12.2一次函数（2）（4大知识点+巩固练习） 2024-2025学年沪科版数学八年级上册

12.2一次函数（2） 一、主要知识点 知识点1 一次函数的图象 作法与图形：通过如下3个步骤 （1）列表；（2）描点；（3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道两个点，并连成直线即可。（通常找函数图像与x轴和y轴的交点） 【例1】一次函数y＝ax﹣a的图象可能是（　　） A．B．C．D． 【例2】如图，点A，B，C，D为平面直角坐标系中的四个点，一次函数y＝kx+1（k＞0）的图象不可能经过（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 知识点2 一次函数图象的平移 （1）一次函数y=kx+b向上平移m个单位得到函数y=kx+b+m， （2）一次函数y=kx+b向下平移m个单位后得到函数y=kx+b-m 【例3】在平面直角坐标系中，将函数y＝2x﹣1的图象向上平移4个单位长度，所得函数的解析式是（　　） A．y＝2x﹣2 B．y＝2x﹣5 C．y＝2x+3 D．y＝2x+5 知识点3　一次函数的性质 一次函数y=kx+b当k>0时图像过一三象限，y随着x的增大而增大;一次函数y=kx+b当k<0时图像过二四象限，y随着x的增大而减小。 【例4】同一平面直角坐标系中，一次函数y＝x+mn与y＝mx+n（m，n为常数）的图象可能是（　　） A．B．C．D． 【例5】下列有关一次函数y＝﹣3x+4的说法中，错误的是（　　） A．y的值随着x增大而减小 B．当x＞0时，y＞4 C．函数图象与y轴的交点坐标为（0，4） D．函数图象经过第一、二、四象限 【例6】若一次函数y＝ax+2﹣a中，y随x的增大而增大，且它的图象不经过第四象限，则整数a的值有几个（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 知识点4　一次函数图象与系数的关系 在一次函数y=kx+b中： （1）当k>0,b>0,这时此函数的图象经过一，二，三象限。 （2）当k>0,b<0,这时此函数的图象经过一，三，四象限。 （3）当k<0,b<0,这时此函数的图象经过二，三，四象限。 （4）当k<0,b>0,这时此函数的图象经过一，二，四象限。 【例7】一次函数y＝kx﹣4（k＜0）的图象不经过第（　　）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【例8】一次函数y＝ax+b的图象如图所示，若a＝m﹣4，b＝2m+1，则m的值可以是（　　） A．﹣1 B．0 C．﹣2 D．5 二、巩固练习 1.已知实数k，b满足kb＞0，那么函数y＝kx+b的图象可能是（　　） A．B．C．D． 2.若点（a，b）在第二象限，则函数y＝ax+b的图象大致是（　　） A．B．C． D． 3.一次函数y＝k（x﹣1）（k≠0）与y＝k（1﹣x）（k≠0）在同一个平面直角坐标系内的图象大致是图中的（　　） A．B．C．D． 4.对于一次函数y＝﹣2x﹣1，下列结论正确的是（　　） A．当时，y＜0 B．y随x的增大而增大 C．它的图象与y轴交于点（0，﹣1） D．它的图象经过第一、二、四象限 5.如图表示光从空气斜射入水中入水前与入水后的光路图，若按如图建立平面直角坐标系，并设入水前与入水后光线所在直线的表达式分别为y1＝k1x，y2＝k2x，则k1与k2的大小关系是（　　） A．k1＞k2 B．k1＜k2 C．k1＝k2 D．k1≥k2 6.当1≤x≤3时，一次函数y＝（m+1）x+m2+1有最大值4，则实数m的值为（　　） A．﹣2或0 B．0或1 C．﹣2或﹣3 D．﹣3或1 7.