第07讲 拓展一：异面直线所成角（传统法与向量法）（知识清单+5类热点题型讲练）-【精讲精练】2025-2026学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第一册）

第07讲 拓展一：异面直线所成角（传统法与向量法） 第一部分 知识梳理 1、（传统法）核心技巧：平移使相交 具体操作，通过平移一条（或2条），使异面直线转化为相交直线，然后在三角形中利用余弦定理求角 2、（向量法）用向量运算求两条直线所成角 已知，为两异面直线，，与，分别是，上的任意两点，，所成的角为，则 ① ②. 第二部分 题型精讲 题型01求异面直线所成角（定值）(传统法） 【典例1】（24-25高一下·山西·阶段练习）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年，在《九章算术》中，将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马，将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在堑堵中，，，，分别为棱，的中点，若，则异面直线与所成角的余弦值为 ． 【典例2】（24-25高一下·山东淄博·阶段练习）如图，点是正方体的棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是 ． 【变式1】（25-26高一·全国·假期作业）如图，已知平面，，，分别是的中点，则异面直线与所成角的正切值为 . 【变式2】（24-25高一下·河北·期末）如图，直四棱柱所有棱长均为1，，则异面直线与所成角的余弦值为 . 【变式3】（24-25高一下·河北·阶段练习）风筝又称为“纸鸢”，由中国古代劳动人民发明．如图，这是某中学生制作的一个风筝模型的多面体ABCEF，D为边AB的中点，四边形ECDF为矩形，且平面ECDF⊥平面ABC，，，当多面体ABCEF的体积为时，异面直线AE与BC所成角的余弦值为 ． 题型02求异面直线所成角（定值）(向量法） 【典例1】（24-25高二上·江西上饶·阶段练习）在棱柱中，底面为平行四边形，，，，设异面直线与的夹角为，则 ． 【典例2】（24-25高二上·北京·期中）如图，已知是正方体，，分别是棱，的中点，则直线与所成角的余弦值为 . 【变式1】（24-25高二上·天津河北·期中）如图，在长方体中，，，点为线段的中点，则直线与直线所成角的余弦值为 . 【变式2】（24-25高二上·四川遂宁·阶段练习）中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广，刍，草也，甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍是茅草屋顶．”现有一个刍甍如图所示，其中四边形为矩形，，若，和都是正三角形，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 .    题型03求异面直线所成角（最值或范围） 【典例1】（24-25高二上·湖北·阶段练习）正方体中，点E是的中点，点F为正方形内一动点，且平面，若异面直线CF与所成角为，则的最小值为 . 【典例2】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在长方体中，E是的中点，点F是AD上一点，，，，动点P在上底面上，且满足三棱锥的体积等于1，则直线CP与所成角的余弦值的最大值为 ． 【变式1】（23-24高二下·江苏泰州·阶段练习）在空间四边形ABCD中，，记二面角的大小为，当时，直线AB与CD所成角的余弦值的取值范围是 . 【变式2】（23-24高二下·江苏淮安·阶段练习）正四面体的棱长为，点M为平面内的动点，且满足，则直线PM与直线AB的所成角的余弦值的取值范围为 . 【变式3】（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）如图，在边长为1的正方体中，点在上，点在平面内，设直线与直线所成角为.若直线到平面的距离为，则的最小值为 . 题型04已知线线角求参数 【典例1】（24-25高二下·江西宜春·阶段练习）如图所示，平面平面，且四边形为矩形，在四边形中，，．    (1)证明：平面平面； (2)若，且异面直线CD与BE所成角的余弦值为，求二面角的余弦值． 【典例2】（24-25高三上·天津·阶段练习）如图几何体中，四边形为正方形，平面，，，，. (1)证明：平面； (2)求平面与平面所成角的大小； (3)已知点H在棱上，且异面直线与所成角的余弦值为，求线段的长. 【变式1】（24-25高三上·广东惠州·阶段练习）如图1，在中，，分别为，的中点，，.将沿折起到的位置，使得，如图2. (1)求证：平面平面； (2)线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【变式2】（23-24高一下·北京·期末）如图，四棱锥中，平面∥是的中点. (1)证明：平面； (2)若二面角的余弦值是，求的值； (3)若，在线段上是否存在一点，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 【变式3】（23-24高二上·山西朔州·期中）如图，在多面体中，四边形为正方形，平面，，，． (1)求平面与平面所成锐二面角的余弦值； (2)在棱上是否存在点，使得直线与所成角的余弦值为?若存在，求点到平面的距离；若不存在，说明理由． 题型05易错题型求异面直线所成角忽略角的取值范围 【典例1】（24-25高二下·陕西西安·阶段练习）如图，在棱长为6的正四面体中，E，F分别为棱，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二上·山东德州·期末）如图，在三棱锥中，为等边三角形，为等腰直角三角形，，平面平面为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·广东东莞·期中）若空间中三个点，则直线与直线夹角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高二上·山西晋城·阶段练习）已知圆柱的底面半径为，高为，如图，矩形是圆柱的轴截面，点是圆柱下底面圆上一点，且满足，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 拓展一：异面直线所成角（传统法与向量法） 第一部分 知识梳理 1、（传统法）核心技巧：平移使相交 具体操作，通过平移一条（或2条），使异面直线转化为相交直线，然后在三角形中利用余弦定理求角 2、（向量法）用向量运算求两条直线所成角 已知，为两异面直线，，与，分别是，上的任意两点，，所成的角为，则 ① ②. 第二部分 题型精讲 题型01求异面直线所成角（定值）(传统法） 【典例1】（24-25高一下·山西·阶段练习）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年，在《九章算术》中，将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马，将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在堑堵中，，，，分别为棱，的中点，若，则异面直线与所成角的余弦值为 ． 【答案】/ 【分析】连接和相交于点，连接，，根据已知证明，进而有与所成角为或其补角，最后求其余弦值. 【详解】如图，连接和相交于点，所以点为的中点，连接，， 因为是的中点，所以， 又是的中点，所以， 所以平行且相等，则四边形是平行四边形， 所以，所以与所成角为或其补角， 又，易得，， 在中，由余弦定理得． 所以所求余弦值为． 故答案为： 【典例2】（24-25高一下·山东淄博·阶段练习）如图，点是正方体的棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是 ． 【答案】/ 【分析】连接、，不妨设，分析可知异面直线与所成角为或其补角，计算出三边边长，结合余弦定理求解即可. 【详解】连接、，不妨设，如下图所示： 在正方体中，，， 所以，四边形为平行四边形，所以，， 所以异面直线与所成角为或其补角， 在中，由勾股定理可得，同理可得， 由余弦定理可得， 因此，异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 【变式1】（25-26高一·全国·假期作业）如图，已知平面，，，分别是的中点，则异面直线与所成角的正切值为 . 【答案】 【分析】取中点，求证或其补角是异面直线与所成的角，在中计算其正切值即可. 【详解】取中点，连接，则， ∴或其补角是异面直线与所成的角， 设， 由题意得，， 因平面，平面，则，则， 因，平面，则平面， 又平面，则，则， 在中，，则， 故异面直线与所成角的正切值为. 故答案为： 【变式2】（24-25高一下·河北·期末）如图，直四棱柱所有棱长均为1，，则异面直线与所成角的余弦值为 . 【答案】/ 【分析】根据题意，可得，在直四棱柱的左侧再补一个相同的直四棱柱，易得即为异面直线与所成角或其补角，在 中，由余弦定理求得答案. 【详解】由题，，可得,解得， 在直四棱柱的左侧再补一个相同的直四棱柱，连接， 则，所以即为异面直线与所成角或其补角， 在中，由， 由余弦定理得，所以， 又因为异面直线所成角的范围是，所以异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 【变式3】（24-25高一下·河北·阶段练习）风筝又称为“纸鸢”，由中国古代劳动人民发明．如图，这是某中学生制作的一个风筝模型的多面体ABCEF，D为边AB的中点，四边形ECDF为矩形，且平面ECDF⊥平面ABC，，，当多面体ABCEF的体积为时，异面直线AE与BC所成角的余弦值为 ． 【答案】/ 【分析】以为邻边作矩形，求证即可，先证平面，结合体积求出，即可利用长度计算，最后在中利用余弦定理即可. 【详解】以为邻边作矩形，连接． 因为，所以为异面直线与所成的角或补角， 因为四边形是矩形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面平面， 因为平面，所以， 因为，且为边的中点，所以， 因为平面，，所以平面， 因为，所以， 则多面体的体积， 解得，故， ，， 在中，由余弦定理可得，则异面直线与所成角的余弦值为． 故答案为： 题型02求异面直线所成角（定值）(向量法） 【典例1】（24-25高二上·江西上饶·阶段练习）在棱柱中，底面为平行四边形，，，，设异面直线与的夹角为，则 ． 【答案】 【分析】将用不共面的向量表示出来，从而得到，然后由公式计算夹角余弦值即可. 【详解】 ， ， ， 底面ABCD为平行四边形，所以， 所以， . 所以， 故异面直线与的夹角的余弦值为:， 故答案为： 【典例2】（24-25高二上·北京·期中）如图，已知是正方体，，分别是棱，的中点，则直线与所成角的余弦值为 . 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，用空间向量求异面直线所成角的余弦. 【详解】如图，建立空间直角坐标系，不妨设， 则，，，. 所以，. 所以， 即直线与所成角的余弦值为. 故答案为： 【变式1】（24-25高二上·天津河北·期中）如图，在长方体中，，，点为线段的中点，则直线与直线所成角的余弦值为 . 【答案】 【分析】以为基底表示出，，再由向量夹角的计算公式即可得出答案. 【详解】记，则， 易知，所以； 又， 所以； 显然，, 所以； 又直线与直线所成的角的范围是， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 故答案为： 【变式2】（24-25高二上·四川遂宁·阶段练习）中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广，刍，草也，甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍是茅草屋顶．”现有一个刍甍如图所示，其中四边形为矩形，，若，和都是正三角形，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 .    【答案】 【分析】取中点，连接，，易证平面，再由等边三角形可知四边形为等腰梯形，高为，建立空间直角坐标系，利用向量法可得异面直线夹角余弦值. 【详解】    如图所示，设， 取中点，连接，，则， 又， ， 四边形为矩形， ， 又为正三角形，为的中点， ， ，且，平面， 平面， 易知，则， 四边形为等腰梯形，高为， 在平面内，过点作的垂线， 以点为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 即，， ， 即异面直线与的夹角余弦值为， 故答案为：. 题型03求异面直线所成角（最值或范围） 【典例1】（24-25高二上·湖北·阶段练习）正方体中，点E是的中点，点F为正方形内一动点，且平面，若异面直线CF与所成角为，则的最小值为 . 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，设，，求出平面的一个法向量为，找到，再求出，分析当或时，最小即可解答. 【详解】分别以DA，DC，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 设，，， 则，，，， 故，，，， 设平面的一个法向量为，则， 解得，令，则， 因为平面，所以， 即，所以， 设异面直线CF与所成角为， 则， 由于， 所以当或时，上式有最大值，此时最小为 故答案为： 【典例2】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在长方体中，E是的中点，点F是AD上一点，，，，动点P在上底面上，且满足三棱锥的体积等于1，则直线CP与所成角的余弦值的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，设，通过向量法算出点P到平面BFE的距离，结合三棱锥的体积等于1可得到，再通过向量法计算直线CP与所成角的余弦值的范围，继而算出答案 【详解】以D为坐标原点，分别以所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系， ，则，， ， 设平面的法向量为，则，令，得， 而，则点P到平面BFE的距离， 又， 在等腰中，到的高为，则 而，于是， 解得或，由，得，则， 设直线与所成的角为，则，， ，当且仅当时取等号， 所以的最大值为， 故答案为： 【点睛】方法点睛：求点到平面的距离可以利用几何法，作出点到平面的垂线段求解；也可以用向量法，求出平面的法向量，再求出这一点与平面内任意一点确定的向量在法向量的投影即可. 【变式1】（23-24高二下·江苏泰州·阶段练习）在空间四边形ABCD中，，记二面角的大小为，当时，直线AB与CD所成角的余弦值的取值范围是 . 【答案】 【分析】取中点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法可求异面直线与所成角余弦的取值范围. 【详解】因为， 则， 所以 ，是以为斜边的等腰直角三角形， 取中点，连接，则，， 所以即为二面角的平面角， 如图： 以为原点，建立空间直角坐标系， 则，，，， 则，， 设直线与所成角为， 则， 又，所以，则， 所以. 故答案为：. 【变式2】（23-24高二下·江苏淮安·阶段练习）正四面体的棱长为，点M为平面内的动点，且满足，则直线PM与直线AB的所成角的余弦值的取值范围为 . 【答案】 【分析】结合正四面体的结构特征求出相关线段长，确定M轨迹，建立空间直角坐标系，设，从而表示出的坐标，利用向量的夹角公式，即可求得答案. 【详解】由题意知正四面体的棱长为， 设P在底面上的射影为O，则O为正三角形的中心， 设D为的中点，连接，则O在上，， 且， 则，而， 故，故点M轨迹为平面内以O为圆心半径为1的圆， 以O为坐标原点，以为x轴，过点O作的垂线为y轴，为z轴，建立平面直角坐标系， 设，， ， 故，， 设直线PM与直线AB的所成角为， 则， 故答案为： 【变式3】（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）如图，在边长为1的正方体中，点在上，点在平面内，设直线与直线所成角为.若直线到平面的距离为，则的最小值为 . 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法表示出到面的距离，进而求出点坐标，过作平面的平行平面，得到点的轨迹，再利用向量法求线线角，进而求其最值即可. 【详解】因为直线到平面的距离为， 所以必有面，即点到平面的距离为， 如图建立空间直角坐标系，设，又， 则， 设面的法向量为， 则，取得， 则，解得，即， 过作平面的平行平面，与正方体的截面为， 分别为线段和线段的中点，则 所以在直线上， 设， 又，则， 当时，， 当时，， 又，所以， 则的最小值为. 故答案为： 题型04已知线线角求参数 【典例1】（24-25高二下·江西宜春·阶段练习）如图所示，平面平面，且四边形为矩形，在四边形中，，．    (1)证明：平面平面； (2)若，且异面直线CD与BE所成角的余弦值为，求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理，以及面面垂直的判断定理，即可证明； （2）根据（1）的结果，建立平面直角坐标系，根据异面直线所成角的向量公式求，再根据二面角的向量法，即可求解. 【详解】（1）由题意可知，， 且，所以，则， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面，且平面， 平面平面； （2）因为平面平面，且平面平面， 且，平面， 所以平面，且， 如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，设，   ，，，， ，， ，解得：， 设，， ，，, 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则，， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则，， 所以， ， 所以二面角的余弦值为. 【典例2】（24-25高三上·天津·阶段练习）如图几何体中，四边形为正方形，平面，，，，. (1)证明：平面； (2)求平面与平面所成角的大小； (3)已知点H在棱上，且异面直线与所成角的余弦值为，求线段的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）以为原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，由与平面的法向量垂直即可证； （2）由空间向量法求二面角； （3）设，，由空间向量法求异面直线所成角法求解． 【详解】（1）由题意以为原点，为轴建立空间直角坐标系，如图， 则， ，由图知平面的一个法向量是， 因为，所以，又平面， ∴平面； （2）由（1）知， 设平面的一个法向量是， 则，取，得， 设平面的一个法向量是， 则，取，得， ，又，∴， ∴平面与平面所成角的大小为； （3）在上，设，，则， ，解得（舍去）， 所以． 【变式1】（24-25高三上·广东惠州·阶段练习）如图1，在中，，分别为，的中点，，.将沿折起到的位置，使得，如图2. (1)求证：平面平面； (2)线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）利用计算证明，结合面面垂直的判定定理来证得平面平面. （2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，设，由线线角的向量求法可构造方程求得的值，进而得到结果. 【详解】（1）设是的中点，是的中点，如下图，连接，则， 则，， 由于，所以， 由于平面，所以平面， 由于平面，所以平面平面； （2）由（1）以及已知条件可知两两相互垂直， 则以为坐标原点，正方向为轴正方向， 可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 假设在线段上存在点，使得直线和所成角的余弦值为， 设，则， ， ， 整理可得：，解得：， 存在满足题意的点，此时. 【变式2】（23-24高一下·北京·期末）如图，四棱锥中，平面∥是的中点. (1)证明：平面； (2)若二面角的余弦值是，求的值； (3)若，在线段上是否存在一点，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）由已知条件可得平面，则，再利用等腰三角形三线合一的性质可得，然后利用线面垂直的判定定理可证得结论； （2）以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可； （3）设，则可表示出点的坐标，再由可求出的值，从而可求得结果. 【详解】（1）证明：因为平面，所以平面， 又因为平面，所以. 在中，是的中点，所以. 又因为平面， 所以平面； （2）解：因为平面平面， 所以，又因为， 即两两垂直， 所以以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示： 则， 所以 设平面的法向量为. 则，即令，则， 于是. 因为平面平面，所以. 又平面， 所以平面.又因为， 所以取平面的法向量为. 所以， 即，解得. 又因为，所以. （3）结论：存在且. 理由如下：设， 因为，所以， 当时，.所以， 由知，， 所以， 所以，所以， 所以，在线段上存在点，使得，且. 【变式3】（23-24高二上·山西朔州·期中）如图，在多面体中，四边形为正方形，平面，，，． (1)求平面与平面所成锐二面角的余弦值； (2)在棱上是否存在点，使得直线与所成角的余弦值为?若存在，求点到平面的距离；若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)存在，距离为. 【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法求解即得. （2）由（1）中坐标系，由异面直线所成角的余弦求出点，再利用向量法求出点到平面的距离. 【详解】（1）由四边形为正方形，平面，知直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，， 设平面的一个法向量，则，令，得， 设平面的一个法向量，则，令，得， 设平面和平面所成锐二面角为，则 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为． （2）假设存在，又，则，， 由直线与所成角的余弦值为，得， 解得，则存在点，为棱的中点时满足条件， 即，，， 设平面的一个法向量，则，令，得， 所以点到平面的距离为. 题型05易错题型求异面直线所成角忽略角的取值范围 【典例1】（24-25高二下·陕西西安·阶段练习）如图，在棱长为6的正四面体中，E，F分别为棱，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作平面，连接，以为坐标原点，直线，分别为轴，轴，过点平行为轴，建立空间直角坐标系，根据空间向量的坐标运算求解，再利用向量的夹角余弦值的坐标运算得所求. 【详解】作平面，垂足为，连接，则为的中心， 以为坐标原点，直线，分别为轴，轴，过点平行为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 因为正四面体的棱长为6，求得，， 可得，， 所以， 设，所成的角为，所以． 故选：A. 【变式1】（24-25高二上·山东德州·期末）如图，在三棱锥中，为等边三角形，为等腰直角三角形，，平面平面为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由面面垂直的性质定理结合题意可证得，，两两垂直，以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，分别表示出，，再由异面直线所成角的向量公式代入即可得出答案. 【详解】取的中点，连接，，因为，所以． 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面．又，所以， 可得，，两两垂直，所以以为坐标原点， ，，的方向分别为，，轴的正方向， 建立空间直角坐标系，不妨设，则，，，，所以， ， 所以， 又异面直线所成角的取值范围为， 所以异面直线与所成角的余弦值为． 故选：C. 【变式2】（24-25高二上·广东东莞·期中）若空间中三个点，则直线与直线夹角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出向量，利用向量夹角公式求解可得. 【详解】因为，所以， 记直线与直线的夹角为， 则. 故选：B 【变式3】（24-25高二上·山西晋城·阶段练习）已知圆柱的底面半径为，高为，如图，矩形是圆柱的轴截面，点是圆柱下底面圆上一点，且满足，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】证明点为中点，建立空间直角坐标系，写出点坐标和线的方向向量坐标，由空间向量求出线线角的余弦值. 【详解】连接，∵为底面圆的直径，∴，∵，∴， ∴点为中点，即 如图： 在圆柱中可得，， ∴以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， ∴，，，， ∴，， 设直线与的夹角为，则. 故选：A. 学科网（北京）股份有限公司 $$