第二十四章相似三角形（单元测试·基础卷）数学沪教版五四制九年级上册

2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第二十四章 相似三角形·基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B B A A C A 二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，共48分） 7．/ 8．2025 9． 10．． 11．（答案不唯一） 12． 13． 14．20 15．/3厘米 16． 17． 18．2 三、解答题（共9小题，共78分） 19（10分）． 【解析】证明：∵，， ∴，（2分） ∵是的一个外角， ∴，（4分） 又∵，， ∴，（6分） 在和中， ， ∴（10分） 20．（10分） 【解析】（1）解：设 则：（5分） （2）解：∵， ∴，（7分） ∴， ∴．（10分） 21．（10分） 【解析】（1）证明：过点C作交的延长线于点H，（1分） ∵平分， ∴, ∵， ∴， ∴， ∴，（3分） ∵， ∴， ∴， ∴；（5分） （2）如图， ∵，， ∴， ∵， ∴ ， ∴，（7分） ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴．（10分） 22．（10分） 【解析】（1）解：连接AC，（1分） ∵在平行四边形ABCD中， ∴AD∥CB，AD=CB，（3分） ∵， ∴四边形ACED是平行四边形， ∴DE∥AC， ；（5分） （2）解：过点F作FM∥AB交AB于M，则向量、是向量分别在、方向上的分向量．（10分） 23．（12分） 【解析】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴，（2分） ∵、， ∴， ∴， ∴，（4分） ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形；（6分） （2）证明：∵四边形是菱形， ∴，，（8分） ∵， ∴， ∴，（10分） ∴， ∴， ∴．（12分） 24．（12分） 【解析】（1）解：过点E作，交于点G．    由是“线垂”三角形的“分角”，， 可知， ∵是的中线， ∴， ∴，（2分） ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴的值等于3 ∴的值等于3；（4分） （2）解：在边上取点M，使，联结，    那么是“线垂三角形”，是“分角”， 可得， ∵为公共角， ∴， ∴， ∴也是“线垂三角形”，是“分角”；（8分） （3）解：作和的平分线，交点为O，联结，延长，交边于点N， 由（2）得， ∴， 可得， 又∵， ∴． ∴． ∴，． （10分） 延长至点G，使，联结， ∵，，， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理得，即， ∴．（12分） 25．（14分） 【解析】（1）解：∵， ， ， ， 由勾股定理得：，（2分） ∵， ， ， ， ， ；（2分） （2）解：如图1，∵， ， ， ，（4分） ， ， ， ， ∵， ， ， ，， ，， 同理得：， ， ；（6分） 如图2，当点在直线上时，， ，， ， ， 的取值范围是；（8分） （3）解：分三种情况： ①当时，如图3，过点作于， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ∵， ，即， ， ， ， ， ，（舍， ；（10分） ②当时，如图4， 由勾股定理得：， 由（2）同理得：， ∵， ， ，即， ， 解得：， ；（12分） ③当时，如图5，过点作于， 设， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ∵， ， ，即， ， ， ， ， 综上，的长是或或．（14分） 答案第1页，共2页 答案第1页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 22025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第二十四章相似三角形·基础通关 建议用时：100分钟，满分：150分 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 1．下列选项中的两个图形一定相似的是（    ） A．两个平行四边形 B．两个正方形 C．两个菱形 D．两个等腰三角形 【答案】B 【解析】解：A、两个平行四边形对应角不一定相等，故不一定相似，不符合题意； B、两个正方形对应边成比例，对应角相等，故一定相似，符合题意； C、两个菱形对应角不一定相等，故不一定相似，不符合题意； D、两个等腰三角形对应角不一定相等，故不一定相似，不符合题意； 故选：B． 2．已知线段、、、是成比例线段，如果，，，那么的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：根据题意得，即， 解得：． 故选B． 3．如图，直线AD、BC交于点O，，若，，，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：∵，， ∴ ∵，， ∴． 故选A． 4．如图，已知小君的身高是米，他在路灯下的影长为米，小君与灯杆的距离为米，那么路灯距地面的高度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【解析】解： ，， ， ，， ， ， ，即， 米， 路灯距地面的高度为米， 故选：A． 5．下列判断正确的是（   ） A． B．方向相反的两个向量叫做互为相反向量 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【解析】解：选项A：． 向量相减的结果应为零向量，但题目中的“0”未用向量符号（如或黑体0），表示标量0，因此该选项表述不严谨，错误； 选项B：方向相反的两个向量叫做互为相反向量． 相反向量的定义是方向相反且长度相等的两个向量．选项仅提到方向相反，未说明长度相等，错误； 选项C：若，则． 向量相等的充要条件是方向与长度均相同，因此模必然相等，正确； 选项D：若，则． 模相等仅说明长度相同，方向可能不同（如两个不同方向的等长向量），因此错误． 综上，正确选项为C． 故选：C． 6．如图，在矩形中，E、F分别为、上的点，且，连结，其中，，则（   ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【解析】解：在矩形中，， ， ， ， 由， 设， ,即， 在中，，即， 在中， ， 故选：A． 二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，共48分） 7．已知点为线段的黄金分割点，则 【答案】/ 【解析】解：点为线段的黄金分割点， ∴，， ∴， 解得，， 故答案为： ． 8．已知正数满足，则 ． 【答案】2025 【解析】解：∵， ∴ ∵为正数 ∴； 故答案为：2025． 9．如果两个三角形是相似三角形，其中一个三角形的两个内角分别为和，那么另一个三角形中最小内角的度数为 ． 【答案】 【解析】解：三角形的两个内角分别为和， 第三个内角为， 这个三角形的最小的内角的度数为， 两个三角形是相似三角形， 另一个三角形的最小内角的度数为， 故答案为：． 10．如图，以点为位似中心，将放大后得到，，则 ． 【答案】． 【解析】解：∵以点为位似中心，将放大后得到，， ∴． 故答案为． 11．如图，已知点、分别是的边、上的点，要使得，可添加的一个条件是 ．（只写一个） 【答案】（答案不唯一） 【解析】解：∵， ∴当时，． 故答案为：（答案不唯一）． 12．如果△ABC相似于△DEF，若相似比，则它们的面积比是 ． 【答案】 【解析】解： 故答案为： 13．已知关系式，那么向量 ．（用，表示） 【答案】 【解析】∵ ∴ ． 故答案为：． 14．如图，，分别截两直线于六点．若，，则 ． 【答案】20 【解析】解：∵， ， ∴， ， ． 故答案为：20． 15．图1是装了红酒的高脚杯示意图（数据如图），喝去一部分红酒后如图2所示，此时液面的长为 ． 【答案】/3厘米 【解析】解：如图，过点O作，垂足为M，作，垂足为N， 由图可知， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 16．如图，在中，，，，是边上的高．将沿折叠，使点A与点D重合，则的周长为 ． 【答案】 【解析】解：如图： 由折叠得，垂直平分， 是上的高， ， ∴ ， ， ， ． 故答案为： 17．如图，正方形的边在的边上，顶点分别在边上．已知长为60厘米，如果正方形的边长为20厘米，那么的高为 厘米． 【答案】 【解析】解：设的高为厘米． 由正方形得，，即， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴，， ∵长为厘米，正方形的边长为厘米， ∴， 解得． 即厘米． 故答案为：． 18．如图，在正方形纸片中，点是边的中点．将该纸片的右下角向上翻折，使点与点重合，边翻折至的位置，与交于点，那么的值是 ． 【答案】2 【解析】解：延长交于点，过点作于点， 由翻折得，， ∴， ∵， ∴， 设正方形边长为4， ∵正方形纸片， ∴，，， ∵点是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：2． 3、 解答题（本大题共7小题，共78分） 19（10分）．如图，在中，，，点D，E分别是，上的点，且，求证：.    【答案】见解析 【解析】证明：∵，， ∴， ∵是的一个外角， ∴， 又∵，， ∴， 在和中， ， ∴ 20．已知线段a、b、c，且． (1)求的值； (2)若线段a、b、c满足，求a、b、c的值． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：设 则： （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 21．（10分）已知：如图，在中，平分交于D． (1)求证：； (2)延长至点E，联结、，如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【解析】（1）证明：过点C作交的延长线于点H， ∵平分， ∴, ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）如图， ∵，， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴． 22．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，延长BC到点E，使，联结AE交DC于点F，设，． (1)用向量、表示； (2)求作：向量分别在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要写明结论） 【答案】(1) (2)向量、是向量分别在、方向上的分向量． 【解析】（1）解：联结AC， ∵在平行四边形ABCD中， ∴AD∥CB，AD=CB， ∵， ∴四边形ACED是平行四边形， ∴DE∥AC， ； （2）解：过点F作FM∥AB交AB于M，则向量、是向量分别在、方向上的分向量． 23．（12分）如图，在中，过点作、，垂足分别为点、，、分别交于点、，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)延长、相交于点，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解析】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵、， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； （2）证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 24．（12分）在八年级的时候，我们曾经一起研究过一种三角形：如果三角形的一个角的平分线与一条边上的中线互相垂直，那么这个三角形叫做“线垂”三角形，这个角叫做“分角”．它的一个重要性质为：“分角”的两边成倍半关系．这个性质的逆命题也成立． 利用以上我们研究得到的结论，解决以下问题： 已知是“线垂”三角形，，是的“分角”．    (1)如图1，是的角平分线，是的中线，与相交于点F．求的值； (2)在图2中画的一条分割线，使所分成的两个三角形都成为“线垂”三角形，并指出各自的“分角”，说明理由； (3)在（2）的条件下，记分割得到的两个三角形“分角”的平分线交于点O，点O与点A、B、C的距离分别为a、b、c，求a、b、c满足的等量关系． 【答案】(1)的值等于3； (2)图见解析，是“线垂三角形”，是“分角”，是“线垂三角形”，是“分角”，理由见解析 (3) 【解析】（1）解：过点E作，交于点G．    由是“线垂”三角形的“分角”，， 可知， ∵是的中线， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴的值等于3 ∴的值等于3； （2）解：在边上取点M，使，联结，    那么是“线垂三角形”，是“分角”， 可得， ∵为公共角， ∴， ∴， ∴也是“线垂三角形”，是“分角”； （3）解：作和的平分线，交点为O，联结，延长，交边于点N， 由（2）得， ∴， 可得， 又∵， ∴． ∴． ∴，． 延长至点G，使，联结， ∵，，， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理得，即， ∴． 25．（14分）如图，在中，，，，过点作射线，点、是射线上的两点（点不与点重合，点在点右侧），联结、分别交边于点、，． (1)当时，求的长； (2)设，，求关于的函数关系式，并写出的取值范围； (3)联结并延长交边于点，如果是等腰三角形，请直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3)的长是或或． 【解析】（1）解：∵， ， ， ， 由勾股定理得：， ∵， ， ， ， ， ； （2）解：如图1，∵， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ，， ，， 同理得：， ， ； 如图2，当点在直线上时，， ，， ， ， 的取值范围是； （3）解：分三种情况： ①当时，如图3，过点作于， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ∵， ，即， ， ， ， ， ，（舍， ； ②当时，如图4， 由勾股定理得：， 由（2）同理得：， ∵， ， ，即， ， 解得：， ； ③当时，如图5，过点作于， 设， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ∵， ， ，即， ， ， ， ， 综上，的长是或或． 试卷第2页，共20页 试卷第1页，共20页 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九级上册数学单元检测卷 第二十四章 相似三角形·基础通关 建议用时：100分钟，满分：150分 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 1．下列选项中的两个图形一定相似的是（    ） A．两个平行四边形 B．两个正方形 C．两个菱形 D．两个等腰三角形 2．已知线段、、、是成比例线段，如果，，，那么的值是（ ） A． B． C． D． 3．如图，直线AD、BC交于点O，，若，，，则的值为（    ）    A． B． C． D． 4．如图，已知小君的身高是米，他在路灯下的影长为米，小君与灯杆的距离为米，那么路灯距地面的高度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 5．下列判断正确的是（   ） A． B．方向相反的两个向量叫做互为相反向量 C．如果，那么 D．如果，那么 6．如图，在矩形中，E、F分别为、上的点，且，连结，其中，，则（   ） A． B．3 C． D． 二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，共48分） 7．已知点为线段的黄金分割点，则 8．已知正数满足，则 ． 9．如果两个三角形是相似三角形，其中一个三角形的两个内角分别为和，那么另一个三角形中最小内角的度数为 ． 10．如图，以点为位似中心，将放大后得到，，则 ． 11．如图，已知点、分别是的边、上的点，要使得，可添加的一个条件是 ．（只写一个） 12．如果△ABC相似于△DEF，若相似比，则它们的面积比是 ． 13．已知关系式，那么向量 ．（用，表示） 14．如图，，分别截两直线于六点．若，，则 ． 15．图1是装了红酒的高脚杯示意图（数据如图），喝去一部分红酒后如图2所示，此时液面的长为 ． 16．如图，在中，，，，是边上的高．将沿折叠，使点A与点D重合，则的周长为 ． 17．如图，正方形的边在的边上，顶点分别在边上．已知长为60厘米，如果正方形的边长为20厘米，那么的高为 厘米． 18．如图，在正方形纸片中，点是边的中点．将该纸片的右下角向上翻折，使点与点重合，边翻折至的位置，与交于点，那么的值是 ． 3、 解答题（本大题共7小题，共78分） 19．（10分）如图，在中，，，点D，E分别是，上的点，且，求证：.    20．（10分）已知线段a、b、c，且． (1)求的值； (2)若线段a、b、c满足，求a、b、c的值． 21．已知：如图，在中，平分交于D． (1)求证：； (2)延长至点E，联结、，如果，求证：． 22．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，延长BC到点E，使，联结AE交DC于点F，设，． (1)用向量、表示； (2)求作：向量分别在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要写明结论） 23．（12分）如图，在中，过点作、，垂足分别为点、，、分别交于点、，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)延长、相交于点，求证：． 24．（12分）在八年级的时候，我们曾经一起研究过一种三角形：如果三角形的一个角的平分线与一条边上的中线互相垂直，那么这个三角形叫做“线垂”三角形，这个角叫做“分角”．它的一个重要性质为：“分角”的两边成倍半关系．这个性质的逆命题也成立． 利用以上我们研究得到的结论，解决以下问题： 已知是“线垂”三角形，，是的“分角”．    (1)如图1，是的角平分线，是的中线，与相交于点F．求的值； (2)在图2中画的一条分割线，使所分成的两个三角形都成为“线垂”三角形，并指出各自的“分角”，说明理由； (3)在（2）的条件下，记分割得到的两个三角形“分角”的平分线交于点O，点O与点A、B、C的距离分别为a、b、c，求a、b、c满足的等量关系． 25．（14分）如图，在中，，，，过点作射线，点、是射线上的两点（点不与点重合，点在点右侧），联结、分别交边于点、，． (1)当时，求的长； (2)设，，求关于的函数关系式，并写出的取值范围； (3)联结并延长交边于点，如果是等腰三角形，请直接写出的长． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第二十四章相似三角形·基础通关 建议用时：100分钟，满分：150分 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 1．下列选项中的两个图形一定相似的是（    ） A．两个平行四边形 B．两个正方形 C．两个菱形 D．两个等腰三角形 2．已知线段、、、是成比例线段，如果，，，那么的值是（ ） A． B． C． D． 3．如图，直线AD、BC交于点O，，若，，，则的值为（    ）    A． B． C． D． 4．如图，已知小君的身高是米，他在路灯下的影长为米，小君与灯杆的距离为米，那么路灯距地面的高度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 5．下列判断正确的是（   ） A． B．方向相反的两个向量叫做互为相反向量 C．如果，那么 D．如果，那么 6．如图，在矩形中，E、F分别为、上的点，且，连结，其中，，则（   ） A． B．3 C． D． 二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，共48分） 7．已知点为线段的黄金分割点，则 8．已知正数满足，则 ． 9．如果两个三角形是相似三角形，其中一个三角形的两个内角分别为和，那么另一个三角形中最小内角的度数为 ． 10．如图，以点为位似中心，将放大后得到，，则 ． 11．如图，已知点、分别是的边、上的点，要使得，可添加的一个条件是 ．（只写一个） 12．如果△ABC相似于△DEF，若相似比，则它们的面积比是 ． 13．已知关系式，那么向量 ．（用，表示） 14．如图，，分别截两直线于六点．若，，则 ． 15．图1是装了红酒的高脚杯示意图（数据如图），喝去一部分红酒后如图2所示，此时液面的长为 ． 16．如图，在中，，，，是边上的高．将沿折叠，使点A与点D重合，则的周长为 ． 17．如图，正方形的边在的边上，顶点分别在边上．已知长为60厘米，如果正方形的边长为20厘米，那么的高为 厘米． 18．如图，在正方形纸片中，点是边的中点．将该纸片的右下角向上翻折，使点与点重合，边翻折至的位置，与交于点，那么的值是 ． 3、 解答题（本大题共7小题，共78分） 19．（10分）如图，在中，，，点D，E分别是，上的点，且，求证：.    20．（10分）已知线段a、b、c，且． (1)求的值； (2)若线段a、b、c满足，求a、b、c的值． 21．（10分）已知：如图，在中，平分交于D． (1)求证：； (2)延长至点E，联结、，如果，求证：． 22．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，延长BC到点E，使，联结AE交DC于点F，设，． (1)用向量、表示； (2)求作：向量分别在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要写明结论） 23．（12分）如图，在中，过点作、，垂足分别为点、，、分别交于点、，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)延长、相交于点，求证：． 24．（12分）在八年级的时候，我们曾经一起研究过一种三角形：如果三角形的一个角的平分线与一条边上的中线互相垂直，那么这个三角形叫做“线垂”三角形，这个角叫做“分角”．它的一个重要性质为：“分角”的两边成倍半关系．这个性质的逆命题也成立． 利用以上我们研究得到的结论，解决以下问题： 已知是“线垂”三角形，，是的“分角”．    (1)如图1，是的角平分线，是的中线，与相交于点F．求的值； (2)在图2中画的一条分割线，使所分成的两个三角形都成为“线垂”三角形，并指出各自的“分角”，说明理由； (3)在（2）的条件下，记分割得到的两个三角形“分角”的平分线交于点O，点O与点A、B、C的距离分别为a、b、c，求a、b、c满足的等量关系． 25．（14分）如图，在中，，，，过点作射线，点、是射线上的两点（点不与点重合，点在点右侧），联结、分别交边于点、，． (1)当时，求的长； (2)设，，求关于的函数关系式，并写出的取值范围； (3)联结并延长交边于点，如果是等腰三角形，请直接写出的长． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$