专题05 拓展：利用隐圆术破解圆的五大题型（高效培优专项训练）数学北师大版2019选择性必修第一册

专题05 拓展：利用隐圆术破解圆的五大题型 题型一：定义圆 2 题型二：斜率圆 5 题型三：数量积圆 8 题型四：平方圆 11 题型五：阿波罗尼斯圆 13 【知识点综述】 1.“隐圆”的概念 在题设中没有明确给出圆的相关信息，而是隐含在题目中，要通过分析、转化、发现圆(或圆的方程)，从而最终利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐圆问题”. 比如，当一些点满足到定点的距离等于定长、圆周角相关定理（如同弧所对圆周角相等）、四点共圆等条件时，就可能存在隐圆.通过发现这些隐藏的圆，就能利用圆的性质（如半径相等、圆心角与圆周角的关系等）来解决几何问题，简化思考过程. 2．阿波罗尼斯圆定义及性质 定义：在平面上给定两点A,B,P点在同一平面上且满足,当且时，P点的轨迹是圆，称之为阿波罗尼斯圆(时P点的轨迹是线段AB的中垂线). 证明：设.因为 由两点间距离公式得 化简得 (1) (1)当时得，P点的轨迹是线段AB的中垂线（定义这样的直线为阿波罗直线） (2)当时方程(1)变形为所以点P的轨迹是以为圆心，以为半径的圆（定义这样的圆为阿波罗尼斯圆，简称“阿波罗圆”或“阿氏圆”）. 性质： (1)当时，点在圆内，点在圆外. 当时,点在圆内,点在圆外. (2)因，过是圆的一条切线.若已知圆及圆外一点，可以作出对应点,反之亦然. (3)所作出的阿波罗尼斯圆的半径为，面积为. (4)过点作圆的切线(C为切点)，则,分别为的内、外角平分线. (5)过点作圆不与重合的弦,则平分. 题型一：定义圆 即符合圆的定义，题干中给出条件：在平面内，某动点到定点的距离等于定长，则该动点的轨迹是圆. 1．（2024·全国·二模）已知直线与直线相交于点，且点到点的距离等于1，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出点的方程，再利用两圆有公共点列出不等式求解即得. 【解析】直线过定点，直线过定点，又直线， 因此点的轨迹是以线段为直径的圆（除点外），圆心，半径， 圆的方程为且，又，显然点与的距离大于1， 则点在圆：上，依题意，圆与圆有公共点， 于是，即， 解得或， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 2．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）已知，是圆上的两个不同的点，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定MN中点的轨迹为圆，再利用圆上的点到直线的最值求解. 【解析】由题设知，圆C的圆心坐标，半径为1， 因为，所以． 设P为MN的中点，所以． 所以点P的轨迹方程为． 其轨迹是以为圆心，半径为的圆． 设点M，N，p到直线的距离分别为，d， 所以，，， 所以． 因为点C到直线的距离为， 所以，即， 所以．所以的取值范围为．    故选：A． 3．圆上总存在两个点到原点的距离为，则的取值范围是______________． 【答案】． 【解析】原题可转化为圆和圆相交． 因为两圆的圆心距为，所以，解得． 4.在平面直角坐标系 xOy 中，已知 B，C 为圆 x y 4 上两点，点 A(1, 1)，且 AB⊥AC，则线段 BC 的长的取值范围为 ． 【答案】 【分析】设的中点为，由已知，因此可设，求出点的轨迹方程，知点轨迹是圆，从而易得的取值范围． 【解析】设的中点为，由AB⊥AC 可得 , 故， 所以，化简得， 即点的轨迹是以为圆心， 为半径的圆，如图： 所以， 所以的取值范围是， 从而的取值范围是． 5.圆，直线，若直线上存在点，过点作圆的两条切线，切点是，使得，则实数的取值范围是________． 【答案】或． 【解析】由可得，由可得 ，所以点在以为圆心，为半径的圆上， 其方程为．又点在直线上， 故直线与圆有公共点，所以， 解得，所以或． 6.已知 A、B是圆 上的动点，, P 是圆上的动点，则的取值范围是 【答案】[7，13] 【分析】求出AB的中点的轨迹方程，即可求出的取值范围． 【解析】取AB的中点C，则＝2||，C的轨迹方程是x2+y2＝，|C1C2|＝5 由题意，||最大值为5+1+＝，最小值为5﹣1﹣＝． ∴的取值范围为[7，13]， 题型二：斜率圆 定义：在平面内，与两定点斜率之积为-1的点的集合是圆（除去定点所在垂直于轴的直线与曲线的交点）. 数学语言描述：在平面内，，其中M为动点，A，B为动点.点M的横坐标不等于A，B的横坐标.（该类型实质就是直径所对的圆周角为直角的应用．） 7.已知点，，，动点P满足，则的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题设，在以为直径的圆上，令，则(不与重合)，所以的取值范围，即为到圆上点的距离范围， 又圆心到的距离，圆的半径为2， 所以的取值范围为，即. 8．（2024·浙江嘉兴·二模）已知圆，若圆上存在点使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由得到点的轨迹是以为直径的圆，依题意，问题转化为两个圆有公共点的问题，解不等式组即得. 【解析】 如图，由可知点的轨迹是以为直径的圆，设为圆， 因，故圆. 依题意知圆与圆必至少有一个公共点. 因，则， 由，解得：. 故选：B. 9．（2025·北京平谷·模拟预测）设点，动直线l：，作于点M，则点M到坐标原点O距离的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线的垂直关系可得点M的轨迹是以为圆心，半径的圆，即可得. 【解析】由以及可得直线的方程为， 联立，消去整理可得； 所以可知点M的轨迹是以为圆心，半径的圆； 因此. 故选：C. 10．（24-25高三下·江苏扬州·开学考试）在平面直角坐标系中，已知为圆上两点，点，且，则线段的长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】易知以为邻边作平行四边形为矩形，由平面向量可证明，再由可得其取值范围. 【解析】以为邻边作平行四边形， 由可得四边形为矩形，如下图所示： ， 可得， 解得，即， 即点轨迹是以为圆心，半径为的圆， 易知，， 所以线段的长的取值范围是. 故选：D. 11.设,过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点,则的最大值是______. 【答案】5 【解析】易得 ．设， 则 ，消去得： 所以点P在以AB为直径的圆上，， 所以，∴. 题型三：数量积圆 定义：在平面内，与两定点形成向量的数量积为定值的点的轨迹是圆.. 数学语言描述：在平面内，其中M为动点，A，B为定点，为定值. 注：若，则点M的轨迹方程为，， 此时. 特别地，若A，B为定点，且，则点M的轨迹是以AB为直径的圆. 12．（2024·北京·三模）已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由知点的轨迹方程是以位直径的圆，可得，即可求出的取值范围. 【解析】说明在以为直径的圆上， 而又在圆上，因此两圆有公共点， 则圆心距位于半径差的绝对值与半径和的闭区间中， 所以，即，又，解得. 故选：B. 13．已知平面向量，，且非零向量满足，则的最大值是（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【解析】 设，则，， 整理得，则点在以为圆心，为半径的圆上，则表示和圆上点之间的距离， 又在圆上，故的最大值是.故选B. 14.（2024·河南郑州·二模）在平面直角坐标系中，设，，动点P满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出点，利用数量积的坐标表示得到点的轨迹，结合直线与圆的关系进行求解即可. 【解析】设，则，， 则，即， 化为，则点的轨迹为以为圆心，半径为2的圆， 又，所以三点共线， 显然当直线与此圆相切时，的值最大. 又, 则, 则. 故选：C. 15.已知圆，直线l满足___________（从①l过点，②l斜率为2，两个条件中，任选一个补充在上面问题中并作答），且与圆C交于A，B两点，求AB中点M的轨迹方程. 【解析】选择条件①，设点，令定点为P， 因直线l过点P，且与圆C交于A，B两点，M为AB的中点，当直线l不过圆心C(0,0)时，则，有， 当直线l过圆心C时，圆心C是弦AB中点，此时，等式成立， 因此有，而，于是得，即， 由解得，，而直线与圆相切的切点在圆C内， 由点M在圆C内，得且， 所以AB中点M的轨迹方程是：(且). 选择条件②，设点， 因l斜率为2，且与圆C交于A，B两点，M为AB的中点，当直线l不过圆心C时，则， 则M的轨迹是过圆心且垂直于l的直线在圆C内的部分（除点C外）， 当直线l过圆心C时，圆心C是弦AB中点，即点C在点M的轨迹上， 因此，M的轨迹是过圆心且垂直于l的直线在圆C内的部分，而过圆心且垂直于l的直线为， 由解得或，而点M在圆C内，则有， 所以AB中点M的轨迹方程是：. 题型四：平方圆 定义：在平面内，到两定点距离的平方和为定值点的集合. 数学语言描述：在平面内，，其中M为动点，A，B为定点，为定值. 注：若，则点M的轨迹方程为，，此时. 16．（24-25江西抚州高二上·期中联考）平面上一动点满足：且，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，借助两点间距离公式代入计算后化简即可得. 【解析】设，由，所以6， 整理得，即动点的轨迹方程为. 故选：C. 17.（2024·河南·三模）在平面内，已知线段的长为4，点为平面内一点，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立直角坐标系，求出点的轨迹时一个圆，再根据与圆相切时角最大求得结果. 【解析】如图，以线段所在的直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系， 设，因为，不妨设， 由，得， 化简得，即点的轨迹为以为圆心，1为半径的圆， 当与圆相切时，取得最大值，此时． 因为，，所以，且为锐角， 故的最大值为． 故选：A． 18．设，O为坐标原点，点P满足，若直线上存在点Q使得，则实数k的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，， ，即． 点P的轨迹为以原点为圆心，2为半径的圆面． 若直线上存在点Q使得， 则PQ为圆的切线时最大，如图， ，即． 圆心到直线的距离， 或．故选：B． 19．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，若点满足，则点的轨迹方程是 ． 【答案】 【分析】设点，借助两点间距离公式代入计算即可得. 【解析】设，则有， 化简得，即点的轨迹方程是. 题型五：阿波罗尼斯圆 定义：在平面内，到两定点距离的平方和为定值点的集合. 数学语言描述：在平面内，，其中M为动点，A，B为定点，为定值. 注：若，则点M的轨迹方程为，，此时. 20．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知动点与两个定点的距离之比为2，那么直线的斜率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，求出点的轨迹方程，数形结合求得直线的斜率范围. 【解析】设动点，则， 化简得， 所以点的轨迹为圆 ， 如图，过点作圆的切线，连接，则，， 所以，同理， 则直线的斜率范围为. 故选：C.    21．（23-24高二上·江西南昌·阶段练习）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比（，），那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，已知动点的M与定点和定点的距离之比为2，其方程为，若点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，应用两点距离公式列方程求M轨迹，结合已知圆的方程求参数m，进而得，再由，数形结合求目标式最小值. 【解析】由题设，令，则， 所以，则，即， 又，即在圆外，，即在圆外， 由，当且仅当共线上等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 22．已知两定点，如果动点满足,则点P的轨迹所包围的面积等于 . 【答案】 【解析】显然这是一个阿波罗圆，由上述结论可以解决. 设为坐标原点注意到,可知原点为线段的内分点.设的外分点为，即有.于是圆直径为，所求轨迹面积. 23．已知点P到两定点的距离的比为，点N到直线PM的距离为1，求直线PN的方程. 【解析】设P的坐标为，由题意有，即， 整理得. 因为点N到的距离为1 ，所以，直线的斜率为， 直线的方程为将代入 整理得解得 则点P坐标为或， 直线PN得方程为 24．在平面直角坐标系中，已知点，，是平面内的一动点，且满足，记点的运动轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)过点的直线与曲线交于，两点，若的面积是的面积的3倍，求直线的方程． 【分析】（1）设，结合题意可得，化简即可得解； （2）将直线方程代入圆的方程中，借助韦达定理计算即可得. 【解析】（1）设，因为， 所以， 化简得， 故曲线的方程为； （2）若直线垂直于轴，则，，，四点共线，不能构成三角形；    故可设直线的方程为， 代入曲线的方程可得， ， 则，， 又，, ，故， 因为，故， 则， 故， 则有， 可得，故， 则直线方程为. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 拓展：利用隐圆术破解圆的五大题型 题型一：定义圆 2 题型二：斜率圆 3 题型三：数量积圆 3 题型四：平方圆 5 题型五：阿波罗尼斯圆 5 【知识点综述】 1.“隐圆”的概念 在题设中没有明确给出圆的相关信息，而是隐含在题目中，要通过分析、转化、发现圆(或圆的方程)，从而最终利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐圆问题”. 比如，当一些点满足到定点的距离等于定长、圆周角相关定理（如同弧所对圆周角相等）、四点共圆等条件时，就可能存在隐圆.通过发现这些隐藏的圆，就能利用圆的性质（如半径相等、圆心角与圆周角的关系等）来解决几何问题，简化思考过程. 2．阿波罗尼斯圆定义及性质 定义：在平面上给定两点A,B,P点在同一平面上且满足,当且时，P点的轨迹是圆，称之为阿波罗尼斯圆(时P点的轨迹是线段AB的中垂线). 证明：设.因为 由两点间距离公式得 化简得 (1) (1)当时得，P点的轨迹是线段AB的中垂线（定义这样的直线为阿波罗直线） (2)当时方程(1)变形为所以点P的轨迹是以为圆心，以为半径的圆（定义这样的圆为阿波罗尼斯圆，简称“阿波罗圆”或“阿氏圆”）. 性质： (1)当时，点在圆内，点在圆外. 当时,点在圆内,点在圆外. (2)因，过是圆的一条切线.若已知圆及圆外一点，可以作出对应点,反之亦然. (3)所作出的阿波罗尼斯圆的半径为，面积为. (4)过点作圆的切线(C为切点)，则,分别为的内、外角平分线. (5)过点作圆不与重合的弦,则平分. 题型一：定义圆 即符合圆的定义，题干中给出条件：在平面内，某动点到定点的距离等于定长，则该动点的轨迹是圆. 1．（2024·全国·二模）已知直线与直线相交于点，且点到点的距离等于1，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）已知，是圆上的两个不同的点，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．圆上总存在两个点到原点的距离为，则的取值范围是______________． 4.在平面直角坐标系 xOy 中，已知 B，C 为圆 x y 4 上两点，点 A(1, 1)，且 AB⊥AC，则线段 BC 的长的取值范围为 ． 5.圆，直线，若直线上存在点，过点作圆的两条切线，切点是，使得，则实数的取值范围是________． 6.已知 A、B是圆 上的动点，, P 是圆上的动点，则的取值范围是 题型二：斜率圆 定义：在平面内，与两定点斜率之积为-1的点的集合是圆（除去定点所在垂直于轴的直线与曲线的交点）. 数学语言描述：在平面内，，其中M为动点，A，B为动点.点M的横坐标不等于A，B的横坐标.（该类型实质就是直径所对的圆周角为直角的应用．） 7.已知点，，，动点P满足，则的取值范围为（       ） A． B． C． D． 8．（2024·浙江嘉兴·二模）已知圆，若圆上存在点使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．（2025·北京平谷·模拟预测）设点，动直线l：，作于点M，则点M到坐标原点O距离的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 10．（24-25高三下·江苏扬州·开学考试）在平面直角坐标系中，已知为圆上两点，点，且，则线段的长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11.设,过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点,则的最大值是______. 题型三：数量积圆 定义：在平面内，与两定点形成向量的数量积为定值的点的轨迹是圆.. 数学语言描述：在平面内，其中M为动点，A，B为定点，为定值. 注：若，则点M的轨迹方程为，， 此时. 特别地，若A，B为定点，且，则点M的轨迹是以AB为直径的圆. 12．（2024·北京·三模）已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 13．已知平面向量，，且非零向量满足，则的最大值是（   ） A．1 B． C． D．2 14.（2024·河南郑州·二模）在平面直角坐标系中，设，，动点P满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 15.已知圆，直线l满足___________（从①l过点，②l斜率为2，两个条件中，任选一个补充在上面问题中并作答），且与圆C交于A，B两点，求AB中点M的轨迹方程. 题型四：平方圆 定义：在平面内，到两定点距离的平方和为定值点的集合. 数学语言描述：在平面内，，其中M为动点，A，B为定点，为定值. 注：若，则点M的轨迹方程为，，此时. 16．（24-25江西抚州高二上·期中联考）平面上一动点满足：且，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 17.（2024·河南·三模）在平面内，已知线段的长为4，点为平面内一点，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 18．设，O为坐标原点，点P满足，若直线上存在点Q使得，则实数k的取值范围为（       ） A． B． C． D． 19．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，若点满足，则点的轨迹方程是 ． 题型五：阿波罗尼斯圆 定义：在平面内，到两定点距离的平方和为定值点的集合. 数学语言描述：在平面内，，其中M为动点，A，B为定点，为定值. 注：若，则点M的轨迹方程为，，此时. 20．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知动点与两个定点的距离之比为2，那么直线的斜率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 21．（23-24高二上·江西南昌·阶段练习）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比（，），那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，已知动点的M与定点和定点的距离之比为2，其方程为，若点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 22．已知两定点，如果动点满足,则点P的轨迹所包围的面积等于 . 23．已知点P到两定点的距离的比为，点N到直线PM的距离为1，求直线PN的方程. 24．在平面直角坐标系中，已知点，，是平面内的一动点，且满足，记点的运动轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)过点的直线与曲线交于，两点，若的面积是的面积的3倍，求直线的方程． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$