湖南省长沙市长郡中学2025-2026学年高二上学期数学专项训练：距离、夹角公式的应用

长郡中学2025年高二距离、夹角公式的应用 1．距离问题（向量求法） (1)点P到直线 l 的距离：已知直线l的单位方向向量为，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为＝，则点P到直线l的距离为(如图)． (2)点P到平面α的距离：设平面α的法向量为，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为(如图)． 2，夹角问题（向量求法） （1）求异面直线所成的角 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为， 则 （2）求直线和平面所成的角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为， 则有。 （3）求二面角 如图，若于A，于B，平面PAB交于E， 则∠AEB为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°。 若分别为面，的法向量， 直线与平面的夹角的正弦值=直线与平面法向量夹角的余弦值 平面与平面夹角的余弦值=负的两平面法向量夹角的余弦值 3，点到直线的距离公式：平面上任意一点到直线：的距离. 4，两条平行线间的距离 两条平行直线：（）和：（）间的距离. 基础练习 1，已知直线l的方向向量，点A（1，2，―1）在l上， 则点P（2，―1，2）到l的距离为（ ） A． B．4 C． D． 2．点到直线的距离为（    ） A． B．2 C． D．1 3．已知两点和到直线距离相等，则值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 4．已知点，点为直线上动点，则、两点间距离的最小值为（   ） A．1 B． C． D．2 5．已知两平行直线与之间的距离为，则（    ） A． B．23 C．13或23 D．或 6．若直线与平行，则两直线间的距离为（    ） A． B． C． D． 7，如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E为AB的中点，求平面CD1E的一个法向量。 8，长方体ABCD—中，AB=4，AD=6，，M是A1C1的中点，P在线段BC上，且|CP|=2，Q是DD1的中点，求：（1）M到直线PQ的距离；（2）M到平面AB1P的距离。 9. 如图，在几何体中，底面为平行四边形，平面，平面平面． （1）证明：； （2）若，且，求平面与平面夹角的余弦值． 距离、夹角公式的应用 1，C 【解析】连接AP,做P垂直直线l交于B，则， 所以. 2．【答案】D 【分析】由点到直线距离公式直接计算即可求解. 【详解】由题点到直线的距离为. 故选：D. 3．【答案】B 【详解】根据点到直线的距离公式列出等式，由此能求出． 【解答】两点和到直线距离相等， ，解得，或． 故选：B． 4．【答案】B 【分析】根据点到直线的距离公式计算即可. 【详解】由题意可知，当直线与直线垂直时，、两点间距离最小， 点到直线的距离， 故、两点间距离的最小值为. 故选：B. 5．【答案】C 【分析】根据给定条件，利用平行线间距离公式列式计算即得. 【详解】由直线与平行，得，则， 直线，于是，解得或， 所以或. 故选：C 6．【答案】C 【分析】先利用两直线平行求得，再利用两平行直线间的距离公式即可得解. 【详解】因为直线与平行， 所以，解得或， 当时，两直线方程都为，此时两直线重合，不合题意， 当时，与平行，故， 故， 所以两直线间的距离为. 故选：C. 7，【答案】如图，建立空间直角坐标系D-xyz， 则A（1，0，0），B（1，2，0），C（0，2，0），D1（0，0，1）， 所以E（1，1，0） 所以，。 设平面CD1E的法向量=（x，y，z），则： ， 所以，所以 令y=1，则x=1，z=2。 所以平面CD1E的一个法向量为（1，1，2） 8，长方体ABCD—中，AB=4，AD=6，，M是A1C1的中点，P在线段BC上，且|CP|=2，Q是DD1的中点，求：（1）M到直线PQ的距离；（2）M到平面AB1P的距离。 【解析】如图，建立空间直角坐标系B—xyz， 则A（4，0，0），M（2，3，4），P（0，4，0），Q（4，6，2）， （1）∵， ∴上的射影的模 故M到PQ的距离为 （2）设是平面的某一法向量，则， ∵∴ 因此可取，由于，那么点M到平面的距离为: ，故M到平面的距离为。 9，【解析】 【分析】（1）设，连接，过向作垂线，垂足为，先证平面，然后证明平面，结合线面垂直的性质可证； （2）以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，根据向量夹角公式可得. 【小问1详解】 设，连接，过向作垂线，垂足为， 因为平面平面，平面平面平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为平面平面，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以. 【小问2详解】 因为，结合（1）可知底面为正方形， 以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的一个法向量为， 则，令得， 设平面的一个法向量为， 则，令得，. 设平面与平面的夹角为，则， 即平面与平面的夹角的余弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $