第一章 直线和圆（高效培优单元测试·强化卷）数学北师大版2019选择性必修第一册

第一章 直线与圆（高效培优单元测试·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在平面直角坐标系中，直线的斜率为（   ） A．0 B．1 C．90 D．不存在 【答案】D 【解析】直线垂直于垂直，所以直线的斜率不存在. 故选：D 2．直线与直线间的距离为（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据平行直线间的距离公式计算即可. 【解析】可变为，则两条平行直线间的距离为． 故选：C. 3．已知直线与圆，则（   ） A．与相离 B．与相切 C．平分 D．与相交但不平分 【答案】C 【解析】因为圆的圆心为， 直线过点，所以直线平分， 故选：C. 4．若点在圆外，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点在圆外，列出关于的不等式，求出不等式的解集即可得到的取值范围． 【解析】点在圆外， 且， 解得． 故选：C． 5．“”是“直线和直线不重合而平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用平行的位置关系可列出系数满足的关系式，从而求解进行判断即可. 【解析】当时，直线和直线是不重合而平行关系，即满足充分性， 当直线和直线不重合而平行时， 有，解得，故满足必要性， 故选：C. 6．已知矩形的边所在直线的方程为，顶点，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，边所在直线的方程为， 设所在直线方程为，因为过， 所以，所以所在直线方程为， 由解得，即顶点的坐标为. 故选：A. 7．若圆与圆交于M，N两点，则四边形的面积为（    ）． A．5 B． C． D．10 【答案】A 【解析】，，， 由，解得，或， 则， 因为，所以四边形的面积为. 故选：A. 8．已知直线和曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得到， 所以曲线表示以原点为圆心，为半径的半圆，图象如图， 当直线过点时，，此时与曲线有两个不同的交点， 当直线与曲线相切时，由，解得或（舍）， 由图可知，实数的取值范围是， 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线，则（    ） A．的倾斜角为 B．在轴上的截距为 C．原点到的距离为1 D．与坐标轴围成的三角形的面积为2 【答案】ABC 【解析】选项A：直线的倾斜角为，斜率，则，由得，故选项A正确； 选项B：令则则在轴上的截距为，故选项B正确； 选项C：原点到的距离为，故选项C正确； 选项D：与坐标轴围成的三角形的面积为，故选项D错误. 故选：ABC. 10．已知直线：与圆：相交于，两点，则（    ） A．圆心的坐标为 B．圆的半径为 C．圆心到直线的距离为2 D． 【答案】ACD 【分析】化圆的方程为 标准形式判断AB；求出圆心到直线距离判断C；利用圆的弦长公式计算判断D. 【解析】对于AB，圆：的圆心，半径，A正确，B错误； 对于C，点到直线：的距离，C正确； 对于D，，D正确. 故选：ACD 11．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，已知，，点满足，设点的轨迹为圆，下列结论正确的是（    ） A．圆的方程是 B．的取值范围为 C．圆与圆有两条公切线 D．过点A作直线，若圆上恰有三个点到直线距离为，该直线斜率为 【答案】ABC 【解析】对A，设， 由，可得， 即，化简可得，故A正确； 对B，由选项A可知：圆的圆心为，半径， 设，可知直线与圆有公共点， 则，解得， 所以的取值范围为，故B正确； 对C，圆圆心到圆圆心的距离为， 又因为且， 故两圆相交，有两条公切线，故C正确； 对D，当直线斜率为0时，圆C上有四个点到直线l距离为不合题意， 设直线，则由题意C到的距离等于， 即，解得，故斜率直线斜率为，故D正确； 故选：ABC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知是直线的一个方向向量，则的倾斜角为 . 【答案】 【解析】依题意，直线的斜率，其倾斜角为. 13．写出过点且与圆相切的一条直线方程 ． 【答案】或（写出一条即可） 【解析】依题意切线的斜率存在，设斜率为k，则切线为，即， 则圆心到直线的距离，解得或， 所以切线方程为或． 14．在平面直角坐标系中，，点满足，则面积的最大值是 . 【答案】 【解析】设点，由可得，整理得， 所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆， 又直线与轴重合，所以点到直线的最大距离为圆的半径， 所以面积的最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（本小题满分13分） 求经过点，且满足下列条件的直线的方程： (1)经过点； (2)与直线垂直． 【解析】（1）由题意可得直线斜率为，（3分） 故直线方程为，即.(6分) （2）由题意可设直线方程为，，（9分） 结合直线经过点， 可得，则直线方程为.（13分） 16．（本小题满分15分） 已知三个顶点坐标分别为、、． (1)求的面积S； (2)求边上的中线与AC边上的高的交点坐标． 【解析】（1）因为，所以直线的方程为，即. 所以点到直线的距离. （3分） 因为， 所以.(7分) （2）因为，所以AC边上的高的斜率为， 所以AC边上的高线的方程为，即.（10分） 因为、的中点为，又，所以边上的中线方程为， 由，解得， 所以边上的中线与AC边上的高的交点坐标为.（15分） 17.(本小题满分15分) 设直线 (1)求与直线的距离为的直线的方程； (2)求圆关于直线的对称圆的方程. 【解析】（1）由题意可知该直线与直线平行， 所以设该直线方程为， 依题意，解得或，（5分） 故该直线方程为或.（7分） （2）圆的圆心为， 设圆心关于直线的对称点为， 则且的中点在直线上． ，解得，（12分） ， 圆关于直线的对称圆半径不变， 该对称圆方程为．（15分） 18.(本小题满分17分) 为了保证我国东海油气田海域海上平台的生产安全，海事部门在某平台的北偏西方向处设立观测点，在平台的正东方向处设立观测点，规定经过三点的圆以及其内部区域为安全预警区.如图所示：以为坐标原点，的正东方向为轴正方向，建立平面直角坐标系. (1)试写出的坐标，并求两个观测点之间的距离； (2)试求经过三点的圆的标准方程； (3)某日经观测发现，在该平台正南方向的处，有一艘轮船正以每小时的速度沿北偏东方向行驶，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，请说明理由；如果进入，则它在安全预警区内会行驶多长时间？ 【解析】（1）由题意知：，，， ，，.（4分） （2）设经过三点的圆的方程为：， ，解得：， 所求圆的一般方程为：， 则经过三点的圆的标准方程为：.（10分） （3）由题意知：，则轮船航向所在直线方程为：，即， 由（2）知：经过三点的圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离，（14分） 直线与圆相交，即轮船会进入安全预警区； 设直线与圆的交点为，则， 则轮船在安全预警区内会行驶小时.（17分） 19.(本小题满分17分) 已知圆：，过直线：上的动点作圆的切线，切点分别为，． (1)当时，求出点的坐标； (2)经过，，三点的圆是否过定点？若是，求出所有定点的坐标； (3)求线段的中点的轨迹方程． 【解析】（1）（1） 直线的方程为，点在直线上，设， 因为，由对称性可得：由对称性可知， 由题所以，所以， 解之得：故所求点的坐标为或．（6分） （2）设，则的中点，因为是圆的切线， 所以经过三点的圆是以为圆心，以为半径的圆， 故圆E方程为： 化简得：，此式是关于的恒等式， 故解得或, 所以经过三点的圆必过定点或．（12分） （3）由 可得：，即， 由可得过定点. 因为N为圆的弦的中点，所以，即， 故点N在以为直径的圆上， 点N的轨迹方程为.（17分） 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 直线与圆（高效培优单元测试·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在平面直角坐标系中，直线的斜率为（   ） A．0 B．1 C．90 D．不存在 2．直线与直线间的距离为（   ） A． B． C． D．1 3．已知直线与圆，则（   ） A．与相离 B．与相切 C．平分 D．与相交但不平分 4．若点在圆外，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．“”是“直线和直线不重合而平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知矩形的边所在直线的方程为，顶点，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．若圆与圆交于M，N两点，则四边形的面积为（    ）． A．5 B． C． D．10 8．已知直线和曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线，则（    ） A．的倾斜角为 B．在轴上的截距为 C．原点到的距离为1 D．与坐标轴围成的三角形的面积为2 10．已知直线：与圆：相交于，两点，则（    ） A．圆心的坐标为 B．圆的半径为 C．圆心到直线的距离为2 D． 11．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，已知，，点满足，设点的轨迹为圆，下列结论正确的是（    ） A．圆的方程是 B．的取值范围为 C．圆与圆有两条公切线 D．过点A作直线，若圆上恰有三个点到直线距离为，该直线斜率为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知是直线的一个方向向量，则的倾斜角为 . 13．写出过点且与圆相切的一条直线方程 ． 14．在平面直角坐标系中，，点满足，则面积的最大值是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（本小题满分13分） 求经过点，且满足下列条件的直线的方程： (1)经过点； (2)与直线垂直． 16．（本小题满分15分） 已知三个顶点坐标分别为、、． (1)求的面积S； (2)求边上的中线与AC边上的高的交点坐标． 17.(本小题满分15分) 设直线 (1)求与直线的距离为的直线的方程； (2)求圆关于直线的对称圆的方程. 18.(本小题满分17分) 为了保证我国东海油气田海域海上平台的生产安全，海事部门在某平台的北偏西方向处设立观测点，在平台的正东方向处设立观测点，规定经过三点的圆以及其内部区域为安全预警区.如图所示：以为坐标原点，的正东方向为轴正方向，建立平面直角坐标系. (1)试写出的坐标，并求两个观测点之间的距离； (2)试求经过三点的圆的标准方程； (3)某日经观测发现，在该平台正南方向的处，有一艘轮船正以每小时的速度沿北偏东方向行驶，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，请说明理由；如果进入，则它在安全预警区内会行驶多长时间？ 19.(本小题满分17分) 已知圆：，过直线：上的动点作圆的切线，切点分别为，． (1)当时，求出点的坐标； (2)经过，，三点的圆是否过定点？若是，求出所有定点的坐标； (3)求线段的中点的轨迹方程． 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$