答案为：R，. 考点五：存在量词命题、全称量词命题求参数的取值范围 【例5】若命题“使”是假命题，则实数的取值范围为_______． 【答案】 解：因为命题“使”是假命题 所以“使”是真命题， 所以当，即时，不等式成立； 当时，则需满足，解得 综上，实数a的取值范围为 故答案为： 【变式训练】 1、若命题“”是假命题，则实数a的取值范围的解集是 ． 【答案】 由命题“”是假命题，可得命题“”是真命题， 根据二次函数的性质，可得，即，解得， 所以实数a的取值范围的解集是. 故答案为：. 2、已知命题p：，若命题P为假命题，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 根据题意，恒成立，所以. 故答案为：. 1、设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 答案　B 解析　由2－x≥0，得x≤2，由|x－1|≤1，得0≤x≤2. 当x≤2时不一定有0≤x≤2， 而当0≤x≤2时一定有x≤2， ∴“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要不充分条件． 2、已知，则是的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由题意或或， 由“或”不能推出“”； 由“”可推出“或”； 故是的必要不充分条件.故选：B. 3、“函数y＝x2－2ax＋a的图象在x轴的上方”是“0≤a≤1”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 答案　A 解析　函数y＝x2－2ax＋a的图象在x轴的上方， 则Δ＝4a2－4a<0，解得0<a<1， 由集合的包含关系可知选A. 4、已知，，如果的充分条件是，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【解析】“的充分条件是”，即是的充分条件，得，即，得，所以答案为“”. 5、已知命题p：a≤x≤a＋1，命题q：x2－4x<0，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________． 【答案】 【解析】令M＝{x|a≤x≤a＋1}，N＝{x|x2－4x<0}＝{x|0<x<4}． ∵p是q的充分不必要条件，∴M⫋N，∴，解得0<a<3.故填 6、已知，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围 . 【答案】 【解析】解出， 因为是的必要不充分条件，所以B是A的真子集. 所以故答案为： 7、命题“，”的否定形式是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】命题的否定为：改为，改为，故否定形式为，，故选D. 8、已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为命题“，使”是假命题，所以恒成立，所以，解得，故实数的取值范围是．故选B． 9、“，使得方程有两个不同的实数解”是真命题，则集合_________； 【答案】 【解析】方程有两个不同的实数解，当时，方程只有一个解，不符合条件，所以且，解得，所以答案为. 10、“，都有恒成立”是真命题，则实数的取值范围是____________； 【答案】 一、本次课我学到了什么？ 二、本次课我需要更努力的地方？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年新高一暑假衔接讲义 授课主题 常用的逻辑用语 教学目标 1．理解充分条件、必要条件与充要条件的意义； 2．结合具体命题掌握判断充分条件、必要条件、充要条件的方法； 3．能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定，能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定。 教学重难点 重点：掌握充分必要条件的概念，掌握全称量词命题和存在量词命题真假的判定； 难点：判断条件与结论之间的充分、必要性，对全称量词命题与存在量词命题真假的判定。 教学内容 常用的逻辑用语 知识点一：充分必要条件 1. 命题的概念及结构 （1）一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题． （2）当命题表示为“若p，则q”时，p是命题的条件，q是命题的结论． 2. 充分条件与必要条件 一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可以推出q，记作p⇒q，并且说，p是q的充分条件（sufficient condition），q是p的必要条件（necessary condition）． 如果“若p，则q”为假命题，那么由条件p不能推出结论q，记作pq.此时，我们就说p不是q的充分条件， q不是p的必要条件． 命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题 推出关系 p⇒q pq 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 3．充要条件 如果既有p⇒q，又有q⇒p，则可以记作p⇔q，这时称p是q的充分必要条件，简称充要条件． p与q互为充要条件时，也称“p等价于q”“q当且仅当p”等． 4．充分、必要、充要条件的判断方法 （1）定义法 若p⇒q，qp，则p是q的充分不必要条件； 若pq，q⇒p，则p是q的必要不充分条件； 若p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件； 若pq，qp，则p是q的既不充分也不必要条件． （2）集合法 对于集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，具体情况如下： 若A⊆B，则p是q的充分条件； 若A⊇B，则p是q的必要条件； 若A＝B，则p是q的充要条件； 若AB，则p是q的充分不必要条件； 若AB，则p是q的必要不充分条件．　 知识点二：全称量词与存在量词 1．全称量词与全称量词命题 （1）短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示，含有全称量词的命题，叫做全称量词命题． （2）全称量词命题的表述形式：对M中任意一个x，有p（x）成立，可简记为：∀x∈M，p（x）． （3）常用的全称量词还有“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”，表示整体或全部的含义． 2．存在量词与存在量词命题 （1）短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示，含有存在量词的命题，叫做存在量词命题． （2）存在量词命题的表述形式：存在M中的一个x0，使p（x0）成立，可简记为，∃x0∈M，p（x0）． （3）存在量词：“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”，表示个别或一部分的含义． 3．命题的否定 （1）全称命题p：∀x∈M，p（x），它的否定¬p：∃x0∈M，¬p（x0），全称量词命题的否定是存在量词命题． （2）存在量词命题p：∃x0∈M，p（x0），它的否定¬p：∀x∈M，¬p（x），存在量词命题的否定是全称量词命题． 4．常见的命题的否定形式有： 原语句 是 都是 > 至少有 一个 至多有 一个 对任意x∈A 使p（x）真 否定 形式 不是 不都是 ≤ 一个也 没有 至少有 两个 存在x∈A 使p（x）假 考点一：充分条件、必要条件的判断 【例1-1】设集合，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【例1-2】设，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练】 1、已知：，：，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2、设，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3、已知，则“”是“”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4、设，则“”是“”成立的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5、不等式成立的一个充分不必要条件是（ ） A． B．或 C． D．或 考点二：求参数取值范围 【例2-1】若“”是““的充分不必要条件，则实数的取值范围是_____. 【例2-2】已知 ，，且是的充分不必要条件，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【例2-3】“关于x的不等式的解集为R”的一个必要不充分条件是（ ） A． B． C． D．或 【变式训练】已知，p：，q：，若p是q成立的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 考点三：全称量词命题与存在量词命题的真假判断 【例3】指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假. （1）∀x∈N，2x＋1是奇数； （2）存在一个x∈R，使＝0； （3）对任意实数a，|a|＞0； 【变式训练】 1、判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，然后写出对应的否定命题，并判断真假： （1）不论取何实数，关于的方程必有实数根； （2）所有末位数字是0或5的整数都能被5整除； （3）某些梯形的对角线互相平分； （4）函数图象恒过原点. 2、用符号“”与“”表示下列含有量词的命题，并判断真假： （1）任意实数的平方大于或等于0； （2）对任意实数a，二次函数的图象关于y轴对称； （3）存在整数x，y，使得； （4）存在一个无理数，它的立方是有理数. 考点四：全称量词命题与存在量词命题的否定 【例4-1】命题“”的否定是 ． 【例4-2】命题：的否定为 ． 【变式训练】 1、命题“，”的否定是 ． 2、命题“”的否定为 ． 3、曲线，，则为 ． 考点五：存在量词命题、全称量词命题求参数的取值范围 【例5】若命题“使”是假命题，则实数的取值范围为_______． 【变式训练】 1、若命题“”是假命题，则实数a的取值范围的解集是 ． 2、已知命题p：，若命题P为假命题，则实数a的取值范围是 ． 1、设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2、已知，则是的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3、“函数y＝x2－2ax＋a的图象在x轴的上方”是“0≤a≤1”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4、已知，，如果的充分条件是，则实数的取值范围是_________. 5、已知命题p：a≤x≤a＋1，命题q：x2－4x<0，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________． 6、已知，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围 . 7、命题“，”的否定形式是（ ） A．， B．， C．， D．， 8、已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 9、“，使得方程有两个不同的实数解”是真命题，则集合_________； 10、“，都有恒成立”是真命题，则实数的取值范围是____________； 一、本次课我学到了什么？ 二、本次课我需要更努力的地方？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$