第06讲 力的合成与分解（专项训练）（全国通用）2026年高考物理一轮复习讲练测

第06讲 力的合成与分解 目录 01 课标达标练 1 题型01 力的合成 1 题型02 力的分解 3 题型03 正交分解法求合力 9 题型04 “活结”和“死结”模型 11 题型05 “动杆”和“定杆”模型 19 02 核心突破练 24 03 真题溯源练 27 01 力的合成 1．（2025·湖南郴州·模拟预测）如图所示，已知两个力F1=F2=6N，两个力互成120°，且在一个平面上，求这两个力的合力（　　） A．6N B．12N C．6N D． 【答案】A 【详解】根据平行四边形定则可知，这两个力的合力如图所示 由于F1=F2=6N，两个力互成120°，由图可知两分力与合力刚好构成一等边三角形，则这两个力的合力大小为 故选A。 2．三个力，，关于三个力的合力，下列说法正确的是（　　） A．三个力的合力的最小值为 B．三个力的合力的最大值为 C．三个力的合力可能为 D．三个力的合力不可能为 【答案】BC 【详解】因为与的合力范围为，包含，所以三个力的合力的最小值为0，合力的最大值为，A、D错误，B、C正确。 3．关于共点力的合成，下列说法正确的是（　　） A．两个分力的合力一定比分力大 B．两个分力大小一定，夹角越大，合力越小 C．两个力合成，其中一个力增大，另外一个力不变，合力一定增大 D．现有三个力，大小分别为3N、6N、8N，这三个力的合力最小值为1N 【答案】B 【详解】A．两个分力的合力不一定比分力都大，合力可能小于其中一个分力，可能比每个分力都小，故A错误； B．根据平行四边形定则，结合数学规律可知，两个分力的合力大小为，两个分力大小一定，夹角越大，合力越小，故B正确； C．保持两个力之间的夹角不变，使其中一个力F增大，合力不一定增大，如为180°时，较小的分力增加，合力减小，故C错误； D．3N与6N两力的合力大小范围为3N≤F≤9N，两力的合力大小有可能为8N，当第三个8N的力与这两个力的合力在同一直线上且方向相反时，三个力的合力最小，合力最小值为0，故D错误。 故选B。 02 力的分解 4．（2024·广东深圳·模拟预测）竖直墙上M为一坚实的固定圆环，同一高度的N为一铁钉，MN之间连着细铁丝，以下选项A中，有一力F沿图中水平方向拉着铁钉，B、C、D选项中同一大小的力F在铁丝中点沿图中方向拉铁丝，四种情况下，铁钉受到拉力最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】选项A中，铁钉受到拉力，选项B中铁丝中点的力F的分解示意图如图所示， 根据力的平行四边行几何关系，解得铁钉受到拉力，可知，时，，又根据选项B、C、D中a角度不变，力F不变，角度减小，铁钉受到拉力也逐渐减小，因此选项B中铁钉受到拉力最大，故B正确。 故选B。 5．（2024·河北石家庄·一模）帆船是人类的伟大发明之一，船员可以通过调节帆面的朝向让帆船逆风行驶，如图所示为帆船逆风行驶时的简化示意图，此时风力方向与帆面的夹角，航向与帆面的夹角，风力在垂直帆面方向的分力推动帆船逆风行驶。已知，则帆船在沿航向方向获得的动力为（　　） A．200N B．400N C．600N D．800N 【答案】C 【详解】对风力在沿着帆面和垂直于帆面方向进行分解，根据力的平行四边形法则可得其垂直于帆面的分力，再对垂直作用于帆面上的风力沿帆船航向方向和垂直航向方向进行分解，则帆船在沿航向方向获得的动力为 故选C。 6．（2025高一·上海·专题练习）关于力的分解，下列说法正确的是（　　） A．一个10N的力可以分解为15N和4N的两个共点力 B．一个10N的力可以分解为5N和4N的两个共点力 C．一个2N的力可以分解为5N和4N的两个共点力 D．一个2N的力可以分解为6N和3N的两个共点力 【答案】C 【详解】根据力的平行四边形定则，两个分力的合力范围应满足： A．分力为15N和4N，合力范围为，而题目中合力为10N，不在该范围内，故A错误； B．分力为5N和4N，合力范围为，而题目中合力为10N，超出范围，故B错误； C．分力为5N和4N，合力范围为，题目中合力为2N，在此范围内，故C正确； D．分力为6N和3N，合力范围为，而题目中合力为2N，不在范围内，故D错误。 故选C。 7．（2025·贵州贵阳·二模）“世界桥梁看中国，中国桥梁看贵州”。目前贵州在建的世界第一高桥六安高速公路花江峡谷大桥于2025年1月17日在距离水面625米高空精准接龙，实现贯通。如图所示为斜拉桥的索塔与钢索的简单示意图，斜拉桥所有钢索均处在同一竖直面内，假设每根钢索对桥作用力大小相等、其与水平方向夹角相等（忽略钢索的质量及桥面高度的变化）。下列说法正确的是（　　） A．仅减小索塔高度可减小每根钢索的拉力大小 B．仅增加索塔高度可减小每根钢索的拉力大小 C．仅增加钢索的数量可减小索塔受到的向下的压力 D．仅减少钢索的数量可减小索塔受到的向下的压力 【答案】B 【详解】AB．设桥面的质量为，设有根钢索，每根钢索的拉力为，每根钢索与竖直方向的夹角均为，桥面的重力一定，根据平衡条件有，可得每根钢索的拉力为，若钢索数量不变，每根钢索的拉力大小减小，则可以使钢索与竖直方向的夹角减小，即需要增加索塔高度，可知，仅增加索塔高度可减小每根钢索的拉力大小，故A错误，B正确； CD．对桥面受力分析可知，所有钢索对桥面拉力沿竖直方向向上的分力之和与桥面的重力大小相等、方向相反，则所有钢索对索塔拉力沿竖直方向向下的分力之和数与桥面的重力大小相等、方向相反，故增加或减少钢索的数量，钢索对索塔的压力大小恒定不变，故CD错误。 故选B。 8．（2025·河南·三模）榫卯结构是中国传统木建筑、木家具的主要结构方式，我国未来的月球基地将采用月壤烧制的带有榫卯结构的月壤砖建设。在木结构上凿削矩形榫眼用的是如图甲所示木工凿，凿削榫眼时用锤子敲击木工凿柄，将木工凿尖端钉入木头，木工凿尖端钉入木头时的截面如图乙所示，锤子对木工凿施加的力沿竖直面向下，木工凿对木头的侧面和竖直面的压力大小分别为和，下列说法正确的是（　　） A．和是的两个分力 B．凿子尖端打磨的夹角不同，可能大于 C．凿子尖端打磨的夹角不同，可能大于 D．凿子尖端打磨的夹角不同，可能小于 【答案】C 【详解】A．和是凿子对木头的弹力，其大小等于在垂直两接触面方向上的分力大小，但和不是的两个分力，A错误； BCD．将沿垂直两接触面分解，如图所示 分力大小分别等于和，则由数学知识可知一定大于和；当时，，当时，，当时，，C正确，BD错误。 故选C。 9．（2024·全国·模拟预测）我们在进行古建筑复原时，需要用各种各样的凿子制作卯眼，如图甲所示为木工常用的一种凿子，其截面如图乙所示，侧面与竖直面间的夹角为。当在顶部施加竖直向下的力F时，其侧面和竖直面对两侧木头的压力分别为和，不计凿子的重力和摩擦阻力，下列说法正确的是（　　）    A．力F一定小于 B．力F一定大于 C．和之间的大小关系满足 D．夹角越大，凿子越容易进入木头 【答案】A 【详解】A．根据平衡条件，作出力F与和的关系图如图所示    其中、、，由于对应的是直角三角形的斜边，可知，力F一定小于，故A正确； B．由于直角三角形的两个锐角大小关系不确定，故力F与的大小关系不确定，故B错误； C．根据上述关系图可有，故C错误； D．结合上述可知，，解得，，可知，在顶部施加同样的力F时，夹角越大，力和越小，凿子越不容易进入木头，故D错误。 故选A。 10．（2024·吉林长春·模拟预测）我国古代人民掌握了卓越的航海技术，曾有“郑和七下西洋”的壮举。帆船要逆风行驶时要调整帆面的朝向，使船沿“之”字形航线逆风而行。风吹到帆面，产生的风力垂直于帆面，由于船沿垂直于船身的阻力非常大，风力垂直于航身的分量不会引起船侧向的运动，在风力的作用下，船便会沿平行于船身方向运动。在下列各图中，风向如图所示，船沿虚线的路线逆风而行，则各图中帆面的方位正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】风吹到帆面，产生的风力垂直于帆面，将风力分解到沿船方向和垂直与船身的方向 A．如图，风力分解到船身方向与船的运行方向相反，故A错误； B．如图，风力分解到船身方向与船的运行方向相同，故B正确； C．如图，风力分解到船身方向与船的运行方向相反，故C错误； D．如图，风力分解到船身方向与船的运行方向相反，故D错误； 故选B。 11．如图所示，大力士用绳子拉动汽车，绳中的拉力为，绳与水平方向的夹角为，若将沿水平方向和竖直方向分解，则其竖直方向的分力大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示，将F分解为水平方向和竖直方向 根据平行四边形定则，竖直方向上分力 故选B。 03 正交分解法求合力 12．科学的佩戴口罩，对于新冠肺炎、流感等呼吸道传染病具有预防作用，既保护自己，又有利于公众健康。如图所示为一侧耳朵佩戴口罩的示意图，一侧的口罩带是由直线AB、弧线BCD和直线DE组成的。假若口罩带可认为是一段劲度系数为k的弹性轻绳，在佩戴好口罩后弹性轻绳被拉长了x，此时段与水平方向的夹角为37°，段与水平方向的夹角为53°，弹性绳涉及到的受力均在同一平面内，不计摩擦，已知，，则下列说法正确的是（    ） A．耳朵受到的口罩带的作用力为 B．耳朵受到的口罩带的作用力小于2kx C．耳朵对口罩带的作用力方向与水平方向夹角为37° D．耳朵对口罩带的作用力方向与水平方向夹角为53° 【答案】B 【详解】AB．弹性轻绳被拉长了x，同一根轻绳弹力大小相等，即 将、分别正交分解，如下图 在x方向，在y方向，则耳朵受到口罩的作用力为，故A错误B正确； C．作用力方向与水平方向的夹角为，则，所以作用力方向与水平方向夹角为，故C错误； D．由C知，D错误； 故选B。 04 “活结”和“死结”模型 13．（2024·陕西安康·模拟预测）四个小朋友玩“东西南北跑比赛”，他们被围在一个弹力圈中，从中心向外沿各自的方向移动，去拿外围的游戏道具，谁先拿到谁就能赢得比赛。某时刻四个小朋友处于如图所示的僵持状态，则此时受到弹力圈的弹力最小的是（　　） A．1号小朋友 B．2号小朋友 C．3号小朋友 D．4号小朋友 【答案】C 【详解】弹力圈上的力可近似为大小处处相等，弹力圈对3号小朋友的张角最大，根据平行四边形定则可知合力最小。 故选C。 14．如图所示，吊灯被两根不等长的细绳OA、OB静止悬挂在天花板上， α<β。细绳OA、OB 中的拉力分别记为 FA、FB，下列说法正确的是（　　） A．FA大于 FB B．FA小于 FB C．FA在水平方向的分力大于 FB在水平方向的分力 D．FA在竖直方向的分力大于 FB在竖直方向的分力 【答案】B 【详解】ABC．对结点O，根据水平方向平衡条件可得FA在水平方向的分力等于 FB在水平方向的分力，有，因为 α<β，则FA小于 FB，故AC错误，B正确； D．FA在竖直方向的分力，FB在竖直方向的分力，因为α<β，FA小于 FB，则FA在竖直方向的分力小于 FB在竖直方向的分力，故D错误。 故选B。 15．奥运会射箭比赛中弓箭发射时弦和箭可等效为如图所示的模型，已知弦均匀且弹性良好，其弹力满足胡克定律，自由长度为l，劲度系数为k，发射箭时弦的最大长度为（弹性限度内）．此时弓的顶部跨度（虚线长）为l（假设箭在弦的正中间，弦夹在类似动滑轮的附加装置上），箭被发射瞬间所受的弹力为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据胡克定律，可知弦上产生弹力大小，设弦与水平方向夹角为θ，如图所示，箭被发射瞬间所受的合力为，几何关系可知，则，，联立以上可得，故箭被发射瞬间所受的弹力为，故A正确，B、C、D错误。 16．（2025·浙江·三模）如图所示，物块A与B用跨过滑轮的轻绳相连，稳定后，轻绳 OP与水平方向夹角为，OA和OB与OP的延长线的夹角分别为和。已知，地面对物块B的弹力为NB=80N，不计滑轮的重力及轻绳和滑轮之间的摩擦，下列说法正确的是（　　） A． B．物体A的重力40N C．OP绳子的拉力为 D．地面对物体B的摩擦力为20N 【答案】B 【详解】A．由于滑轮两边绳子拉力大小相等，且滑轮两边绳子拉力的合力等于轻绳 OP拉力的大小，故OP的方向沿着两根绳子拉力的夹角的角平分线上，故，故A错误； B D．根据几关系，连接B物体的绳子部分与水平方向夹角为，故对B受力分析有，又，联立解得，，故B正确，D错误。 C．据前分析结合平行四边形法则，故C错误。 故选B。 17．（2025·甘肃白银·模拟预测）如图所示，两根竖直杆沿东西方向固定在水平地面上，不可伸长的轻质细绳两端分别固定在竖直杆上等高的A、B两点。已知衣服及衣架整体的总质量为m，静止时挂钩与绳的接触点为O。若是无风天气，绳与杆之间所夹锐角为，重力加速度为g，不计衣架与绳之间的摩擦，则（    ） A．无风情况下绳的拉力大小 B．无风情况下绳的拉力大小 C．若整个环境有方向从北向南的水平恒定风力，衣架整体稳定后，小明测得此时三点构成的平面与竖直面的夹角为，则绳的拉力大小 D．若整个环境有方向从北向南的水平恒定风力，衣架整体稳定后，小明测得此时三点构成的平面与竖直面的夹角为，则绳的拉力大小 【答案】D 【详解】AB．无风情况下，衣架挂钩一定在绳子中点处，绳与竖直方向的夹角为，对衣服和衣架整体受力分析，如图甲所示 由力的平衡条件，得，解得，故AB错误； CD．恒定风力沿水平方向从北向南，衣架挂钩仍然在绳子中点处，两绳子夹角不变，衣服和衣架整体在四个力的作用下处于平衡状态，则重力与风力的合力应该和挂钩两侧绳的合力等大反向。三点构成的平面与竖直面的夹角为，即风力与重力的合力和竖直方向的夹角为，如图乙所示 设风力与重力的合力大小为，则，将此力等效为无风情况下的重力，同理，可解得绳子上拉力的大小，故C错误，D正确。 故选D。 18．（2025·全国·一模）如图所示，一高考倒计时牌通过一根轻绳悬挂在挂钩上。挂上后发现倒计时牌是倾斜的，已知，计时牌的重力大小为。不计一切摩擦，则下列说法正确的是（　　） A．如图位置平衡时，绳的拉力大于绳的拉力 B．如图位置平衡时，绳与竖直方向的夹角大于绳与竖直方向的夹角 C．如图位置平衡时，绳的拉力大小为 D．将计时牌挂正，平衡时绳的拉力小于计时牌倾斜时绳的拉力 【答案】C 【详解】ABC．一根轻绳悬挂在定滑轮上，不计一切摩擦，则绳上张力大小处处相等，设绳上张力大小为T。高考倒计时牌受重力、绳OA、OB对它的拉力T，共三个力的作用，处于静止状态，则三个力的延长线（或反向延长线）必交于一点O。将绳OA、OB上的拉力T延长，则两力的合力必与重力等大反向，绳子拉力与竖直方向的夹角均为45°，如图所示 由直角三角形几何关系可得，解得，故AB错误，C正确； D．将计时牌挂正，由几何知识可知两绳间的夹角增大，两绳合力不变，绳子拉力增大，故D错误。 故选C。 19．（2025·安徽·模拟预测）如图所示，一置于竖直平面内的直杆与水平方向的夹角为， A、两端系着一根不可伸长的轻绳，绳长大于直杆的长度，轻绳上有一动滑轮，重物悬挂在动滑轮上，系统处于静止状态。现将直杆在竖直平面内绕点顺时针缓慢转过角度。忽略动滑轮与轻绳的摩擦，在此过程中，下列说法正确的是（　　） A．轻绳的拉力先增大后减小 B．轻绳的拉力先减小后增大 C．重物受到的合力先减小后增大 D．重物受到的合力先增大后减小 【答案】A 【详解】AB．设直杆AB的长度为l，绳长为L，轻绳与水平方向夹角为α，作如图所示的辅助线 则根据几何关系可得，，，联立可得，根据平衡条件可得，可得，可知，直杆从图示位置绕A点顺时针缓慢转过2θ角的过程中，轻绳的拉力先增大再减小，故A正确，B错误； CD．因为直杆是缓慢运动，处于动态平衡状态，所以重物受到的合力一直为0，故C错误，D错误。 故选A。 20．（2025·河北沧州·模拟预测）如图所示，轻绳的一端固定于P点，经过一个光滑的定滑轮O，另一端栓接质量为m的物块A。用一个轻质且光滑的挂钩将另一个质量也为m的物块B挂在绳OP之间，当物块B达到平衡态时，挂钩的悬挂点Q和P点连线与水平方向的夹角为，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对Q点受力分析如图所示，轻绳的张力为mg，物块B的重力也为mg，由矢量三角形知识可知PQ与QO之间的夹角为，故PQ与水平方向夹角为。 故选A。 21．（2025·广东·二模）如图所示，站在地面不动的工人利用滑轮组将货物缓慢提起。提起过程中，工人拉绳的方向不变，动滑轮两侧的绳子不平行，不计滑轮摩擦力，下列说法正确的是（　　） A．工人受到的重力和支持力是一对作用力与反作用力 B．工人对绳子的拉力和绳子对工人的拉力是一对平衡力 C．货物缓慢拉起过程中，绳子对动滑轮的作用力不变 D．货物缓慢拉起过程中，地面对工人的支持力变大 【答案】C 【详解】A．工人受到的重力和支持力的受力物体都是工人，这两个力不是一对作用力与反作用力，故A错误； B．工人对绳子的拉力和绳子对工人的拉力是一对作用力与反作用力，故B错误； C．货物缓慢拉起过程中，绳子的拉力在竖直方向的分力为货物重力的一半，绳子对动滑轮的作用力方向竖直向上，大小等于货物的重力，故C正确； D．货物缓慢拉起过程中，对货物受力分析，货物受重力G1、两根绳子的拉力F，设两绳间夹角为，如图 则解得，对工人受力分析，受重力G2、支持力FN、绳子拉力F、摩擦力f，设绳子与竖直方向的夹角为，如图，则地面对工人的支持力，货物缓慢拉起过程中，逐渐变大，变小，又不变，则变小，即地面对工人的支持力变小，故D错误。 故选C。 22．（2025·江西·模拟预测）如图是一种吊装装置，动滑轮和定滑轮的质量与摩擦均不计，重物A吊在动滑轮上，绕过定滑轮和动滑轮的轻绳一端固定在竖直杆上P点，另一端吊着重物B。下列说法正确的是（　　） A．物块A的质量一定比物块B的质量大 B．物块A的质量可能会等于物块B的质量 C．将P点缓慢上移，物块B一定会向上移 D．将P点缓慢上移，物块B一定会向下移 【答案】B 【详解】AB．当动滑轮两边轻绳的夹角为120°时，根据力的合成可知，物块A、B的质量相等，A项错误，B项正确； CD．当P点向上缓慢移动时，假设B不动，对B分析，根据平衡条件可知绳子拉力不变，即动滑轮两边绳上的拉力不变，则两绳子的夹角不变，因此假设成立，CD项错误。 故选B。 05 “动杆”和“定杆”模型 23．如图甲所示，轻绳AD跨过固定在水平横梁BC右端的定滑轮挂住一个质量为的物体；图乙所示的轻杆HG一端用铰链固定在竖直墙上，另一端G通过细绳EG拉住，EG与水平方向成30°角，轻杆的G点用细绳GF拉住一个质量为的物体，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　） A．图甲中BC对滑轮的作用力大小为 B．图乙中HG杆受到绳的作用力为 C．细绳AC段的拉力与细绳EG段的拉力之比为 D．细绳AC段的拉力与细绳EG段的拉力之比为1：1 【答案】C 【详解】A．图甲中绳跨过滑轮，绳上拉力大小处处相等，两段绳的拉力大小都是，互成120°角，则它们的合力大小为，则BC对滑轮的作用力大小也是，故A错误； B．图乙中绳与杆的端点连在一起，杆与绳接触的点G是“死结”，两段绳上的拉力不一定相等，而杆的一端用铰链固定在墙上，则杆对G点的弹力方向沿杆，设EG绳拉力为，根据平衡条件，竖直方向有，解得，故B错误； CD．以上分析可知，AC拉力，EG绳拉力为，故拉力与拉力之比为 故C正确，D错误。 故选 C。 24．如图所示为两种形式的吊车示意图，为重力不计的杆，其端固定，端带有一小滑轮，为重力不计的缆绳，当它们吊起相同重物时，缆绳对甲、乙两图中滑轮作用力的大小分别为和，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】受力分析如图所示 甲图，受力分析有，乙图，受力分析有，所以 故选B。 25.（2025·江西萍乡·三模）如图，甲、乙为两种吊装装置，杆OA的端点分别固定在水平地面和竖直墙面上，另一端固定一个光滑定滑轮。轻绳绕过定滑轮，一端固定在点，另一端连接两个相同的物块。装置中的均为，乙装置中的杆OA水平，定滑轮的质量不计，则甲、乙装置中，定滑轮受到轻绳的作用力大小之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，设重物重力为，可知甲、乙装置中，每段绳的拉力大小等于重物的重力大小，根据平行四边形定则，可得， 所以 故选A。 59．（2025·四川广安·二模）某智能机械臂应用模型如图所示，机械臂通过不可伸长的吊索和可以伸缩的液压杆吊起重物，其中A点通过铰链与竖直墙面连接。现缓慢调整液压杆，使吊索逐渐趋近水平，在此过程中（　　） A．的支持力逐渐增大，的拉力大小不变 B．的支持力先减小后增大，的拉力大小不变 C．的支持力逐渐增大，的拉力逐渐减小 D．的支持力大小不变，的拉力逐渐减小 【答案】A 【详解】对O点受力分析如图 根据相似三角形关系可知，缓慢调整液压杆OA，使吊索OB逐渐趋近水平，在此过程中OA变大，OB不变，可知FAO变大，FOB不变。 故选A。 26．（2025·山东潍坊·二模）（多选）如图所示，小明用轻绳PQ拴住轻杆OQ的顶端，轻杆下端O用铰链固定在水平地面上某高度处，Q端下方悬挂重物，轻绳PQ长度为定值。PQ与水平方向夹角，OQ与水平方向夹角，下列说法正确的是（   ） A．轻绳PQ对Q端的拉力大于重物重力 B．轻杆OQ对Q端的支持力等于重物重力的倍 C．若小明拉住轻绳P端缓慢向右移动，轻绳PQ对Q端的拉力逐渐增大 D．若小明拉住轻绳P端缓慢向右移动，轻绳PQ对Q端的拉力逐渐减小 【答案】BC 【详解】A．设物体的重力为，轻杆的弹力为，轻绳的弹力为。选择点为研究对象，由于OQ为可旋转轻杆，则Q点所受杆的弹力方向沿杆指向Q，Q点所受轻绳的拉力沿绳指向P。Q点受力分析图如下 由几何关系可得，，为角平分线，则，A错误； B．由A选项受力分析可知，，B正确； CD．过O点向PQ做垂线交PQ于S，设O距离水平PQ面的高度为H，选择Q为研究对象，做矢量三角形如图所示 由几何关系可知，力的矢量三角形与几何三角形OQS相似，且满足，轻绳P端缓慢向右移动过程中，SO减小，SQ增大，则增大，C正确,D错误。 故选BC。 27．（2025·辽宁·模拟预测）静止在水平面上的起重吊车吊起重物时的结构简图如图所示，轻杆CD可绕C端自由转动，D端系着两条轻绳，一条轻绳绕过固定杆AB顶端的定滑轮与质量为m的重物相连，另一轻绳缠绕在电动机转轴O上，通过电动机的牵引控制CD杆的转动从而控制重物的起落。图中所示位置两杆处于同一竖直面内，OD绳沿竖直方向，重物m处于静止状态，起重吊车质量为M（不包括重物m），，，重力加速度为。 (1)求固定杆AB受到轻绳的作用力大小、CD杆受到轻绳的作用力大小和OD绳的拉力大小； (2)求地面对起重吊车的支持力并分析地面对起重吊车是否有摩擦力，若有，求出摩擦力大小，若没有，说明理由。 【答案】(1)；； (2)；无摩擦力，理由见解析 【详解】（1） 由题意可知绳BD的张力 且 所以固定杆AB受到轻绳的作用力 因为CD杆为动杆，所以杆对绳的力一定沿着杆，根据三角形定则，可得杆CD受轻绳拉力的大小 OD绳的拉力 （2）对起重吊车、重物和绳整体进行分析，整体受重力和地面对起重吊车的支持力，则 整体水平方向上不受外力，所以地面对起重吊车无摩擦力。 1．（2025·贵州遵义·模拟预测）如图（a）所示，声镊技术可用于精准地将药物输送至病变部位。某小组模拟声镊输送药物：如图（b）所示，在光滑水平面上O点放置一小物体，给物体施加三个力。初始时，三力两两互成，且均与物体在同一水平面内，分别正对M口、N口方向，物体静止在O点。现通过调整力，使物体沿虚线路径运动，下列说法正确的是（　　） A．仅减小的大小，能使物体沿虚线运动到M口 B．仅增加的大小，能使物体沿虚线运动到P口 C．仅调整的方向，不能使物体沿虚线运动到P口 D．仅调整的方向，不能使物体沿虚线运动到N口 【答案】C 【详解】AB．初始时，三力两两互成，物体静止在O点，则任意两个力的合力与第三个力等大反向，所以仅减小的大小，则合力与反向，能使物体沿虚线运动到P口，同理仅增加的大小，则合力与同向，能使物体沿虚线运动到N口，故AB错误； C．和的合力等于，三力的合力一定在和的合力与的角分线上，，所以仅调整的方向，不能使物体沿虚线运动到P口，故C正确； D．和的合力等于，三力的合力一定在和的合力与的角分线上，所以仅调整的方向，可以使物体沿虚线运动到P口，故D错误。 故选C。 2．（2024·内蒙古通辽·一模）我国北方小孩在秋天常玩的一种游戏，叫“拔老根儿”，如图所示。其实就是两个人，每人手里拿着长长的杨树叶根，把两个叶根十字交错在一起，两人各自揪住自己手里叶根的两头，同时使劲往自己怀里拽，谁手里的叶根儿断了谁输。假如两小孩选用的树叶根所承受的最大拉力相等， 则下列说法正确的是（　　） A．叶根夹角较小的一方获胜 B．力气较大的小孩获胜 C．叶根夹角较大的一方的叶根对另一方的叶根的作用力更大些 D．叶根夹角较大的一方的叶根对另一方的叶根的作用力更小些 【答案】A 【详解】根据牛顿第三定律可知，叶根夹角较大的一方的叶根与另一方的叶根的作用力大小相等；以两个叶根十字交错点为对象，可知每个叶根对交错点的作用力的合力大小相等，根据，可知叶根夹角较小的一方，叶根产生的拉力较小，则叶根夹角较大的一方先达到树叶根所承受的最大拉力，故叶根夹角较小的一方获胜。 故选A。 3．（2024·广东广州·模拟预测）如图所示俯视图，当汽车陷入泥潭时，需要救援车辆将受困车辆拖拽驶离。救援人员发现在受困车辆的前方有一坚固的树桩可以利用，根据你所学过的知识判断，下列情况中，救援车辆用同样的力拖拽，受困车辆受到的拉力最大的方案为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A图中，根据受力分析可知，救援车辆的拉力为受困车辆所受拖拽力的一半；Ｂ图中，根据受力分析可知，救援车辆的拉力为缆绳两侧拖拽拉力的合力，因初始时刻两分力夹角接近180°，合力远小于两分力(小于所受拖拽力的一半)；C图中，缆绳与树桩构成定滑轮系统，仅改变力的方向，未改变力的大；D图中，根据受力分析可知，救援车辆的拉力为受困车辆所受拖拽力的2倍；综上所述B图最省力。 故选B。 1．（2018·上海·高考真题）已知物体受三个力，其中两个力垂直，三个力大小相等，问是否可以三力平衡（　　） A．一定不能平衡 B．若能平衡则，平衡条件和力的大小有关 C．若能平衡则平衡条件仅和角度有关 D．以上说法都不对 【答案】A 【详解】设这三个力大小均为，则和的合力大小为：，故三个力一定不会平衡，故BCD错误，A正确。 故选A。 5．（2018·天津·高考真题）（多选）明朝谢肇淛的《五杂组》中记载：“明姑苏虎丘寺庙倾侧，议欲正之，非万缗不可．一游僧见之,曰：无烦也，我能正之．”游僧每天将木楔从塔身倾斜一侧的砖缝间敲进去，经月余扶正了塔身．假设所用的木楔为等腰三角形，木楔的顶角为θ，现在木楔背上加一力F，方向如图所示，木楔两侧产生推力N，则（　　） A．若F一定，θ大时N大 B．若F一定，θ小时N大 C．若θ一定，F大时N大 D．若θ一定，F小时N大 【答案】BC 【详解】选木楔为研究对象，木楔受到的力有：水平向左的F、和两侧给它的与木楔的斜面垂直的弹力，由于木楔处于平衡状态，所以侧给它的与木楔的斜面垂直的弹力与F沿两侧分解的分力是相等的，力F的分解如图 则，所以，由公式可知，当F一定，θ小时FN大，当θ一定，F大时FN大，AD错误，BC正确； 故选BC。 2．（2013·上海·高考真题）两个共点力F1、F2大小不同，它们的合力大小为F，则(　　) A．F1、F2同时增大一倍，F也增大一倍 B．F1、F2同时增加10 N，F也增加10 N C．F1增加10 N，F2减少10 N，F一定不变 D．若F1、F2中的一个增大，F一定增大 【答案】A 【详解】A、根据平行四边形定则，F1、F2同时增大一倍，F也增大一倍，故A正确 B、F1、F2同时增加10N，根据平行四边形定则合成之后，合力的大小增加不一定是10N，故B错误 C、F1增加10N，F2减少10N，F一定变化，故C错误 D、F1、F2中的一个减小，根据平行四边形定则合成之后，合力的大小不一定减小，故D错误． 故选A． 4．（2012·上海·高考真题）已知两个共点力的合力为50N，分力F1的方向与合力F的方向成30°角，分力F2的大小为30N。则（　　） A．F1的大小是唯一的 B．F2的方向是唯一的 C．F2有两个可能的方向 D．F2可取任意方向 【答案】C 【详解】已知一个分力有确定的方向，与合力F的方向成30°角，可知另一个分力的最小值为，依题意，易知F2有两个可能的方向。 故选C。 3．（2009·海南·高考真题）两个大小分别为和（）的力作用在同一质点上，它们的合力的大小F满足 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当两个分力方向相同时，合力最大为两分力标量和，当两分力方向相反时，合力最小，为两分力的标量差。 故选C 1 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 力的合成与分解 目录 01 课标达标练 1 题型01 力的合成 1 题型02 力的分解 2 题型03 正交分解法求合力 5 题型04 “活结”和“死结”模型 6 题型05 “动杆”和“定杆”模型 10 02 核心突破练 13 03 真题溯源练 14 01 力的合成 1．（2025·湖南郴州·模拟预测）如图所示，已知两个力F1=F2=6N，两个力互成120°，且在一个平面上，求这两个力的合力（　　） A．6N B．12N C．6N D． 2．三个力，，关于三个力的合力，下列说法正确的是（　　） A．三个力的合力的最小值为 B．三个力的合力的最大值为 C．三个力的合力可能为 D．三个力的合力不可能为 3．关于共点力的合成，下列说法正确的是（　　） A．两个分力的合力一定比分力大 B．两个分力大小一定，夹角越大，合力越小 C．两个力合成，其中一个力增大，另外一个力不变，合力一定增大 D．现有三个力，大小分别为3N、6N、8N，这三个力的合力最小值为1N 02 力的分解 4．（2024·广东深圳·模拟预测）竖直墙上M为一坚实的固定圆环，同一高度的N为一铁钉，MN之间连着细铁丝，以下选项A中，有一力F沿图中水平方向拉着铁钉，B、C、D选项中同一大小的力F在铁丝中点沿图中方向拉铁丝，四种情况下，铁钉受到拉力最大的是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·河北石家庄·一模）帆船是人类的伟大发明之一，船员可以通过调节帆面的朝向让帆船逆风行驶，如图所示为帆船逆风行驶时的简化示意图，此时风力方向与帆面的夹角，航向与帆面的夹角，风力在垂直帆面方向的分力推动帆船逆风行驶。已知，则帆船在沿航向方向获得的动力为（　　） A．200N B．400N C．600N D．800N 6．（2025高一·上海·专题练习）关于力的分解，下列说法正确的是（　　） A．一个10N的力可以分解为15N和4N的两个共点力 B．一个10N的力可以分解为5N和4N的两个共点力 C．一个2N的力可以分解为5N和4N的两个共点力 D．一个2N的力可以分解为6N和3N的两个共点力 7．（2025·贵州贵阳·二模）“世界桥梁看中国，中国桥梁看贵州”。目前贵州在建的世界第一高桥六安高速公路花江峡谷大桥于2025年1月17日在距离水面625米高空精准接龙，实现贯通。如图所示为斜拉桥的索塔与钢索的简单示意图，斜拉桥所有钢索均处在同一竖直面内，假设每根钢索对桥作用力大小相等、其与水平方向夹角相等（忽略钢索的质量及桥面高度的变化）。下列说法正确的是（　　） A．仅减小索塔高度可减小每根钢索的拉力大小 B．仅增加索塔高度可减小每根钢索的拉力大小 C．仅增加钢索的数量可减小索塔受到的向下的压力 D．仅减少钢索的数量可减小索塔受到的向下的压力 8．（2025·河南·三模）榫卯结构是中国传统木建筑、木家具的主要结构方式，我国未来的月球基地将采用月壤烧制的带有榫卯结构的月壤砖建设。在木结构上凿削矩形榫眼用的是如图甲所示木工凿，凿削榫眼时用锤子敲击木工凿柄，将木工凿尖端钉入木头，木工凿尖端钉入木头时的截面如图乙所示，锤子对木工凿施加的力沿竖直面向下，木工凿对木头的侧面和竖直面的压力大小分别为和，下列说法正确的是（　　） A．和是的两个分力 B．凿子尖端打磨的夹角不同，可能大于 C．凿子尖端打磨的夹角不同，可能大于 D．凿子尖端打磨的夹角不同，可能小于 9．（2024·全国·模拟预测）我们在进行古建筑复原时，需要用各种各样的凿子制作卯眼，如图甲所示为木工常用的一种凿子，其截面如图乙所示，侧面与竖直面间的夹角为。当在顶部施加竖直向下的力F时，其侧面和竖直面对两侧木头的压力分别为和，不计凿子的重力和摩擦阻力，下列说法正确的是（　　）    A．力F一定小于 B．力F一定大于 C．和之间的大小关系满足 D．夹角越大，凿子越容易进入木头 10．（2024·吉林长春·模拟预测）我国古代人民掌握了卓越的航海技术，曾有“郑和七下西洋”的壮举。帆船要逆风行驶时要调整帆面的朝向，使船沿“之”字形航线逆风而行。风吹到帆面，产生的风力垂直于帆面，由于船沿垂直于船身的阻力非常大，风力垂直于航身的分量不会引起船侧向的运动，在风力的作用下，船便会沿平行于船身方向运动。在下列各图中，风向如图所示，船沿虚线的路线逆风而行，则各图中帆面的方位正确的是（　　） A． B． C． D． 11．如图所示，大力士用绳子拉动汽车，绳中的拉力为，绳与水平方向的夹角为，若将沿水平方向和竖直方向分解，则其竖直方向的分力大小为（　　） A． B． C． D． 03 正交分解法求合力 12．科学的佩戴口罩，对于新冠肺炎、流感等呼吸道传染病具有预防作用，既保护自己，又有利于公众健康。如图所示为一侧耳朵佩戴口罩的示意图，一侧的口罩带是由直线AB、弧线BCD和直线DE组成的。假若口罩带可认为是一段劲度系数为k的弹性轻绳，在佩戴好口罩后弹性轻绳被拉长了x，此时段与水平方向的夹角为37°，段与水平方向的夹角为53°，弹性绳涉及到的受力均在同一平面内，不计摩擦，已知，，则下列说法正确的是（    ） A．耳朵受到的口罩带的作用力为 B．耳朵受到的口罩带的作用力小于2kx C．耳朵对口罩带的作用力方向与水平方向夹角为37° D．耳朵对口罩带的作用力方向与水平方向夹角为53° 04 “活结”和“死结”模型 13．（2024·陕西安康·模拟预测）四个小朋友玩“东西南北跑比赛”，他们被围在一个弹力圈中，从中心向外沿各自的方向移动，去拿外围的游戏道具，谁先拿到谁就能赢得比赛。某时刻四个小朋友处于如图所示的僵持状态，则此时受到弹力圈的弹力最小的是（　　） A．1号小朋友 B．2号小朋友 C．3号小朋友 D．4号小朋友 14．如图所示，吊灯被两根不等长的细绳OA、OB静止悬挂在天花板上， α<β。细绳OA、OB 中的拉力分别记为 FA、FB，下列说法正确的是（　　） A．FA大于 FB B．FA小于 FB C．FA在水平方向的分力大于 FB在水平方向的分力 D．FA在竖直方向的分力大于 FB在竖直方向的分力 15．奥运会射箭比赛中弓箭发射时弦和箭可等效为如图所示的模型，已知弦均匀且弹性良好，其弹力满足胡克定律，自由长度为l，劲度系数为k，发射箭时弦的最大长度为（弹性限度内）．此时弓的顶部跨度（虚线长）为l（假设箭在弦的正中间，弦夹在类似动滑轮的附加装置上），箭被发射瞬间所受的弹力为（　　） A． B． C． D． 16．（2025·浙江·三模）如图所示，物块A与B用跨过滑轮的轻绳相连，稳定后，轻绳 OP与水平方向夹角为，OA和OB与OP的延长线的夹角分别为和。已知，地面对物块B的弹力为NB=80N，不计滑轮的重力及轻绳和滑轮之间的摩擦，下列说法正确的是（　　） A． B．物体A的重力40N C．OP绳子的拉力为 D．地面对物体B的摩擦力为20N 17．（2025·甘肃白银·模拟预测）如图所示，两根竖直杆沿东西方向固定在水平地面上，不可伸长的轻质细绳两端分别固定在竖直杆上等高的A、B两点。已知衣服及衣架整体的总质量为m，静止时挂钩与绳的接触点为O。若是无风天气，绳与杆之间所夹锐角为，重力加速度为g，不计衣架与绳之间的摩擦，则（    ） A．无风情况下绳的拉力大小 B．无风情况下绳的拉力大小 C．若整个环境有方向从北向南的水平恒定风力，衣架整体稳定后，小明测得此时三点构成的平面与竖直面的夹角为，则绳的拉力大小 D．若整个环境有方向从北向南的水平恒定风力，衣架整体稳定后，小明测得此时三点构成的平面与竖直面的夹角为，则绳的拉力大小 18．（2025·全国·一模）如图所示，一高考倒计时牌通过一根轻绳悬挂在挂钩上。挂上后发现倒计时牌是倾斜的，已知，计时牌的重力大小为。不计一切摩擦，则下列说法正确的是（　　） A．如图位置平衡时，绳的拉力大于绳的拉力 B．如图位置平衡时，绳与竖直方向的夹角大于绳与竖直方向的夹角 C．如图位置平衡时，绳的拉力大小为 D．将计时牌挂正，平衡时绳的拉力小于计时牌倾斜时绳的拉力 19．（2025·安徽·模拟预测）如图所示，一置于竖直平面内的直杆与水平方向的夹角为， A、两端系着一根不可伸长的轻绳，绳长大于直杆的长度，轻绳上有一动滑轮，重物悬挂在动滑轮上，系统处于静止状态。现将直杆在竖直平面内绕点顺时针缓慢转过角度。忽略动滑轮与轻绳的摩擦，在此过程中，下列说法正确的是（　　） A．轻绳的拉力先增大后减小 B．轻绳的拉力先减小后增大 C．重物受到的合力先减小后增大 D．重物受到的合力先增大后减小 20．（2025·河北沧州·模拟预测）如图所示，轻绳的一端固定于P点，经过一个光滑的定滑轮O，另一端栓接质量为m的物块A。用一个轻质且光滑的挂钩将另一个质量也为m的物块B挂在绳OP之间，当物块B达到平衡态时，挂钩的悬挂点Q和P点连线与水平方向的夹角为，则等于（　　） A． B． C． D． 21．（2025·广东·二模）如图所示，站在地面不动的工人利用滑轮组将货物缓慢提起。提起过程中，工人拉绳的方向不变，动滑轮两侧的绳子不平行，不计滑轮摩擦力，下列说法正确的是（　　） A．工人受到的重力和支持力是一对作用力与反作用力 B．工人对绳子的拉力和绳子对工人的拉力是一对平衡力 C．货物缓慢拉起过程中，绳子对动滑轮的作用力不变 D．货物缓慢拉起过程中，地面对工人的支持力变大 22．（2025·江西·模拟预测）如图是一种吊装装置，动滑轮和定滑轮的质量与摩擦均不计，重物A吊在动滑轮上，绕过定滑轮和动滑轮的轻绳一端固定在竖直杆上P点，另一端吊着重物B。下列说法正确的是（　　） A．物块A的质量一定比物块B的质量大 B．物块A的质量可能会等于物块B的质量 C．将P点缓慢上移，物块B一定会向上移 D．将P点缓慢上移，物块B一定会向下移 05 “动杆”和“定杆”模型 23．如图甲所示，轻绳AD跨过固定在水平横梁BC右端的定滑轮挂住一个质量为的物体；图乙所示的轻杆HG一端用铰链固定在竖直墙上，另一端G通过细绳EG拉住，EG与水平方向成30°角，轻杆的G点用细绳GF拉住一个质量为的物体，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　） A．图甲中BC对滑轮的作用力大小为 B．图乙中HG杆受到绳的作用力为 C．细绳AC段的拉力与细绳EG段的拉力之比为 D．细绳AC段的拉力与细绳EG段的拉力之比为1：1 24．如图所示为两种形式的吊车示意图，为重力不计的杆，其端固定，端带有一小滑轮，为重力不计的缆绳，当它们吊起相同重物时，缆绳对甲、乙两图中滑轮作用力的大小分别为和，则为（　　） A． B． C． D． 25.（2025·江西萍乡·三模）如图，甲、乙为两种吊装装置，杆OA的端点分别固定在水平地面和竖直墙面上，另一端固定一个光滑定滑轮。轻绳绕过定滑轮，一端固定在点，另一端连接两个相同的物块。装置中的均为，乙装置中的杆OA水平，定滑轮的质量不计，则甲、乙装置中，定滑轮受到轻绳的作用力大小之比为（　　） A． B． C． D． 26．（2025·四川广安·二模）某智能机械臂应用模型如图所示，机械臂通过不可伸长的吊索和可以伸缩的液压杆吊起重物，其中A点通过铰链与竖直墙面连接。现缓慢调整液压杆，使吊索逐渐趋近水平，在此过程中（　　） A．的支持力逐渐增大，的拉力大小不变 B．的支持力先减小后增大，的拉力大小不变 C．的支持力逐渐增大，的拉力逐渐减小 D．的支持力大小不变，的拉力逐渐减小 27．（2025·山东潍坊·二模）（多选）如图所示，小明用轻绳PQ拴住轻杆OQ的顶端，轻杆下端O用铰链固定在水平地面上某高度处，Q端下方悬挂重物，轻绳PQ长度为定值。PQ与水平方向夹角，OQ与水平方向夹角，下列说法正确的是（   ） A．轻绳PQ对Q端的拉力大于重物重力 B．轻杆OQ对Q端的支持力等于重物重力的倍 C．若小明拉住轻绳P端缓慢向右移动，轻绳PQ对Q端的拉力逐渐增大 D．若小明拉住轻绳P端缓慢向右移动，轻绳PQ对Q端的拉力逐渐减小 28．（2025·辽宁·模拟预测）静止在水平面上的起重吊车吊起重物时的结构简图如图所示，轻杆CD可绕C端自由转动，D端系着两条轻绳，一条轻绳绕过固定杆AB顶端的定滑轮与质量为m的重物相连，另一轻绳缠绕在电动机转轴O上，通过电动机的牵引控制CD杆的转动从而控制重物的起落。图中所示位置两杆处于同一竖直面内，OD绳沿竖直方向，重物m处于静止状态，起重吊车质量为M（不包括重物m），，，重力加速度为。 (1)求固定杆AB受到轻绳的作用力大小、CD杆受到轻绳的作用力大小和OD绳的拉力大小； (2)求地面对起重吊车的支持力并分析地面对起重吊车是否有摩擦力，若有，求出摩擦力大小，若没有，说明理由。 1．（2025·贵州遵义·模拟预测）如图（a）所示，声镊技术可用于精准地将药物输送至病变部位。某小组模拟声镊输送药物：如图（b）所示，在光滑水平面上O点放置一小物体，给物体施加三个力。初始时，三力两两互成，且均与物体在同一水平面内，分别正对M口、N口方向，物体静止在O点。现通过调整力，使物体沿虚线路径运动，下列说法正确的是（　　） A．仅减小的大小，能使物体沿虚线运动到M口 B．仅增加的大小，能使物体沿虚线运动到P口 C．仅调整的方向，不能使物体沿虚线运动到P口 D．仅调整的方向，不能使物体沿虚线运动到N口 2．（2024·内蒙古通辽·一模）我国北方小孩在秋天常玩的一种游戏，叫“拔老根儿”，如图所示。其实就是两个人，每人手里拿着长长的杨树叶根，把两个叶根十字交错在一起，两人各自揪住自己手里叶根的两头，同时使劲往自己怀里拽，谁手里的叶根儿断了谁输。假如两小孩选用的树叶根所承受的最大拉力相等， 则下列说法正确的是（　　） A．叶根夹角较小的一方获胜 B．力气较大的小孩获胜 C．叶根夹角较大的一方的叶根对另一方的叶根的作用力更大些 D．叶根夹角较大的一方的叶根对另一方的叶根的作用力更小些 3．（2024·广东广州·模拟预测）如图所示俯视图，当汽车陷入泥潭时，需要救援车辆将受困车辆拖拽驶离。救援人员发现在受困车辆的前方有一坚固的树桩可以利用，根据你所学过的知识判断，下列情况中，救援车辆用同样的力拖拽，受困车辆受到的拉力最大的方案为（　　） A． B． C． D． 1．（2018·上海·高考真题）已知物体受三个力，其中两个力垂直，三个力大小相等，问是否可以三力平衡（　　） A．一定不能平衡 B．若能平衡则，平衡条件和力的大小有关 C．若能平衡则平衡条件仅和角度有关 D．以上说法都不对 5．（2018·天津·高考真题）（多选）明朝谢肇淛的《五杂组》中记载：“明姑苏虎丘寺庙倾侧，议欲正之，非万缗不可．一游僧见之,曰：无烦也，我能正之．”游僧每天将木楔从塔身倾斜一侧的砖缝间敲进去，经月余扶正了塔身．假设所用的木楔为等腰三角形，木楔的顶角为θ，现在木楔背上加一力F，方向如图所示，木楔两侧产生推力N，则（　　） A．若F一定，θ大时N大 B．若F一定，θ小时N大 C．若θ一定，F大时N大 D．若θ一定，F小时N大 2．（2013·上海·高考真题）两个共点力F1、F2大小不同，它们的合力大小为F，则(　　) A．F1、F2同时增大一倍，F也增大一倍 B．F1、F2同时增加10 N，F也增加10 N C．F1增加10 N，F2减少10 N，F一定不变 D．若F1、F2中的一个增大，F一定增大 4．（2012·上海·高考真题）已知两个共点力的合力为50N，分力F1的方向与合力F的方向成30°角，分力F2的大小为30N。则（　　） A．F1的大小是唯一的 B．F2的方向是唯一的 C．F2有两个可能的方向 D．F2可取任意方向 3．（2009·海南·高考真题）两个大小分别为和（）的力作用在同一质点上，它们的合力的大小F满足 A． B． C． D． 14 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$