精品解析：贵州省贵阳市南明区永乐第一中学2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题

贵阳市南明区永乐第一中学2024-2025学年度第二学期4月质量监测 八年级数学试卷 一、选择题（本大题共12题，每题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确） 1. 下列各式是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式的识别，被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式的二次根式叫做最简二次根式，据此求解即可． 【详解】解：A．，被开方数含分母，不是最简二次根式； B．是最简二次根式； C．，被开方数含分母，不是最简二次根式； D．，被开方数含有开得尽方的因数，不是最简二次根式． 故选：B． 2. 二次根式中，x不可以取的值是（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， ∴x不可以取的值是3． 故选：D 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是被开方数为非负数是解题的关键． 3. 下列能作为直角三角形三边长的是 （ ） A. 2，3，4 B. ，， C. 3，4，5 D. ，3，4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键． 根据勾股定理逆定理逐一判断即可求解． 【详解】解：A．，不能构成直角三角形，A选项不符合题意． B．，不能构成直角三角形，B选项不符合题意． C．，能构成直角三角形，C选项符合题意． D．，不能构成直角三角形，D选项不符合题意． 故选：C． 4. 下列计算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加、减、乘运算，掌握二次根式的相关运算法则是解答本题的关键．根据二次根式的运算法则逐一验证各选项． 【详解】A．无法合并，结果不等于，错误． B．无法合并，结果不等于，错误． C．，正确． D．，错误． 故选：C． 5. 在△ABC中，∠B＝35°，BC2﹣AC2＝AB2，则∠C的大小为（　　） A. 35° B. 55° C. 65° D. 90° 【答案】B 【解析】 【分析】根据BC2﹣AC2＝AB2，可得△ABC为直角三角形，∠A＝90°，从而求得∠C． 【详解】解：∵BC2﹣AC2＝AB2，即BC2＝AB2+AC2， ∴△ABC为直角三角形，∠A＝90°， ∴， 故选：B. 【点睛】此题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理，求得∠A＝90°． 6. 如图，某同学在做物理实验时，将一支细玻璃棒斜放入了一只盛满水的烧杯中，已知烧杯高8cm，玻璃棒被水淹没部分长10cm，这只烧杯的直径约是（ ） A. 9cm B. 8cm C. 7cm D. 6cm 【答案】D 【解析】 【分析】烧杯的高、玻璃棒被水淹没部分以及这只烧杯的直径构成一个直角三角形，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意，可得这只烧杯的直径是：（cm）． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，能够将实际问题转化为数学问题是解题的关键． 7. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以点为圆心，长为半径画弧，交轴的正半轴于点，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理．求出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴点的坐标是． 故选：A 8. 勾股定理是中国几何的根源，中华数学的精髓，诸如开方术、方程术、天元术等技艺的诞生与发展，寻根探源，都与勾股定理有着密切关系．如图，中，，若，，则正方形的面积为（　　） A. 4 B. C. 13 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理求解即可. 【详解】解：∵，，， ∴正方形的面积； 故选：C. 【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键. 9. 将一副直角三角板和一把宽度为2cm的直尺按如图方式摆放：先把和角的顶点及它们的直角边重合，再将此直角边垂直于直尺的上沿，重合的顶点落在直尺下沿上，这两个三角板的斜边分别交直尺上沿于，两点，则的长是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等腰直角三角形的性质可得，由含30度角直角三角形的性质可得，由勾股定理可得的长，即可得到结论． 【详解】解：如图，在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，含角直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 10. 实数a、b在数轴上的位置如图，则的值为（　　） A. ﹣2b B. 2a C. ﹣2a D. 2b 【答案】A 【解析】 【分析】根据数轴可判断b＜-a＜0＜a＜-b，然后根据绝对值的性质以及二次根式的性质即可求出答案． 【详解】解：由数轴可知b＜-a＜0＜a＜-b， ∴b-a＜0，a+b＜0， ∴原式=-（b-a）-（a+b） =-b+a-a-b =-2b， 故选：A． 【点睛】本题考查二次根式与数轴，解题的关键是熟练运用二次根式的性质以及绝对值的性质，本题属于基础题型． 11. 如图，从一个大正方形中裁去面积为和 的两个小正方形，则余下部分的面积为（    ） A. 78 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的实际应用，求出大正方形的边长，分割法求出余下部分的面积即可． 【详解】解：∵两个小正方形的面积为和， ∴两个小正方形的边长为和， ∴大正方形的边长为， ∴余下部分的面积为， 故选：D． 12. 如图，将长方形纸片折叠，使点D落在上的点处，折痕为．若，，则的长为（ ） A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握翻折变换的性质和矩形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．由矩形可得，，，，由折叠得到，设，则，，在中，由勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 由折叠的性质得：， ∴，，， ∴，， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 故选：B． 二、填空题（本大题共4题，每题4分，共16分） 13. 计算： ____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的除法，利用二次根式的除法法则进行计算，是解题的关键． 【详解】解：原式； 故答案为：． 14. 与最简二次根式可以合并，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】把化为最简根式，然后根据同类次根式的定义列出方程求解即可． 【详解】解：， 与最简二次根式是同类二次根式， ， ． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查同类二次根式的概念，掌握同类二次根式的概念是解题的关键． 15. 在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，则△ABC的面积是________． 【答案】12 【解析】 【分析】作AH⊥BC于H，由等腰三角形的性质得BH=3，再利用勾股定理求出AH的长，从而得出面积． 【详解】解：作AH⊥BC于H， ∵AB=AC，BC=6， ∴BH=BC=3， 由勾股定理得，AH==4， ∴△ABC的面积是×BC×AH=×6×4=12， 故答案为：12． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 16. 如图，在中，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，两点之间，线段最短，垂线段最短： 在边上截取，连接，，过点作交于点，证得，于是有，因而，再根据垂线段最短，得到当点与点重合时，最小，等积法求出的长即可． 【详解】解：如图，在边上截取，连接，，过点作交于点， 是的平分线， ， 在和中， ， ， ， ， ∴当三点共线时，，最小， ∵垂线段最短， ∴当点与点重合时，最小， ∵，， ∴，即：， ∴， 的最小值为； 故答案为：． 三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先将各个二次根式化为最简二次根式，再进行加减法计算即可； （2）先根据完全平方公式，平方差公式进行计算，再进行加减计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 图1是一款婴儿推车，图2为其调整后的侧面示意简图，测得，支架，．求两轮圆心之间的距离． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用勾股定理即可得出答案． 【详解】解：在中，∵，， ∴， ∴两轮圆心之间的距离为． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． 19. 已知，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了异分母分式减法运算，平方差公式，因式分解的应用，熟练掌握知识点是解题的关键.先计算，再将化为代入计算即可． 【详解】解：依题意，得 ， ∴． 20. 如图在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面的部分为1米，一阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面（即），已知红莲移动的水平距离为3米，则湖水深为多少？ 【答案】米． 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出方程是解题关键．直接利用勾股定理得出，进而求出答案． 【详解】解：设为米， ∵在中，，，， ∴由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴湖水深为米． 21. 已知，，满足． （1）_____，_____，_____． （2）以，，为边长能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）能， 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系，平方、二次根式及绝对值的非负性，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）平方、二次根式及绝对值的非负性进行求解即可； （2）根据三角形任意两边之和大于第三边进行求解，进而求其周长即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：能． ∵，即， ∴以，，为边长能构成三角形，三角形的周长是． 22. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点就做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形； （1）使三角形的三边长分别为2，3，，（在图1中画出一个即可）； （2）使三角形为钝角三角形且面积为4（在图2中画出一个即可），并计算你所画三角形的三边的长． 【答案】（1）图1即为所求；（2）图2即为所求，三边长分别为2，， 【解析】 【分析】（1）画一个两直角边分别为2，3的三角形即可． （2）画一个底边长是2，高为4的钝角三角形即可，然后利用勾股定理可以求出各边长． 【详解】解：（1）在图1中画出AB＝2，BC＝3，连接AC，AC＝； （2）如图2所示，S△EMF＝4，FM＝2，EM＝，EF＝． 【点睛】此题主要考查了勾股定理，应用与作图设计，关键要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，然后作图． 23. 有一块四边形草地（如图），测得，，，． （1）求的度数； （2）求四边形草地的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理和逆定理的应用， （1）连接，由等边三角形的判定证得是等边三角形，得到，再由勾股定理的逆定理证得，即可求得； （2）过作于，由等腰三角形的性质求得，再由勾股定理求得，由三角形的面积公式可求得和，即可求得结论． 正确作出辅助线证得是等边三角形是解决问题的关键． 【小问1详解】 解：连接， ，． 是等边三角形， ，， 在中，，，， ， ， ； 【小问2详解】 过作于， ， ， ， 四边形草地的面积， 答：四边形草地的面积为． 24. 请阅读下列材料： 问题：已知，求代数式的值．小敏的做法是：根据得，∴，得．把作为整体代入得．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．请你用上述方法解决下面问题： （1）已知，求代数式的值； （2）已知 ，求代数式的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）本题主要考查了完全平方公式的应用、整体思想等知识点，根据完全平方公式求出，然后代入计算即可；掌握整体思想是解题的关键； （2）本题主要考查了二次根式的乘法、完全平方公式等知识点根据二次根式的乘法法则、完全平方公式计算可得，，然后整体代入计算即可；灵活运用相关运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴． 25. 综合实践，长方体中蕴藏着丰富的数学知识，善思小组开展长方体中数学知识的探究如图①是底面为正方形的长方体盒子，，，，该小组把长方体的两侧面，剪下来，沿着和剪开，得到四个全等的直角三角形，可拼成如图②和如图③所示的“弦图”， 【探究一】（1）如图②，若每个直角三角形较小锐角为30°，小正方形的面积为16，求大正方形的面积： 【探究二】（2）如图③、若小正方形的面为5，，则大正方形的面积为_____； 【探究三】（3）为了使长方体盒子更加美观，现准备在长方体外表面从点A到点G粘贴一条彩色条（宽度忽略不计）．设所用彩色条的长度为，探究的最小值（用含，的代数式表示）．该小组探究如下：将长方体盒子侧面，展开成图④所示的平面图形，连接，在中，，即的最小值为．上述探究结果是否正确？若不正确，画图并求出的最小值． 【答案】（1）； （2）大正方形的面积为13； （3）不正确，如图⑤所示， 最小值为． 【解析】 【分析】（1）根据小正方形面积求出，再根据含30°直角三角形的性质求出，再根据勾股定理求出，最后根据正方形面积公式求出结果即可； （2）由题意可知，中间小正方形的边长为，得到，，得到，即可得解； （3）将长方体盒子侧面，展开成平面图形，求出此时，然后再比较大小即可． 【详解】解：（1）∵小正方形的面积为16， ∴. ∵每个直角三角形较小锐角为30° ∴ 根据句股定理，得 ∴大正方形的边长为. ∴大正方形的面积为. (2)由题意可知，中间小正方形的边长为， ∴，即①: ∵＝21，即②， ①＋②得，， ∴， ∴大正方形的面积为13. （3）不正确.将长方体盒子侧面，展开成平面图形，连接. 在Rt△ABG中，AG＝ ∵， 又＞b＞0， ∴ ∴＞0， ∴， 即的最小值为. 【点睛】本题考查四边形的综合应用，主要考查了勾股定理的几何证明，勾股定理的应用，解题的关键是数形结合，熟练掌握勾股定理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵阳市南明区永乐第一中学2024-2025学年度第二学期4月质量监测 八年级数学试卷 一、选择题（本大题共12题，每题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确） 1. 下列各式是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 二次根式中，x不可以取的值是（ ） A. B. C. 2 D. 3 3. 下列能作为直角三角形三边长的是 （ ） A. 2，3，4 B. ，， C. 3，4，5 D. ，3，4 4. 下列计算正确的是（） A. B. C. D. 5. 在△ABC中，∠B＝35°，BC2﹣AC2＝AB2，则∠C的大小为（　　） A. 35° B. 55° C. 65° D. 90° 6. 如图，某同学在做物理实验时，将一支细玻璃棒斜放入了一只盛满水的烧杯中，已知烧杯高8cm，玻璃棒被水淹没部分长10cm，这只烧杯的直径约是（ ） A. 9cm B. 8cm C. 7cm D. 6cm 7. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以点为圆心，长为半径画弧，交轴的正半轴于点，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 勾股定理是中国几何的根源，中华数学的精髓，诸如开方术、方程术、天元术等技艺的诞生与发展，寻根探源，都与勾股定理有着密切关系．如图，中，，若，，则正方形的面积为（　　） A. 4 B. C. 13 D. 16 9. 将一副直角三角板和一把宽度为2cm的直尺按如图方式摆放：先把和角的顶点及它们的直角边重合，再将此直角边垂直于直尺的上沿，重合的顶点落在直尺下沿上，这两个三角板的斜边分别交直尺上沿于，两点，则的长是（ ） A. B. C. 2 D. 10. 实数a、b在数轴上的位置如图，则的值为（　　） A. ﹣2b B. 2a C. ﹣2a D. 2b 11. 如图，从一个大正方形中裁去面积为和 的两个小正方形，则余下部分的面积为（    ） A. 78 B. C. D. 12. 如图，将长方形纸片折叠，使点D落在上的点处，折痕为．若，，则的长为（ ） A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 6 二、填空题（本大题共4题，每题4分，共16分） 13. 计算： ____． 14. 与最简二次根式可以合并，则______． 15. 在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，则△ABC的面积是________． 16. 如图，在中，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是_______． 三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 图1是一款婴儿推车，图2为其调整后的侧面示意简图，测得，支架，．求两轮圆心之间的距离． 19. 已知，求的值． 20. 如图在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面的部分为1米，一阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面（即），已知红莲移动的水平距离为3米，则湖水深为多少？ 21. 已知，，满足． （1）_____，_____，_____． （2）以，，为边长能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长；若不能，请说明理由． 22. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点就做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形； （1）使三角形的三边长分别为2，3，，（在图1中画出一个即可）； （2）使三角形为钝角三角形且面积为4（在图2中画出一个即可），并计算你所画三角形的三边的长． 23. 有一块四边形草地（如图），测得，，，． （1）求的度数； （2）求四边形草地的面积． 24. 请阅读下列材料： 问题：已知，求代数式的值．小敏的做法是：根据得，∴，得．把作为整体代入得．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．请你用上述方法解决下面问题： （1）已知，求代数式的值； （2）已知 ，求代数式的值． 25. 综合实践，长方体中蕴藏着丰富的数学知识，善思小组开展长方体中数学知识的探究如图①是底面为正方形的长方体盒子，，，，该小组把长方体的两侧面，剪下来，沿着和剪开，得到四个全等的直角三角形，可拼成如图②和如图③所示的“弦图”， 【探究一】（1）如图②，若每个直角三角形较小锐角为30°，小正方形的面积为16，求大正方形的面积： 【探究二】（2）如图③、若小正方形的面为5，，则大正方形的面积为_____； 【探究三】（3）为了使长方体盒子更加美观，现准备在长方体外表面从点A到点G粘贴一条彩色条（宽度忽略不计）．设所用彩色条的长度为，探究的最小值（用含，的代数式表示）．该小组探究如下：将长方体盒子侧面，展开成图④所示的平面图形，连接，在中，，即的最小值为．上述探究结果是否正确？若不正确，画图并求出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $