专题04 拓展：巧用圆的参数方程破解圆的五大题型（高效培优专项训练）数学北师大版2019选择性必修第一册

专题04 拓展：巧用圆的参数方程破解与圆相关的五大题型 题型一：求代数式的最值 1 题型二：求参数的取值范围 6 题型三：求距离的最值 9 题型四：解决点的轨迹问题 12 题型五：解决向量问题 14 【知识点综述】 1．圆的参数方程 (1)设圆O的半径为r，点M从初始位置出发，按逆时针方向在圆O上作匀速圆周运动，设，则,这就是圆心在原点，半径为的圆的参数方程，其中的几何意义是转过的角度. (2)圆心为，半径为的圆的普通方程是， 它的参数方程为。 2.利用参数方程表示圆上的点 由圆的参数方程我们可以把圆心为,半径为 的圆上的点设为 ，简称设“点参”. 特别地,若原点为圆心，常用来表示半径为 的圆上的任一点. 3. 利用圆的参数方程解题的优越性 利用圆的参数方程设点的参数,一方面可减少参数的个数,另一方面可以借助三角恒 等变换来解决问题. 从代数的观点来看,这种做法的实质就是三角代换，同时圆的 参数方程也是解决某些代数问题的一个重要工具. 题型一：求代数式的最值 先把圆的一般方程化为标准方程，再转化为参数方程，利用参数方程把待求式化为关于参数 的函数，利用三角函数的有界性求得最值，求解十分方便，这正是参数方程的优势. 1．（24-25高三·云南·阶段练习）若实数x，y满足条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·广西钦州·期中）已知点是圆上的动点，则的最大值为（    ） A． B． C．6 D．5 3．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知实数，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·河南·模拟预测）已知点是圆 C 上的任意一点，则 的最大值为（    ） A．25 B．24 C．23 D．22 5．（多选）（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）若，满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（多选）（24-25高二上·河北衡水·阶段练习）已知点是圆上任意一点,则(    ) A．的最大值是 B．的最小值是 C．的最小值是 D．的最大值是 7．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知实数满足．则的最大值是 ． 8．（23-24高二下·上海·期中）已知实数，满足，则的最大值是 ． 9．函数的最大值是 . 型二：求参数的取值范围 利用圆的参数方程,采用代入法把求参数 的取值范围问题转化为求三角函数的值域问题,使问题迅速获解,可谓转化巧妙. 10．（24-25高二下·陕西西安·期中）已知曲线（为参数）上任一点，使得不等式成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11. 已知是圆上的动点，若有解，则实数 的取值范围是______________. 12．（25-26高三上·江苏南京·开学考试）在平面直角坐标系中，若圆上存在点，使得点关于轴的对称点在直线上，则实数的最大值为 . 13．已知抛物线与圆有公共点，则实数 的取值范围是________. 14．（24-25高三下·上海·开学考试）已知，存在，当时，都有，则的取值范围是 ． 15．（24-25高二上·河北石家庄·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知直线与轴，轴分别交于，两点，点在圆上运动.若恒为锐角，则实数的取值范围是 . 题型三：求距离的最值 将圆上的动点用参数方程表示，利用距离公式将距离转化为关于角参数的三角函数，再利用三角函数知识求得最值. 16．（2025·辽宁盘锦·三模）定义：已知，，若，则称，两点具有性质．已知点在以原点为圆心，为半径的圆上，点，若，两点具有性质，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 17．（24-25高三下·浙江·开学考试）是圆上一动点，为的中点，为坐标原点，则的最大值为 . 18．（23-24高二上·江苏南通·期末）“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创，定义如下：在直角坐标平面上任意两点，的“曼哈顿距离”为，已知动点N在圆上，定点，则M，N两点的“曼哈顿距离”的最大值为 ． 19.（2024 · 上海模拟）已知动圆经过原点，则动圆上的点到直线 距离的最大值是_______. 20．（2025·广东·模拟预测）已知点，，，点满足，则的最大值为 ． 题型四：解决点的轨迹问题 参数法可以很好地解决一类轨迹问题——点随点动型；将圆上的动点用参数方程表示，所求轨迹 的动点用(x,y)表示，再将x,y用角参数表示，消去参数即得点的轨迹方程. 21.点P(4,－2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是( ) A.(x－2)2+(y+1)2=1 B.(x－2)2+(y+1)2=4 C.(x+4)2+(y－2)2=4 D.(x+2)2+(y－1)2=1 22.已知点P是圆x2＋y2=4上的一个动点，点Q是x轴上的定点， 坐标为(6，0)， 当点P在圆上运动时，则线段PQ中点M的轨迹方程为 . 23．如图所示，已知圆，过圆内一点作两条相互垂直的射线与圆分别交于点Q、S，以、为邻边作矩形，矩形顶点R的轨迹方程为 . 题型五：解决向量问题 参数法可以很好地解决一类轨迹问题——点随点动型；将圆上的动点用参数方程表示，所求轨迹 的动点用(x,y)表示，再将x,y用角参数表示，消去参数即得点的轨迹方程. 24．（2025·四川巴中·二模）已知点在圆上，点的坐标为为原点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 25．（23-24高一下·山东滨州·开学考试）如图，在等腰梯形中，，，，，点是线段上一点，且满足，动点在以为圆心的半径为的圆上运动，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 26．（2025·河北廊坊·模拟预测）设点为圆上一点，则的最小值为（    ） A．6 B．4 C． D． 27．（2025·山东·一模）设为单位向量，且，若向量满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 28．（23-24高一下·江苏徐州·期中）如图，已知正方形ABCD的边长为2，若动点P在以AB为直径的半圆上(正方形ABCD内部，含边界)，则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 29．（24-25高一下·重庆·阶段练习）已知在边长为8的正三角形ABC中，D为BC的中点，E为BD的中点. (1)若点P为的重心，且有，求m和n的值； (2)若点Q在以点E为圆心，半径为1的圆上运动，且有，求的取值范围. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 拓展：巧用圆的参数方程破解与圆相关的五大题型 题型一：求代数式的最值 1 题型二：求参数的取值范围 6 题型三：求距离的最值 9 题型四：解决点的轨迹问题 12 题型五：解决向量问题 14 【知识点综述】 1．圆的参数方程 (1)设圆O的半径为r，点M从初始位置出发，按逆时针方向在圆O上作匀速圆周运动，设，则,这就是圆心在原点，半径为的圆的参数方程，其中的几何意义是转过的角度. (2)圆心为，半径为的圆的普通方程是， 它的参数方程为。 2.利用参数方程表示圆上的点 由圆的参数方程我们可以把圆心为,半径为 的圆上的点设为 ，简称设“点参”. 特别地,若原点为圆心，常用来表示半径为 的圆上的任一点. 3. 利用圆的参数方程解题的优越性 利用圆的参数方程设点的参数,一方面可减少参数的个数,另一方面可以借助三角恒 等变换来解决问题. 从代数的观点来看,这种做法的实质就是三角代换，同时圆的 参数方程也是解决某些代数问题的一个重要工具. 题型一：求代数式的最值 先把圆的一般方程化为标准方程，再转化为参数方程，利用参数方程把待求式化为关于参数 的函数，利用三角函数的有界性求得最值，求解十分方便，这正是参数方程的优势. 1．（24-25高三·云南·阶段练习）若实数x，y满足条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用圆的参数方程，令，，代入中，结合辅助角公式即可得到答案. 【解析】令，，则， 此时. 故选：D． 2．（24-25高二下·广西钦州·期中）已知点是圆上的动点，则的最大值为（    ） A． B． C．6 D．5 【答案】A 【分析】根据圆的标准方程，设x、y的参数方程，利用辅助角公式及正弦型函数的性质求最值即可. 【解析】由，令，则， 所以当时，的最大值为. 故选：A 3．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知实数，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的参数方程可设，，再用二倍角公式整理计算． 【解析】∵，不妨设， 则 故选：D． 4．（2024·河南·模拟预测）已知点是圆 C 上的任意一点，则 的最大值为（    ） A．25 B．24 C．23 D．22 【答案】A 【分析】设 代入算式中由倍角公式化简，利用基本不等式求积的最大值. 【解析】点是圆 C 上的任意一点，设 则 ， 当且仅当 时，等号成立. 的最大值为25. 故选：A 5．（多选）（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）若，满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假，其中D选项，利用三角换参及三角恒等变换进行求解． 【解析】因为（R），由可变形为， ，解得， 当且仅当时，， 当且仅当时，，故A错误，B正确； 由可变形为，解得， 当且仅当时取等号，故C正确； 因为变形可得， 设，所以， 因此 ，所以当时满足等式，故D正确． 故选：BCD． 6．（多选）（24-25高二上·河北衡水·阶段练习）已知点是圆上任意一点,则(    ) A．的最大值是 B．的最小值是 C．的最小值是 D．的最大值是 【答案】BC 【分析】利用圆的参数方程转化为三角函数求解 【解析】圆的方程可化为 设,则 当时,取得最大值,故A错误; 所以当时,取得最小值,故B正确; . 所以当时,取得最小值,故C正确;.. 所以当时,取得最大值,故D错误 故选：BC. 7．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知实数满足．则的最大值是 ． 【答案】 【分析】配方已知等式，利用三角换元法，结合三角函数知识可得答案. 【解析】因为，所以， 令得，其中， 因为，所以，所以的最大值是. 故答案为： 8．（23-24高二下·上海·期中）已知实数，满足，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】利用圆的参数方程思想，引入参数来表示、，代入后得到关于的三角函数来求最值. 【解析】由得：， 所以可设，, 则, 因为， 所以的最大值是， 9．函数的最大值是 . 【答案】 【分析】利用三角换元得到，其几何意义是动点与定点连线的斜率，即可运用直线与半圆的位置关系（相切）求得y的最大值. 【解析】，由定义知且. ，故可设，，则有， 可看作是动点与定点连线的斜率.而动点M的轨迹方程，即是半圆（如图2-31所示）.    设切线为，T为切点，，，，， 即函数的值域为 题型二：求参数的取值范围 利用圆的参数方程,采用代入法把求参数 的取值范围问题转化为求三角函数的值域问题,使问题迅速获解,可谓转化巧妙. 10．（24-25高二下·陕西西安·期中）已知曲线（为参数）上任一点，使得不等式成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用参数方程设出点的坐标，写出的表达式，利用辅助角公式以及三角函数有界性求出最值，即可得出的取值范围. 【解析】因为，， 所以，即． 因为，所以． 故选：A. 11. 已知是圆上的动点，若有解，则实数 的取值范围是______________. 【答案】 . 【解析】把圆的方程化为参数方程可得 为参数且 ， 若有解，则 ， 即 有解， 所以，即实数的取值范围是 . 12．（25-26高三上·江苏南京·开学考试）在平面直角坐标系中，若圆上存在点，使得点关于轴的对称点在直线上，则实数的最大值为 . 【答案】0 【分析】设点，则，代入直线结合最值即可求解． 【解析】在，可设， 可得，将的坐标代入， 可得， ，化为得， 的最大值为0． 13．已知抛物线与圆有公共点，则实数 的取值范围是________. 【答案】 . 【解析】把圆的方程化为参数方程可得 ， ， ，代入抛物 线方程可得 . 当时，取得最小值，最小值为 ； 当时， 取得最大值,最大值为1. 故实数的取值范围是 . 14．（24-25高三下·上海·开学考试）已知，存在，当时，都有，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】令，得，故点在圆心为原点的单位圆上，点在曲线上，转化为向量与的夹角大于，利用数形结合即可解出. 【解析】令，故，故原不等式可化为：， 令，得， 故点在圆心为原点的单位圆上，点在曲线上， 作出大致图象如下： 故不等式的几何意义是：向量与的夹角大于， 设， 则当时，单调递减，当时，单调递增， 故当，故当且仅当时取等号，故， 故时，函数与直线恰好相切，切点为原点， 易知存在，在时使得恒成立， 当时，不存在一个给定的，使得恒成立， 综上，的取值范围是． 15．（24-25高二上·河北石家庄·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知直线与轴，轴分别交于，两点，点在圆上运动.若恒为锐角，则实数的取值范围是 . 【答案】或 【分析】设，由题设易得结合向量数量积的坐标表示、辅助角公式、三角函数的性质，化简整理可得求a的范围，又不在上有无解求a的范围，最后取交集即可. 【解析】由题设，可得如下示意图：令，而， ∴，， 由题意， ∴且， ∴，可得，解得或， 易知：不在，，则无解， ∴，可得或， 综上，或. 题型三：求距离的最值 将圆上的动点用参数方程表示，利用距离公式将距离转化为关于角参数的三角函数，再利用三角函数知识求得最值. 16．（2025·辽宁盘锦·三模）定义：已知，，若，则称，两点具有性质．已知点在以原点为圆心，为半径的圆上，点，若，两点具有性质，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据题意列出等式，利用三角恒等变换及三角函数性质求解即可. 【解析】设，，则， 则，则， 故． 故选：C. 17．（24-25高三下·浙江·开学考试）是圆上一动点，为的中点，为坐标原点，则的最大值为 . 【答案】 【分析】写出圆的参数方程，进而可得点坐标，结合两点间距离公式转化为求三角函数的最值即可. 【解析】如图所示， 因为圆：的参数方程为， 所以设点，则的中点， 所以， 当时，取得最大值为. 18．（23-24高二上·江苏南通·期末）“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创，定义如下：在直角坐标平面上任意两点，的“曼哈顿距离”为，已知动点N在圆上，定点，则M，N两点的“曼哈顿距离”的最大值为 ． 【答案】 【分析】由题意设，结合距离新定义以及辅助角公式即可得解. 【解析】由题意，不妨设， 则M，N两点的“曼哈顿距离”为， 所以，当且仅当等号成立， 即当且仅当，即， 综上所述，M，N两点的“曼哈顿距离”的最大值为. 19.（2024 · 上海模拟）已知动圆经过原点，则动圆上的点到直线 距离的最大值是_______. 【答案】 . 【解析】由题可知原点在圆上，所以 ， 圆心到直线的距离 ， 令 ， ， 则 ， 当时， ， 所以动圆上的点到直线的距离的最大值是 . 20．（2025·广东·模拟预测）已知点，，，点满足，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】先明确点的轨迹，再借助三角换元，把问题转化成二次函数的值域问题或辅助角公式结合正弦函数的有界性求解. 【解析】易知点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆.其标准方程为：， 设，则（为参数且）， ∴． 方法一：当时，， 当时，， 令，∴， ∴ （时取等号）， 即，故的最大值为． 故答案为： 方法二：设 所以. 即，故的最大值为． 题型四：解决点的轨迹问题 参数法可以很好地解决一类轨迹问题——点随点动型；将圆上的动点用参数方程表示，所求轨迹 的动点用(x,y)表示，再将x,y用角参数表示，消去参数即得点的轨迹方程. 21.点P(4,－2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是( ) A.(x－2)2+(y+1)2=1 B.(x－2)2+(y+1)2=4 C.(x+4)2+(y－2)2=4 D.(x+2)2+(y－1)2=1 【答案】A 【解析】圆x2+y2=4的参数方程为（θ为参数）， ∴设圆上任意一点， 设点P(4,－2)与点N连线的中点为M(x，y)， 根据中点坐标公式：， 于是点M轨迹的参数方程可写为， 消去参数得. 因此选择A. 22.已知点P是圆x2＋y2=4上的一个动点，点Q是x轴上的定点， 坐标为(6，0)， 当点P在圆上运动时，则线段PQ中点M的轨迹方程为 . 【答案】 【解析】圆x2+y2=4的参数方程为（θ为参数）， ∴设点，设中点M(x，y)， 根据中点坐标公式：，， 于是点M轨迹的参数方程可写为， 消去参数得其轨迹方程为 23．如图所示，已知圆，过圆内一点作两条相互垂直的射线与圆分别交于点Q、S，以、为邻边作矩形，矩形顶点R的轨迹方程为 . 【答案】. 【分析】将普通方程转化为参数方程，将原问题转化为三角问题，通过三角变换就能较为顺利地求出轨迹方程并判定其表示何种曲线. 【解析】解：设圆的参数方程为（为参数）. 设，，顶点， 则，. 由四边形为矩形，可知， .① 又的中点与的中点重合， 有，② ，③ 于是由，得.④ 将②③④均代入①，得，， 即. 又当射线轴时，，，即， 此时，即对轴时，同样有. 综上所述，矩形顶点Ｒ的轨迹方程，其轨迹即为圆心在原点、半径为的一个圆. 题型五：解决向量问题 参数法可以很好地解决一类轨迹问题——点随点动型；将圆上的动点用参数方程表示，所求轨迹 的动点用(x,y)表示，再将x,y用角参数表示，消去参数即得点的轨迹方程. 24．（2025·四川巴中·二模）已知点在圆上，点的坐标为为原点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，且，，再应用向量数量积的坐标表示及三角恒等变换化简，最后应用正弦型函数的性质求范围. 【解析】由题设， 设，则. 利用辅助角公式： 因为，所以. 综上，的取值范围是. 故选：A 25．（23-24高一下·山东滨州·开学考试）如图，在等腰梯形中，，，，，点是线段上一点，且满足，动点在以为圆心的半径为的圆上运动，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用题设条件，建系，求得相关点的坐标，因点在圆上，设点，计算得三角函数形式，运用辅助角公式将其化成正弦型函数，即可求其最值. 【解析】 如图，以为原点，建立直角坐标系. 由题意，梯形的高长为，则. 因为以为圆心的半径为的圆的方程为：，可设点，. 则 其中，， 故当时，. 故选：A. 26．（2025·河北廊坊·模拟预测）设点为圆上一点，则的最小值为（    ） A．6 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】令且，应用向量数量积的坐标表示得，即可得最小值. 【解析】由，则，如下图示，    令且，则，，， ， ， ， 所以 ， 当时，有最小值为. 故选：D 27．（2025·山东·一模）设为单位向量，且，若向量满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】假设点坐标，由此可得对应点的轨迹，采用三角换元法，根据向量坐标运算可将表示为关于的函数，结合正弦函数值域可求得结果. 【解析】由题意可设：，，， ，， ，即， 可令，， ，. 故选：C. 28．（23-24高一下·江苏徐州·期中）如图，已知正方形ABCD的边长为2，若动点P在以AB为直径的半圆上(正方形ABCD内部，含边界)，则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，求出的坐标，再由平面向呈的坐标运算结合三角函数的有界性计算即可求得. 【解析】如图，以为坐标原点，所在的直线分别为轴建立平面直角坐标系， 则， 则以AB为直径的半圆为， 因为动点P在以AB为直径的半圆上，所以， 所以， 所以 ， 因为，所以， 所以，即的取值范围为. 故选：B    29．（24-25高一下·重庆·阶段练习）已知如图在边长为8的正三角形ABC中，D为BC的中点，E为BD的中点. (1)若点P为的重心，且有，求m和n的值； (2)若点Q在以点E为圆心，半径为1的圆上运动，且有，求的取值范围. 【分析】（1）利用重心的性质，结合基底表示可得答案； （2）建立坐标系，利用三角换元可求答案. 【解析】（1）因为点P为的重心，所以， 所以. （2）以为原点，所在直线分别为轴，建立直角坐标系，如图， 则，由题意点Q所在圆的方程为， 设，则， 因为，所以，即， 由，可得. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$