2025年暑假高三数学思维提升课第01讲 集合与常用逻辑用语和一元二次函数、方程和不等式讲义

思维提升课第01讲 集合与常用逻辑用语和一元二次函数、方程和不等式（原卷版） 思维进阶典型例题 例1、（数学运算，逻辑推理）设数集A由实数构成：且满足：若，则 （1）若,试证明A中还有另外两个元素； （2）集合A是有限集，求集合A中所有元素的积。 例2、（数学抽象，逻辑推理）设集合P={x∈R│x=,p,q∈Z,p≠0,p与q互质},则下列命题是真命题的是（ ） A.若∀x∈,y∈，则x+y∈ B．若∀x∈,y∈，且x>0，y>0，则x+y∈ C．若∀x∈P ,y∈P，则x+y∈P D．若∀x∈P ,y∈，则x+y∈ 例3.若,a > b > c,那么①a + b >0②c+b<0③ ④⑤ 其中正确结论的序号是_______. 例 4 、（逻辑推理，数学运算）如果a>0那么或（当且仅当a=b时取“=”号） 变式4-1：如果y>0,2x-y=1求的最小值 变式4-2：如果求的最小值 变式4-3：如果a>0,b>0,c>0,求a-2b-c的最小值 例5、（直观想象，逻辑推理，数学运算）已知二次函数f(x) 对任意x∈R都有，且f(5)=27.则f(11)=_________. 例6.（数学抽象，数学运算，逻辑推理）设、、、、、是六个互不相等的实数，则在以下六个式子中：，，，，，，能同时取到150的代数式最多有 个． 思维进阶训练 1.（逻辑推理，数学运算）已知a1,a2∈(0,1)，记M=a1a2,N=a1+a2-1，则M与N的大小关系是( ) A.M＜N B.M＞N C.M=N D.不确定 2.（逻辑推理，数学运算）若M=a2+3ab,N=4ab-b2则M,N大小关系是[ ] A.M≤N B.M≥N C.M<N或M>N D.M>N 3.（数学建模，逻辑推理，数学运算）某人分两次购买同一种物品，因价格有变动，两次购买时物品的单价分别为，且.若他每次购买数量一定，其平均价格为；若他每次购买的费用一定，其平均价格为，则（    ） A． B． C． D．，不能比较大小 4.（直观想象，逻辑推理，数学运算）已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋a－1＝0}， C＝{x|x2－mx＋2＝0}，且A∪B＝A，A∩C＝C，求实数a及m的取值范围． 5.（逻辑推理，数学运算） 已知,求证6.（逻辑推理，数学运算）已知适合不等式的x的最大值为3，求p的值。 7.已知P（）是函数(AB≠0)的图像外一点，证明不等式 7.（数学建模，数学运算）在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到a1，a2，……，an，共n个数据.我们规定所测量物理量的“最佳近似值”a是这样一个量：与其他近似值比较，a与各数据的差的平方和最小.依此规定，从a1，a2，……，an推出的a= . 8.（数学建模，逻辑推理，数学运算）已知,求证 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 思维提升课第01讲 集合与常用逻辑用语和一元二次函数、方程和不等式（解析版） 思维进阶典型例题 例1、（数学运算，逻辑推理）设数集A由实数构成，且满足：若，则 （1）若,试证明A中还有另外两个元素； （2）集合A是有限集，求集合A中所有元素的积。 例1、解(1) , A中还有另外两个元素为:, (2)由，得， 所以因为，所以有限集A的所有元素之积为. 反思：本题的关键是通过逻辑推理从已知条件逐步推导数集A的新元素，通过数学运算验证运算结果的周期性出现。令，则，，依次运算下去重复出现，所以本题的数学本质就是函数f(x)值的重复出现。 例2、（数学抽象，逻辑推理）设集合P={x∈R│x=,p,q∈Z,p≠0},则下列命题是真命题的是（ ） A.若∀x∈,y∈，则x+y∈ B．若∀x∈,y∈，且x>0，y>0，则x+y∈ C．若∀x∈P ,y∈P，则x+y∈P D．若∀x∈P ,y∈，则x+y∈ 例2、解：举反例A：x=,y=-,x+y∈P;B:x=4+,y=4-,x+y∈P,显然A，B是错误的。对于C：∵∀x∈P ,y∈P，∴可设（p,q∈Z,m,n∈Z,p≠0，m≠0）∴，又∵pm∈Z，mq+pn∈Z∴x+y∈P， 故C 正确 对于D：假设x+y∈P，设（p,q∈Z,p≠0),∵x∈P∴设（m,n∈Z,m≠0) ∴，∵p,q∈Z,p≠0，m,n∈Z,m≠0∴mq-pn∈Z,pm∈Z,pm≠0， ∴y∈P与y∈矛盾，所以假设错误即x+y∈，故D正确。 正确的是C，D。 反思：本题是以首次出现在人教2019A版必修一1.1 集合的概念第4页的有理数抽象定义为基础结合真假命题的判断命制的，所以解题的关键首先就是理解集合P就是有理数集，其次就是理解选项中抽象的符号语言。 举反例是一种证明的特殊方法，它可证明“某命题不成立”为真。一般地说，一个假命题的反例有多个，我们在举反例时只选其中一个就可以了，有时候需要在掌握严密的逻辑推理与思维特点的同时，掌握各类反例，如再判断A选项时只掌握互为相反数的反例x=,y=-,很容易得到A错，但在判断B选项的时候由于受思维定式影响容易作出B对的错误判断，深度思考掌握各类反例才会更深刻掌握数学基础知识，以及提高数学核心修养。 例3.（逻辑推理，数学运算）若a+b+c=0,a > b > c,那么①a + b >0②c+b<0③④⑤ 其中正确结论的序号是_______. 例3.①②③④⑤,∵a>b>c,a+b+c=0,∴3a>a+b+c=0,3c<a+b+c=0,∴a>0,c<0 ①∵a+b=-c,∴a+b>0;②∵c+b=-a,∴c+b<0; ③∵a>b>c,b=-a-c,∴a>-a-c>c∴c>-2a,a<-2c∴; ④∵a>b>c,a=-b-c,∴-b-c>b>c∴c<-2b,b>c∴; ⑤∵a>b>c,c=-a-b,∴a>b>-a-b∴a>b,2b>-a∴ 反思：系统思考两个条件a+b+c=0,a > b > c,一是不等式a > b > c可做放缩，所以得3a>a+b+c=0,3c<a+b+c=0,；二是等式a+b+c=0可做消元，所以得a>-a-c>c，-b-c>b>c， a> b>-a-b。进一步很容易得到①②③④⑤都正确。 例 4 、（逻辑推理，数学运算）如果a>0那么或（当且仅当a=b时取“=”号） 变式4-1：如果y>0,2x-y=1求的最小值 变式4-2：如果求的最小值 变式4-3：如果a>0,b>0,c>0,求a-2b-c的最小值 例 4 、 变式4-1：解1：y=2x-1>0, ∴, 解2： 当且仅当x=1时上式等号成立,此时y=1>0, 的最小值为1 解3： 解4： 变式4-2： 当且仅当时上式等号成立， 变式4-3：a-2b-c≥-1,当且仅当a=b时上式等号成立， 反思：如果没有例4的解题经验，做变式4-2和4-3，尤其做变式4-3就会茫然不知所措。做本题考察的是重要不等式的灵活变形，但以往我们熟悉的变形只是左边配方和右边配方，所以 在以后学习公式时，一定要系统学习公式的所有变形。 例5、（直观想象，逻辑推理，数学运算）已知二次函数f(x) 对任意x∈R都有，且f(5)=27.则f(11)=_________. 例5、 解1:设f(x)=,当x=1时，3≤f(1)≤3所以f(1)=3 所以 所以b=6-6a,c=5a-3,由≤f(x)≤知且所以解之得a=，b=-3,c=,故f(11)=153 解2:作出函数y=,y=的图像， 由图像可知f(x)的顶点坐标为(1,3),所以可设f(x)=, 又f(5)=27所以a= 故f(11)=153 反思：解1的解题思路一般是我们采用的常见思路待定系数法，其难点首先是发现隐含条件f(1)=3，然后和f(5)=27联立发现三个量a,b,c不独立，任意两个量都可以用第三个量表示，最后依据“a>0,”和“a<0,”联立求得a,b,c，运算量有点大。 但从直观上看，说明二次函数f(x）的图像一定介于函数y=和y=的图像之间，作出三个函数的图像，发现他们共顶点(1,3)，问题很容易得到简洁的解决，所以数形结合是破题的关键。 例6.（数学抽象，数学运算，逻辑推理）设、、、、、是六个互不相等的实数，则在以下六个式子中：，，，，，，能同时取到150的代数式最多有 个． 例6.解:不妨设，， 记为①式，为②式，以此类推， 由，故①>②， ，故②>③， ，故①>④， 同理得，①>⑤，②>⑥，③>⑤，④>③，④>⑥，⑥>⑤， 综上可知①>②>③>⑤，①>④>③>⑤，且②>⑥>⑤，④>⑥>⑤， 最多有②④或③⑥两项可同时取150， 令， 得其一组解为， 故答案为：2 反思：问的是6个代数式最多有几个能同时取到150？所以解题思路只能是比较6个数的大小。得到①>②>③>⑤，①>④>③>⑤，且②>⑥>⑤，④>⑥>⑤后进行简单分析就可知道，①是6个数中的最大数，⑤是6个数中的最小数。去掉①⑤考虑剩下的3个数有②>③，④>③，②>⑥，④>⑥，简单分析就可知道，4个数中最大的数是②或④， 4个数中最小的数是③或⑥，但②和④不知道谁大谁小，③和⑥也不知道谁大谁小，最后必须找出的一组解。 思维进阶训练 1.（逻辑推理，数学运算）已知a1,a2∈(0,1)，记M=a1a2,N=a1+a2-1，则M与N的大小关系是( ) A.M＜N B.M＞N C.M=N D.不确定 1.解：选B.∵M-N=a1a2-a1-a2+1=a1(a2-1)-(a2-1)=(a1-1)(a2-1) 又a1,a2∈(0,1)，故(a1-1)(a2-1)＞0,故M＞N. 2.（逻辑推理，数学运算）若M=a2+3ab,N=4ab-b2则M,N大小关系是[ ] A.M≤N B.M≥N C.M<N或M>N D.M>N 2.解：选B M-N =a2-ab+b2= ≥0 3.（数学建模，逻辑推理，数学运算）某人分两次购买同一种物品，因价格有变动，两次购买时物品的单价分别为，且.若他每次购买数量一定，其平均价格为；若他每次购买的费用一定，其平均价格为，则（    ） A． B． C． D．，不能比较大小 3.解：假设每次购买这种物品的数量为m，则平均价格； 假设每次购买这种物品所花的钱为，则第一次购得该物品的数量为，第二次购得该物品的数量为，则平均价格，则，所以，故选：B. 也可由直接得到 4.（直观想象，逻辑推理，数学运算）已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋a－1＝0}，C＝{x|x2－mx＋2＝0}，且A∪B＝A，A∩C＝C，求实数a及m的取值范围． 4. 解：A＝{x|x2－3x＋2＝0}={1，2}， ∵A∪B＝A，∴∴或或或, 当时,，不存在这样的实数a满足； 当或时，； 当时，B＝{x|x2－ax＋a－1＝0}，a-1=2，a＝3.所以a=3或a＝2。 ∵A∩C＝C ∴ ∴或或或, 当时,； 当或时，x2－mx＋2＝0仅有一个根，，此时，不存在这样的实数m满足或； 当时，-m=1+2,所以m的取值范围是m＝3或－2<m<2 5.（逻辑推理，数学运算） 已知,求证 5.证明： ∵ ∴ ∴ 6.（逻辑推理，数学运算）已知适合不等式的x的最大值为3，求p的值。 6.解1：等价于 即，则， 设（1）（2）对应方程的根分别为，则 若，则9-15+p-2=0，p=8;若，则9-9+p+2=0,p=-2; 当p=-2时，3不是原不等式的最大解，则p=8 解2：适合不等式的x的最大值为3, 所以，解之得-2≤p≤8, 4不是不等式 的解, 所以解之得p>4或p<-4，所以4<p≤8, >0, 所以原不等式等价于,3是方程 的解,代入得p=8 7.（数学建模，数学运算）在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到a1，a2，……，an，共n个数据.我们规定所测量物理量的“最佳近似值”a是这样一个量：与其他近似值比较，a与各数据的差的平方和最小.依此规定，从a1，a2，……，an推出的a= . 7.分析：本题出现的基本都是文字，以题中可捕捉到一个信息是“最佳近似值”a与其它近似值比较a与各数据的差的平方和最小。翻译成函数即为求f(a)=(a－a1)2+(a－a2)2+…+(a－an)2取最小值时的a,展开f(a)=na2－(a1+a2+…+an)a+a12+a22+…+an2。当a=时f(a)最小 8.（数学建模，逻辑推理，数学运算）已知P（）是函数(AB≠0)的图像外一点，证明不等式 8.解：设 ∴∴ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$