2.2平方根与立方根（分层作业）数学北师大版2024八年级上册

2.2 立方根与平方根 14大知识点（基础）+能力提升题（7道）+拓展培优练（4道） 一、求一个数的算术平方根 1．（2025·江苏南京·二模）若，则的值为（   ） A．9 B． C． D． 2．（2025·湖北荆州·三模）的化简结果是（   ） A．3 B． C．2 D．4 3．（24-25七年级下·广东广州·期中）的值是（   ） A．8 B． C．4 D．2 4．（24-25七年级下·广东潮州·期中）的算术平方根是（   ） A． B． C． D．5 5．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）的算术平方根为 ． 二、利用算术平方根的非负性解题 1．（24-25七年级下·广西梧州·期中）若，则的算术平方根是（    ） A．2 B．4 C． D． 2．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期中）若实数、满足，则的值为（    ） A． B．1 C．或 D．1或 3．（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）若，则的相反数是（   ） A． B． C． D． 4．（北京市大兴区2024~2025学年七年级下学期期中考试数学试卷）若实数，满足，则的值是 ． 5．（24-25七年级下·江苏南通·期中）已知，为有理数，且，则的值为 ． 6．（24-25七年级下·江西南昌·期中）若，则 ． 三、与算术平方根有关的规律探究 1．（24-25七年级下·湖南永州·期中）已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·四川南充·期中）已知：，，则 ． 3．（24-25八年级下·全国·假期作业）（1）填表： … 1 100 10000 … … 100 … （2）利用上表中的规律，解决下列问题：已知，，则的值为 ； （3）当时，比较和的大小． … 1 100 10000 … … 100 … 4．（24-25七年级下·山东日照·期中）观察求算术平方根的规律，并利用这个规律解决下列问题： ， (1)已知，则_______； (2)已知，则_______； (3)归纳：已知数的小数点的移动与它的算术平方根的小数点移动间有何规律？ 四、平方根的概念 1．（24-25七年级下·广西贵港·期中）下列各数中，没有平方根的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·河南商丘·期中）若与是同一个正数的两个平方根，则的值为（    ） A．4 B． C．2 D． 五、求一个数的平方根 1．（24-25七年级下·云南临沧·期中）的值是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期中）的平方根是 六、利用平方根解方程 1．（24-25七年级下·四川广元·期中）若，则 ． 2．（24-25七年级下·贵州黔东南·期中）解方程： (1) (2) 3．（24-25七年级下·西藏林芝·期中）求x的值：． 4．（24-25七年级下·北京·阶段练习）求下列各式中的值． (1)； (2)． 七、利用平方根的性质求解 1．（江西省宜春市2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试题）若一个正数的两个平方根是和，则的值为（    ） A．3 B．7 C． D．49 2．（24-25七年级下·山东济宁·期中）若一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是（   ） A．9 B． C．3 D． 3．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）正数m的两个平方根分别是和，那么这个正数m的值为 ． 4．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）若一个正数的两个平方根分别是与，则这个正数是 ． 5．（24-25七年级下·宁夏吴忠·期中）一个正实数的平方根是和，则a的值是多少？这个正实数是多少？ 6．（24-25七年级下·广东湛江·期中）已知一个正数的两个不相等的平方根是与． (1)求的值； (2)求关于的方程的解． 八、平方根的应用 1．（24-25八年级下·河南焦作·期中）一切运动的物体都具有动能（单位：焦耳），其大小由物体的质量m（单位：千克）和运动速度v（单位：米/秒）决定，计算公式为．在2025年3月23日举行的全国马拉松锦标赛首站上，河南选手包揽了女子组冠亚军．若某长跑运动员在匀速跑步，她的质量是60千克，她某时的动能是1350焦耳，则该运动员此时的跑步速度为 米/秒．（结果保留根号） 2．（24-25七年级下·河南商丘·期中）如图，计划建一个面积为50米的长方形苗圃，一边靠墙，另外三边用篱笆围成，并且它的长与宽之比为． (1)求的长； (2)求出苗圃所用篱笆总长． 3．（24-25七年级下·广西南宁·期中）在综合实践课上，某同学想把一个用铁丝围成的面积为的正方形区域修改为面积为的长方形区域，且长、宽之比为． (1)求原来正方形区域的边长； (2)求修改后长方形的周长； (3)铁丝够用吗？请通过计算说明你的判断． 4．（24-25七年级下·山东济宁·期中）现有一张面积为的长方形纸片，它的长与宽的比为． (1)求长方形纸片的长和宽； (2)要在这张长方形纸片上裁剪一个面积为正方形纸片，试判断能否裁剪出来，并说明理由． 5．（24-25七年级下·山西朔州·期中）学科实践：某中学计划修建一个面积为的花坛，花坛四周用篱笆围起来，数学小组成员洋洋和强强设计如下两种方案：洋洋：建设一个正方形花坛．强强：建设一个长方形花坛，长是宽的4倍．请通过计算比较哪种方案建设花坛所需要的篱笆（周长）更短． 九、立方根的概念 1．（重庆市江津区2024-2025学年下期期末检测七年级数学试卷A卷）下列说法中正确的有（   ） A．4的平方根是 B．的算术平方根是 C．负数没有立方根 D．带根号的数都是无理数 2．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）一个数的平方根与这个数的立方根相等，这个数是（    ） A．1 B． C．0 D．1或0 3．（24-25七年级下·广西防城港·期中）下列说法不正确的是（    ） A．1的立方根是1 B．的立方根是 C．的立方根是 D．125的立方根是 十、计算立方根 1．（安徽省亳州市2024-2025学年下学期七年级数学期末试卷）的立方根是（　　） A． B．4 C． D． 2．（24-25七年级下·四川泸州·期中），则的值为（    　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·河南洛阳·期末）的相反数是 ． 4．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习） ． 十一、立方根的应用 1．（河南省濮阳市2024-2025学年七年级下学期6月期末数学试题）如图是一个正方体的魔方，它由27个大小完全相同的小正方体组成．魔方的体积是，则一个小正方体的棱长是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·陕西西安·期中）某甜品店的李师傅制作的长方体月饼礼盒的体积为，而康师傅制作的正方体月饼礼盒的体积是李师傅制作的1.5倍，则康师傅制作的正方体月饼礼盒的棱长为 ． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）将一正方体铁块完全浸入圆柱形玻璃杯的水中，水位升高了．如果玻璃杯内部的底面半径为，那么正方体的棱长是多少毫米？（取，结果取整数．） 十二、立方根有关的规律探究 1．（24-25七年级下·四川德阳·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·青海海东·期中）观察．推测：若，则 ． 十三、平方根与立方根的估值 1．（24-25八年级下·河北邯郸·期中）估算的值是（    ） A．在1和2之间 B．在2和3之间 C．在3和4之间 D．在4和5之间 2．（24-25七年级下·广东东莞·期中）一个正方形的面积是8，估计它的边长大小在（   ） A．1与2之间 B．2与3之间 C．3与4之间 D．4与5之间 3．（24-25七年级下·辽宁大连·阶段练习）已知，则的近似值为（   ） A．0.0101 B．0.101 C．101 D．1.01 4．（24-25八年级下·吉林白城·阶段练习）估计的值应在（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 十四、平方根与立方根的综合应用 1．（24-25七年级下·新疆和田·期中）若4的平方根是x，的立方根是y，则的值为 ． 2．（24-25七年级下·天津·期中）若一个正数的两个平方根分别是和，的立方根是3． (1)求a，b的值； (2)求的算术平方根． 3．（24-25七年级下·安徽合肥·阶段练习）已知实数的算术平方根是2，的立方根是2． (1)求，的值； (2)求的平方根． 4．（24-25七年级下·广东江门·期中）已知：的平方根是，的算术平方根是，求的立方根． 1．（24-25七年级下·重庆忠县·期末）已知均为自然数，整式，且满足，设，例如：当时，．根据题意，对于下列说法：①当时，若，则有6个不同取值；②当，则使得整式的值为4的平方根的负数值有7个；③若是一列从1开始的连续奇数，则；④所有使得成立的整式之和为．其中正确说法的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（24-25七年级下·新疆喀什·期中）已知的算术平方根是3，的立方根是，是的整数部分． (1)求的值； (2)求的平方根． 3．（24-25七年级下·湖北襄阳·期中）（1）已知是的算术平方根，是的立方根，求的立方根． （2）若的算术平方根是5，求的平方根． 4．（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大的正方形纸片． (1)则大正方形的边长为___________； (2)沿着大正方形纸片的边的方向截出一个长方形纸片，能否使截得的长方形纸片长宽之比为，且面积为？请说明理由． 5．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）【问题发现】（1）如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形，所得到的大正方形的面积为______，大正方形的边长为_______ 【知识迁移】（2）爱钻研的小思受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正方形．如图2，将两个长和宽分别为3和2的长方形沿对角线剪开，将所得到的4个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空小正方形的大正方形，所得到的小正方形的边长为__________，大正方形的边长为__________ 【拓展延伸】（3）小明想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为．请通过计算说明是否可行． 6．（24-25七年级下·河南周口·期末）在数学中，我们可以通过区间估计法估算一个无理数的近似值．例如： ，即， 的整数部分为2， 的小数部分为． (1)求的整数部分和小数部分． (2)已知的立方根是的算术平方根是是的整数部分，求的平方根． 7．（24-25七年级下·福建厦门·期中）阅读材料，回答以下问题： 材料一： 材料二： 我们可以用以下方法表示无理数的小数部分． 我们可以用以下方法求无理数的近似值（保留两位小数）． ，， 即 的整数部分为2． 的小数部分为． 面积为107的正方形的边长是，且， 设，其中， 画出边长为的正方形，如图1： 根据图中面积，得， 当较小时，忽略，得． 解得． (1)利用材料一中的方法，的小数部分是__________； (2)利用材料二中的方法，探究的近似值（保留两位小数，并写出求解过程） 1．（23-24九年级上·全国·课后作业）我们发现：＝3，＝3，＝3，…，，一般地，对于正整数a、b，如果满足，那么称为一组完美方根数对．如上面是一组完美方根数对．下面4个结论：①是完美方根数对；②是完美方根数对；③若是完美方根数对，则；④若是完美方根数对，则x、y满足．其中正确的结论有几个，说明理由． 2．（22-23八年级上·河南南阳·阶段练习）探究发散： (1)完成下列填空 ①______，②______，③______， ④______，⑤______，⑥______； (2)计算结果，回答：一定等于吗？你发现其中的规律了吗？请你用数学语言描述出来：_____________________ (3)利用你总结的规律，计算：若，则______； (4)有理数在数轴上的位置如图．    化简：． 3．（22-23七年级下·四川南充·阶段练习）阅读理解，观察下列式子： ①； ②； ③； ④； … 根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个这样的真命题：对于任意两个有理数a，b，若______，则；反之也成立． (2)根据上述的真命题，解答问题：若与的值互为相反数，求的值． 4．（23-24七年级下·云南昭通·期末）规定：对任意的非负实数n，用表示不大于n的最大整数，称为n的整数部分，用表示的值，称为n的小数部分.例如：，，，；请回答下列问题： (1)当时，以下五个命题中为真命题的是 （填序号） ①；②；③；④；⑤若（a为整数），则 (2)当时，解关于x的方程 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2 立方根与平方根 14大知识点（基础）+能力提升题（7道）+拓展培优练（4道） 一、求一个数的算术平方根 1．（2025·江苏南京·二模）若，则的值为（   ） A．9 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根的概念．解题关键在于理解算术平方根的定义及性质，利用算术平方根与被开方数的平方关系来求解被开方数的值，要注意算术平方根是非负的，被开方数也是非负的．由，根据算术平方根的定义求出的值． 【详解】解：∵（），， ∴ ． 故选：A． 2．（2025·湖北荆州·三模）的化简结果是（   ） A．3 B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】此题考查了算术平方根．求出的值即可得到答案． 【详解】解：，即的化简结果是3， 故选：A． 3．（24-25七年级下·广东广州·期中）的值是（   ） A．8 B． C．4 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根，熟记定义是解题的关键．根据算术平方根的定义解答即可． 【详解】解：， 故选：C． 4．（24-25七年级下·广东潮州·期中）的算术平方根是（   ） A． B． C． D．5 【答案】D 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，根据算术平方根的定义即可求解． 【详解】解：的算术平方根是， 故选：D． 5．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）的算术平方根为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，解题关键是理解算术平方根的意义． 直接根据算术平方根的意义求解． 【详解】解：的算术平方根为， 故答案为： ． 二、利用算术平方根的非负性解题 1．（24-25七年级下·广西梧州·期中）若，则的算术平方根是（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根和绝对值的非负性，方程的思想，算术平方根的应用，关键是求出、的值． 根据偶次方和绝对值的非负性得出方程，求出方程的解，再代入求出算术平方根即可． 【详解】解：， ，， ，， ， ∴， 的算术平方根为2， 故选A． 2．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期中）若实数、满足，则的值为（    ） A． B．1 C．或 D．1或 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根以及绝对值的非负性，正确掌握相关性质内容是解题的关键．由非负数的性质可知，均为非负数，它们的和为0时，必须各自为0,由此可解出x和y的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴，或 则或， 故选：D 3．（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）若，则的相反数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查非负性，求一个数的相反数，根据非负性求出的值，进而求出的值，根据只有符号不同的两个数互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的相反数为：； 故选D． 4．（北京市大兴区2024~2025学年七年级下学期期中考试数学试卷）若实数，满足，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根和平方的非负性质，熟练掌握非负性质是解题的关键．根据算术平方根和平方的非负性质求出，的值，再代入进行计算即可． 【详解】解： ， ，， 解得：，， ． 故答案为：． 5．（24-25七年级下·江苏南通·期中）已知，为有理数，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根非负性，偶次幂非负性，首先根据非负数的性质可求出的值，进而可求出的值，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意得：，， ∴，， ∴， 故答案为：． 6．（24-25七年级下·江西南昌·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方、算术平方根的非负性，掌握相关知识是解题关键．根据平方、算术平方根的非负性求出，，再根据算术平方根的定义即可求解． 【详解】解： ， ，， 解得：，， ， ， 故答案为：． 三、与算术平方根有关的规律探究 1．（24-25七年级下·湖南永州·期中）已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了被开方数的变化与算术平方根之间的变化规律，熟练掌握小数点移动的规律是解答本题的关键．当被开方数的小数点每向右（或向左）移动2位，它的算术平方根的小数点就相应的向右（或向左）移动1位．据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选A． 2．（24-25七年级下·四川南充·期中）已知：，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，结合，则，进行计算，即可作答． 【详解】解：∵，被开方数小数点向右移动2位，则所得算术平方根小数点向右移动1位， ∴， 故答案为： 3．（24-25八年级下·全国·假期作业）（1）填表： … 1 100 10000 … … 100 … （2）利用上表中的规律，解决下列问题：已知，，则的值为 ； （3）当时，比较和的大小． … 1 100 10000 … … 100 … 【答案】（1）填表见解析；（2）；（3）当时，；当时，；当或时，； 【分析】本题考查实数的大小比较，算术平方根的规律探究，弄清题中的规律是解题的关键． （1）根据算术平方根的含义填表即可； （2）根据表格得出规律，再利用得出的规律求出a的值即可； （3）分类讨论a的范围，再比较大小即可． 【详解】解：（1）填表如下： a … 1 100 10000 … … 1 10 100 … （2）观察表格可得规律：当被开方数a的小数点向左或向右移动2位，它的算术平方根的小数点相应地向左或向右移动1位； ∵，， 即从19到1900小数点向右移动2位，则a的小数点向右移动了4位 ∴； （3）根据题意得：当时，； 当时，； 当或时，； 4．（24-25七年级下·山东日照·期中）观察求算术平方根的规律，并利用这个规律解决下列问题： ， (1)已知，则_______； (2)已知，则_______； (3)归纳：已知数的小数点的移动与它的算术平方根的小数点移动间有何规律？ 【答案】(1) (2) (3)规律是：数的小数点每向右移两位，它的算术平方根的小数点相应向右移一位 【分析】本题考查了算术平方根、规律型：数字的变化类，熟练掌握算术平方根是解决本题的关键． （1）根据规律即可得出答案； （2）根据规律即可得出答案； （3）应从被开方数的小数点，以及相应的算术平方根的小数点的移动来找规律． 【详解】解：（1）∵， ∴； （2）∵，， ∴； （3）∵， ∴规律是：数的小数点每向右移两位，它的算术平方根的小数点相应向右移一位． 四、平方根的概念 1．（24-25七年级下·广西贵港·期中）下列各数中，没有平方根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方根的定义，根据平方根的定义，负数没有平方根，因此只需找出选项中的负数即可，掌握平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：由平方根的定义，负数没有平方根， 选项符合题意， 故选：． 2．（24-25七年级下·河南商丘·期中）若与是同一个正数的两个平方根，则的值为（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平方根的概念，一个正数的两个平方根互为相反数，据此可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵与是同一个正数的两个平方根， ∴， ∴， 故选：D． 五、求一个数的平方根 1．（24-25七年级下·云南临沧·期中）的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根的运算，根据，直接作答即可． 【详解】解：， 故选：D． 2．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期中）的平方根是 【答案】 【分析】本题考查求一个数的平方根，根据平方根的定义“一个数x的平方等于a，这个数x叫a的平方根”即可求解． 【详解】解：，9的平方根为：， 故答案为：． 六、利用平方根解方程 1．（24-25七年级下·四川广元·期中）若，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了利用平方根解方程，熟练掌握平方根的性质是解题关键．根据平方根的性质解方程即可得． 【详解】解：∵， ∴或， ∴或， 故答案为：或． 2．（24-25七年级下·贵州黔东南·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用平方根解方程，熟练掌握平方根是解题的关键： （1）移项后，利用平方根解方程即可； （2）移项，系数化1，利用平方根解方程即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴． （2）， ∴， ∴， ∴． 3．（24-25七年级下·西藏林芝·期中）求x的值：． 【答案】或 【分析】本题考查了平方根，熟练掌握平方根的意义是解题的关键． 根据平方根的意义，移项，开平方，再进行计算即可解答． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， 解得：或． 4．（24-25七年级下·北京·阶段练习）求下列各式中的值． (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题主要考查了根据平方根求方程的解， 对于（1），先整理得，再开方得出答案； 对于（2），直接开方得，计算得出答案． 【详解】（1）解：整理，得， 开方，得或； （2）解：开方，得， 即或， 解得或． 七、利用平方根的性质求解 1．（江西省宜春市2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试题）若一个正数的两个平方根是和，则的值为（    ） A．3 B．7 C． D．49 【答案】D 【分析】本题考查了平方根的性质，解题的关键是利用正数的两个平方根互为相反数这一性质来求解 。 根据正数的两个平方根互为相反数，列出关于a的方程，求解a后再计算x的值。 【详解】解：因为一个正数的两个平方根分别是和， 所以， 解得：， 则， 所以； 2．（24-25七年级下·山东济宁·期中）若一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是（   ） A．9 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方根的定义，根据一个正数的两个平方根互为相反数列方程求解． 【详解】∵一个正数的两个平方根互为相反数， ∴ 解得： 将代入，得： 因此，这个正数为． 故选A． 3．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）正数m的两个平方根分别是和，那么这个正数m的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根的定义，掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数是解题的关键． 根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数，据此列出关于x的一元一次方程求解即可求出x的值，然后再求出m的值即可． 【详解】解：∵正数m的两个平方根分别是和， ∴，解得：． ∴， ∴这个正数m的值为． 故答案为：． 4．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）若一个正数的两个平方根分别是与，则这个正数是 ． 【答案】25 【分析】本题考查了平方根的性质：正数的两个平方根互为相反数，已知平方根求这个数；根据题意得，求得a，从而得到正数的两个平方根，即可求得这个正数． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是与， ∴， ∴， 即这个正数的平方根为； 而，即这个正数为25； 故答案为：25． 5．（24-25七年级下·宁夏吴忠·期中）一个正实数的平方根是和，则a的值是多少？这个正实数是多少？ 【答案】，这个正实数是 【分析】本题考查了平方根，解题的关键是掌握正数有两个平方根，且互为相反数． 根据正数的两个平方根互为相反数，可求得a的值，即可解题． 【详解】解：∵一个正实数的平方根是和， ∴， 解得：， ∴， ∴这个正实数是． 6．（24-25七年级下·广东湛江·期中）已知一个正数的两个不相等的平方根是与． (1)求的值； (2)求关于的方程的解． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查平方根的意义及利用平方根解方程，关键是要掌握一个正数有两个平方根，互为相反数． （1）由一个正数的两个平方根互为相反数求a值即可； （2）将a代入，利用平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个不相等的平方根分别是与， ∴， 解得； （2）解：把代入，得， ∴， ∴． ∴方程的解是，； 八、平方根的应用 1．（24-25八年级下·河南焦作·期中）一切运动的物体都具有动能（单位：焦耳），其大小由物体的质量m（单位：千克）和运动速度v（单位：米/秒）决定，计算公式为．在2025年3月23日举行的全国马拉松锦标赛首站上，河南选手包揽了女子组冠亚军．若某长跑运动员在匀速跑步，她的质量是60千克，她某时的动能是1350焦耳，则该运动员此时的跑步速度为 米/秒．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查平方根的应用，根据公式列得方程，据此求解即可． 【详解】解：由题意可得， 解得或（舍去）， ∴该运动员此时的跑步速度为米/秒， 故答案为：． 2．（24-25七年级下·河南商丘·期中）如图，计划建一个面积为50米的长方形苗圃，一边靠墙，另外三边用篱笆围成，并且它的长与宽之比为． (1)求的长； (2)求出苗圃所用篱笆总长． 【答案】(1)米 (2)米或米 【分析】本题考查了平方根的应用，理解题意，理清各量间的关系是解题的关键； （1）设长方形苗圃的长米，宽米，已知面积为50平方米，根据长方形面积公式，可得，解方程即可； （2）分两种情况：当平行于墙时，当平行于墙时，分别求出篱笆的总长即可． 【详解】（1）解：设长方形苗圃的长米，宽米，根据题意得： ， 即， ， 解得：（因为长度不能为负，舍去）． 所以米． （2）解：因为，一边靠墙，分两种情况： 当平行于墙时，篱笆总长为： ， 把代入得篱笆的总长为米； 当平行于墙时，篱笆总长为： ， 把代入得篱笆的总长为米； 综上：篱笆的总长为米或米． 3．（24-25七年级下·广西南宁·期中）在综合实践课上，某同学想把一个用铁丝围成的面积为的正方形区域修改为面积为的长方形区域，且长、宽之比为． (1)求原来正方形区域的边长； (2)求修改后长方形的周长； (3)铁丝够用吗？请通过计算说明你的判断． 【答案】(1) (2) (3)够用 【分析】本题考查算术平方根，利用开平方解方程，实数的估算，熟练根据题意列出等式并利用开平方求解长方形边长是解题的关键． （1）根据正方形的面积公式即可得出答案； （2）设长方形的长为，宽为，由其面积为，所以，利用开平方求解即可； （3）比较正方形的周长与长方形周长的大小关系即可． 【详解】（1）解：由题意得原来正方形区域的边长为， （2）解：由（1）得这根铁丝长为， 由修改后的长方形的长、宽之比为， 设长方形的长为，宽为， 由其面积为， 所以， 即， 解得（负值舍）， 长方形的周长为， （3）解：， ∴， ∴铁丝够用． 4．（24-25七年级下·山东济宁·期中）现有一张面积为的长方形纸片，它的长与宽的比为． (1)求长方形纸片的长和宽； (2)要在这张长方形纸片上裁剪一个面积为正方形纸片，试判断能否裁剪出来，并说明理由． 【答案】(1)长方形纸片的长和宽分别为， (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查算术平方根的应用，熟练掌握算术平方根，是解题的关键： （1）设长为，宽为，根据面积公式进行求解即可； （2）求出正方形的边长与长方形的宽进行比较即可． 【详解】（1）解：设长为，宽为，由题意，得： ， 解得：， ∴， ∴长方形纸片的长和宽分别为，； （2）解：不能，理由如下： 由题意，正方形的边长为：， ∵， ∴不能裁剪出来． 5．（24-25七年级下·山西朔州·期中）学科实践：某中学计划修建一个面积为的花坛，花坛四周用篱笆围起来，数学小组成员洋洋和强强设计如下两种方案：洋洋：建设一个正方形花坛．强强：建设一个长方形花坛，长是宽的4倍．请通过计算比较哪种方案建设花坛所需要的篱笆（周长）更短． 【答案】洋洋的设计方案建设花坛所需要的篱笆更短 【分析】此题考查了算术平方根的实际应用，首先求出正方形的花坛边长为，然后求出周长，然后设强强设计的长方形花坛的宽为，则长为，根据题意得到求出，进而求解即可． 【详解】解：洋洋设计的正方形的花坛边长为， 周长为． 设强强设计的长方形花坛的宽为，则长为， 由题意可得， 解得．（负值已舍去） ， 长方形花坛的周长为． ， 洋洋的设计方案建设花坛所需要的篱笆更短． 九、立方根的概念 1．（重庆市江津区2024-2025学年下期期末检测七年级数学试卷A卷）下列说法中正确的有（   ） A．4的平方根是 B．的算术平方根是 C．负数没有立方根 D．带根号的数都是无理数 【答案】A 【分析】本题考查平方根，立方根和无理数，根据平方根、算术平方根、立方根及无理数的定义逐一判断各选项的正误即可． 【详解】A、 4的平方根是，正确； B、的算术平方根是3，错误； C、负数也有立方根，负数的立方根仍为负数，如的立方根是，错误， D、带根号的数都是无理数，错误，例如为有理数，故带根号的数不一定是无理数． 故选：A． 2．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）一个数的平方根与这个数的立方根相等，这个数是（    ） A．1 B． C．0 D．1或0 【答案】C 【分析】本题考查了平方根，立方根的定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据平方根与立方根的定义，可知0的平方根等于0的立方根，解答即可． 【详解】解：根据平方根与立方根的定义，可知0的平方根等于0的立方根， 故选：C． 3．（24-25七年级下·广西防城港·期中）下列说法不正确的是（    ） A．1的立方根是1 B．的立方根是 C．的立方根是 D．125的立方根是 【答案】D 【分析】本题考查立方根的概念及求一个数的立方根，需根据各选项逐一判断正误． 【详解】解：A. 1的立方根是1，故正确； B. 的立方根是；故正确； C. 的立方根是；故正确； D. 125的立方根是；故错误； 故选：D． 十、计算立方根 1．（安徽省亳州市2024-2025学年下学期七年级数学期末试卷）的立方根是（　　） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，根据立方根的定义求解即可，注意负数的立方根仍为负数． 【详解】解：， 故选：C 2．（24-25七年级下·四川泸州·期中），则的值为（    　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了立方根，根据立方根的定义解答即可求解，掌握立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：． 3．（24-25七年级下·河南洛阳·期末）的相反数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，立方根定义，先求出，然后根据相反数定义求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴的相反数是． 故答案为：． 4．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习） ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的定义，根据立方根的定义即可求解，掌握立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 十一、立方根的应用 1．（河南省濮阳市2024-2025学年七年级下学期6月期末数学试题）如图是一个正方体的魔方，它由27个大小完全相同的小正方体组成．魔方的体积是，则一个小正方体的棱长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查立方根的应用，先求出一个小立方体的体积，再求出棱长即可． 【详解】解：一个小正方体的体积为：， 所以，小立方体的棱长为， 故选：B． 2．（24-25七年级下·陕西西安·期中）某甜品店的李师傅制作的长方体月饼礼盒的体积为，而康师傅制作的正方体月饼礼盒的体积是李师傅制作的1.5倍，则康师傅制作的正方体月饼礼盒的棱长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了立方根，根据正方体的体积公式列等式，求体积的立方根即可． 【详解】解：设康师傅制作的正方体月饼礼盒的棱长为， 由题意得：， 解得：， ∴康师傅制作的正方体月饼礼盒的棱长为． 故答案为：6． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）将一正方体铁块完全浸入圆柱形玻璃杯的水中，水位升高了．如果玻璃杯内部的底面半径为，那么正方体的棱长是多少毫米？（取，结果取整数．） 【答案】正方体的棱长约为 【分析】本题考查立方根的实际应用、圆柱体、正方体的体积的计算方法，掌握体积计算公式是正确解答的前提．根据题意可得底面半径，高为 的圆柱体的体积等于正方体的体积，可利用方程求出棱长． 【详解】解：设正方体的棱长为， 由题意得，，即， ∵， ∴； 答：正方体的棱长约为． 十二、立方根有关的规律探究 1．（24-25七年级下·四川德阳·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根、立方根的性质等知识点，掌握立方根的性质成为解题的关键． 将21400分解为，再利用立方根的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选A． 2．（24-25七年级下·青海海东·期中）观察．推测：若，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查了算术平方根与立方根的应用，掌握小数点的移动规律是解题的关键．根据根号内的小数点移动规律即可求解，算术平方根的规律为，根号内的小数点移动2位，对应的结果小数移动1位；立方根的规律为，根号内的小数点移动3位，其结果的小数点移动一位，小数点的移动方向保持一致． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴ 故答案为：． 十三、平方根与立方根的估值 1．（24-25八年级下·河北邯郸·期中）估算的值是（    ） A．在1和2之间 B．在2和3之间 C．在3和4之间 D．在4和5之间 【答案】B 【分析】本题考查的是算术平方根和无理数取值范围的估算，掌握平方根的定义是解题的关键．本题由即可选出答案． 【详解】因为，， 所以，即． 因此，的值在2和3之间，对应选项B． 故答案为：B． 2．（24-25七年级下·广东东莞·期中）一个正方形的面积是8，估计它的边长大小在（   ） A．1与2之间 B．2与3之间 C．3与4之间 D．4与5之间 【答案】B 【分析】本题主要考查了算术平方根的定义和估算无理数的大小，由正方形的面积等于边长的平方，故根据已知的面积开方即可求出正方形的边长为，然后由可得的取值范围． 【详解】解：设正方形边长为， 由正方形的面积为8得：， 又， ， ， ， ， 即正方形的边长在2与3之间，故B正确． 故选：B． 3．（24-25七年级下·辽宁大连·阶段练习）已知，则的近似值为（   ） A．0.0101 B．0.101 C．101 D．1.01 【答案】D 【分析】本题主要考查了算术平方根的估算，被开平方的数的小数点每向左移动两位，那么被开平方的结果的小数点向左移动一位，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 4．（24-25八年级下·吉林白城·阶段练习）估计的值应在（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的估算、不等式的基本性质，根据可知，根据不等式的基本性质一可得 【详解】解：， ， ， ． 故选：A． 十四、平方根与立方根的综合应用 1．（24-25七年级下·新疆和田·期中）若4的平方根是x，的立方根是y，则的值为 ． 【答案】7或 【分析】本题考查了平方根，立方根，熟练掌握定义是解题的关键．根据4的平方根是，的立方根是，得到，解得即可． 【详解】解：4的平方根是x，的立方根是y，且4的平方根是，的立方根是， 则， 故或， 故答案为：7或． 2．（24-25七年级下·天津·期中）若一个正数的两个平方根分别是和，的立方根是3． (1)求a，b的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)， (2)6 【分析】本题主要考查了平方根，立方根，算术平方根，熟知立方根，算术平方根，平方根的定义是解题的关键． （1）根据一个正数的两个平方根的和为0得到即可求出a；根据立方根的定义得到，即可求出b； （2）根据（1）所求结合算术平方根的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知：， 解得． 由题意可知：， 解得：． （2）解：∵，， ∴， ∴其算术平方根为6． 3．（24-25七年级下·安徽合肥·阶段练习）已知实数的算术平方根是2，的立方根是2． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)；； (2)的平方根是． 【分析】本题主要考查平方根，算术平方根，立方根的计算，掌握其运算方法是关键． （1）根据算术平方根，立方根的计算列式求解即可； （2）把的值代入，根据平方根的计算求解即可． 【详解】（1）解：的算术平方根是2， ， 解得； 的立方根是2， ，即， 解得． （2）解：由（1）知，，， ； 而10的平方根是， 的平方根是． 4．（24-25七年级下·广东江门·期中）已知：的平方根是，的算术平方根是，求的立方根． 【答案】 【分析】本题考查了平方根和算术平方根的定义，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据开方与平方是互逆运算，求出的值，与的值，然后两式联立求出的值，再代入进行计算即可求解． 【详解】解： 的平方根是， ， 的算术平方根是， ， 解得：，， ， 的立方根为． 1．（24-25七年级下·重庆忠县·期末）已知均为自然数，整式，且满足，设，例如：当时，．根据题意，对于下列说法：①当时，若，则有6个不同取值；②当，则使得整式的值为4的平方根的负数值有7个；③若是一列从1开始的连续奇数，则；④所有使得成立的整式之和为．其中正确说法的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的加减、平方根以及新定义等知识点，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据整式的加减、平方根以及新定义逐个判断即可． 【详解】解：①当时，，由得且为自然数，故可取0，1，2，3，4，5，共6个值，即①正确； ②当，时，方程的解为．因且为自然数，，对应5个不同的x值，而非7个，即②错误； ③若是从1开始的连续奇数，，从1开始连续奇数求和，是首项，末项,则 ，而不是625，故③错误； ④所有满足的整式包括： 当时，为5； 当时，为； 当时，为； 相加得，即④正确． 综上，正确说法为①④，共2个． 故选C． 2．（24-25七年级下·新疆喀什·期中）已知的算术平方根是3，的立方根是，是的整数部分． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了算术平方根、立方根的定义，无理数整数部分的估算以及平方根的计算，熟练掌握这些定义和估算方法是解题的关键． （1）根据算术平方根、立方根的定义，以及无理数整数部分的确定方法来求解、、的值．对于，利用算术平方根的定义建立方程；对于，依据立方根的定义构建方程；对于，通过估算的范围确定其整数部分． （2）先将（1）中求得的、、的值代入计算出结果，再根据平方根的定义求出该结果的平方根． 【详解】（1）解：的算术平方根是（算术平方根的定义：若一个非负数的平方等于，即，则叫做的算术平方根 ） 的立方根是（立方根的定义：若一个数的立方等于，即，则叫做的立方根 ） 把代入得： （比较与完全平方数、的大小 ） 即 的整数部分 综上，，， （2）解：把，，代入得： （平方根的定义：若（），则叫做的平方根， ） 的平方根是 即的平方根是 3．（24-25七年级下·湖北襄阳·期中）（1）已知是的算术平方根，是的立方根，求的立方根． （2）若的算术平方根是5，求的平方根． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查算术平方根、平方根和立方根的定义，非负数的性质，代数式求值．解题的关键是： （1）由算术平方根和立方根的定义可求出，，即得出，，，代入中求值，再求其立方根即可； （2）由被开方数为非负数即可求出，由算术平方根的定义可求出，代入中求值，再求其平方根即可． 【详解】解：（1）∵是的算术平方根，是的立方根， ∴，， ∴，， ∴，， ∴的立方根为； （2）根据题意得， ∴， ∴ ∵n的算术平方根是5， ∴， ∴的平方根为． 4．（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大的正方形纸片． (1)则大正方形的边长为___________； (2)沿着大正方形纸片的边的方向截出一个长方形纸片，能否使截得的长方形纸片长宽之比为，且面积为？请说明理由． 【答案】(1)4 (2)不能截得题目中要求的长方形纸片，理由见解析 【分析】本题考查算术平方根的应用以及实数的大小，掌握算术平方根的定义，实数的大小比较是解题的关键； （1）根据题意求得大正方形的面积为，即可求解； （2）设截出的长方形的长为，宽为，根据正方形的面积列式计算即可． 【详解】（1）解：∵两个正方形面积之和为：， ∴拼成的大正方形的面积为， ∴大正方形的边长是； 故答案为：4． （2）解：不能， 理由如下： 设截出的长方形的长为，宽为， 则，解得，那么，， ， 不能截得题目中要求的长方形纸片． 5．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）【问题发现】（1）如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形，所得到的大正方形的面积为______，大正方形的边长为_______ 【知识迁移】（2）爱钻研的小思受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正方形．如图2，将两个长和宽分别为3和2的长方形沿对角线剪开，将所得到的4个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空小正方形的大正方形，所得到的小正方形的边长为__________，大正方形的边长为__________ 【拓展延伸】（3）小明想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为．请通过计算说明是否可行． 【答案】（1）2；；（2）1；；（3）不可行，理由见解析 【分析】本题考查了算术平方根的应用，解题的关键是掌握正方形和长方形的面积计算方法以及算术平方根． （1）根据大正方形的面积个小正方形的面积和，即可得解； （2）小正方形的边长等于直角三角形两直角边的长的差，大正方形的面积个直角三角形的面积+小正方形的面积，据此即可解答； （3）设截出的长方形纸片的长为长为，宽为，，根据题意列出方程，计算即可解答． 【详解】解：（1）由题意得：所得到的大正方形面积为，边长为； （2）由题意得：所得到的小正方形的边长为：；大正方形的面积为：，则正方形的边长为； （3）不可行，理由如下： 设截出的长方形纸片的长为，宽为， 则， ∵， ∴， ∴截出的长方形纸片的长为， ∵正方形纸片的面积为， ∴正方形纸片的边长为， ∵， ∴不能用面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为． 6．（24-25七年级下·河南周口·期末）在数学中，我们可以通过区间估计法估算一个无理数的近似值．例如： ，即， 的整数部分为2， 的小数部分为． (1)求的整数部分和小数部分． (2)已知的立方根是的算术平方根是是的整数部分，求的平方根． 【答案】(1)的整数部分为4， 小数部分为． (2) 【分析】本题考查了估算无理数的大小，立方根和算术平方根以及平方根的定义，审清题意掌握相关概念是解题的关键． （1）根据无理数的估算方法求解即可； （2）根据题意立方根和算术平方根的定义求出a、b的值，再仿照题意求出c的值，然后代入求其值，最后根据平方根的定义可得答案． 【详解】（1）解：（1）∵， ∴， ∴的整数部分为4， ∴的小数部分为． （2）解：∵的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴的整数部分是3， ∴， ∴， ∴的平方根是． 7．（24-25七年级下·福建厦门·期中）阅读材料，回答以下问题： 材料一： 材料二： 我们可以用以下方法表示无理数的小数部分． 我们可以用以下方法求无理数的近似值（保留两位小数）． ，， 即 的整数部分为2． 的小数部分为． 面积为107的正方形的边长是，且， 设，其中， 画出边长为的正方形，如图1： 根据图中面积，得， 当较小时，忽略，得． 解得． (1)利用材料一中的方法，的小数部分是__________； (2)利用材料二中的方法，探究的近似值（保留两位小数，并写出求解过程） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了无理数的小数部分，无理数的估算．解题的关键在于理解题意并正确的运算． （1）根据材料一中的解题过程进行求解即可； （2）根据材料二中的解题过程进行求解即可． 【详解】（1）解： ， ，即， 的整数部分是5， 的小数部分是， 故答案为：； （2）解：面积为145的正方形的边长是，且， 设，其中， 画出边长为的正方形，如图： 根据图中面积，得， 当较小时，忽略，得． 解得． ． 1．（23-24九年级上·全国·课后作业）我们发现：＝3，＝3，＝3，…，，一般地，对于正整数a、b，如果满足，那么称为一组完美方根数对．如上面是一组完美方根数对．下面4个结论：①是完美方根数对；②是完美方根数对；③若是完美方根数对，则；④若是完美方根数对，则x、y满足．其中正确的结论有几个，说明理由． 【答案】3个，理由见解析 【分析】本题属于新定义类问题，主要考查算术平方根的性质与定义，理解完美方根数对的定义对是解题关键．将，代入验证即可判断①②；将代入公式，建立方程可得出结论；若是完美方根数对，则满足给出公式，化简可得出结论． 【详解】解：3个，理由如下： 解：将代入，，，， 是完美方根数对；故①正确； 将代入，， 不是完美方根数对，故②错误； ③是完美方根数对， 将代入公式，， 即.所以，故③正确； 若是完美方根数对，则. ∴，即，故④正确. 2．（22-23八年级上·河南南阳·阶段练习）探究发散： (1)完成下列填空 ①______，②______，③______， ④______，⑤______，⑥______； (2)计算结果，回答：一定等于吗？你发现其中的规律了吗？请你用数学语言描述出来：_____________________ (3)利用你总结的规律，计算：若，则______； (4)有理数在数轴上的位置如图．    化简：． 【答案】(1)3，0.5，6，0，， (2)不一定，正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数 (3) (4) 【分析】（1）根据数的算术平方根的计算可以求出各数的值； （2）结合（1）中计算可知不一定等于，并发现其中规律． （3）运用（2）得出的规律进行运算即可； （4）结合数轴可知，且，然后根据算术平方根的性质、相反数的性质以及绝对值的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：①，②，③， ④，⑤，⑥． 故答案为：3，0.5，6,0，，； （2）由（1）可知，不一定等于，可发现规律：正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数 故答案为：正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数； （3）若，则， 所以． 故答案为：； （4）由在数轴上的位置可知， ，且， 所以 ． 【点睛】本题主要考查了算术平方根、有理数与数轴、相反数以及绝对值等知识，熟练掌握相关性质和运算法则是解题关键． 3．（22-23七年级下·四川南充·阶段练习）阅读理解，观察下列式子： ①； ②； ③； ④； … 根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个这样的真命题：对于任意两个有理数a，b，若______，则；反之也成立． (2)根据上述的真命题，解答问题：若与的值互为相反数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了立方根、算术平方根的应用，解一元一次方程，观察并总结规律是解题的关键． （1）用含、的式子表达规律即可得答案； （2）根据题意列出一元一次方程，解方程求出的值即可,进而求得算术平方根，即可． 【详解】（1）解：由规律可得：对于任意两个有理数、，若，则， 故答案为：． （2）解：若与的值互为相反数，则， 解得：． ∴ 4．（23-24七年级下·云南昭通·期末）规定：对任意的非负实数n，用表示不大于n的最大整数，称为n的整数部分，用表示的值，称为n的小数部分.例如：，，，；请回答下列问题： (1)当时，以下五个命题中为真命题的是 （填序号） ①；②；③；④；⑤若（a为整数），则 (2)当时，解关于x的方程 【答案】(1)①②④⑤ (2)或 【分析】本题考查的是估算无理数的大小和实数的运算，熟练掌握无理数估算的方法是解题的关键． （1）根据题目中的规定进行逐一判断即可得出答案； （2）先根据题目中的规定对原方程进行整理得，再进行分类讨论，求解即可． 【详解】（1）解： ，故①正确； ，由于，，故②正确； 表示的小数部分，，故③错误； 表示的整数部分，，故④正确； 为整数），，故⑤正确， 故五个命题中为真命题的是①②④⑤， 故答案为：①②④⑤； （2）解：， ， ， ， 是的小数部分， 当时，； 当时，， ， 可得， ， 综上可得或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$