小明根据一次函数关系式填写了如表的表格，其中有一空格中的数字不慎被墨汁遮住了，想想看，该空格里原来填的数是（　　） x ﹣2 ﹣1 0 1 y ﹣6 ﹣3 0 A．﹣6 B．﹣9 C．5 D．6 8.西苑、竹林两个水站分别存水600吨、1400吨，东区、西区分别用水1200吨、800吨，需要从西苑、竹林两个水站调运，由西苑水站到东、西两区的运费分别为6元/吨、5元/吨；由竹林水站到东、西两区的运费分别为9元/吨、6元/吨，则总运费最少需要多少元？（　　） A．13500 B．13600 C．13800 D．14000 9.已知一次函数y＝﹣x+b的图象经过点A（1，m），B（4，n），则m与n的大小关系为（　　） A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．无法判断 10.关于x的一次函数y＝kx﹣1的图象经过点（2，1），则下列结论正确的是（　　） A．图象经过第一、二、四象限 B．y的值随x的增大而增大 C．该函数的图象与y轴的交点坐标为（0，1） D．该函数的图象可由一次函数y＝﹣x的图象向上平移1个单位长度得到 11.直线y＝kx+b的图象如图所示，则代数式7k﹣b的值为 　 　 ． 12.关于y的分式方程有整数解，且关于x的一次函数y＝（a﹣10）x+a﹣2的图象不经过第三象限，则满足条件的整数a的和为　 　 ． 13.已知一次函数y＝kx+3，当﹣3≤x≤4时，y的最大值是，则y的最小值是 　 　 ． 14.点P1（x1，y1），P2（x2，y2）是一次函数y＝﹣4x+b图象上的两个点．则（x1﹣x2）（y1﹣y2） 　 0． 15.在平面直角坐标系中，直线沿x轴向左平移2个单位后，则所得直线的解析式为　 　 ． 16.已知一次函数y＝（2﹣k）x﹣2k+6． （1）k满足何条件时，y随x的增大而减小； （2）k满足何条件时，图象经过第一、二、四象限； （3）k满足何条件时，它的图象与y轴的交点在x轴的上方． 17.如图是y＝﹣2x+4的图象． （1）A点的坐标 　 　 ，B点的坐标 　 　 ； （2）若直线上有一点C（﹣3，n），求△OAC的面积． 18.序序在学习中通到了这样一个问题：探究函数y＝|x﹣2|﹣2的性质，此函数是我们未曾学过的函数．于是他尝试结合一次函数的学习经验研究此问题，下面是萍萍的探究过程，请你补充完整．列表： x … ﹣1 0 1 2 3 4 5 … y … 1 0 ﹣1 ﹣2 ﹣1 0 k … （1）直接填空：k＝　　 ； （2）描点并正确地函出该函数图象； （3）①根据函数图象可得：该函数的最小值为　 　 ； ②观察函数y＝|x﹣2|﹣2的图象，当x＞2时，y随着x的增大而　 　 ． 19.已知函数y＝2x﹣1． （1）画出函数y＝2x﹣1的图象． （2）判断点A（﹣3，﹣5），B（2，﹣3），C（3，5）是否在函数y＝2x﹣1的图象上？ （3）若点P（m，9）在函数y＝2x﹣1的图象上，求出m的值． 20.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（2，0）和B（0，﹣6）． （1）求这个一次函数的表达式； （2）由图象可以直接看出，当x为 　 　 时，y≤0； （3）将直线AB沿y轴向上平移9个单位，求平移后的直线与坐标轴围成的三角形的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 12.2一次函数（2） 一、主要知识点 知识点1 一次函数的图象 作法与图形：通过如下3个步骤 （1）列表；（2）描点；（3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道两个点，并连成直线即可。（通常找函数图像与x轴和y轴的交点） 【例1】一次函数y＝ax﹣a的图象可能是（　　） A．B．C．D． 【解答】解：由题意，∵y＝ax﹣a为一次函数， ∴a≠0． ∴a和﹣a符号相反． ∴一次函数y＝ax﹣a的图象过第一、三、四象限或一、二、四象限． ∴B选项符合题意，A、C、D选项不符合题意． 故选：B． 【例2】如图，点A，B，C，D为平面直角坐标系中的四个点，一次函数y＝kx+1（k＞0）的图象不可能经过（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【解答】解：∵一次函数y＝kx+1（k＞0）中，k＞0，b＝1＞0， ∴一次函数y＝kx+1（k＞0）函数的图象经过第一、二，三象限， ∵点A在第四象限， ∴一次函数y＝kx+1（k＞0）的图象不可能经过点A． 故选：A． 知识点2 一次函数图象的平移 （1）一次函数y=kx+b向上平移m个单位得到函数y=kx+b+m， （2）一次函数y=kx+b向下平移m个单位后得到函数y=kx+b-m 【例3】在平面直角坐标系中，将函数y＝2x﹣1的图象向上平移4个单位长度，所得函数的解析式是（　　） A．y＝2x﹣2 B．y＝2x﹣5 C．y＝2x+3 D．y＝2x+5 【解答】解：由题知， 将函数y＝2x﹣1的图象向上平移4个单位长度后，所得函数的解析式为y＝2x+3． 故选：C． 知识点3　一次函数的性质 一次函数y=kx+b当k>0时图像过一三象限，y随着x的增大而增大;一次函数y=kx+b当k<0时图像过二四象限，y随着x的增大而减小。 【例4】同一平面直角坐标系中，一次函数y＝x+mn与y＝mx+n（m，n为常数）的图象可能是（　　） A．B．C．D． 【解答】解：若m＞0，n＞0，则一次函数y＝x+mn与y＝mx+n都经过第一、二、三象限，没有符合条件的选项； 若m＞0，n＜0，则一次函数y＝x+mn与y＝mx+n都经过第一、三、四象限，没有符合条件的选项； 若m＜0，n＜0，则一次函数y＝x+mn经过第一、二、三象限，y＝mx+n经过第二、三、四象限，没有符合条件的选项； 若m＜0，n＞0，则一次函数y＝x+mn经过第一、三、四象限，y＝mx+n经过第一、二、四象限，C选项符合条件； 故选：C． 【例5】下列有关一次函数y＝﹣3x+4的说法中，错误的是（　　） A．y的值随着x增大而减小 B．当x＞0时，y＞4 C．函数图象与y轴的交点坐标为（0，4） D．函数图象经过第一、二、四象限 【解答】解：根据一次函数的图象和性质，逐项分析判断如下： A、∵k＝﹣3＜0， ∴y的值随着x增大而减小，正确，不符合题意； B、∵x＝0时，y＝4， 又∵y的值随着x增大而减小， ∴当x＞0时，y＜4，原说法错误，符合题意； C、∵当x＝0时，y＝4， ∴函数图象与y轴的交点坐标为（0，4），正确，不符合题意； D、∵k＝﹣3＜0，b＝4＞0， ∴函数图象经过第一、二、四象限，正确，不符合题意． 故选：B． 【例6】若一次函数y＝ax+2﹣a中，y随x的增大而增大，且它的图象不经过第四象限，则整数a的值有几个（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【解答】解：∵一次函数y＝ax+2﹣a中，y随x的增大而增大，且它的图象不经过第四象限， ∴， 解得0＜a≤2， 满足条件的整数a有1，2两个． 故选：C． 知识点4　一次函数图象与系数的关系 在一次函数y=kx+b中： （1）当k>0,b>0,这时此函数的图象经过一，二，三象限。 （2）当k>0,b<0,这时此函数的图象经过一，三，四象限。 （3）当k<0,b<0,这时此函数的图象经过二，三，四象限。 （4）当k<0,b>0,这时此函数的图象经过一，二，四象限。 【例7】一次函数y＝kx﹣4（k＜0）的图象不经过第（　　）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【解答】解：∵k＜0，b＝﹣4＜0， ∴一次函数图象经过第二、三、四象限， ∴图象不经过第一象限． 故选：A． 【例8】一次函数y＝ax+b的图象如图所示，若a＝m﹣4，b＝2m+1，则m的值可以是（　　） A．﹣1 B．0 C．﹣2 D．5 【解答】解：根据一次函数的图象得a＜0，b＞0， 即， 解得m＜4， 所以m的值可以是0． 故选：B． 二、巩固练习 1.已知实数k，b满足kb＞0，那么函数y＝kx+b的图象可能是（　　） A．B．C．D． 【解答】解：∵kb＞0， ∴当k＞0，b＞0时，函数图象经过第一、二、三象限； 当k＜0，b＜0时，函数图象经过第二、三、四象限； ∴选项D符合题意． 故选：D． 2.若点（a，b）在第二象限，则函数y＝ax+b的图象大致是（　　） A．B．C． D． 【解答】解：∵点A（a，b）在第二象限， ∴a＜0，b＞0， ∴直线y＝ax+b经过第一、二、四象限， 故选：D． 3.一次函数y＝k（x﹣1）（k≠0）与y＝k（1﹣x）（k≠0）在同一个平面直角坐标系内的图象大致是图中的（　　） A．B．C．D． 【解答】解：分两种情况： （1）当k＞0时，正比例函数y＝k（x﹣1）的图象过点（1，0）且过第一、三、四象限，一次函数y＝k（1﹣x）的图象经过点（1，0）且过第一、二、四象限，选项D符合；（2）当k＜0时，正比例函数y＝k（x﹣1）的图象过点（1，0）且过第一、二、四象限，一次函数y＝k（1﹣x）图象经过点（1，0）且第一、三、四象限，选项D符合．故选：D． 4.对于一次函数y＝﹣2x﹣1，下列结论正确的是（　　） A．当时，y＜0 B．y随x的增大而增大 C．它的图象与y轴交于点（0，﹣1） D．它的图象经过第一、二、四象限 【解答】解：由条件可知y随x的增大而减小，它的图象经过第二，三、四象限，故B、D结论错误； 当时，y＝﹣2x﹣1＝0，当x＝0时，y＝﹣2x﹣1＝﹣1， ∴当时，y＞0，它的图象与y轴交于点（0，﹣1），故A结论错误，C结论正确； 故选：C． 5.如图表示光从空气斜射入水中入水前与入水后的光路图，若按如图建立平面直角坐标系，并设入水前与入水后光线所在直线的表达式分别为y1＝k1x，y2＝k2x，则k1与k2的大小关系是（　　） A．k1＞k2 B．k1＜k2 C．k1＝k2 D．k1≥k2 【解答】解：如图所示， 在两个图象上分别取横坐标为mm＜0，的两个点A和B， 则A（m，k1m），B（m，k2m）， ∵k1m＜k2m， ∴k1＞k2， 当取横坐标为正数时，同理可得k1＞k2． 故选：A． 6.当1≤x≤3时，一次函数y＝（m+1）x+m2+1有最大值4，则实数m的值为（　　） A．﹣2或0 B．0或1 C．﹣2或﹣3 D．﹣3或1 【解答】解：当m+1＞0，即m＞﹣1时，y随x的增大而增大， ∴当x＝3时，一次函数y＝（m+1）x+m2+1有最大值4， ∴3（m+1）+m2+1＝4， 解得m1＝0，m2＝﹣3（舍去）， 当m+1＜0，即m＜﹣1时，y随x的增大而减小， ∴当x＝1时，一次函数y＝（m+1）x+m2+1有最大值4， ∴（m+1）+m2+1＝4， 解得m1＝﹣2，m2＝1（舍去）， 综上，当1≤x≤3时，一次函数y＝（m+1）x+m2+1有最大值4，则实数m的值为0或﹣2， 故选：A． 7.小明根据一次函数关系式填写了如表的表格，其中有一空格中的数字不慎被墨汁遮住了，想想看，该空格里原来填的数是（　　） x ﹣2 ﹣1 0 1 y ﹣6 ﹣3 0 A．﹣6 B．﹣9 C．5 D．6 【解答】解：设一次函数的解析式为y＝kx+b， 把x＝0，y＝﹣3；x＝1，y＝0代入， 得， 解得， ∴y＝3x﹣3， 当x＝﹣2时，y＝3×（﹣2）﹣3＝﹣9． 故选：B． 8.西苑、竹林两个水站分别存水600吨、1400吨，东区、西区分别用水1200吨、800吨，需要从西苑、竹林两个水站调运，由西苑水站到东、西两区的运费分别为6元/吨、5元/吨；由竹林水站到东、西两区的运费分别为9元/吨、6元/吨，则总运费最少需要多少元？（　　） A．13500 B．13600 C．13800 D．14000 【解答】解：设西苑水站调运x吨水到西区，总运费为y元， 则y＝5x+6（600﹣x）+6（800﹣x）+9（600+x）＝13800+2x， 而0≤x≤600， 当x＝0时，y取最小值13800． 故选：C． 9.已知一次函数y＝﹣x+b的图象经过点A（1，m），B（4，n），则m与n的大小关系为（　　） A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．无法判断 【解答】解：∵k＝﹣1＜0， ∴y随x的增大而减小． 又∵1＜4， ∴m＞n． 故选：A． 10.关于x的一次函数y＝kx﹣1的图象经过点（2，1），则下列结论正确的是（　　） A．图象经过第一、二、四象限 B．y的值随x的增大而增大 C．该函数的图象与y轴的交点坐标为（0，1） D．该函数的图象可由一次函数y＝﹣x的图象向上平移1个单位长度得到 【解答】解：∵一次函数y＝kx﹣1的图象经过点（2，1）， ∴1＝2k﹣1，解得k＝1， A、k＝1＞0，b＝﹣1＜0，函数图象经过第一、三、四象限，故本选项说法错误； B、k＝1＞0，所以y随自变量x的增大而增大，故本选项说法正确； C、把x＝0代入y＝x﹣1＝﹣1，所以它的图象与y轴的交点坐标是（0，﹣1），故本选项说法不正确； D、该函数的图象可由一次函数y＝x的图象向上平移1个单位长度得到，故本选项说法不正确； 故选：B． 11.直线y＝kx+b的图象如图所示，则代数式7k﹣b的值为 　 　 ． 【解答】解：∵直线y＝kx+b的图象过（﹣7，2）， ∴2＝﹣7k+b， 整理得：7k﹣b＝﹣2． 故答案为：﹣2． 12.关于y的分式方程有整数解，且关于x的一次函数y＝（a﹣10）x+a﹣2的图象不经过第三象限，则满足条件的整数a的和为　 　 ． 【解答】解：原分式方程转化为1， 去分母得：y﹣4+y+a＝2a， 2y＝a+4， ∴y2， ∵关于y的分式方程有整数解， ∴a取2的倍数，且a≠4， ∵关于x的一次函数y＝（a﹣10）x+a﹣2的图象不经过第三象限， ∴， 解得2≤a＜10， 结合两个条件可知a取：2，6，8， 和为2+6+8＝16． 故答案为：16． 13.已知一次函数y＝kx+3，当﹣3≤x≤4时，y的最大值是，则y的最小值是 　 　 ． 【解答】解：∵当﹣3≤x≤4时，y的最大值是， ∴x＝4， 此时，即， 当x＝﹣3时，一次函数有最小值，最小值为； 当k＜0时，一次函数y＝kx+3中，y随x的增大而减小， ∵当﹣3≤x≤4时，y的最大值是， ∴x＝﹣3， 此时，即， 当x＝4时，一次函数有最小值，最小值为y＝1； 综上所述，y的最小值是1或； 故答案为：1或． 14.点P1（x1，y1），P2（x2，y2）是一次函数y＝﹣4x+b图象上的两个点．则（x1﹣x2）（y1﹣y2） 　 0． 【解答】解：由条件可知y随着x的增大而减小， 由条件可知①当x1＜x2时，则：y1＞y2， ∴（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0； ②当x1＞x2时，则：y1＜y2， ∴（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0， 综上：（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0； 故答案为：＜． 15.在平面直角坐标系中，直线沿x轴向左平移2个单位后，则所得直线的解析式为　 　 ． 【解答】解：将直线yx﹣3向左平移2个单位后， 得到直线y（x+2）﹣3， yx， 即yx， 故答案为：yx． 16.已知一次函数y＝（2﹣k）x﹣2k+6． （1）k满足何条件时，y随x的增大而减小； （2）k满足何条件时，图象经过第一、二、四象限； （3）k满足何条件时，它的图象与y轴的交点在x轴的上方． 【解答】解：（1）由题意得：2﹣k＜0， 解得：k＞2； （2）由题意得：2﹣k＜0，且﹣2k+6＞0， 解得：2＜k＜3； （3）由题意得：﹣2k+6＞0且2﹣k≠0， ∴k＜3且k≠2． 17.如图是y＝﹣2x+4的图象． （1）A点的坐标 　 　 ，B点的坐标 　 　 ； （2）若直线上有一点C（﹣3，n），求△OAC的面积． 【解答】解：（1）令y＝0，则x＝2，令x＝0，则y＝4， ∴点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，4）； （2）把x＝﹣3代入y＝﹣2x+4， 得：y＝6+4＝10， ∴C（﹣3，10）， S△OAC2×10＝10． 18.序序在学习中通到了这样一个问题：探究函数y＝|x﹣2|﹣2的性质，此函数是我们未曾学过的函数．于是他尝试结合一次函数的学习经验研究此问题，下面是萍萍的探究过程，请你补充完整．列表： x … ﹣1 0 1 2 3 4 5 … y … 1 0 ﹣1 ﹣2 ﹣1 0 k … （1）直接填空：k＝　　 ； （2）描点并正确地函出该函数图象； （3）①根据函数图象可得：该函数的最小值为　 　 ； ②观察函数y＝|x﹣2|﹣2的图象，当x＞2时，y随着x的增大而　 　 ． 【解答】解：（1）当x＝5时，y＝|5﹣2|﹣2＝1， ∴k＝1； 故答案为：1； （2）描点、连线画出该函数图象如图： （3）①根据函数图象可得，该函数的最小值为﹣2； ②观察函数y＝|x﹣2|﹣2的图象，当x＞2时，y随着x的增大而增大． 故答案为：①﹣2；②增大． 19.已知函数y＝2x﹣1． （1）画出函数y＝2x﹣1的图象． （2）判断点A（﹣3，﹣5），B（2，﹣3），C（3，5）是否在函数y＝2x﹣1的图象上？ （3）若点P（m，9）在函数y＝2x﹣1的图象上，求出m的值． 【解答】解：（1）函数y＝2x﹣1与y轴的交点坐标为（0，﹣1），与x轴的交点坐标为（，0），画出函数图象如下： （2）当x＝﹣3时，y＝2×（﹣3）﹣1＝﹣7≠﹣5，故点A（﹣3，﹣5）不在直线y＝2x﹣1图象上； 当x＝2时，y＝2×2﹣1＝3≠﹣3，故点B（2，﹣3）不在直线y＝2x﹣1图象上； 当x＝3时，y＝2×3﹣1＝5，故点C（3，5）在直线y＝2x﹣1图象上； （3）将点P（m，9）坐标代入函数y＝2x﹣1得：9＝2m﹣1， 解得m＝5． 20.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（2，0）和B（0，﹣6）． （1）求这个一次函数的表达式； （2）由图象可以直接看出，当x为 　 　 时，y≤0； （3）将直线AB沿y轴向上平移9个单位，求平移后的直线与坐标轴围成的三角形的面积． 【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图象经过点A（2，0）和B（0，﹣6）． ，解得， ∴一次函数解析式为：y＝3x﹣6； （2）根据函数图象可知：当x为x≤2时，y≤0； 故答案为：x≤2； （3）将直线AB沿y轴向上平移9个单位，得到新的解析式为y＝3x+3， 当x＝0时，y＝3；当y＝0时，x＝﹣1； ∴直线与坐标轴围成的三角形的面积为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$