培优点14 导数中的零点问题（6大题型）（讲义+精练）-2026年新高考数学大一轮复习讲义之技巧精讲与题型全归纳（新高考专用）

培优点14 导数中的零点问题 目录 01 重点解读 2 02 思维升华 3 03 典型例题 4 题型一：利用导数研究零点个数 4 题型二：利用函数零点个数求参数范围 5 题型三：隐零点问题 6 题型四：零点赋值问题 7 题型五：零点差问题 8 题型六：max与min的零点问题 10 04 课时精练 12 导数在深入探究函数的单调特性、极值以及最值等关键性质时，发挥着不可或缺的作用。而要有效运用导数解决这些问题，一个核心要素便是精准把握函数的零点。具体而言，导函数零点的出现，往往标志着原函数单调性发生变化的临界点，或是原函数取得极值的点，甚至可能是最值的所在点。因此，牢牢抓住函数的零点，就等于掌握了解决导数相关问题的关键钥匙。 零点问题，作为导数应用中的一个重要方面，主要涵盖以下四大类别： 1、函数零点个数的判定问题； 2、函数零点所在范围的确定问题； 3、隐零点（即不易直接求解的零点）的处理问题； 4、分段函数零点的分析与求解问题。 1、解决零点个数问题常用的方法主要有以下三种： (1)转化为两个函数图象交点的个数问题，利用数形结合思想求解. (2)转化为函数f(x)的图象与x轴交点个数的问题. (3)将进行参变分离，转化为的形式；有时为了避免出现“断点”，可以考虑“倒数分参”. 2、解决含参数的零点问题常用的方法主要有以下三种： (1)分离参数法：分离之后函数无参数，则可得到函数的图象，然后上下移动参数的值，观察直线与函数图象交点个数即可. (2)隔离构造函数法：将一个函数分成两个函数，一个为容易求导的不含参函数，另一个为图象是一条直线的含参函数，观察它们图象的变化趋势，找到临界的位置，易求得参数的取值范围. (3)直接构造法：直接研究函数f(x)，对参数进行分类讨论，判断函数单调性，利用函数零点存在定理，判断零点个数，从而求出参数的取值范围. 题型一：利用导数研究零点个数 【典例1-1】（2025·湖南长沙·模拟预测）已知函数，其中. (1)求的极值； (2)讨论的零点的个数. 【典例1-2】（2025·山东淄博·三模）已知函数. (1)当时，判断有无极值点，并说明理由； (2)当时，判断函数在上的零点个数并给出证明. 【变式1-1】（2025·湖南·模拟预测）已知为奇函数. (1)求a的值； (2)解不等式：； (3)证明：函数有3个零点. 【变式1-2】（2025·湖北恩施·模拟预测）已知函数，直线. (1)若点是函数图象上的一点，求点到直线距离的最小值； (2)若，讨论函数的零点的个数. 题型二：利用函数零点个数求参数范围 【典例2-1】已知函数. (1)时，求在点处的切线方程； (2)有3个零点，求a的取值范围. 【典例2-2】（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知函数． (1)若，证明：函数在上单调递增； (2)若函数有三个零点，求的取值范围． 【变式2-1】（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)设函数. （i）当时，求的最大值； （ii）若函数的图象与轴恰有一个交点，求实数的取值范围. 【变式2-2】（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数在处有极小值. (1)求实数的值； (2)若函数有三个不同的零点，求实数的取值范围. 题型三：隐零点问题 【典例3-1】（2025·新疆喀什·模拟预测）已知函数． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)若在区间上有零点，求实数的取值范围． 【典例3-2】已知函数， (1)当时，求的极值； (2)若在区间上存在零点求a的取值范围； 【变式3-1】（2025·江西景德镇·模拟预测）(1)证明：在上恒成立. (2)若，证明：函数在上恰有1个零点. (3)试讨论函数在上的零点个数. 【变式3-2】（2025·重庆·三模）已知函数，函数在点处的切线方程为. (1)求的值； (2)讨论的零点个数. 【变式3-3】（2025·上海·三模）已知函数. (1)求函数的极值； (2)当时，证明：恒成立. (3)函数图像上存在多少组关于点对称的点对？说明你的结论和理由. 题型四：零点赋值问题 【典例4-1】已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，求的值； (3)当时，证明：有2个零点． 【典例4-2】（2025·北京·模拟预测）已知函数，曲线在处的切线方程为. (1)求a，b的值； (2)①求证：只有一个零点； ②记的零点为，曲线在处的切线l与x轴的交点横坐标为，若，求u的取值范围. 【变式4-1】（2025·广东汕头·三模）已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)若有两个零点，为的导函数. （i）求实数的取值范围； （ii）记较小的一个零点为，证明：. 【变式4-2】（2025·吉林长春·模拟预测）已知函数，，设，. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)证明：当曲线经过点时，有且仅有一个零点； (3)证明：对小于的实数，若关于方程恰有三个不同的实根，则. 题型五：零点差问题 【典例5-1】（2025·北京海淀·三模）已知函数，曲线在点处的切线斜率为． (1)求的值． (2)求在上的零点个数． (3)证明：在上存在两个零点，且． 【典例5-2】（2025·高三·安徽蚌埠·期末）已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)求函数的极值； (3)若关于的方程有两个根和，求证：． 【变式5-1】（2025·重庆·模拟预测）牛顿在《流数法》一书中，给出了代数方程的一种数值解法——牛顿法．具体做法如下：如图，设r是的根，首先选取作为r的初始近似值，若在点处的切线与轴相交于点，称是r的一次近似值；用替代重复上面的过程，得到，称是r的二次近似值；一直重复，可得到一列数：．在一定精确度下，用四舍五入法取值，当近似值相等时，该值即作为函数的一个零点． (1)若，当时，求方程的二次近似值（保留到小数点后两位）； (2)牛顿法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，直线常常取为曲线的切线或割线，求函数在点处的切线，并证明：； (3)若，若关于的方程的两个根分别为，证明：． 【变式5-2】（2025·河南南阳·一模）已知函数. (1)若函数在上单调递增，求的取值范围. (2)若函数的两个零点分别是，且，证明： ①随着的增大而减小； ②. 【变式5-3】已知函数有两个零点． (1)求实数a的取值范围； (2)求证：； (3)求证：． 题型六：max与min的零点问题 【典例6-1】（2025·高三·安徽阜阳·开学考试）已知函数，. (1)若曲线与曲线在处的切线平行，求实数的值； (2)定义 ，记函数，若函数有三个零点，求实数的取值范围. 【典例6-2】（2025·河南·三模）已知函数，，其中． (1)求函数的零点； (2)． （ⅰ）用表示m，n的最大值，证明：； （ⅱ）是否存在实数a，使得，恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由． 【变式6-1】已知函数. (1)若是的极大值点，求的值； (2)用表示中的最大值，设函数，试讨论零点的个数. 注：若，当时，，当时，. 【变式6-2】（2025·浙江·二模）定义，已知函数，其中. (1)当时，求过原点的切线方程； (2)若函数只有一个零点，求实数的取值范围. 1．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)证明：当时，函数只有一个零点. 2．已知函数.若在上恰有两个零点，求实数a的取值范围. 3．（2025·安徽蚌埠·三模）已知函数． (1)若，讨论函数在的单调性； (2)若在上有唯一的零点，求实数a的最小值． 4．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知函数. (1)时，求在处的切线． (2)求函数的极值； (3)若函数在区间上恰有两个零点，求的取值范围． 5．已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若有两个零点，求a的取值范围． 6．已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)设，当时，求函数的最大值； (3)讨论函数与函数的图象的交点个数． 7．（2025·浙江嘉兴·二模）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，存在，使得，求证：； (3)当时，判断的零点个数，并作出证明． 8．已知函数． (1)讨论的极值点个数； (2)探究的零点个数. 9．（2025·广东广州·三模）已知函数. (1)当时，求与相切，且垂直于直线的直线方程； (2)若有两个零点，求实数的取值范围. 10．（2025·海南·模拟预测）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)若在区间上有且仅有一个零点，求实数a的取值范围． 11．（2025·安徽六安·模拟预测）已知函数. (1)若为上的单调函数，求k的取值范围； (2)若函数，求证：k可以取无数个值，使得每一个的取值都恰有三个不同的零点. 12．（2025·安徽·模拟预测）已知函数，曲线在处的切线斜率为0． (1)证明：函数在上单调递增； (2)设，若，判断函数的零点个数． 13．（2025·江西·模拟预测）已知． (1)当时，讨论的单调性； (2)已知方程恰有3个实根，求的值． 14．（2025·江西南昌·模拟预测）已知函数，且不是的极值点. (1)求a的值； (2)判断的零点个数. 15．（2025·重庆九龙坡·三模）已知函数. (1)当时，求函数的极值; (2)设有两个不同的零点，求的取值范围. 16．已知函数. (1)讨论的零点个数； (2)记，证明：在上，当时，的图象恒在的图象上方. 17．（2025·山东·二模）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，求a的取值范围． 18．（2025·甘肃白银·二模）已知函数， (1)当时，若直线过原点且与曲线相切，求的方程. (2)若关于的方程恰有两个不同的正实数根，求的取值范围. 19．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知是定义在区间上的单调递增函数，对于有如下甲、乙两个命题： 甲：是方程的根； 乙：是方程的根. (1)求证：甲是乙的充分必要条件； (2)设，若，方程有唯一实数根，求的值. 20．已知函数. (1)当为何值时，轴为曲线的切线； (2)用表示中的最大值，设函数，试讨论函数零点的个数. 21．（2025·湖北黄冈·三模）已知函数． (1)当时，求函数在上的极值； (2)用表示中的最大值，记函数，讨论函数在上的零点个数． 22．已知函数． (1)求函数的极值； (2)若的导数分别为，且，求a的取值范围； (3)用表示m，n中的最小值，设，若，判断函数的零点个数． 23．（2025·高三·黑龙江大庆·期中）已知函数 (1)若，证明：在上恒成立； (2)若方程有两个实数根且，证明： 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优点14 导数中的零点问题 目录 01 重点解读 2 02 思维升华 3 03 典型例题 4 题型一：利用导数研究零点个数 4 题型二：利用函数零点个数求参数范围 9 题型三：隐零点问题 14 题型四：零点赋值问题 19 题型五：零点差问题 26 题型六：max与min的零点问题 34 04 课时精练 41 导数在深入探究函数的单调特性、极值以及最值等关键性质时，发挥着不可或缺的作用。而要有效运用导数解决这些问题，一个核心要素便是精准把握函数的零点。具体而言，导函数零点的出现，往往标志着原函数单调性发生变化的临界点，或是原函数取得极值的点，甚至可能是最值的所在点。因此，牢牢抓住函数的零点，就等于掌握了解决导数相关问题的关键钥匙。 零点问题，作为导数应用中的一个重要方面，主要涵盖以下四大类别： 1、函数零点个数的判定问题； 2、函数零点所在范围的确定问题； 3、隐零点（即不易直接求解的零点）的处理问题； 4、分段函数零点的分析与求解问题。 1、解决零点个数问题常用的方法主要有以下三种： (1)转化为两个函数图象交点的个数问题，利用数形结合思想求解. (2)转化为函数f(x)的图象与x轴交点个数的问题. (3)将进行参变分离，转化为的形式；有时为了避免出现“断点”，可以考虑“倒数分参”. 2、解决含参数的零点问题常用的方法主要有以下三种： (1)分离参数法：分离之后函数无参数，则可得到函数的图象，然后上下移动参数的值，观察直线与函数图象交点个数即可. (2)隔离构造函数法：将一个函数分成两个函数，一个为容易求导的不含参函数，另一个为图象是一条直线的含参函数，观察它们图象的变化趋势，找到临界的位置，易求得参数的取值范围. (3)直接构造法：直接研究函数f(x)，对参数进行分类讨论，判断函数单调性，利用函数零点存在定理，判断零点个数，从而求出参数的取值范围. 题型一：利用导数研究零点个数 【典例1-1】（2025·湖南长沙·模拟预测）已知函数，其中. (1)求的极值； (2)讨论的零点的个数. 【解析】（1）因为，其定义域为， 且. 因为，由，所以函数在和上单调递减， 在上单调递增，所以在处取极小值， 且极小值为，无极大值. （2）因为，所以当时，有，此时无零点； 当时，由（1）知，在处取极小值. ①当时，在处取极小值0，此时恰有一个零点； ②当时，在处取极小值，此时无零点； ③当时，在处取极小值. 下面先证明：当时，. 令，则，当时，单调递减， 时，单调递增，所以，即，等号当且仅当时成立. 所以，又当且时，. 所以在和各有一个零点，此时，共有2个零点. 综上可知，当时，无零点；当时，有一个零点； 当时，共有2个零点. 【典例1-2】（2025·山东淄博·三模）已知函数. (1)当时，判断有无极值点，并说明理由； (2)当时，判断函数在上的零点个数并给出证明. 【解析】（1）当时，无极值点，理由如下： 当时，函数，定义域为， 所以， 令，则，由得， 由得，由得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，故， 所以在上单调递增，故函数无极值点． （2）当时，函数在上的零点个数为2，证明如下： 由得， 设，则，令，得， 所以当时，，当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 因为，，， ， 所以，， 所以，使得，，使得， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 且，， 设，则，， 当时，，为减函数， 当时，，为增函数， 所以，故，即， 因为，所以，故，即. 设，则，， 当时，，为增函数， 当时，，为减函数， 所以，即， 因为，所以. 由得，且. 因为，，， 所以函数在和上各有一个零点，共2个零点． 【变式1-1】（2025·湖南·模拟预测）已知为奇函数. (1)求a的值； (2)解不等式：； (3)证明：函数有3个零点. 【解析】（1）由可得定义域为， 因为是奇函数，所以， 即有； （2）由（1）得：，有， 再由复合函数单调可知：在上单调递增函数， 所以原不等式变形为， 根据单调性可得：； 即原不等式的解集为： （3）因为是奇函数，所以也是奇函数，由， 要证函数有3个零点，只需要证明在上仅有一个零点， 则由得：， 构造，求导得， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 则在上，， 设, 当单调递增，当单调递减，所以，故 由于恒成立，则， 所以有， 由于 根据在上单调递减，且，所以在上不存在零点， 又根据在上单调递增，且，所以在区间必存在唯一零点， 故可证明在上仅有一个零点， 即函数有3个零点得证. 【变式1-2】（2025·湖北恩施·模拟预测）已知函数，直线. (1)若点是函数图象上的一点，求点到直线距离的最小值； (2)若，讨论函数的零点的个数. 【解析】（1）点到直线的距离为， 令，令， 令得， 当时为极大值， 当时，， 当时，， ，所以， 所以对应最小距离为； （2）若， 定义域为，令可得， 则函数的零点的个数与的零点个数相同， ， 再令， 则，所以在单调递减， 又因为，在单调递增，在上单调递减， 则，， 当，所以当时恒成立，无零点， 当时，有1个零点， 当时，在和分别有1个零点， 即有2个零点，当时， 在有1个零点，在上， 恒成立，即只有1个零点； 综上所述，当时， 无零点，当或时，有1个零点，当时， 有2个零点. 题型二：利用函数零点个数求参数范围 【典例2-1】已知函数. (1)时，求在点处的切线方程； (2)有3个零点，求a的取值范围. 【解析】（1）当时，，， 则，则，且， 则切点，且切线的斜率为， 故函数在点处的切线方程为； （2）令，， 得， 设， 则， 由解得或，其中，； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 且当时，； 当时，； 如图作出函数的图象， 要使函数有3个零点， 则方程在内有个根，即直线与函数的图象有个交点. 结合图象可知，. 故的取值范围为. 【典例2-2】（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知函数． (1)若，证明：函数在上单调递增； (2)若函数有三个零点，求的取值范围． 【解析】（1）当时，，则， 要证函数在上单调递增，只要证明在上恒成立， 令， 因为，令， 解得， 由，得，此时函数单调递增， 由，得，此时函数单调递减， 所以当时，取得最小值， 因为，所以恒成立， 即在上单调递增； （2）方法一：令，等价于， 设， 当时，没有零点； 当时，， 当时，，函数单调递增， 因为， 所以函数在上有一个零点； 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以当时，的最小值为， 若．即在上没有零点； 若，即在上有一个零点； 若，即， 因为，当时，， 所以在上有两个零点； 综上，当时，有3个零点. 方法二：当时，恒成立，没有零点，故， 当时，单调递增，单调递减， 故在上单调递增， 且当时，， 故在上有唯一零点， 所以在上有三个零点等价于在上有两个零点， 当时，由， 即，得， 令，则， 当时，单调递减； 当时，单调递增， 故当时，， 且当时，，当时，， 故要使在上有两个零点， 则只要即可，解得； 综上，当时，有3个零点. 【变式2-1】（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)设函数. （i）当时，求的最大值； （ii）若函数的图象与轴恰有一个交点，求实数的取值范围. 【解析】（1）由得 ， 当时，，在和单调递增； 当时，令，则，解得或； 令，则，解得或； 综上，当时，的单调递增区间为和； 当时，的单调递增区间为和， 递减区间为和. （2） 则. （i）当时，， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以； （ii）若函数的图象与轴恰有一个交点，则函数恰有一个零点， ， 当时，由（i）知，，故没有零点； 当时，令，，单调递减； 令，，单调递增； 此时，，故没有零点； 当即时，在上，，单调递增； 在上，，单调递减； 又， 当趋近正无穷大时，趋近于正无穷大， 所以仅在有唯一零点，符合题意； 当时，，所以在上单调递增，又， 所以有唯一零点，符合题意； 当即时，在上，，单调递增； 在上，，单调递减； 此时， 又，当趋近正无穷大时，趋近负无穷， 所以在有一个零点，在无零点， 所以有唯一零点，符合题意； 综上，的取值范围为. 【变式2-2】（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数在处有极小值. (1)求实数的值； (2)若函数有三个不同的零点，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为     ， 由已知，即，或， 当时，， 所以当时，当时，当时， ∴在上单调递增，上单调递减，上单调递增， 时有极小值，符合题意. 当时，， 所以当时，当时，当时， ∴在上单调递增，上单调递减，上单调递增， 时有极大值，不符合题意，故舍去. ； （2）由已知有三个不同零点， 即的图像与直线有三个不同的交点， 由（1）知在上单调递增，上单调递减，上单调递增， 故当时，有极大值，即， 当时，有极小值，即 ， 所以 ，. 题型三：隐零点问题 【典例3-1】（2025·新疆喀什·模拟预测）已知函数． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)若在区间上有零点，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为，所以， 即， 所以切线的斜率为．又， 所以切线方程为，即． （2），则， ①当时，， 所以在区间上恒成立，在区间上单调递增． 所以在区间上恒成立，即在区间上无零点． ②当时，令， 则在区间上恒成立， 所以在区间上单调递增，即． （ⅰ）时，，在区间上单调递增， 即在区间上恒成立，所以在区间上无零点． （ⅱ）当时，，又， 所以存在，使得， 所以当时，单调递减， 当时，单调递增， 即当时，取得最小值，因为，所以． 因为，所以当时，， 此时，在区间上恒成立，在区间上无零点． 当时，，故存在，使得， 所以实数的取值范围是． 【典例3-2】已知函数， (1)当时，求的极值； (2)若在区间上存在零点求a的取值范围； 【解析】（1）当时，，，， 当时，，当时， 在上单调递减，在上单调递增， 因此可得有极小值，无极大值； （2）， 当时，由于恒成立，所以在上单调递增， 又，在上无零点； 当时，由于，故， 所以在上单调递减，又， 在上无零点； 当时，，有，故在上单调递减， ，有，故在上单调递增， 所以有， 又因为当时，， ； 综上； 【变式3-1】（2025·江西景德镇·模拟预测）(1)证明：在上恒成立. (2)若，证明：函数在上恰有1个零点. (3)试讨论函数在上的零点个数. 【解析】（1）证明：令函数，，则， 所以在上单调递增， 则，即在上恒成立. （2）证明：因为，所以在上单调递增. 由（1）得在上恒成立，故在上恒成立， 所以， 因为，故取，取， 则， 而，所以在上有1个零点， 即在上恰有1个零点. （3）令，即，等价于. 记，. 在上的零点个数即在上的零点个数. 是的1个零点. 因为， 所以是奇函数，则在和上的零点个数相同. ，因为在上为减函数， 故在上单调递增. 当时，，故在上单调递增. 因为，所以在上恒成立，即在上没有零点， 所以在上只有1个零点. 当时，由（2）可得在上恰有1个零点，记该零点为. 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 而，故，取，则， ， 结合在上的单调性可得在上有1个零点， 即在上有1个零点，所以在上有3个零点. 综上，当时，在上只有1个零点； 当时，在上有3个零点. 【变式3-2】（2025·重庆·三模）已知函数，函数在点处的切线方程为. (1)求的值； (2)讨论的零点个数. 【解析】（1）求导得到， 根据函数在点处的切线方程为，得到. 把代入得， 因为，所以，即. 又，解得. （2）由第（1）问知，. 令，求导得. 当，，在递减； 当，，在递增. ，，所以存在唯一使，即. 当，，在递减； 当，，在递增，所以. ，又，， 根据零点存在定理，在和各有一个零点，共2个零点. 【变式3-3】（2025·上海·三模）已知函数. (1)求函数的极值； (2)当时，证明：恒成立. (3)函数图像上存在多少组关于点对称的点对？说明你的结论和理由. 【解析】（1）由题设，可得， 时，，在上单调递增； 时，，在上单调递减， 故函数有唯一的极值点，当时取得极大值. （2）当时，， 令，，则， 令，则， 当时，，于是在上严格递增， 所以，于是在上严格递增， 故，即， 所以，原不等式成立. （3）存在唯一的点对关于对称，证明如下： 假设存在，设，，， 于是，，即， 设，则， 显然，即存在，其中， 令，则，即在上单调递减， 于是时，，在上单调递增； 时，，在上单调递减. 且，，， 于是，存在唯一的使得，即存在唯一的点对、满足题意. 题型四：零点赋值问题 【典例4-1】已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，求的值； (3)当时，证明：有2个零点． 【解析】（1）当时，，则， 所以，， 所以曲线在点处的切线方程为， 即． （2）函数的定义域为，且， ① 当时，易得，在上单调递减， 又，所以当时，，不符合题意； ② 当时，由，得时，即在上单调递增； 由，得时，即在上单调递减， 所以， 因为，则其等价于，即． 令，则， 所以当时，，当时，， 则在上单调递增，在上单调递减， 所以，因恒成立，故． （3）． 令，得， 令，则与有相同的零点， 且． 令，则， 因为当时，，所以在区间上单调递增， 又，，所以，使得， 所以当时，，即； 当时，，即， 所以在单调递减，在单调递增， 所以的最小值为． 由，得，即， 令，，则，则在单调递增． 因为，所以，则， 所以，从而，， 所以的最小值． 因为，所以当趋近于0时，趋近于； 当趋近于时，趋近于，且， 所以有2个零点，故有2个零点． 【典例4-2】（2025·北京·模拟预测）已知函数，曲线在处的切线方程为. (1)求a，b的值； (2)①求证：只有一个零点； ②记的零点为，曲线在处的切线l与x轴的交点横坐标为，若，求u的取值范围. 【解析】（1）由题意知，， 所以曲线在处的切线的斜率为， 又曲线在处的切线方程为， 所以，解得； （2）①：由（1）知，， 令， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 且当时，，当时，， 所以函数在上存在唯一，使得， 即函数在上存在唯一零点. ②：由①知，切线的斜率为，又， 所以， 令，得， 设，则， 令或，或， 所以函数在和上单调递减，在和上单调递增， 当时，，即，由①知，故不符合题意； 当时，由，得 ， 即，符合题意， 故实数的取值范围为. 【变式4-1】（2025·广东汕头·三模）已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)若有两个零点，为的导函数. （i）求实数的取值范围； （ii）记较小的一个零点为，证明：. 【解析】（1）当时，，函数的定义域为， ， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增. 综上所述，函数在上单调递减，在单调递增. （2）（i）函数的定义域为，， ①当时，，函数在单调递减，至多有一个零点，不符合题意； ②当时，令，解得， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增. ∴当时，取得最小值，最小值为. 因为函数有两个零点，且时，，时，，所以. 设，易知函数在单调递增. 因为，所以的解集为. 综上所述，实数的取值范围是. （ii）因为，由，结合（i）知， 要证，即证，即， 当时，因为，，不等式恒成立； 当时，由得. 即证. 即证. 即证. 设，，由， 所以在单调递增. 所以，故原不等式成立. 所以. 【变式4-2】（2025·吉林长春·模拟预测）已知函数，，设，. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)证明：当曲线经过点时，有且仅有一个零点； (3)证明：对小于的实数，若关于方程恰有三个不同的实根，则. 【解析】（1）时，则，故，， 点处的切线方程为； （2）因曲线经过点，则， 令，. 令；， 则在上单调递减，在上单调递增，则， 由，可得，此时，， 令，，则在上单调递增， 注意到，结合在上递增， 所以；，故在单调递减，在上单调递增，则， 即曲线经过点时，有且仅有一个零点1； （3），其中，，， 令且，，则，则在上单调递增. 注意到，，则，使， 结合在上递增，则，. 所以在上单调递减，在上单调递增，则的极小值为. 注意到，则， 令且，则， 所以在上单调递减，故. 注意到，，则，使； 令且，在上单调递增，则， 即，，，； 令且，. 所以；， 则在上单调递增，在上单调递减，则， 所以，， 综上，， 又，. 则，使，则、大致图象如下， 方程恰有三个不同的实数根，则直线与图象有3个交点， 由图，得时满足题意. 对小于的实数，存在实数使关于方程恰有三个不同的实数根， 注意到，则时满足题意， 令且，则， 则在上递增，则，得证. 题型五：零点差问题 【典例5-1】（2025·北京海淀·三模）已知函数，曲线在点处的切线斜率为． (1)求的值． (2)求在上的零点个数． (3)证明：在上存在两个零点，且． 【解析】（1），定义域为． ．由题可得，，解得． （2）由（1）可得，． 当时，，，故，在时无零点； 当时，，，故，在时无零点． 当时，，所以在上单调递增． 而，． 故由零点存在性定理知，在上存在唯一零点． 当时，，，故，在时无零点； 综上：在上的零点个数为1． （3）．令，． 令，则． 当时，，，，所以．所以在上单调递增． ，，所以由零点存在性定理，存在唯一，使得． 当变化时，，的变化如下表： 0 极小值 又，，． 所以由零点存在性定理，分别在，上各恰有一个零点，即在上存在两个零点． 不妨设．则当时，；当时，． 而，． 所以．故． 【典例5-2】（2025·高三·安徽蚌埠·期末）已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)求函数的极值； (3)若关于的方程有两个根和，求证：． 【解析】（1）因为，所以，则， 又， 故在处的切线方程为，即． （2）函数的定义域为，又， 令，解得；令，解得， 故在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为，无极小值． （3）由（2）不妨令，，， 构造，， 则，令，解得；令，解得， 在上单调递增，在上单调递减，， 由，则， 所以，当且仅当时等号成立， 构造，， ，令，得；令，得， 在上单调递增，在上单调递减，， 由，则， 所以，当且仅当时等号成立， 所以，又等号不同时成立， 所以． 【变式5-1】（2025·重庆·模拟预测）牛顿在《流数法》一书中，给出了代数方程的一种数值解法——牛顿法．具体做法如下：如图，设r是的根，首先选取作为r的初始近似值，若在点处的切线与轴相交于点，称是r的一次近似值；用替代重复上面的过程，得到，称是r的二次近似值；一直重复，可得到一列数：．在一定精确度下，用四舍五入法取值，当近似值相等时，该值即作为函数的一个零点． (1)若，当时，求方程的二次近似值（保留到小数点后两位）； (2)牛顿法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，直线常常取为曲线的切线或割线，求函数在点处的切线，并证明：； (3)若，若关于的方程的两个根分别为，证明：． 【解析】（1）， 当时，，在点处的切线方程为，与轴的交点横坐标为， 所以，，在点处的切线方程为，与轴的交点为， 所以方程的二次近似值为． （2）由题可知，，，， 所以在处的切线为，即； 设， 则，显然单调递减，令，解得， 所以当时，，则在单调递增， 当时，，则在单调递减， 所以， 所以，即． （3）由，得， 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以是的极大值点，也是的最大值点，即， 又时，，时，， 所以当方程有两个根时，必满足； 曲线过点和点的割线方程为， 下面证明， 设， 则， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递增，； 在上单调递减，， 所以当时，，即（当且仅当或时取等号）， 由于，所以，解得；① 下面证明当时，， 设，因为， 所以当时，（当且仅当时取等号）， 由于所以，解得，② ①②，得． 【变式5-2】（2025·河南南阳·一模）已知函数. (1)若函数在上单调递增，求的取值范围. (2)若函数的两个零点分别是，且，证明： ①随着的增大而减小； ②. 【解析】（1）若函数在上单调递增，易知， 令，，令，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故原命题等价于求，且，故，解得， 即的取值范围为. （2）①引理：对，必有成立，令， 故，令，，令，， 故在上单调递减，在上单调递增， 则，即恒成立，故成立， 设，则，即， 可得的最小值为 而，当时，， 且由引理知，故， 由零点存在性定理得有两个零点， 结合可得， 故当时，两个根一定会存在，设是关于的函数，记为， 我们同样可以定义为：对，存在唯一的，使得， 且这个就是关于的方程中的较大根，此时已有， 此时发现是上的函数，则证明在上单调递减即可， 由于， 首先，我们有，，所以，， 其次，我们实际上有，（因为要么，要么）， 所以，若，则，， 然后考虑，显然我们有， 若，则，所以另一根一定小于，从而， 若，由于是关于的较大根，故， 即，解得，但是对任意的时， 关于的方程的较小根都不超过， 要么，解得，要么， 所以是较大根，从而，这表明与关于对称， 所以我们只需要证明在上单调递减， 这里是的较大根，且， 由于，故对，设， 则，， 从而由是较大根，知，， 也意味着位于单调递增区间， 设，由于当时， ， 所以， 而，方程的较小根一定不超过， 这表明的较大根一定成立，所以， 这就证明了在上单调递减，从而一定在上单调递减， 故随着的增大而减小得证. ②由①知有两个零点，且， 由于， 由引理又有， 而根据单调性得，当或时，必有， 所以， 可得 即，原不等式得证. 【变式5-3】已知函数有两个零点． (1)求实数a的取值范围； (2)求证：； (3)求证：． 【解析】（1）， 又因为函数单调递增，且， 所以， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当，即时， ， ， 所以在和上各有一个零点， 当时，的最小值为，且， 所以在内至多只有一个零点， 综上，实数的取值范围是； （2）设，， ， ， 当时，， ， 所以， 所以在上单调递增， 当时，， 即当时，， 又因为函数有两个零点， 由（1）知，，， 所以， （3）设， ， ，当时， 因为， 令，， 设，， 令，解得：，令，解得：， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以, 所以恒成立，显然， 令，解得：，令，解得：， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 即， 设的零点为，， 易知， 所以， 设， 设，， 令，解得：，令，解得：， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以恒成立，即， 设的零点为，， 易知，， 所以， 所以， 所以 题型六：max与min的零点问题 【典例6-1】（2025·高三·安徽阜阳·开学考试）已知函数，. (1)若曲线与曲线在处的切线平行，求实数的值； (2)定义 ，记函数，若函数有三个零点，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为，所以. 因为，所以， 解得. （2）令，解得，易知在R上单调递增. 当时，，由，得， 此时函数有三个零点，符合题意. 当时，.由，得或， 则在，上单调递增，在上单调递减， 因为，若函数有三个零点，则， 解得. 当时，.由，得或， (ⅰ)当，即时，则在，上单调递减，在上单调递增， 因为，，此时函数没有零点，不符合题意； (ⅱ)当，即时，因为在上单调递减，且，此时函数无零点，不符合题意； (ⅲ)当，即时，在，上单调递减，在上单调递增. ①若，则函数至多有两个零点，不符合题意； ②若，则， 此时， 此时函数有三个零点，符合题意； ③若，得，， 记，因为，，单调递增； 所以，此时函数有四个零点，不符合题意. 综上所述，满足条件的实数a的取值范围是. 【典例6-2】（2025·河南·三模）已知函数，，其中． (1)求函数的零点； (2)． （ⅰ）用表示m，n的最大值，证明：； （ⅱ）是否存在实数a，使得，恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）函数的定义域为R， 则， 当时，，则， 当时，，则， 所以函数在上为减函数． 又因为，故函数有且只有一个零点0. （2）（ⅰ）函数的定义域为， 当时，， 当时，， 所以. （ⅱ）由（1）知，当时，， 又， 所以当时，恒成立， 因为当时，恒成立， 所以等价于当时，恒成立， 又， 若，当时，由， 所以在上递增，所以此时恒成立. 若，当时，由，解得为， 在上递减，此时，不符合题意． 综上可知，存在实数a满足题意，a的取值范围是. 【变式6-1】已知函数. (1)若是的极大值点，求的值； (2)用表示中的最大值，设函数，试讨论零点的个数. 注：若，当时，，当时，. 【解析】（1）由函数，可得， 因为是的极大值点，则，解得， 当时，可得， 当时，，令，则， 所以在上单调递减，则，即， 此时在上单调递增； 当时，令，可得，则， 故即单调递减， 又因为，所以当时，单调递减， 所以，当时，是的极大值点，符合题意. （2）（I）由函数， 当时，，，此时无零点； （II）当时，可得， ①若，即时，， 此时不是的零点； ②若，即时，， 此时是的零点； （III）当时，，零点个数等于零点个数， 显然是的一个零点； 当时，可转化为， 令，则， 由（1）知，， 所以在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增， 且当时，，当时，， 可得，函数的图象所示： ①当或或时，有1个零点； ②当或时，有2个零点； ③当时，无零点. 综合（I）（II）（III）得： 当或时，有2个零点； 当或或时，有3个零点； 当或时，有4个零点. 【变式6-2】（2025·浙江·二模）定义，已知函数，其中. (1)当时，求过原点的切线方程； (2)若函数只有一个零点，求实数的取值范围. 【解析】（1）由题意知定义域，当时， ， 令， ， 在单调递增，单调递减，且， 令，则在单调递增，而， 又，，而， 所以当时，，当时，， 所以当时，，当时，， 所以， 所以在和单调递增，在单调递减. （ⅰ）当时，，设切点， 则此切线方程为， 又此切线过原点， 所以，解得， 即此时切线方程是 ； （ⅱ）当时，，所以， 设切点为，此时切线方程， 又此切线过原点，所以，解得， 所以此时切线方程， 综上所述，所求切线方程是：或； （2）（ⅰ）当时， 由（1）知，在和单调递增，单调递减， 且，， ， 此时有两个零点； （ⅱ）当时， 当时，， 由（1）知：在递增，递减，且， 所以时，，而， 所以在只有一个零点，没有零点； （ⅲ）当时， ，此时得， 由（1）知，当时，只有一个零点， 要保证只有一个零点，只需要当时，没有零点， ，得； （ⅳ）当时，当时，， 此时只有一个零点， 综上，只有一个零点时，或 . 1．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)证明：当时，函数只有一个零点. 【解析】（1）当时，，则， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）. 若，即时，，则在上单调递减； 若，即时，令，得；令，得， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减. 综上所述：时，函数在上单调递减； 时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减. （3）证明：由题知函数， 则. 若，则，所以在上单调递增， 此时，所以只有一个零点为0； 若，令，得或；令，得， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 此时函数的极大值为，极小值为. 不妨令，则， 显然时，，此时单调递增，时，，此时单调递减， 易知， 所以， 又， 所以只有一个零点，且零点在区间内； 若，令，得或，令，得， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 此时极大值为，极小值为. 不妨令，则， 此时单调递减，又， ， 所以函数只有一个零点，且零点在区间内. 综上所述，当时，函数只有一个零点. 2．已知函数.若在上恰有两个零点，求实数a的取值范围. 【解析】由题意，函数在上恰有两个零点， 可得， 令，则， 当时，由，即，得或. 当时，，递增； 当时，，递减； 当时，，递增； ，，，， 因为在上恰有两个零点， 所以直线与曲线（）恰有两个交点， 所以实数a的取值范围为. 3．（2025·安徽蚌埠·三模）已知函数． (1)若，讨论函数在的单调性； (2)若在上有唯一的零点，求实数a的最小值． 【解析】（1）由条件， 则， 由，所以， 令，则，得或， 令，则，得， 所以在和上单调递增，在上单调递减． （2）由，则， 令，则， 所以当时，单调递增， 又，所以， ， 所以在上单调递增，， 由题意，，解得， 所以a的最小值为1． 4．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知函数. (1)时，求在处的切线． (2)求函数的极值； (3)若函数在区间上恰有两个零点，求的取值范围． 【解析】（1）由题设，则， 所以，，则，可得； （2）的定义域为，则， 当时，恒成立， 此时在上单调递增，无极大值和极小值， 当时，， 由得：，由得：， 此时在单调递增，在单调递减， 所以的极大值为，无极小值． （3）由（2）可知，当时，在单调递增， 所以在单调递增，不可能有两个零点， 当时，的极大值为， 因为，所以是的一个零点， 若函数在区间上恰有两个零点，则， 即，可得：， 所以的取值范围为． 5．已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若有两个零点，求a的取值范围． 【解析】（1）若，，， 则；， 故所求的切线方程为，即． （2）由题意函数的定义域为， ， ①当时，恒成立，在上单调递增， 函数在定义域内最多一个零点，不符合题意； ②当时，令，则； 令，则；令，则， 函数在上单调递减，在上单调递增， ， 若，则，此时最多一个零点，不符合题意； 若，则， 又时，；时，， 由零点存在性定理和函数的单调性可知，在上存在唯一的零点， 在上也存在唯一的零点，符合题意， 综上． 6．已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)设，当时，求函数的最大值； (3)讨论函数与函数的图象的交点个数． 【解析】（1）若，则， 所以，则， 又， 所以曲线在点处的切线方程是， 即． （2）， 函数的定义域为 ． 当时，， 令，得， 令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值为． （3）联立得得， 得， 结合（2）可知． 则“函数与函数的图象的交点个数”等价于“函数的零点个数”． 当时，无零点． 当时，的最大值为． 若，即，则无零点． 若，即，则只有一个零点． 若，即，则，又， 令，则且， 由，得；由，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故有最大值，无最小值． 故，所以，由（2）知在上单调递增，所以在上有唯一零点． 令， 则，且， 由，得；由，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故有最小值，无最大值． 所以， 于是和， 所以， 又在上单调递减， 故在上有唯一零点． 当时，由上得，于是，而， 所以，即无零点． 综上，当或时，无零点；当时，只有一个零点；当时，有两个零点， 即当或时，函数与函数的图象无交点； 当时，函数与函数的图象有1个交点； 当时，函数与函数的图象有2个交点． 7．（2025·浙江嘉兴·二模）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，存在，使得，求证：； (3)当时，判断的零点个数，并作出证明． 【解析】（1）当时，，定义域为， 对函数求导得，则曲线在处的切线斜率为. 而，得到曲线在处的切线方程为，即. （2）当时，，. 因为存在，使得. 所以， 化简得：，，可求得，. 将代入得：，化简得. 进一步化简得：，令，， 令，则， 令，，令，， 则在上单调递减，在上单调递增， 故，即得证， 因为，所以令，故. （3）因为，所以. 对函数求导得：. 令，解得， 当时，，则函数在上单调递增； 当时，，则函数在上单调递减； 所以函数在处取极小值为. 令，，对求导：. 在上恒成立，在上单调递增，. 当时，；当时，. 所以有两个零点. 8．已知函数． (1)讨论的极值点个数； (2)探究的零点个数. 【解析】（1）定义域为，， ①当时，，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，有1个极值点． ②当时，令，得或， （ⅰ）当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，有2个极值点； （ⅱ）当时，，，所以在上单调递增，无极值点； （ⅲ）当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调增，有2个极值点． 综上，当时，有1个极值点；当时，无极值点；当或时，有2个极值点． （2）由题知，． 当时，由，得， 则的零点个数即直线与曲线的交点个数． 令， 则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增． 因为，当，且时，，当时，， 又时，，且当时，，当时，． 所以的大致图象如图所示． 由图象可知，当时，与曲线有2个交点；当时，与曲线有1个交点． 所以，当时，有2个零点；当时，有1个零点． 9．（2025·广东广州·三模）已知函数. (1)当时，求与相切，且垂直于直线的直线方程； (2)若有两个零点，求实数的取值范围. 【解析】（1）当时，，求导可得， 因为直线的斜率为，所以切线斜率为3， 令，解得，此时切点为， 所以切线方程为，即. （2）函数的定义域为， ①当时，，函数在单调递减，此时最多一个零点，舍去；   ②当时，令，解得， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增. 由（1）知，当时，取得最小值，最小值为.   因为当时，；时， 所以要函数有两个零点，当且仅当.     设，知函数在单调递增. 因为，则的解集为. 综上所述，的取值范围是. 10．（2025·海南·模拟预测）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)若在区间上有且仅有一个零点，求实数a的取值范围． 【解析】（1）当时，，定义域为， 则， 由可得，由可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的极小值为，无极大值. （2）由可得， 设，则函数在区间上单调递增，且，， 当时，当时，，，即函数在区间上单调递增， 则，即函数在区间上没有零点； 当时，即当时，当时，，，即函数在区间上单调递减， 则，即函数在区间上没有零点； 当时，，，则存在，使得， 当时，，，函数在上单调递减， 当时，，，函数在上单调递增， 因为，要使得函数有零点，需满足，解得， 综上所述， 实数的取值范围是. 11．（2025·安徽六安·模拟预测）已知函数. (1)若为上的单调函数，求k的取值范围； (2)若函数，求证：k可以取无数个值，使得每一个的取值都恰有三个不同的零点. 【解析】（1）， 因为为上的单调函数， 所以对任意，有；或对任意，有， 即恒成立，或恒成立， 所以的取值范围是. （2），且， 所以是奇函数， 所以只需证明：存在无数个取值使得在上恰有一个零点. ，令， 由（1）知，时，在上是减函数. 所以，在上是减函数. ，故存在. 当变化时，的变化情况如下表： 0 2 + 0 0 极大值 故时，. 故存在唯一的. 于是时，在上存在唯一的零点. 于是存在无数个取值使得恰有三个不同的零点. 12．（2025·安徽·模拟预测）已知函数，曲线在处的切线斜率为0． (1)证明：函数在上单调递增； (2)设，若，判断函数的零点个数． 【解析】（1）依题意，，                         因为曲线在处的切线斜率为0， 所以，即．                     所以， 故函数在上单调递增． （2）由（1）得，所以 故，设， 则，设，则， 当时，，所以单调递减，             因为，所以当时，从而函数即单调递减， 又， 从而存在唯一，使得， 且当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 而， 故存在唯一，使得．                     因为是奇函数，且， 所以函数有3个零点． 13．（2025·江西·模拟预测）已知． (1)当时，讨论的单调性； (2)已知方程恰有3个实根，求的值． 【解析】（1）当时，求导得， 构造，求导得， 则当时，，所以在时单调递增； 则当时，，所以在时单调递减； 即，则， 所以当时，， 当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． （2）同理，由（1）得， 所以当时，有 则当时，， 当时，， 则在上单调递减，在上单调递增． 此时方程最多只有两根，不满足题意； 则讨论的情形： 由，存在三个零点，分别为和1， 其中的零点由数形结合可得： 可知， 由此可得：当时，，则， 所以在区间上单调递减； 当时，，则， 所以在区间上单调递增； 当时，，则， 所以在区间上单调递减； 当时，，则， 所以在区间上单调递增； 此时依次有2个极小值点和一个极大值点1， 因为，所以 则， ， 所以有，即两个极小值相等， 所以方程有3个实根，必然， 即． 14．（2025·江西南昌·模拟预测）已知函数，且不是的极值点. (1)求a的值； (2)判断的零点个数. 【解析】（1）， 因为不是的极值点， 所以方程还有其它正根（变号零点）， 则必须大于0， 若曲线在只有一个公共点， 则相切，不符合题意， 所以此时必须有两个正根，且为其中一个， 即 所以； （2）由（1）可得：， 设， 则方程的两根为，其中， 当时，，所以，即，在单调递减， 当时，，所以，即，在单调递增， 当时，，所以，即，在单调递增， 所以 因为即， 所以 ， 且时，， 时， 所以在上各有一个零点， 所以在上有且仅有2个零点. 15．（2025·重庆九龙坡·三模）已知函数. (1)当时，求函数的极值; (2)设有两个不同的零点，求的取值范围. 【解析】（1）当时，， ， 由得：，由得：或， 当时，单调递增，当和时，单调递减， 的极小值为的极大值为． （2）， 令，则， 记，则， 当时，，当时，， 在单调递增，在单调递减， 且， 又当时恒成立， 要使有两个零点，则与图象有两个交点， ，解得：． 16．已知函数. (1)讨论的零点个数； (2)记，证明：在上，当时，的图象恒在的图象上方. 【解析】（1）令，得， 即的零点个数可看作直线与曲线的交点个数问题； 令，则， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 故，当时，，当时，， 当时，，当时，. 所以当时，直线与曲线有2个交点； 当或时，直线与曲线有1个交点； 当时，直线与曲线无交点. 故时，函数的零点个数是2； 或时，函数的零点个数是1； 时，函数的零点个数是0. （2）令，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以成立，所以， 要证的图象恒在的图象上方， 即证在上恒成立， 又，只需证， 故只需证， 令，则， 当时，单调递减； 当时，单调递增. 故， 所以当时，，所以恒成立， 所以的图象恒在的图象上方. 17．（2025·山东·二模）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，求a的取值范围． 【解析】（1）函数的定义域为，， 若恒成立，时，时， 所以在上单调递增，在上单调递减； 若，令或； 当时， 时，时，时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增； 当时，， 当，，， 当，，，， 所以恒成立，在上单调递增； 当时，时，时， 时， 所以在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增. 综上所述， 若，在上单调递增，在上单调递减； 若，在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增.； （2）若，当恒成立， 当时，单调递增，不可能有两个零点； 若，因为在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增； 所以的极小值，故不可能有两个零点； 若在上单调递增，在上单调递减； 因为有两个零点，则必有，即； 此时，当时，；当时，； 故有两个零点，符合题意， 综上． 18．（2025·甘肃白银·二模）已知函数， (1)当时，若直线过原点且与曲线相切，求的方程. (2)若关于的方程恰有两个不同的正实数根，求的取值范围. 【解析】（1）当时，，设直线的方程为， 曲线与直线相切于点， 因为，所以①， 又点既在曲线上，又在直线上， 所以②，由①②得，所以， 所以，故的方程为. （2）由得：， 恰有2个正实数根恰有两个正实数根， 令，则与有两个不同交点， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增，又， 当从0的右侧无限趋近于0时，趋近于； 当无限趋近于时，的增速远大于的增速，则趋近于，则的图象如图所示， 当时，与有两个不同交点，实数的取值范围为. 19．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知是定义在区间上的单调递增函数，对于有如下甲、乙两个命题： 甲：是方程的根； 乙：是方程的根. (1)求证：甲是乙的充分必要条件； (2)设，若，方程有唯一实数根，求的值. 【解析】（1）①充分性：若是方程的根，则， 所以，即是的根，充分性成立； ②必要性：若是方程的根，则. 如果，那么，由函数在定义域内单调递增，得，矛盾. 如果，那么，由函数在定义域内单调递增，得，矛盾. 所以是方程的根， 综上，甲是乙的充分必要条件. （2）因为，所以， 函数在上单调递增， 由（1）知“是方程的根”与“是的根”等价， 故只需求：当时有唯一的，满足的值. 令，则. 因为为上的单调递减函数，又，当趋向于无穷大时，趋近于， 故存在唯一的使，并得. 此时在上单调递增，在上单调递减， 故. 要方程在内有唯一实数根，即要，解得. 所以，. 20．已知函数. (1)当为何值时，轴为曲线的切线； (2)用表示中的最大值，设函数，试讨论函数零点的个数. 【解析】（1）设曲线与轴相切于点，则， 即，解得. （2）当时，在无零点. 当时，若，则， 故是的零点； 若，则， 故不是的零点. 当时，，所以只需考虑在的零点个数. （i）若或，则在无零点， 故在单调，而， 所以当时，在有一个零点； 当时，在无零点. （ii）若，则在单调递增，在单调递减， 故当时，取的最大值，最大值为. ①若，即在无零点. ②若，即，则在有唯一零点； ③若，即，由于， 所以当时，在有两个零点； 当时，在有一个零点. 综上，当或时，有一个零点； 当或时，有两个零点； 当时，有三个零点. 21．（2025·湖北黄冈·三模）已知函数． (1)当时，求函数在上的极值； (2)用表示中的最大值，记函数，讨论函数在上的零点个数． 【解析】（1）当时，， 由，得或，则和随的变化如下表所示： 0 + 0 - 0 + 0 - 极大 极小 极大 ∴在上有2个极大值：在上有1个极小值． （2）由，知． （ⅰ）当时，， ∴，故在上无零点． （ⅱ）当时，． 故当时，即时，是的零点； 当时，即时，不是的零点． （ⅲ）当时，．故在的零点就是在的零点， ． ①当时，，故时，在是减函数， 结合，可知，在有一个零点， 故在上有1个零点． ②当时，，故时，在是增函数， 结合可知，在无零点，故在上无零点． ③当时，，使得时，在是增函数； 时，在是减函数； 由知，． 当，即时，在上无零点，故在上无零点． 当，即时，在上有1个零点，故在上有1个零点． 综上所述，时，有2个零点；时，有1个零点；时，无零点 22．已知函数． (1)求函数的极值； (2)若的导数分别为，且，求a的取值范围； (3)用表示m，n中的最小值，设，若，判断函数的零点个数． 【解析】（1），令得，或（不合题意舍去）， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以的极大值为，无极小值． （2）由（1）得，时，， 对求导得，， 时，恒成立， 所以时，恒成立，设， ，令，得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以， 所以，即a的取值范围是． （3）因为，设，则， ①若，令，解得， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 所以， 所以时，没有零点； ②若，由（1）知， 当时，，在上单调递增， 又，所以时，， 当时，，所以在上单调递增，且， 存在唯一，使得，则， 当时，，即在单调递增， 所以， 当时，在上单调递减，且， 所以存在唯一，使得， 综上所述，时，无零点，当时有2个零点． 23．（2025·高三·黑龙江大庆·期中）已知函数 (1)若，证明：在上恒成立； (2)若方程有两个实数根且，证明： 【解析】（1）因为，，令 所以， 下证， 令， 则， 当时,，当， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以在上恒成立 （2）证明：先证右半部分不等式： ； 因为，， 所以； 可求曲线在和处的切线分别为和； 设直线与直线，函数的图象和直线交点的横坐标分别为 则 则； 因此. 再证左半部分不等式：. 设取曲线上两点， 用割线，来限制， 设直线与直线的交点的横坐标分别为， 则，且， 所以. 综上可得成立 学科网（北京）股份有限公司 $$