精品解析：宁夏回族自治区吴忠市利通区第六中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

吴忠市第六中学2023-2024学年（下）八年级期中质量检测 数学试卷（100分） 答案一律填写在答题卡上，否则为无效答卷． 一、选择题（每题2分，共20分） 1. 下列各式一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中能与合并的二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在△ABD中，∠D=90°，CD=6，AD=8，∠ACD=2∠B，则BD的长是（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 5. 如图，在▱ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于点E、F，连接CE，若△CED的周长为6，则▱ABCD的周长为（　　） A. 6 B. 12 C. 18 D. 24 6. 如图，在平行四边形中，、是上两点，，连接、、、，添加一个条件，使四边形是矩形，这个条件是( ) A. B. C. D. 7. 如图所示，在矩形中，点的坐标是，则的长是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，以点A为圆心，以长为半径画弧交x轴上点C，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 或 9. 如图，是内一点，，，，，、、、分别是、、、的中点，则四边形的周长是（ ） A. 7 B. 9 C. 10 D. 11 10. 如图，在长方形ABCD中，点E在边AB上，把长方形ABCD沿直线DE折叠，点A落在边BC上的点F处．若AE＝5，BF＝3．则△CDF的面积是（　　） A. 52 B. 108 C. 54 D. 60 二、填空（每题3分，共30分） 11. 要使代数式有意义，的取值范围是_____________． 12. 计算：______． 13. 比较大小：______ 14. 已知x，y为实数，且，则x+y+1＝___． 15. 已知菱形的两条对角线长为8cm和6cm，那么这个菱形的周长是__cm，面积是__cm2． 16. 如图，在中，是斜边上的中线，，则___________． 17. 如图，矩形中，平分交于点E，连接，若，，则的长是______． 18. 如图是一个边长为6的正方体木箱，点Q在上底面的棱上，，一只蚂蚁从P点出发沿木箱表面爬行到点Q，则蚂蚁爬行的最短路程为__________． 19. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（10，0），（0，3），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为_____． 20. 如图，正方形的边长为，点在边上且，点是上一动点，则的最小值为______． 三、解答与证明（50分） 21. 计算： （1）； （2）． 22. 如图，每个小方格的边长都为． （1）求图中格点四边形的面积； （2）请探究：与的位置关系，并说明理由． 23. 如图，在中，延长对角线至点E，延长至点F，且．求证：四边形是平行四边形． 24. 如图，将矩形折叠，使点重合，折痕分别与相交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形． （2）若矩形的边，，求菱形的边长． 25. 如图，在中，，垂足为点D，是外角的平分线，，垂足为点E． （1）求证：四边形为矩形； （2）当满足什么条件时，四边形为正方形？给出证明． 26. △ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF， （1）观察猜想 如图1，当点D在线段BC上时， ①BC与CF的位置关系为：　 　． ②BC，CD，CF之间的数量关系为：　 　；（将结论直接写在横线上） （2）数学思考 如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明． （3）拓展延伸 如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE，若已知AB=2，CD=BC，请求出GE的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吴忠市第六中学2023-2024学年（下）八年级期中质量检测 数学试卷（100分） 答案一律填写在答题卡上，否则为无效答卷． 一、选择题（每题2分，共20分） 1. 下列各式一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的概念和性质，逐一判断． 【详解】解：A、二次根式无意义，故错误，不符合题意； B、是三次根式，故错误，不符合题意； C、被开方数是正数，故正确，符合题意； D、当或、异号时，根式无意义，故错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．当二次根式在分母上时还要考虑分母不等于零，此时被开方数大于0． 2. 下列各式中能与合并的二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同类二次根式的定义:化成最简二次根式后,如果被开方数相同,两个二次根式叫做同类二次根式,逐一判断即可. 【详解】解: A. 与被开方数不同,不是同类二次根式,故A不符合题意; B. 与被开方数不同,不是同类二次根式,故B不符合题意; C. 与被开方数不同,不是同类二次根式,故C不符合题意; D. 与被开方数相同,是同类二次根式,故D符合题意. 故选D. 【点睛】此题考查的是同类二次根式的判定,掌握同类二次根式的定义:化成最简二次根式后,如果被开方数相同,两个二次根式叫做同类二次根式,是解决此题的关键. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是关键． 根据二次根式的性质“”化简即可． 【详解】解：若， ∴， 解得，， 故选：D ． 4. 如图，在△ABD中，∠D=90°，CD=6，AD=8，∠ACD=2∠B，则BD的长是（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】C 【解析】 【详解】∵∠D=90°，CD=6，AD=8，∴AC= =10， ∵∠ACD=2∠B，∠ACD=∠B+∠CAB，∴∠B=∠CAB，∴BC=AC=10， ∴BD=BC+CD=16， 故选C． 5. 如图，在▱ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于点E、F，连接CE，若△CED的周长为6，则▱ABCD的周长为（　　） A. 6 B. 12 C. 18 D. 24 【答案】B 【解析】 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC=AB，AD=BC， ∵AC的垂直平分线交AD于点E， ∴AE=CE， ∴△CDE的周长=DE+CE+DC=DE+AE+DC=AD+DC=6， ∴▱ABCD的周长=2×6=12， 故选B． 6. 如图，在平行四边形中，、是上两点，，连接、、、，添加一个条件，使四边形是矩形，这个条件是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可知：，，再证明即可证明四边形是平行四边形． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵对角线上的两点、满足， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 7. 如图所示，在矩形中，点的坐标是，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质以及勾股定理，过点作轴的垂线交于点，连接．根据矩形的性质，的长度即为的长度，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：过点作轴的垂线交于点，连接． 点的坐标是， ， ， 矩形， ∴， 故选：C． 8. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，以点A为圆心，以长为半径画弧交x轴上点C，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意求出AB的长，以A为圆心作圆，与x轴交于C，求出C的坐标即可． 【详解】解：∵点A、B的坐标分别为（−3，0）、（0，4）， ∴OA＝3，OB＝4， ∴AB＝＝5， ∵以A为圆心作圆，与x轴交于C， ∴AC＝AB=5， ∴C点坐标为（2，0）或（−8，0）． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理、坐标与图形的性质，作出辅助圆是解题的关键． 9. 如图，是内一点，，，，，、、、分别是、、、的中点，则四边形的周长是（ ） A. 7 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理求出的长，根据三角形的中位线定理得到，，求出、 、、的长，代入即可求出四边形的周长． 【详解】解：∵，，，由勾股定理得：， ∵、、、分别是、、、的中点， ∴，， ∵， ∴，， ∴四边形的周长是． 故选：D． 【点睛】本题主要考查对勾股定理，三角形的中位线定理等知识点的理解和掌握，能根据三角形的中位线定理求出、、、的长是解此题的关键． 10. 如图，在长方形ABCD中，点E在边AB上，把长方形ABCD沿直线DE折叠，点A落在边BC上的点F处．若AE＝5，BF＝3．则△CDF的面积是（　　） A. 52 B. 108 C. 54 D. 60 【答案】C 【解析】 【分析】先根据折叠的性质和勾股定理求出AB的长，再根据折叠的性质和勾股定理即可得到结论． 【详解】解：由折叠的性质得，EF=AE=5，AD=DF， ∵在长方形ABCD中，∠B=90°，∠C=90°，BC=AD，CD=AB， ∴由勾股定理得，BE＝ ∴AB=AE+BE=9； 设CF=x，则DF=AD=BC=BF+CF=3+x， 在Rt△CDF中，由勾股定理得，CF2+CD2=DF2 ∴x2+92=（x+3）2 ∴x=12， ∴S△CDF＝×12×9＝54． 故选：C． 【点睛】此题考查了矩形的性质、折叠的性质以及勾股定理，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用． 二、填空（每题3分，共30分） 11. 要使代数式有意义，的取值范围是_____________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件， 解一元一次不等式组等知识点，熟练掌握上述知识点是解题的关键． 观察代数式含有二次根式，因此被开方数应大于等于；同时，代数式又含有分式，因此分母不能等于；据此建立不等式组，求解即可． 【详解】解：由二次根式有意义的条件和分式有意义的条件可得： ， 由得：， 对于，移项，得：， 该一元一次不等式组的解集为：且， 故答案为：且． 12. 计算：______． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题的关键，利用二次根式的性质化简进而合并求解即可． 【详解】解：， 故答案为：0． 13. 比较大小：______ 【答案】< 【解析】 【分析】根据无理数的大小比较方法解答 【详解】，， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了无理数的大小比较，掌握无理数的大小比较方法是解题的关键． 14. 已知x，y为实数，且，则x+y+1＝___． 【答案】2016 【解析】 【分析】先根据二次根式的基本性质：有意义，则，依次求出x的值，进一步求得y的值，再代入计算即可求解． 【详解】， 且， ， ， ， 故答案为：2016． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，关键是熟悉知识点：二次根式的被开方数是非负数． 15. 已知菱形的两条对角线长为8cm和6cm，那么这个菱形的周长是__cm，面积是__cm2． 【答案】 ①. 20 ②. 24 【解析】 【分析】由题意可画出图形，根据菱形对角线互相平分且垂直可以得到，，因此可求出长，继而根据周长公式以及面积公式即可求得答案． 【详解】解：由题意画出图形可知：，， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴在中，， ∴菱形的周长为：； ∴菱形的面积为：． 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查菱形的性质和勾股定理，掌握菱形的性质是解决问题的关键． 16. 如图，在中，是斜边上的中线，，则___________． 【答案】70 【解析】 【分析】本题主要考查直角三角形的性质、直角三角形斜边上的中线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握直角三角形斜边上的中线的性质是解题关键．首先根据“直角三角形两锐角互余”可解得的值，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得，可证明，即可获得答案． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵是斜边上的中线， ∴， ∴． 故答案为：70． 17. 如图，矩形中，平分交于点E，连接，若，，则的长是______． 【答案】17 【解析】 【分析】由矩形的性质和根据勾股定理可求出EC=12，再证明BE=AB=5，即可求出BC的长，进而可求出AD的长． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠C=90°，AB=CD=5，，AD=BC， ∵DE=13，CD=5， ∴， ∵， ∴∠AEB=∠DAE， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE=∠DAE， ∴∠BAE=∠AEB， ∴BE=AB=CD=5， ∴BC=BE+EC=5+12=17， ∴AD=17， 故答案为：17． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定等知识；解题的关键是灵活运用矩形的性质和等腰三角形的判定． 18. 如图是一个边长为6的正方体木箱，点Q在上底面的棱上，，一只蚂蚁从P点出发沿木箱表面爬行到点Q，则蚂蚁爬行的最短路程为__________． 【答案】10 【解析】 【分析】将正方体上表面如图展开（见详解），根据两点之间，线段最短，即可得到：连接PQ的线段是P到Q的最短路程，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：将正方体上表面展开，如图所示， ∵PB＝AB＝6，AQ＝2， ∴BQ＝6+2＝8， ∴PQ＝＝＝10． ∴蚂蚁爬行的最短路程10． 故答案为：10． 【点睛】此题考查的是勾股定理之最短路径问题，掌握两点之间线段最短和利用勾股定理求边长是解决此题的关键. 19. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（10，0），（0，3），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为_____． 【答案】（1，3）或（4，3）或（9，3） 【解析】 【分析】根据当OP=OD时，以及当OD=PD时，分别进行讨论得出P点的坐标． 【详解】解：过P作PM⊥OA于M， （1）当OP=OD时，如图1所示： OP=5，CO=3， 由勾股定理得：CP=4， ∴P（4，3）； （2）当OD=PD时， 如图2， PD=DO=5，PM=3， 由勾股定理得：MD=4， ∴CP= OM=5-4=1， ∴P（1，3）； 如图3所示： PD=DO=5，PM=3， 由勾股定理得：MD=4， ∴CP= OM =9， ∴P（9，3）； 综上，满足题意的点P的坐标为（1，3）、（4，3）、（9，3）， 故答案为：（1，3）或（4，3）或（9，3）． 【点睛】此题主要考查了矩形的性质以及坐标与图形的性质和等腰三角形的性质，根据△ODP是腰长为5的等腰三角形进行分类讨论是解决问题的关键． 20. 如图，正方形的边长为，点在边上且，点是上一动点，则的最小值为______． 【答案】5 【解析】 【分析】此题考查了正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用，得出的最小值时点位置是解题关键．连接，由正方形的性质可得点B和点D关于直线对称，就是的最小值，最后运用正方形的性质和勾股定理先计算出的长度即可解答． 【详解】解：如图，连接， 点和点关于直线对称， ， 则就是的最小值， 正方形的边长是，， ， ， 的最小值是． 故答案为：． 三、解答与证明（50分） 21. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，化简绝对值、负整数指数幂： （1）先计算负整数指数幂和二次根式乘法，再去绝对值，最后计算加减法即可； （2）根据二次根式乘除混合计算法则求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 22. 如图，每个小方格的边长都为． （1）求图中格点四边形的面积； （2）请探究：与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1） （2），理由见解析 【解析】 【分析】（1）连接，四边形可以把它看成两个三角形，即，，再求出其面积的和即可； （2）可求得、、的长，利用勾股定理的逆定理可判定、的位置关系． 【小问1详解】 解：，， 四边形的面积； 【小问2详解】 解：由勾股定理，得，， 由题意可知， ， 为直角三角形， ， ． 【点睛】本题主要考查了三角形的面积以及勾股定理及其逆定理的应用，掌握勾股定理求边长及由三边之间的平方关系判定直角三角形是解题的关键． 23. 如图，在中，延长对角线至点E，延长至点F，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】连接，交于点，证明两条对角线互相平分即可． 【详解】解：连接，交于点， ， ， ， ， ， 故四边形是平行四边形． 24. 如图，将矩形折叠，使点重合，折痕分别与相交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形． （2）若矩形的边，，求菱形的边长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（）由折叠可得，进而利用矩形的性质可证四边形为平行四边形，进而由即可求证； （）设，则，在中，由勾股定理得，解方程即可求解． 【小问1详解】 证明：由折叠的性质可得，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴ 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， 在矩形中，，设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴菱形的边长为． 【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理，掌握矩形的性质和菱形的判定是解题的关键． 25. 如图，在中，，垂足为点D，是外角的平分线，，垂足为点E． （1）求证：四边形为矩形； （2）当满足什么条件时，四边形为正方形？给出证明． 【答案】（1）见解析 （2）时，见解析 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的意义，矩形的判定，正方形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）利用等腰三角形的性质和角平分线的意义，垂直的意义，可得，进而证明即可； （2）利用等腰三角形的性质可得，进而证明即可． 【小问1详解】 ∵， ∴，， ∵是外角的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形； 【小问2详解】 当时，四边形为正方形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴平分， ∴， ∴ ∴， ∵四边形为矩形， ∴四边形为正方形． 26. △ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF， （1）观察猜想 如图1，当点D在线段BC上时， ①BC与CF的位置关系为：　 　． ②BC，CD，CF之间的数量关系为：　 　；（将结论直接写在横线上） （2）数学思考 如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明． （3）拓展延伸 如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE，若已知AB=2，CD=BC，请求出GE的长． 【答案】（1）CF⊥BD，BC=CF+CD；（2）成立，证明详见解析；（3）. 【解析】 【分析】（1）①根据正方形的性质得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质即可得到结论；②由正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质得到CF=BD，∠ACF=∠ABD，根据余角的性质即可得到结论； （2）根据正方形的性质得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质即可得到结论; （3）根据等腰直角三角形的性质得到BC=AB=4，AH=BC=2，求得DH=3，根据正方形的性质得到AD=DE，∠ADE=90°，根据矩形的性质得到NE=CM，EM=CN，由角的性质得到∠ADH=∠DEM，根据全等三角形的性质得到EM=DH=3，DM=AH=2，等量代换得到CN=EM=3，EN=CM=3，根据等腰直角三角形的性质得到CG=BC=4，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：（1）①正方形ADEF中，AD=AF， ∵∠BAC=∠DAF=90°， ∴∠BAD=∠CAF， 在△DAB与△FAC中， ， ∴△DAB≌△FAC， ∴∠B=∠ACF， ∴∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD； ②△DAB≌△FAC， ∴CF=BD， ∵BC=BD+CD， ∴BC=CF+CD； （2）成立， ∵正方形ADEF中，AD=AF， ∵∠BAC=∠DAF=90°， ∴∠BAD=∠CAF， 在△DAB与△FAC中， ， ∴△DAB≌△FAC， ∴∠B=∠ACF，CF=BD ∴∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD； ∵BC=BD+CD， ∴BC=CF+CD； （3）解：过A作AH⊥BC于H，过E作EM⊥BD于M，EN⊥CF于N， ∵∠BAC=90°，AB=AC， ∴BC=AB=4，AH=BC=2， ∴CD=BC=1，CH=BC=2， ∴DH=3， 由（2）证得BC⊥CF，CF=BD=5， ∵四边形ADEF是正方形， ∴AD=DE，∠ADE=90°， ∵BC⊥CF，EM⊥BD，EN⊥CF， ∴四边形CMEN是矩形， ∴NE=CM，EM=CN， ∵∠AHD=∠ADC=∠EMD=90°， ∴∠ADH+∠EDM=∠EDM+∠DEM=90°， ∴∠ADH=∠DEM， 在△ADH与△DEM中， ， ∴△ADH≌△DEM， ∴EM=DH=3，DM=AH=2， ∴CN=EM=3，EN=CM=3， ∵∠ABC=45°， ∴∠BGC=45°， ∴△BCG是等腰直角三角形， ∴CG=BC=4， ∴GN=1， ∴EG=． 【点睛】考点：四边形综合题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $