精品解析：宁夏回族自治区吴忠市第六中学2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题

吴忠市第六中学2024－2025学年（下）八年级期中质量检测 数学试卷（100分） 答案一律填写在答题卡指定位置，否则为无效答卷 第I卷（选择题） 一、单选题（共30分） 1. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则的值为 （ ） A. 2 B. C. D. 3. 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE//BD，DE//AC．若AC=4，则四边形CODE的周长是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 4. 矩形两条对角线夹角为，对角线长，则矩形较短的边长为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AD=4，点P是AB边上的一个动点，点E、F分别是DP、BP的中点，则线段EF的长为( ) A. 2 B. 4 C. D. 6. 如图所示，在矩形中，点的坐标是，则的长是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，数轴上表示的点应在（ ） A. 线段上 B. 线段上 C. 线段上 D. 线段上 8. 如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（ ） A. 7 B. 9 C. 10 D. 11 9. 如图，在长方形ABCD中，点E在边AB上，把长方形ABCD沿直线DE折叠，点A落在边BC上的点F处．若AE＝5，BF＝3．则△CDF的面积是（　　） A. 52 B. 108 C. 54 D. 60 10. 若顺次连接四边形各边的中点所得的四边形是正方形，则四边形的两条对角线一定是( ) A. 互相平分 B. 互相垂直 C. 互相平分且相等 D. 互相垂直且相等 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（共24分） 11. 若最简二次根式与可以合并，则__________． 12. 若实数、满足，则代数式______． 13. 已知菱形的两条对角线长为8cm和6cm，那么这个菱形的周长是__cm，面积是__cm2． 14. 如图，在矩形中，对角线与交于点O，于点E，若，且，则的长为_____________． 15. 已知，为实数，且，则______． 16. 如图，在正方形的外侧作等边三角形，则的度数为______． 17. 如图，有一长、宽各2m、高3m且封闭的长方体纸盒，一只昆虫从顶点A爬到与A点相对的顶点B，那么这只昆虫爬行的最短路径为__________m． 18. 如图是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图），且大正方形的面积是，直角三角形的较短直角边为，较长直角边为．如果将四个全等的直角三角形按如图的形式摆放所围成的大正方形的面积是，那么一个直角三角形的面积为______． 三、解答题（共46分） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 先化简再求值：，其中. 21. 如图，每个小方格的边长都为． （1）求图中格点四边形的面积； （2）请探究：与的位置关系，并说明理由． 22. 如图，O是对角线的中点，过点O的直线分别与、交于点E、F．证明：四边形是平行四边形． 23. 如图，在中，E为的中点，连接并延长交的延长线于点F，连接，，若，求证：四边形是矩形． 24. 如图，将矩形折叠，使点重合，折痕分别与相交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形． （2）若矩形的边，，求菱形的边长． 25. 如图，在中，，垂足为点D，是外角的平分线，，垂足为点E． （1）求证：四边形为矩形； （2）当，求证：四边形为正方形． 26. △ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF， （1）观察猜想 如图1，当点D在线段BC上时， ①BC与CF的位置关系为：　 　． ②BC，CD，CF之间的数量关系为：　 　；（将结论直接写在横线上） （2）数学思考 如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明． （3）拓展延伸 如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE，若已知AB=2，CD=BC，请求出GE的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吴忠市第六中学2024－2025学年（下）八年级期中质量检测 数学试卷（100分） 答案一律填写在答题卡指定位置，否则为无效答卷 第I卷（选择题） 一、单选题（共30分） 1. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式里面被开方数即可求解． 【详解】解：由题意知：被开方数， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，必须保证被开方数大于等于0． 2. 若，则的值为 （ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是完全平方公式的应用，二次根式的乘法运算，把化为，再结合完全平方公式可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选A 3. 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE//BD，DE//AC．若AC=4，则四边形CODE的周长是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【详解】∵CE//BD，DE//AC， ∴四边形CODE是平行四边形， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD=4，OA=OC，OB=OD， ∴OD=OC= AC=2， ∴四边形CODE是菱形， ∴四边形CODE的周长为：4OC=4×2=8． 故选C． 4. 矩形两条对角线夹角为，对角线长，则矩形较短的边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，根据题意证明是等边三角形是解答本题的关键．由矩形的对角线相等且平分可知，结合可得是等边三角形，即可求出矩形的较短边长． 【详解】解：如图，由题意可知，， ∵在矩形中， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴矩形的较短边长为， 故选：D． 5. 如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AD=4，点P是AB边上的一个动点，点E、F分别是DP、BP的中点，则线段EF的长为( ) A. 2 B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】【分析】连接BD，利用菱形性质和三角形中位线性质可解得. 【详解】连接BD， 因为,四边形ABCD是菱形， 所以，AB=AD=4, 又因为∠A=60°， 所以，三角形ABD是等边三角形. 所以，BD=AB=AD=4 因为，E,F是DP、BP的中点， 所以，EF是三角形ABD的中位线， 所以，EF=BD=2 故选A 【点睛】本题考核知识点：菱形，三角形中位线.解题关键点：理解菱形，三角形中位线性质. 6. 如图所示，在矩形中，点的坐标是，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质以及勾股定理，过点作轴的垂线交于点，连接．根据矩形的性质，的长度即为的长度，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：过点作轴的垂线交于点，连接． 点的坐标是， ， ， 矩形， ∴， 故选：C． 7. 如图，数轴上表示的点应在（ ） A. 线段上 B. 线段上 C. 线段上 D. 线段上 【答案】B 【解析】 【分析】根据实数平方根的定义估算的大小，再结合数轴表示数的方法得出答案． 【详解】解：解：∵42=16，52=25， ∴4＜＜5， ∴-1＜＜0， ∵数轴上的点B，C分别对应的数是-1，0， ∴表示的点应在线段BC上， 故选：B． 【点睛】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的意义是正确解答的前提，估算出的大小是得出正确答案的关键． 8. 如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（ ） A. 7 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】利用勾股定理列式求出BC的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出，然后代入数据进行计算即可得解． 【详解】解：∵BD⊥CD，BD=4，CD=3， ∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点， ∴ ∴四边形EFGH的周长=EH+GH+FG+EF=AD+BC， 又∵AD=6， ∴四边形EFGH的周长=6+5=11． 故选D． 点睛：本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理的应用，熟记三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键． 9. 如图，在长方形ABCD中，点E在边AB上，把长方形ABCD沿直线DE折叠，点A落在边BC上的点F处．若AE＝5，BF＝3．则△CDF的面积是（　　） A. 52 B. 108 C. 54 D. 60 【答案】C 【解析】 【分析】先根据折叠的性质和勾股定理求出AB的长，再根据折叠的性质和勾股定理即可得到结论． 【详解】解：由折叠的性质得，EF=AE=5，AD=DF， ∵在长方形ABCD中，∠B=90°，∠C=90°，BC=AD，CD=AB， ∴由勾股定理得，BE＝ ∴AB=AE+BE=9； 设CF=x，则DF=AD=BC=BF+CF=3+x， 在Rt△CDF中，由勾股定理得，CF2+CD2=DF2 ∴x2+92=（x+3）2 ∴x=12， ∴S△CDF＝×12×9＝54． 故选：C． 【点睛】此题考查了矩形的性质、折叠的性质以及勾股定理，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用． 10. 若顺次连接四边形各边的中点所得的四边形是正方形，则四边形的两条对角线一定是( ) A. 互相平分 B. 互相垂直 C. 互相平分且相等 D. 互相垂直且相等 【答案】D 【解析】 【分析】由题意作出图形，然后根据正方形的判定定理可进行排除选项． 【详解】解：如图所示，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AD、DC、BC、AB的中点， ∴， ∴四边形EFGH是平行四边形， 对于A选项：对角线互相平分，四边形EFGH仍是平行四边形，故不符合题意； 对于B选项：对角线互相垂直，则有，可推出四边形EFGH是矩形，故不符合题意； 对于C选项：对角线互相平分且相等，则有，可推出四边形EFGH是菱形，故不符合题意； 对于D选项：对角线互相垂直且相等，则有，，可推出四边形EFGH是正方形，故符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查三角形中位线及正方形、菱形、矩形、平行四边形的判定，熟练掌握三角形中位线及正方形、菱形、矩形、平行四边形的判定是解题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（共24分） 11. 若最简二次根式与可以合并，则__________． 【答案】2 【解析】 【分析】先判断与是同类二次根式，根据被开方数相同列方程求解． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴最简二次根式与是同类二次根式， ∴， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了同类二次根式的概念，一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，根据同类二次根式的定义得到被开方数相同是解题的关键． 12. 若实数、满足，则代数式______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查绝对值及算术平方根的非负性，掌握绝对值及算术平方根的非负性是解题的关键．先根据绝对值及算术平方根的非负性可求出a、b的值，然后代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为∶ 13. 已知菱形的两条对角线长为8cm和6cm，那么这个菱形的周长是__cm，面积是__cm2． 【答案】 ①. 20 ②. 24 【解析】 【分析】由题意可画出图形，根据菱形对角线互相平分且垂直可以得到，，因此可求出长，继而根据周长公式以及面积公式即可求得答案． 【详解】解：由题意画出图形可知：，， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴在中，， ∴菱形的周长为：； ∴菱形的面积为：． 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查菱形的性质和勾股定理，掌握菱形的性质是解决问题的关键． 14. 如图，在矩形中，对角线与交于点O，于点E，若，且，则的长为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，平方根解方程，掌握矩形的对角线相等且平分是解题关键．由矩形的性质可得，再利用勾股定理列方程，求出，即可得到的长． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 解得：（负值舍去）， ， 故答案为：． 15. 已知，为实数，且，则______． 【答案】2025 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的被开方数的非负性、代数式求值，根据二次根式的被开方数的非负性求出x的值是解题关键．先根据二次根式的被开方数的非负性求出x的值，从而可得出y的值，再将x和y的值代入求解即可． 【详解】解：根据题意可知：，， 解得， 则， ∴， 故答案为：2025 16. 如图，在正方形的外侧作等边三角形，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形性质得出，，根据等边三角形性质得出，，推出，，根据等腰三角形性质得出，根据三角形的内角和定理求出即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴的度数为． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理． 17. 如图，有一长、宽各2m、高3m且封闭的长方体纸盒，一只昆虫从顶点A爬到与A点相对的顶点B，那么这只昆虫爬行的最短路径为__________m． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了平面展开图最短路径问题，解题关键是把长方体展开后用了勾股定理求出对角线的长度．蚂蚁有三种爬法，就是把正视和俯视（或正视和侧视，或俯视和侧视）二个面展平成一个长方形，然后求其对角线，比较大小即可求得最短的途径． 【详解】解：由题意得，路径一： ； 路径二： ； 路径三： ； ， 为最短路径． 故答案为： 18. 如图是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图），且大正方形的面积是，直角三角形的较短直角边为，较长直角边为．如果将四个全等的直角三角形按如图的形式摆放所围成的大正方形的面积是，那么一个直角三角形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，勾股定理的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． 由图可得，图中最大的正方形的面积为，即，求出的值即可． 【详解】解：由图可得，图中最大的正方形的面积为，即， ∴， ∴， ∴， ∴一个直角三角形的面积为， 故答案为：． 三、解答题（共46分） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可； （2） 利用平方差公式和完全平方公式计算． 【小问1详解】 【小问2详解】 ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算:先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可，在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 20. 先化简再求值：，其中. 【答案】1－ 【解析】 【详解】试题分析：首先将括号里面的分式进行通分，然后根据分式的除法计算法则将分式进行约分化简，最后将x的值代入化简后的式子进行计算得出答案． 试题解析：原式，将x=代入得： 原式=1－． 21. 如图，每个小方格的边长都为． （1）求图中格点四边形的面积； （2）请探究：与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1） （2），理由见解析 【解析】 【分析】（1）连接，四边形可以把它看成两个三角形，即，，再求出其面积的和即可； （2）可求得、、的长，利用勾股定理的逆定理可判定、的位置关系． 【小问1详解】 解：，， 四边形的面积； 【小问2详解】 解：由勾股定理，得，， 由题意可知， ， 为直角三角形， ， ． 【点睛】本题主要考查了三角形的面积以及勾股定理及其逆定理的应用，掌握勾股定理求边长及由三边之间的平方关系判定直角三角形是解题的关键． 22. 如图，O是对角线的中点，过点O的直线分别与、交于点E、F．证明：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，利用证明，得出，然后利用对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得证． 【详解】证明：∵点O为对角线的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形． 23. 如图，在中，E为的中点，连接并延长交的延长线于点F，连接，，若，求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和E为的中点，易得，得到，，结合得到四边形ABFC是平行四边形，再利用，得到 ，最后利用矩形的判定定理判定即可． 【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，，， ∴，． ∵E为的中点， ∴． 在和中 ， ∴， ∴，． ∵，延长交的延长线于点F， ∴， ∴四边形ABFC是平行四边形． ∵，， ∴． ∴四边形是矩形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定，得到是解答关键． 24. 如图，将矩形折叠，使点重合，折痕分别与相交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形． （2）若矩形的边，，求菱形的边长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（）由折叠可得，进而利用矩形的性质可证四边形为平行四边形，进而由即可求证； （）设，则，在中，由勾股定理得，解方程即可求解． 【小问1详解】 证明：由折叠的性质可得，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴ 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， 在矩形中，，设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴菱形的边长为． 【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理，掌握矩形的性质和菱形的判定是解题的关键． 25. 如图，在中，，垂足为点D，是外角的平分线，，垂足为点E． （1）求证：四边形为矩形； （2）当，求证：四边形为正方形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的意义，矩形的判定，正方形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）利用等腰三角形的性质和角平分线的意义，垂直的意义，可得，进而证明即可； （2）利用等腰三角形的性质可得，进而证明即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴，， ∵是外角的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴平分， ∴， ∴ ∴， ∵四边形为矩形， ∴四边形为正方形． 26. △ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF， （1）观察猜想 如图1，当点D在线段BC上时， ①BC与CF的位置关系为：　 　． ②BC，CD，CF之间的数量关系为：　 　；（将结论直接写在横线上） （2）数学思考 如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明． （3）拓展延伸 如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE，若已知AB=2，CD=BC，请求出GE的长． 【答案】（1）CF⊥BD，BC=CF+CD；（2）成立，证明详见解析；（3）. 【解析】 【分析】（1）①根据正方形的性质得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质即可得到结论；②由正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质得到CF=BD，∠ACF=∠ABD，根据余角的性质即可得到结论； （2）根据正方形的性质得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质即可得到结论; （3）根据等腰直角三角形的性质得到BC=AB=4，AH=BC=2，求得DH=3，根据正方形的性质得到AD=DE，∠ADE=90°，根据矩形的性质得到NE=CM，EM=CN，由角的性质得到∠ADH=∠DEM，根据全等三角形的性质得到EM=DH=3，DM=AH=2，等量代换得到CN=EM=3，EN=CM=3，根据等腰直角三角形的性质得到CG=BC=4，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：（1）①正方形ADEF中，AD=AF， ∵∠BAC=∠DAF=90°， ∴∠BAD=∠CAF， 在△DAB与△FAC中， ， ∴△DAB≌△FAC， ∴∠B=∠ACF， ∴∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD； ②△DAB≌△FAC， ∴CF=BD， ∵BC=BD+CD， ∴BC=CF+CD； （2）成立， ∵正方形ADEF中，AD=AF， ∵∠BAC=∠DAF=90°， ∴∠BAD=∠CAF， 在△DAB与△FAC中， ， ∴△DAB≌△FAC， ∴∠B=∠ACF，CF=BD ∴∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD； ∵BC=BD+CD， ∴BC=CF+CD； （3）解：过A作AH⊥BC于H，过E作EM⊥BD于M，EN⊥CF于N， ∵∠BAC=90°，AB=AC， ∴BC=AB=4，AH=BC=2， ∴CD=BC=1，CH=BC=2， ∴DH=3， 由（2）证得BC⊥CF，CF=BD=5， ∵四边形ADEF是正方形， ∴AD=DE，∠ADE=90°， ∵BC⊥CF，EM⊥BD，EN⊥CF， ∴四边形CMEN是矩形， ∴NE=CM，EM=CN， ∵∠AHD=∠ADC=∠EMD=90°， ∴∠ADH+∠EDM=∠EDM+∠DEM=90°， ∴∠ADH=∠DEM， 在△ADH与△DEM中， ， ∴△ADH≌△DEM， ∴EM=DH=3，DM=AH=2， ∴CN=EM=3，EN=CM=3， ∵∠ABC=45°， ∴∠BGC=45°， ∴△BCG是等腰直角三角形， ∴CG=BC=4， ∴GN=1， ∴EG=． 【点睛】考点：四边形综合题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $