精品解析：辽宁省沈文新高考研究联盟2024-2025学年高一下学期7月期末质量监测数学试题

2024-2025（下）期末质量监测 高 一 数 学 本试卷满分150分 考试时间120分钟 【命题组织单位：辽宁沈文新高考研究联盟】 第Ⅰ卷 选择题（共58分） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共 40 分，在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 如果复数z满足，那么的最小值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 2. 已知点在第三象限，则角在第几象限（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知点，，，则在上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，已知正六边形，下列向量的数量积中最大的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，为测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，则塔高为（ ） A. B. C. D. 7. 在空间中，l，m是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 8. 数学中有许多形状优美､寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分.如图，在勒洛四面体中，正四面体的棱长为2，则该勒洛四面体内切球的半径是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知向量，．下列选项正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若向量与的夹角为锐角，则 D. 若，则向量在向量上的投影向量为 10. 已知为斜三角形，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（ ） A. B. 的最小值为2 C. 若，则 D. 若，则 11. 如图，长方体中，，，点是线段的中点，点为线段中点，则下列说法正确的是（ ） A. 长方体被平面截得的截面是一个五边形 B. 长方体被平面截得的截面面积为 C. 与平面平行 D. 三棱锥的体积为6 第Ⅱ卷 非选择题（共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15 分） 12. 已知，则________. 13. 设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为_______． 14. 已知三边分别为，，，且则边所对应的角大小为__________，此时，如果，则的最大值为__________． 四、解答题（本大题共5小题，共 77 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知，. （1）求的值； （2）求的值． 16. 在中，角的对边分别为，且满足． （1）求B的大小； （2）若，的面积为，求的周长． 17. 如图所示，梯形是水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，其中，，，． （1）画出原四边形； （2）分别求出原四边形与梯形的面积． 18. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，三点共线，点O不在直线AB上，满足. （1）求的值； （2），，，，若的最小值为，求的最大值. 19. 材料一：我们可以发现这样一个现象：随机生成的一元多项式，在复数集中最终都可以分解成一次因式的乘积，且一次因式的个数（包括重复因式）就是被分解的多项式的次数.事实上，数学中有如下定理： 代数基本定理：任何一元次复系数多项式方程至少有一个复数根. 材料二：由代数基本定理可以得到：任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为个一次因式的乘积.进而，一元次多项式方程有个复数根（重根按重数计）. 下面我们从代数基本定理出发，看看一元多项式方程的根与系数之间的关系. 设实系数一元二次方程 在复数集内的根为，容易得到 设实系数一一元三次方程① 在复数集内的根为，可以得到，方程①可变形为 展开得：② 比较①②可以得到根与系数之间的关系： 阅读以上材料，利用材料中的方法及学过的知识解决下列问题： （1）对于方程在复数集内的根为，求的值； （2）如果实系数一元四次方程在复数集内的根为，试找到根与系数之间的关系； （3）已知函数，对于方程在复数集内的根为，当时，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025（下）期末质量监测 高 一 数 学 本试卷满分150分 考试时间120分钟 【命题组织单位：辽宁沈文新高考研究联盟】 第Ⅰ卷 选择题（共58分） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共 40 分，在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 如果复数z满足，那么的最小值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用复数模的几何意义求出z的轨迹．然后画图求解即可． 【详解】设复数，，在复平面内对应的点分别为，，， 因为，， 所以复数z对应的点Z的集合线段，如图所示， 所以求的最小值的问题转化为：动点Z在线段上移动，求的最小值． 因此作于，则与的距离即为所求的最小值，， 故的最小值是1． 故选：A． 2. 已知点在第三象限，则角在第几象限（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据可判断. 【详解】由题意可知，，则角在第二象限. 故选：B 3. 已知则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知，再根据充分必要条件的概念，即可得到结果. 【详解】因为，解得， ∴“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 4. 已知点，，，则在上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量的定义，结合平面向量数量积的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】因为,所以 所以在上的投影向量的坐标为： ， 故选 ：C. 5. 如图所示，已知正六边形，下列向量的数量积中最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正六边形的性质及数量积的定义计算可得； 【详解】解：根据正六边形的几何性质，可知，，，． ，，， ．比较可知A正确． 故选：A 6. 如图所示，为测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，则塔高为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先在中，利用正弦定理求得，再在直角中，利用正切函数的定义，求得的长，即可求解． 【详解】在中，， 所以 所以， 由正弦定理， 可得， 在直角中，因为 所以， 即塔高为． 故选：C． 7. 在空间中，l，m是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面的位置关系及判定方法求解. 【详解】若，，，则或异面，故A错误； 若，，则或，故B错误； 若，，，可能有，故C错误； 若，，则，又，则，故D正确， 故选：D. 8. 数学中有许多形状优美､寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分.如图，在勒洛四面体中，正四面体的棱长为2，则该勒洛四面体内切球的半径是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出正四面体外接球半径，再根据勒洛四面体的特征求出其内切球的半径. 【详解】由对称性知勒洛四面体内切球的球心是正四面体外接球的球心， 连接，并延长交勒洛四面体的曲面于点，则就是勒洛四面体内切球的半径， 在正四面体中，为的中心，是正四面体外接球的球心， 连接、、，由正四面体的性质知在上，而， 则，， 由，得， 又，所以该勒洛四面体内切球的半径. 故选：B 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知向量，．下列选项正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若向量与的夹角为锐角，则 D. 若，则向量在向量上的投影向量为 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，根据平行关系得到方程，求出；B选项，根据垂直关系得到方程，求出；C选项，根据夹角为锐角，得到且与不同向共线，得到不等式，求出答案；D选项，利用投影向量的求解公式求出答案. 【详解】A选项，，解得，A错误； B选项，，故，解得，B正确； C选项，向量与的夹角为锐角，故且与不同向共线， 故且，解得且，C错误； D选项，若，则向量在向量上的投影向量为，D正确. 故选：BD 10. 已知为斜三角形，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（ ） A. B. 的最小值为2 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据正弦定理化简，结合推导出，然后化成正切的式子，得到，判断出A项正确；根据基本不等式取等号的条件，得到当的最小值时，，此时为等腰直角三角形，与题设矛盾，可知B项不正确；利用正弦定理证出，结合余弦定理，证出，判断出C项正确；若，利用余弦定理与三角恒等变换公式，化简得到，求得或，可知D项不正确． 【详解】A．由，得， 因为， 所以， 两边都除以，得， 整理得，故A项正确； B．若的最小值为2，则此时，可得， 结合，得， 此时，可得，与为斜三角形矛盾，故B项不正确； C．若，由正弦定理，得， 结合，可得， 所以，可得， 由余弦定理得， 因此，，整理得，故C项正确； C．， 若，则， 可得，即， 结合为三角形的内角，可知或， 所以或，故D项不正确． 故选：AC． 11. 如图，长方体中，，，点是线段的中点，点为线段中点，则下列说法正确的是（ ） A. 长方体被平面截得的截面是一个五边形 B. 长方体被平面截得的截面面积为 C. 与平面平行 D. 三棱锥的体积为6 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据基本事实3确定截面的形状，再求截面的面积由此判断A，B，根据直线与平面的位置关系判断C，由锥体体积公式求体积判断D. 【详解】延长交于点，延长交于点，连接分别交与点，连接，则五边形为长方体被平面截得的截面，A对， 因为，点是线段的中点，点为线段中点，所以 所以为等腰直角三角形，所以，， 又与相似，所以，又， 所以，， 所以，， 同理可得，， 在中，，， 所以的面积， 在中，，， 所以的面积， 同理的面积， 所以五边形的面积为，B对， 若与平面平行，平面，平面平面， 所以，则，但，所以与平面不平行， 所以C错， 因为三棱锥的体积等于三棱锥的体积， 由 所以，D对， 故选：ABD. 第Ⅱ卷 非选择题（共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15 分） 12. 已知，则________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据三角函数的基本关系式，结合“齐次式”的运算，即可求解. 【详解】因为，则. 故答案为：3. 13. 设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量模的平方等于向量的平方化简条件得，再根据向量夹角公式求函数关系式，根据函数单调性求最值. 【详解】， ， ， . 故答案为：. 【点睛】本题考查利用模求向量数量积、利用向量数量积求向量夹角、利用函数单调性求最值，考查综合分析求解能力，属中档题. 14. 已知三边分别为，，，且则边所对应的角大小为__________，此时，如果，则的最大值为__________． 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】根据余弦定理可得角，再根据向量数量积公式结合正弦定理可将其转化为三角函数求最值问题，进行求解即可. 【详解】由余弦定理得 ，， 解得：； 又， ， 根据正弦定理得 ， 又，且，即，解得， 所以，所以当时，函数取得最大值， 故答案为：，. 四、解答题（本大题共5小题，共 77 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知，. （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由平方关系及角的范围求得，再根据商数关系即可求. （2）应用诱导公式化简目标式，由（1）所得结果代入求值即可. 【小问1详解】 因为sin α＝，则，又<α<， 所以，则. 所以. 【小问2详解】 原式==. 16. 在中，角的对边分别为，且满足． （1）求B的大小； （2）若，的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2）9 【解析】 【分析】（1）根据题意，由余弦定理得，再由正弦定理得，即可求解； （2）由三角形的面积公式，求得，根据题意和余弦定理，化简求得的值，即可求解. 【小问1详解】 解：因为，可得， 由余弦定理得， 又由正弦定理得， 因为，所以，所以，所以， 又因为，所以. 【小问2详解】 解：由三角形的面积公式，可得，可得， 又由余弦定理得， 因为，所以，解得， 所以的周长为． 17. 如图所示，梯形是水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，其中，，，． （1）画出原四边形； （2）分别求出原四边形与梯形的面积． 【答案】（1）如图所示： （2）5，． 【解析】 【分析】（1）利用斜二测画法的规则即可画出原四边形； （2）利用梯形的面积公式求解即可. 【小问1详解】 由题意得， 如图，建立平面直角坐标系， 在轴上截取，，，  在过点的轴的平行线上截取， 在过点的轴的平行线上截取， 连接，即可得到原四边形． 【小问2详解】 由题意得，原四边形是直角梯形，且，，， 故四边形的面积为， 又直观图中梯形的高为，，， 所以四边形的面积为． 18. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，三点共线，点O不在直线AB上，满足. （1）求的值； （2），，，，若的最小值为，求的最大值. 【答案】（1）； （2）1. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用平面向量基本定理推理计算作答. （2）利用向量数量积的坐标表示求出函数，再借助二次函数在闭区间上的最值求出即可求解作答. 【小问1详解】 因，，三点共线，即，则有， 依题意，不共线，而，于是得，解得， 所以的值是. 【小问2详解】 因，，由（1）知，，， ，而， 当时，，有， 当时，，有， 当时，，有， 所以的最大值是1. 【点睛】思路点睛：涉及分段函数最值问题，先求出每一段在各自对应区间上的函数值集合，再求出这些集合的并集即可探求出最值. 19. 材料一：我们可以发现这样一个现象：随机生成的一元多项式，在复数集中最终都可以分解成一次因式的乘积，且一次因式的个数（包括重复因式）就是被分解的多项式的次数.事实上，数学中有如下定理： 代数基本定理：任何一元次复系数多项式方程至少有一个复数根. 材料二：由代数基本定理可以得到：任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为个一次因式的乘积.进而，一元次多项式方程有个复数根（重根按重数计）. 下面我们从代数基本定理出发，看看一元多项式方程的根与系数之间的关系. 设实系数一元二次方程 在复数集内的根为，容易得到 设实系数一一元三次方程① 在复数集内的根为，可以得到，方程①可变形为 展开得：② 比较①②可以得到根与系数之间的关系： 阅读以上材料，利用材料中的方法及学过的知识解决下列问题： （1）对于方程在复数集内的根为，求的值； （2）如果实系数一元四次方程在复数集内的根为，试找到根与系数之间的关系； （3）已知函数，对于方程在复数集内的根为，当时，求的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题中阅读材料按公式求得三个根之间的关系，再计算的值； （2）根据题意推广得到一元四次方程根与系数的关系； （3）由题有的三个实根为，设，右侧展开利用对应系数相等得，计算结合求最大值. 【小问1详解】 由阅读材料可知：，且 有：； 【小问2详解】 由材料可知：一元四次方程可改写为， 展开得： ， 故可得： 【小问3详解】 由题有的三个实根为. 设， 展开得， 故， 则， 又，故， 综上：当时，的最大值为-3. 【点睛】关键点点睛：本题第三问关键是由题有的三个实根为， 设，右侧展开利用对应系数相等得，计算结合求最大值； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $