专题01 二次函数五种综合问题（高效培优专项训练）数学沪科版九年级上册

专题01 二次函数五种综合问题 题型一：与线段有关问题 题型二：与面积有关问题 题型三：与角度有关问题 题型四：特殊三角形问题 题型五：特殊四边形问题 题型一：与线段有关问题 1．（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图，已知抛物线的对称轴为，过其顶点的一条直线与该抛物线的另一个交点为，要在坐标轴上找一点，使得的周长最小，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】线段周长问题(二次函数综合) 【分析】先由对称轴和点坐标求得抛物线的解析式，根据抛物线解析式求得M的坐标；欲使的周长最小，的长度一定，所以只需取最小值即可．然后，过点M作关于y轴对称的点，连接，与y轴的交点即为所求的点P（如图1）；过点M作关于x轴对称的点，连接，与x轴的交点即为所求的点P（如图2）；分别计算两种情况下的周长再取最小值即可； 【详解】解：如图，∵抛物线的对称轴为，点是抛物线上的一点， ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为， ， 的周长，且是定值，所以只需最小． 如图1，过点作关于y轴对称的点，连接，与y轴的交点即为所求的点P．    设直线的解析式为：， 由点和点可得：， 解得， 故该直线的解析式为， 当时，，即， ∵，，， ∴ 此时三角形的周长； 同理，如图2，过点作关于x轴对称的点，连接，与x轴的交点即为所求的点，    设直线的解析式为：， 由点和点可得：， 解得， 故该直线的解析式为， 当时，，即， ∵，，， ∴， 此时三角形的周长； ∵，， ∴ ∴点P在y轴上时，三角形的周长最小，即点P的坐标是． 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，二次函数的性质，待定系数法求一次函数的解析式，平面直角坐标系中两点距离公式；在求点P的坐标时，一定要注意题目要求是“要在坐标轴上找一点P”，所以应该找轴和轴上符合条件的点P，不要漏解． 2．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，二次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，O是坐标系的原点，P是该二次函数图象对称轴上一动点． （1） ． （2）周长的最小值为 ． 【答案】 8 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=a（x-h）²+k的图象和性质、用勾股定理解三角形、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】（1）将代入得，计算即可得解； （2）由二次函数解析式可得二次函数的对称轴为直线，求出，得到，作点关于对称轴的对称点，连接交对称轴于，连接，则，由轴对称的性质可得：，的周长，由两点之间线段最短可得此时的周长最小，再由勾股定理求出的长即可得解． 【详解】解：（1）将代入得：， 解得：， 故答案为：； （2）由（1）可得，二次函数解析式为， ∴二次函数的对称轴为直线， 当时，， ∴， ∴， 如图，作点关于对称轴的对称点，连接交对称轴于，连接， ， 则， 由轴对称的性质可得：， ∴的周长，由两点之间线段最短可得此时的周长最小， ∵， ∴的周长的最小值， 故答案为：． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、轴对称的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 3．（2025·安徽合肥·三模）已知抛物线与轴交于点，顶点为． (1)求该抛物线的解析式． (2)如图，点坐标，为抛物线对称轴上一动点，过点的直线平行轴交抛物线于、两点（点在点的左侧）． ①若，求点坐标； ②若以为边构造矩形（、在线段、上），求该矩形周长的最大值． 【答案】(1) (2)①；②该矩形周长的最大值为 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了待定系数法的应用，二次函数与几何综合； （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出B点坐标，设，则，表示出和， ①根据列方程求出m，进而可得点坐标； ②易得直线解析式，则可知，，用含m的式子表示出矩形的周长，再利用二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：与轴交于、， ， 解得：， 抛物线的表达式为：； （2）∵， ∴， 设，则， ，， ①， ， 解得：（舍去）或， ； ②∵ ∴直线解析式为， ∴， ， 设矩形周长为， 则， ∴当时，的最大值为． 4．（2025·安徽合肥·三模）已知：直线经过点，抛物线与x轴交于B，C两点（点B在点C的左侧），抛物线的顶点为D，抛物线与交y轴于点E． (1)求点B，点C的坐标（用含字母a的代数式表示）； (2)连接，求线段的最小值； (3)当直线恰好经过点E时，求a的值． 【答案】(1) (2)的最小值为1 (3)， 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、线段周长问题(二次函数综合)、其他问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，与一次函数的综合问题，二次函数图象与坐标轴的交点问题，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）令，求出，再由又点在直线，得到，即可求出点； （2）先表示出，而，那么，化简转化为二次函数求最值，再求的最小值； （3）设直线为，将代入，求得直线为，可得，那么，由于直线经过点E，则，即可求解． 【详解】（1）解：令，得，， 即与x轴交点为， 又点在直线， ， 点B在点C左边， ； （2）解：∵， ∴对称轴为直线：， 将代入得： ∴， ∵， ∴， 当时最小值为1，即的最小值为1 （3）解：设直线为，将代入 求得，， 直线为， ∵ ∴， 当时 ， 直线经过点E， ，． 5．（2025·安徽蚌埠·三模）已知抛物线 (1)求该抛物线的对称轴方程及抛物线与x轴的交点坐标； (2)若 当 时，求函数y的取值范围，并说明理由； (3)若 设直线 与抛物线 交于点 A，B，与抛物线 交于点 C，D，求线段与线段的长度之比． 【答案】(1)，和 (2)，理由见解析 (3) 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值、求抛物线与x轴的交点坐标、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）根据对称轴公式求出对称，令求出抛物线与x轴的交点坐标； （2）求出解析式，根据二次函数的增减性求出最大值和最小值即可； （3）联立直线和抛物线，求出线段与线段的长度，即可得出结果． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线2； 令，则： ∵， ∴， 解得 ∴抛物线与 x 轴的交点坐标为和 （2）若，则 ，对称轴为直线 ∴抛物线开口向下，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， ∴当时，函数y有最大值，最大值为 且抛物线上的点离对称轴越远，y值越小， ∴当时，y的值最小，最小值为， ∴当 时，y的取值范围为． （3）当时， 联立 ， 得 解得 联立 ， 得 解得 ， 即线段与线段的长度之比为． 6．（2025·安徽安庆·一模）平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A． (1)求点A的坐标及抛物线的对称轴； (2)当时，y的最大值为5，求a的值； (3)设抛物线的顶点为B，点M是线段上的动点，过点M作轴，交抛物线于点N．若，试求出的最大值（用含a的式子表示）． 【答案】(1)，抛物线的对称轴为直线 (2)或 (3)最大值为 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值、求抛物线与y轴的交点坐标、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了二次函数综合，二次函数的最值问题，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）求出当自变量的值为0时的函数值即可得到点A的坐标，再把解析式化为顶点式即可得到对称轴； （2）抛物线顶点坐标为，当时，抛物线开口向上，则离对称轴越远，函数值越大，则当时，为最大值，当时，抛物线开口向下，则时，取最大值，据此分别建立方程求解即可； （3）求出线段的函数解析式为．设点的坐标为，则点的坐标为，用含a的式子表示出，并利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：在中，令，则， ∴． ∵抛物线解析式为， 抛物线的对称轴为直线． （2）解：由（1）可知抛物线解析式为 抛物线顶点坐标为． ①当时，抛物线开口向上，则离对称轴越远，函数值越大， ， 当时，为最大值， 即，解得． ②当时，抛物线开口向下， 时，取最大值， ，解得． 综上所述，或． （3）解：由（2）可得：抛物线的顶点坐标为， 设线段的函数解析式为， 由题意可知，，解得． 线段的函数解析式为． 设点的坐标为，则点的坐标为，如图， 当时， ． ， ， 当时，有最大值，且最大值为． 7．（2025·安徽阜阳·三模）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，连接．D是在第一象限内的抛物线上的一个动点，连接，交线段于点E． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点E在该抛物线的对称轴上，求的长； (3)过点D作y轴的平行线，交于点F，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、用勾股定理解三角形、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）先求出直线的表达式为，抛物线的对称轴是直线，可得点E的坐标是，再由勾股定理得，即可求解； （3）设点D的坐标为，则点F的坐标为，，可得，最后由二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：分别将点，，代入， 得解得 ∴该抛物线的表达式为； （2）解：设直线的表达式为． 将点代入，得，解得， ∴直线的表达式为． ∵抛物线的对称轴是直线， ∴点E的坐标是， ∴； （3）解：设点D的坐标为， 则点F的坐标为，， ∴ ， ∵，， ∴当时，DF`有最大值，最大值是． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，勾股定理，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 8．（2025·安徽滁州·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点P是直线下方抛物线上一点，过点P作轴于点D，交于点E，作于点F． （i）是否存点P，使得．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （ii）求周长的最大值及此时点P的坐标． 【答案】(1) (2)（i）不存在，理由见解析；（ii）周长的最大值为，． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、用勾股定理解三角形、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】（1）根据题意设抛物线为，可得，再进一步求解即可； （2）（i）如图，求解，证明，，结合，可得，求解直线为，设，则，可得，，再建立方程求解即可； （ii）由（i）得：，，可得周长，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点， ∴设抛物线为， ∴， 解得：， ∴抛物线为：． （2）解：（i）如图， ∵抛物线为：， ∴当，则，即， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为， 设，则， ∴，， ∴， 解得：， ∴， 此时重合，不符合题意； ∴不存点P，使得． （ii）由（i）得：，， ∴周长， ∵， ∴当时，周长最大， 最大值为， 此时， ∴． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，等腰直角三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，二次函数的性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 9．（2025·安徽阜阳·一模）已知抛物线：的顶点在x轴上． (1)求c的值． (2)将抛物线：先向左平移4个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到抛物线，点在抛物线上，点在抛物线上，且，，试判定，的大小，并说明理由． (3)设抛物线的顶点为A，抛物线的顶点为B，向上平移直线，分别与相交于点N，Q（点N在点Q的左边），与相交于点M，P（点M在点P的左边），求证：． 【答案】(1) (2) ，理由见解析； (3)证明见解析； 【知识点】二次函数图象的平移、线段周长问题(二次函数综合)、其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）本题考查抛物线与x轴交点问题，根据顶点在x轴上，直接求解即可得到答案； （2）本题考查二次函数的平移及二次函数的性质先根据平移得到，结合二次函数性质求出，的取值范围，再比较即可得到答案； （3）本题考查抛物线与直线交点距离问题，先求出交点，从而求出直线解析式，再求出平移后的解析式，联立二次函数求出交点坐标从而求出线段证明即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点在x轴上， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 由（1）可知，：， 整理得：，对称轴为直线， 故当时，y取最小值，最小值为0， 当时，， 当时，， ∴当时，， 平移后得，对称轴为y轴， 当时，， 当时，， ∴当时，， ∴； （3）证明：由：，可知， 点A的坐标为，点B的坐标为， ∴直线的解析式为， 设平移后直线的解析式为， 与抛物线：，联立，得：， 整理得， 设两根为，，则，， ∴， 平移后的解析式与联立， 得，整理得， 设两根为，，则，， ∴， 如图，分别过点P，M作轴，轴，相交于点C，分别过点Q，N作轴，轴，相交于点D， ∵直线与x轴的夹角（锐角）为， ∴， ∴和均为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ， ∴， ∴． 题型二：与面积有关问题 10．（2025·安徽宣城·三模）如图，为线段上一点，，，，，，记和的面积分别为，．设，，则关于的函数图象为（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数与几何的综合应用、全等三角形的判定与性质，过点作，与的延长线交于点，可证，所以可知，因为，则，，根据三角形的面积公式可得：，根据二次函数的图象与性质确定正确选项． 【详解】解：如下图所示，过点作，与的延长线交于点， ，，， ， ，， ， 又， 在和中， ， ，， ， ，， ， ． 观察图象可知选B． 故选：B． 11．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）抛物线交轴于点，，交轴于点，点为抛物线对称轴与轴的交点．若点为第一象限内对称轴右侧抛物线上一点，则面积的最大值为（    ） A．3 B．5 C． D． 【答案】D 【知识点】面积问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了二次函数与几何综合，灵活运用数形结合以及二次函数的最值问题是本题解题的关键．根据待定系数法求解二次函数表达式即可，过P作轴，采用割补法，将的面积转化为梯形和三角形的面积差，再根据二次函数最值问题求解 【详解】解：∵抛物线交轴于点，， ∴，抛物线对称轴是直线， ∴． 当时，， ∴． 过P作轴于M，设， ∴， ∵，， ∴， ∴ ， ∴当时，面积的最大值为． 故选D． 12．（2025·安徽阜阳·模拟预测）如图，已知抛物线过点，点． （1）该抛物线的顶点坐标为 ． （2）点C是上方抛物线上一动点（不与点A，B重合），连接，，则面积的最大值为 ． 【答案】 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）先根据抛物线经过点，，求出抛物线的解析式，再化为顶点式求出该抛物线的顶点坐标； （2）先利用待定系数法求得直线，再设过点C且与直线平行的直线解析式为，根据当直线与抛物线有唯一的公共点，求出，从而可得关于的方程求出，从而可得，进而可求得点D的坐标，再求出此时的面积即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴，解得， ∴， ∴该抛物线的顶点坐标为； （2）设直线的解析式为， ∵，点， ∴，解得： ∴直线的解析式为， 设过点C且与直线平行的直线解析式为， 当直线与抛物线有唯一的公共点， 则点C到的距离最大， ∴面积最大， ∴关于x的方程有两个相等的实数根， ∴有两个相等的实数根， ∴，解得：， ∴过点C且与直线平行的直线解析式为， ∴，解得：， ∴． 作轴交于点D， 则点的横坐标为， 又点在直线上， ∴， ∴点D的坐标为， ∴此时的面积． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一次函数的交点问题，求三角形的面积，解题关键是利用待定系数法求出二次函数解析式． 13．（2025·安徽池州·三模）已知抛物线与x轴负半轴交于点A，且经过，． （1）n的值为 ． （2）若P为第一象限内抛物线上的一点，且，则点P的坐标为 【答案】 4 或 【知识点】根据二次函数的定义求参数、求抛物线与x轴的交点坐标、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题考查二次函数与坐标轴的交点问题，掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． （1）把把代入求出抛物线解析式为，然后把代入得； （2）先求出．再根据①当时，，根据直线与抛物线解析式求出交点坐标，或 ②当直线经过的中点M时，，求出直线 抛物线解析式求出交点坐标． 【详解】解：（1）把代入得， ∴抛物线解析式为，把代入得； （2）令，得，解得，． ∵点A位于x负半轴上，∴． 由，得直线． ①当时，， 设，，得，即， 由得，， 把代入得，∴． ②当直线经过的中点M时，， 由，得， 由，，得直线 由解得，， 把代入得 ∴ 故答案为：（1）4；（2）或. 14．（2025·安徽安庆·三模）已知抛物线与轴交于点，，抛物线与轴交于点． （1）点的坐标为 ； （2）当时，点是抛物线在第一象限上的一动点，连接，，，若随的增大而增大，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求一次函数解析式、求抛物线与x轴的交点坐标、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的图象与性质，二次函数的最值，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据抛物线可得对称轴为直线，由，则有点， （）当时，，故有点，求出直线的解析式为， 作轴于点，交于点，由，最后通过二次函数的性质即可求解． 【详解】解：（）由， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴点， 故答案为：； （）当时，， ∵与轴交于点， ∴， ∴， ∴， ∴点， 设直线的解析式为， ，解得 ∴直线的解析式为， 作轴于点，交于点，    ∴ ， ∵， ∴当时，随的增大而增大， 故答案为：． 15．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，是轴上的点，且，分别过点作轴的垂线，交抛物线于点，过点作于点，过点作于点依次进行下去，记的面积为的面积为，的面积为 根据题意，解答下列问题． (1)______； (2)______； (3)______． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】点坐标规律探索、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式，也考查了三角形面积公式． 先根据二次函数图象上点的坐标特征，求出，则根据三角形面积公式计算出，同样可得；，，，所有相应三角形的面积等于分母为4，分子为奇数的分式，从而得到． 【详解】（1）解：当时，，则，所以， 故答案为：． （2）当时，，则，所以； 当时，，则，所以； 同样的方法可得，； 故答案为：． （3）由（1）（2）可得，， 所以， 故答案为：． 16．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）如图，抛物线与轴交于，，与轴交于点． （1）这条抛物线所对应的函数的表达式为 ； （2）点为抛物线上一点，连接，直线把四边形的面积分为两部分，则点的坐标为 ． 【答案】 或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合) 【分析】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求解析式，二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数的有关性质以及正确求得直线的解析式． （1）利用待定系数法求解即可； （2）设交轴于点，根据题意可得点的坐标为或，求得的解析式，联立即可求解． 【详解】（1）解：将点代入抛物线解析式 可得：， 解得：， 则拋物线解析式为：． 故答案为：． （2）如图，设交轴于点， ∵直线把四边形的面积分为两部分， 且 ， ∴或， ∵， ∴或， 即点的坐标为或， 设直线的解析式为：， 将点代入解析式可得或， 故直线的解析式为或， 联立方程组或 解得：或（不合题意的值已舍去）， 则点的坐标为或． 故答案为：或． 17．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，C，过点A，C的抛物线与x轴的另一个交点为，点D为第一象限内抛物线上的一动点，连接与交于点E． (1)当时， ； (2)的最大值为 ． 【答案】(1)/0.5 (2)/0.5625 【知识点】面积问题(二次函数综合)、相似三角形问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数和几何综合，熟练掌握二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先利用一次函数求出点A、C的坐标，结合再设出交点式，代入点C坐标求出抛物线解析式，由可得D的坐标，再利用平行线分线段成比例性质得到，即可解答； （2）作轴交于F，轴交于G，先得出比例，结合三角形的面积公式得到，设，则，表示出，进而表示出，再求出最大值即可解答． 【详解】（1）解：对于， 令，则，即， 令，则，即， 又， 设抛物线解析式为， 代入，则， 解得：， 设抛物线解析式为， ， 的纵坐标与的纵坐标相同，均为3， 对于，令，则， 解得：， ， ， 又， ． 故答案为：． （2）如图，作轴交于F，轴交于G， ， ， ， ， 当时，， ， 设，则， ， ， 当时，有最大值， 的最大值为． 故答案为：． 18．（24-25九年级上·安徽芜湖·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，且过点，连接． （1）B的坐标 ； （2）若点P是抛物线对称轴上一点，且，P的坐标 ． 【答案】 或 【知识点】求一次函数解析式、求抛物线与x轴的交点坐标、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与一元二次方程，二次函数与面积的综合等知识． （1）令，即可求解； （2）待定系数法求出直线的解析式，设交y轴于点D，抛物线对称轴交x轴于点E，则可求得点D的坐标，从而求得的面积；设，利用面积关系即可求解． 【详解】解：（1）令，解得：，； ∵点B在x轴正半轴上， ∴； 故答案为：； （2）在中，令，得， 即； 设直线的解析式为， 把B、A坐标代入得：，解得：， ∴直线的解析式为； 设交y轴于点D，抛物线交x轴于点E； 在中，令，得， 则； ∴的面积为； ∵， ∴； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴设； 当点P在上方时，， 即， 解得：， 故； 当点P在下方时，， 即， 解得：， 故； 综上，点P坐标为或； 故答案为：或． 19．（2025·安徽宿州·模拟预测）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的函数表达式． (2)点P在直线上方的抛物线上，轴，交直线于点D，求线段的最大值． (3)抛物线上是否存在一点Q，使得的面积等于3？若存在，求出点Q的横坐标q的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的最值、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象与性质，正确求出二次函数解析式是解答本题的关键． （1）运用待定系数法求出函数解析式即可； （2）令，求出，，求出直线的函数表达式为，设，则，得，运用二次函数的性质可得结论； （3）作轴交BC于点E，求出直线的函数表达式为，设，求出，得，，根据的面积等于3得，解方程即可． 【详解】（1）解：∵抛物线对称轴为直线，即， ∴， ∵抛物线与y轴交于点， ∴， ∴抛物线的函数表达式为． （2）解：令，解得或， ∵， ∴，， 如图1， 设直线的函数表达式为， ∵直线经过点，， ∴ 解得， ∴直线的函数表达式为， 由（1）得抛物线的函数表达式为， 设，则， ∴， ∵， ∴线段有最大值为． （3）解：如图2，作轴交BC于点E， 设直线的函数表达式为， ∵直线经过点，， ∴， 解得 ∴直线的函数表达式为， 设， 令，解得， 则， ∴， ∴的面积， ∵的面积等于3， ∴，解得或． 20．（2025·安徽合肥·模拟预测）平面直角坐标系中，抛物线过点，，，其中，线段上有一点，设的面积为，的面积为，． (1)用含的式子表示； (2)求点的坐标； (3)点是抛物线的顶点，若直线与抛物线的另一个交点的横坐标为，试说明与的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、面积问题(二次函数综合) 【分析】（）把代入抛物线解析式整理即可求解； （）设，则，，可得，，即得，得到，再根据二次函数的对称性可得，进而代入求出的值即可求解； （）由（）可得抛物线表达式为，即得，设直线表达式为，利用待定系数法可得直线表达式为，再利用函数解析式可得，由根和系数的关系得，整理即可求解； 本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的几何应用，一元二次方程根和系数的关系，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入抛物线，得， 整理得，； （2）解：设，则，， ∴，， ， ∴， 整理得，， ∴， 又、两点关于对称轴对称， ， 即， ∴， ∴点坐标为； （3）解：由（）可得抛物线表达式为， ∵， ∴顶点为， 设直线表达式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线表达式为， 联立， 整理得，， 由根和系数的关系得，， 整理得，， ∴与的数量关系为． 21．（2025·安徽蚌埠·三模）已知抛物线的对称轴为直线，且与x轴交于点、B两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线解析式及顶点坐标； (2)已知点P抛物线对称轴上一点，若，求P点的坐标； (3)若抛物线上仅存在一个点，使得，若，求n的最大值． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2)P点的坐标为或 (3) 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、面积问题(二次函数综合) 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、面积问题、二次函数的最值等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质是关键． （1）根据对称轴求出，利用求出，得到，即可得到函数解析式； （2）设与y轴交于点D，利用面积得到或，求出一次函数解析式，求出与对称轴的交点即可； （3）由题意得：，仅存在一个点，使得，即抛物线与直线仅有一个交点，得到，根据二次函数的性质求出最值即可． 【详解】（1）解：由题意得即， 把代入得， 解得， ， ， ∴顶点坐标为 （2）设与y轴交于点D， ， 又，对称轴为直线， ， 或， 设直线，由得 解得 ∴， 当时， ∴， 由同理可得得，得到 综上P点的坐标为或． （3）由题意得：， 仅存在一个点，使得， 抛物线与直线仅有一个交点， ， 整理得， ， ， 又，当时，随着的增大而减小， ∴时，n最大为． 22．（2025·安徽宣城·三模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线（a，b，c为常数，且）与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式． (2)P，Q两点均在抛物线上，轴于点D，轴于点E，与y轴交于点F．已知P，Q两点的横坐标分别为t和，且． （ⅰ）分别记和的面积为，，求的最小值． （ⅱ）分别记和的面积为，，若，求t的值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【知识点】一次函数与几何综合、待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）把，，点代入，再建立方程组求解即可； （2）（ⅰ）如图1，设，求解直线的函数表达式为，表示，，再进一步利用二次函数的性质解题即可； （ⅱ）如图2，表示，，可得，，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，，解得． ∴抛物线的函数表达式为． （2）解：（ⅰ）如图1，设， 直线的函数表达式为． ∵直线经过，， ∴． ∴， 即． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴直线的函数表达式为， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴的最小值为． （ⅱ）如图2， ∵，，即． ∴，， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 解得． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解函数解析式，二次函数与图形面积，二次函数的性质，本题的计算量大，细心的计算，熟练的表示三角形的面积是解本题的关键. 23．（2025·安徽六安·模拟预测）已知抛物线与x轴交于点，与y轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式． (2)已知点D在抛物线上，设点D的横坐标为m． ①若点D在第二象限，连接，交y轴于点E，求点E的坐标（用含m的式子表示）； ②若点D在第四象限，求的面积的最大值． 【答案】(1) (2)①；②1 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的图象和性质，相似三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）①过D作轴于点F，证明，则，由点D在第二象限，所以，故，，代入得 ，然后求出的值即可求解； ②连接，，过D作轴于点，交于点N，求出解析式为，则，然后由，所以，最后由二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点， ， ． 将点代入， 得解得 ∴抛物线的函数表达式为． （2）①由（1），可得点． 设直线的函数表达式为． 把点，代入， 得 解得 ∴直线的函数表达式为． 令，则， ∴点的坐标为． ②由点，，同理可得直线的函数表达式为． 如图，过点作轴，交于点，则点． ∵点， ∴， ． ∵， ∴当时，最大，最大值为1． 24．（2025·安徽合肥·三模）二次函数的图象与轴交于两点，与轴正半轴交于点为抛物线的顶点． (1)则、、、四点的坐标分别为___________，___________，___________，___________； (2)设点坐标为，二次函数的图象经过点三点，且与轴的交点落在线段上（不与点，重合）， ①二次函数的对称轴为___________（用表示）； ②求的取值范围； (3)在（2）的条件下，当时，为图象段上任一点，过点作轴的垂线交的图象于点，求四边形面积的最大值． 【答案】(1)，，， (2)①直线；②且． (3) 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、求抛物线与x轴的交点坐标、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数的解析式求解、坐标点的计算以及四边形面积最值问题，解题关键是熟练运用二次函数的性质，结合已知条件建立方程或函数表达式来求解相关量． （1）令，得出，，从而得到A，两点的坐标，令求得的坐标，将化为顶点式，得． （2）①根据题意可得二次函数对称轴为，得出点坐标． ②根据点落在线段上且不与、重合点位置确定m初步范围，然后根据、位置排除特殊值； （3）根据求值及解析式，并表示、坐标并求的解析式，然后当通过配方得时，取最大值，根据四边形面积计算方法得出四边形面积，即可得出点坐标． 【详解】（1）解：∵拋物线的解析式为． 令， ∴C点坐标为， 令，解得，． 点坐标为，点坐标为． 由题意可知，， 点坐标为． 故答案为：，，，． （2）①点坐标为， ∴二次函数的图象的对称轴为直线， ②∵对称轴为，点坐标为． ∴点坐标为． 点在上，且不与点，重合， ． ． ，都在二次函数的图象上， ． 综上所述，且． （3）解：当时，如图，， ， 解得， ∴此时的解析式为：， 设点坐标为，点Q坐标为， 当时，． 当时，有最大值3，此时四边形的面积为． 题型三：与角度有关问题 25．（2025·安徽宿州·模拟预测）已知抛物线 与x轴交于点和点 ，顶点为． (1)求该抛物线的对称轴和点 的坐标． (2)抛物线的对称轴与x轴交于点，若点 是该抛物线上的一点， 恰好平分线段． (i)求点 的坐标．用含 的式子表示) (ii)连接，，当时，求 的值． 【答案】(1)对称轴是直线，点的坐标为 (2)（i）点坐标为；（ii） 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、角度问题(二次函数综合) 【分析】（1）先根据对称轴方程求出对称轴，再根据轴对称的性质求出点B的坐标； （2）（i）过点P作轴于点G，将抛物线先写成交点式，再化成顶点式求出顶点C及线段的中点坐标，根据相似三角形的判定列方程求解； （ii）延长交轴于点，求出点的坐标，证，根据相似三角形的性质求出，然后在中，根据勾股定理列方程即可求解． 【详解】（1）解：抛物线对称轴是直线． ∵点与点关于对称轴对称，点， ∴点的坐标为：． （2）（i）抛物线与轴交于点， ， ，点坐标为，顶点的坐标为 如图，设的中点为，则点的坐标． 设点的坐标为． 作轴，垂足为点． ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴点坐标为； （ii）如图，延长交轴于点， ∵点，点坐标为． ∴直线的函数解析式为：． ∴点的坐标为． 又∵， ∴． 在与中，，， ∴． ， ∴，又，， ∴． 在中，，，， ， 解得：（舍去）或． 【点睛】本题考查了二次函数与几何的综合，考查了抛物线的性质，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识．利用点的坐标表示线段的长度、数学形结合及构造辅助线是解本题的关键． 26．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图1，抛物线经过两点，与轴交于点为第四象限内抛物线上一点．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)设四边形的面积为，求的最大值； (3)如图2，过点作轴于点，连接与轴交于点，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)S的最大值为 (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合) 【分析】（1）将，代入，即可求解； （2）过点P作PM⊥x轴于点N，P为第四象限内抛物线上一点，设点，则，，根据得，然后根据二次函数的最值求解即可； （3）由题意得到，则，设，由，求出即可． 【详解】（1）解：将，代入，得： ， ， ； （2）解：过点P作轴于点N，如图所示，    令，则， ∴， ∴， ∵P为第四象限内抛物线上一点，设点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∵ ∴当时，S有最大值，． （3）解：如图，    ∵轴，轴， ∴， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，等腰三角形的判定，勾股定理，求二次函数解析式，待定指数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的图象及性质，勾股定理，注意数形结合思想是解题的关键． 27．（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）如图1，抛物线经过，两点，与轴交于点，为第四象限内抛物线上一点．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)设四边形的面积为S，求S的最大值； (3)如图2，过点作轴于点，连接，，与轴交于点．当时，求直线的函数表达式及点的坐标． 【答案】(1) (2)S的最大值为 (3)； 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的最值、面积问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合) 【分析】（1）将，代入，即可求解； （2）过点P作PM⊥x轴于点N，P为第四象限内抛物线上一点，设点，则，，根据得，然后根据二次函数的最值求解即可； （3）由题意得到，则，设，由，求出，再由待定系数法求直线的解析式即可；分解直线的解析式和抛物线的解析式，求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：将，代入，得： ， ， ； （2）解：过点P作轴于点N，如图所示，    令，则， ∴， ∴， ∵P为第四象限内抛物线上一点，设点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∵ ∴当时，S有最大值，． （3）解：设交y轴于点N，如图，    ∵轴，轴， ∴， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， 设直线的解析式为，把，代入得： ， ， ， 令， 解得：，， ∴点P的横坐标为， 把代入得：， ∴点P的坐标为． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，等腰三角形的判定，求一次函数解析式，勾股定理，求二次函数解析式，待定指数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的图象及性质，勾股定理，注意数形结合思想是解题的关键． 题型四：特殊三角形问题 28．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）已知二次函数（a是常数，且）． （1）若该函数图象经过点，则a的值为 ； （2）已知该二次函数的图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，若以点A，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则a的值为 ． 【答案】 或． 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、用勾股定理解三角形、等腰三角形的定义、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、等腰三角形的定义、勾股定理等知识． （1）二次函数的图象经过点，得到，即可得到； （2）求出点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，得到，，，分三种情况进行讨论即可进行解答． 【详解】解：（1）∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得， 故答案为： （2）当时，， ∵， ∴， 解得， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， 当时，， ∴点C的坐标为， ∴，，， 则， 当时，，即，解得（不合题意，舍去），； 当时，，即，解得（不合题意，舍去），； 综上可知，a的值为或． 故答案为：或． 29．（2025·安徽·模拟预测）如图，已知抛物线的图象与轴交于点和，与轴交于点，点是抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，过点作交抛物线于点． （ⅰ）连接，，求的面积； （ⅱ）将抛物线的顶点沿直线移动得到一个新抛物线，若新抛物线的顶点与点，点能构成等腰三角形，试求出平移后的抛物线的表达式． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）或或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）将点和代入，解方程组即可； （2）（ⅰ）确定，，确定直线的解析式为，直线的解析式为，联立，得，，，再计算即可； （ⅱ）分两种情况：①当点在的垂直平分线上时，②如图，以点为圆心，为半径作圆，交直线于点，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的图象与轴交于点和， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）（ⅰ）∵抛物线的图象与轴交于点，点是抛物线的顶点， 当时，， ∴，， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵， 设直线的解析式为，过点， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴的面积为； （ⅱ）①当点在的垂直平分线上时，则， ∴为等腰三角形， 此时点的纵坐标为，且在直线：上，设， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； ②如图，以点为圆心，为半径作圆，交直线于点， 则， ∴为等腰三角形， ∵，且点在直线：上，设， ∴， 解得：或， ∴点的坐标为或， 此时抛物线的表达式为或； 综上所述，平移后的抛物线的表达式为或或． 【点睛】本题是二次函数与几何的综合题，考查了待定系数法确定函数解析式，二次函数图象与坐标轴的交点，二次函数图象的平移，二次函数与一次函数的交点，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，两点间的距离等知识点，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 30．（2025·安徽池州·三模）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且点B的横坐标等于点C的纵坐标． (1)求该抛物线的解析式及点A的坐标； (2)设为直线上一点． ①当为直角三角形时，求n的值； ②当时，已知点A关于y轴的对称点为，射线交抛物线于点P．若，求点P的横坐标． 【答案】(1)， (2)①；② 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、求抛物线与x轴的交点坐标、角度问题(二次函数综合)、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）令，则，得到，从而，代入抛物线解析式，即可求出a的值，从而得到解析式，令时，则，解方程即可得到点A坐标； （2）①分两种情况：当点M在线段上，，为直角三角形；或当点M在射线上，，为直角三角形，分别求解即可； ②延长至点Q，使，证明，得到，进而得到点Q的坐标为，根据，得直线的解析式为，解方程即可解答． 【详解】（1）解：对于函数， 令，则， ∴， ∵点B的横坐标等于点C的纵坐标， ∴ 将点代入抛物线，得 解得：，（不合题意，舍去）， ∴抛物线解析式为． 当时，， 解得， 点A坐标为； （2）解：①由（1）可得，， 直线的解析式为． 当点M在线段上时，如图1，为直角三角形， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 为等腰直角三角形， 过点M作，垂足为点N． 点N为的中点， ． 将代入得， ． 当点M在射线上时，如图2，时，为直角三角形， ∵， ． ∵， ∴ ∴， 过点M作轴于点N， ∴，， ∵， ∴， ， 又， 综上，n的值为； ②由题意得，，延长至点Q，使， ， ∴，即， ∵，， ， ，， 点Q的坐标为， 由，得直线的解析式为， 由解得，（舍）， 点P的横坐标为． 【点睛】本题考查待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定及性质等，综合运用相关知识是解题的关键． 31．（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点 (1)求抛物线解析式； (2)若点为抛物线部分上一动点（可与，两点重合），过点作轴交直线于点，交轴于点．连接，当为等腰三角形时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)或或 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用)、求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式为，，由两点之间距离公式求得、、，然后分情况讨论等腰三角形的腰相等并分别计算即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴将点代入，得，解得， 抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 将点代入，得， 解得， ∴直线的解析式为． ∵点M在直线上，且点， ∴点M的坐标为． 将代入，则， ∴， ∴， ∴， ． 当为等腰三角形时， （ⅰ）若，则， 即，解得． （ⅱ）若，则， 即，解得或（舍去）． （ⅲ）若，则， 即，解得或（舍去）． 综上所述，或或． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、待定系数法求函数解析式、两点之间距离公式、等腰三角形的性质、解一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用相关知识综合解决问题． 32．（24-25九年级下·安徽安庆·阶段练习）已知对称轴为的二次函数的图像与轴交于，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式； (2)点是对称轴上的一个动点，连接，，是否存在点使最大，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在请说明理由． 【答案】(1)抛物线解析式为，直线的解析式为 (2)存在点， (3)存在点，使是直角三角形，点的坐标为或或或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、已知两点坐标求两点距离、线段周长问题(二次函数综合)、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）由题意得：，再将代入，求解即可；设直线的解析式为，把，代入，然后解方程组即可； （2）连接，，则，当、、三点共线时，有最大值，延长交对称轴于点，，解方程得到，设直线的解析式为，得到直线解析式为，当时，求出的值即可； （3）根据题意对称轴为直线，设，根据勾股定理，，，分①当时，②当时，③当时，根据勾股定理建立方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵对称轴为的二次函数的图像与轴交于，， ∴，， 解得：，， ∴抛物线解析式为， 当时，， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）存在点，连接，，则， 当、、三点共线时，有最大值， 延长交对称轴于点，则， ∵二次函数的图像与轴交于，， 当时，， 解得：，， ∴， 设直线的解析式为，过点， ∴， 解得：， ∴直线解析式为， 当时，， ∴； （3）存在点，使是直角三角形， ∵点对称轴上， 设， ∵，， ∴，，， ①当时，， ∴， 解得：， ∴； ②当时，， ∴， 解得：， ∴； ③当时，， ∴， 解得：或， 点坐标为或； 综上所述：点坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数综合运用，待定系数法求函数解析式，勾股定理，轴对称的性质，求线段长的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 33．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，已知抛物线与直线相交于． (1)抛物线及直线的函数关系式； (2)如图1，若是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积最大值； (3)如图2，若是抛物线上的一个动点，轴交于点，若是等腰直角三角形，则点的坐标为______． 【答案】(1)抛物线为，直线为 (2) (3)点的坐标为或 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）由，即可求解； （3）分当时，当时，两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：由抛物线过点及得， 解得， 故抛物线为； 又设直线为过点及， 则， 解得， 故直线为； （2）解：如图，过点作轴交于点，交轴于点，过点作轴于点， 设，则， ， 又， ∴面积的最大值为； （3）解：设，则， 当时， 如图，则， 解得：或（舍去）， 故点的坐标为； 当时， 如图，则， ， 则， 解得：（舍去）或， 故点的坐标为； 故若是等腰直角三角形，则点的坐标为或． 【点睛】此题主要考查利用待定系数法求函数解析式和利用二次函数的顶点式求最值，勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确理解待定系数法和熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 题型五：特殊四边形问题 34．（2025·安徽合肥·一模）已知抛物线与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴是直线是第一象限内抛物线上一个动点，过点作轴于点，与线段交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)当是以为底边的等腰三角形时． （i）求线段的长； （ii）已知是直线上一点，直线上是否存在一点，使得以为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）存在，点的坐标为 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、已知两点坐标求两点距离、特殊三角形问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（1）根据对称轴直线得到，把点代入，运用待定系数法即可求解； （2）（i）根据题意，运用待定系数法可得直线的解析式为，设，则，，根据等腰三角形的定义得到，如图，过点作，则，在中，由勾股定理得，由此即可求解；（ii）由（i）可知，，可得直线的解析式，设，若四边形为矩形，，根据点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到点，将点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到点，由此即可求解． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线， ， 解得， ， ， ， 抛物线的解析式为． （2）解：（i）设直线的解析式为，将点代入，得， 直线的解析式为， 设，则， ， 由题意知， 如图，过点作，则， ， 在中，由勾股定理得， 解得（舍去），， ； （ii）由（i）可知，， 设直线的解析式为， 将代入得， ， 设， 若以为顶点的四边形是矩形，如图所示， ∴四边形为矩形， ， 点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到点， 将点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到点， ， ， ， ， ， ， ， ， 则四边形为矩形，满足题意， 点的坐标为． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，等腰三角形的定义，勾股定理，矩形的判定方法和性质，平移的规律等知识，数形结合分析是解题的关键． 35．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，以为直角边，在第二象限作等腰直角三角形，抛物线经过点． (1)求抛物线的解析式． (2)设抛物线的顶点为，连接，求的面积． (3)在抛物线上是否还存在两点，使四边形为正方形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【知识点】特殊四边形(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合)、全等三角形综合问题、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）过点作轴于点，则．证明，则，则，得到点．把点代入，解得，即可求出答案； （2）求出抛物线的顶点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式为．设直线和轴的交点为，得到点的坐标为，则，即可求出答案； （3）延长至点，使，过点作轴于点，证明进一步得到点．过点作为垂足，且使，连接，则四边形为正方形．过点作轴于点，证明，进一步得到点．验证两点都在抛物线上，即可得到结论． 【详解】（1）解：如图，过点作轴于点，则． ∴ ∵， ∴ ． 在和中， ∵， ， ， ， 点． 把点代入， 得， 解得， 抛物线的解析式为． （2）由， 点的坐标为． 设直线的解析式为． 将点代入， 得， 解得， 直线的解析式为． 设直线和轴的交点为， 当时，，解得 ∴点的坐标为， ， ． （3）存在．如图，延长至点，使，过点作轴于点， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 点． 过点作为垂足，且使，连接，则四边形为正方形． 过点作轴于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ， 点． 当时，， 当时，， ∴两点都在抛物线上， 在抛物线上存在两点，使四边形为正方形． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、二次函数的图象和性质、正方形的判定和性质、一次函数的图象和性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 36．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图抛物线与直线都经过，两点，该抛物线的顶点为． (1)求此抛物线和直线的表达式； (2)根据图象，直接写出满足时的取值范围； (3)设直线与该抛物线的对称轴交于点，在射线上是否存在一点，过点作轴的垂线交抛物线于点，使点是平行四边形的四个顶点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为，直线的表达式为 (2) (3)存在，点的坐标为或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、根据交点确定不等式的解集、利用平行四边形的性质求解、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（1）将，分别代入抛物线和直线的表达式中求解，得出完整表达式即可； （2）根据图象即可求解； （3）分“点在轴的上方”和“点在轴的下方”两种情况讨论，根据题意画出符合题意的图形，设出点的坐标，依据解析式得出点的坐标，利用的坐标表示出线段，求出的长度，利用平行四边形的对边相等得到，得出方程求解，得出的坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为． ∵直线经过两点， ∴， 解得：， ∴直线的表达式为； （2）解：∵， ∴根据图象可得，当时，； （3）解：存在， ∵， ∴抛物线的顶点的坐标为． ∵轴，在直线上， ∴，点的坐标为． ∴． 情况一：如图1，若点在轴的上方，连接， ∴四边形为平行四边形，． 设，则． ， ， 解得：或（舍去）． ， ； 情况二：如图2，若点在轴的下方，连接， ∴四边形为平行四边形，． 设，则． ， ， 解得：或（舍去）． ， ， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合运用，求二次函数、一次函数的解析式，解一元二次方程，利用点的坐标的特征表示相应线段的长度、平行四边形的性质，分类讨论、画出图形、数形结合是解题的关键． 37．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，抛物线与轴交于，顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)为抛物线上一点，当时，求点坐标； (3)点是轴上的一个动点，点是坐标平面内一个动点，是否存在这样的点、，使得以为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出的坐标；若不存在说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，或，或，或，，使得以为顶点的四边形是矩形． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、用勾股定理解三角形、特殊三角形问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）如图，把绕着点逆时针旋转到位置，过点作轴于点，可证，得到，，即可得，过点作的垂线交于点，交抛物线于点，可知，，利用中点坐标公式可得，再利用待定系数法求出直线的函数解析式，最后联立两函数解析式解方程组即可求解； （）先求出顶点的坐标，设，，分为矩形的对角线、为矩形的对角线和为矩形的对角线三种情况，画出图形，利用矩形的性质和勾股定理解答即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，把代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，把绕着点逆时针旋转到位置，过点作轴于点，则，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 过点作的垂线交于点，交抛物线于点， ∵，， ∴，， 即点为的中点， ∴， 即， 设直线的函数解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 由，解得，， ∴； （3）解：存在． ∵， ∴， 设，， ①当为矩形的对角线时，如图， ∵， ∴， 整理得，， 解得， ∴ ∴对角线交点的坐标为， ∴，， ∴，， ∴； ②当为矩形的对角线时，如图， ∵， ∴， 整理得，， ∴， ∴， ∴对角线交点的坐标为， ∴，， ∴，， ∴； ③当为矩形的对角线时，如图， ∵， ∴， 整理得，， 解得，， ∴或， ∵对角线交点的坐标为， ∴当时，，， ∴，， ∴； 当时，，， ∴，， ∴； 综上，存在，或，或，或，，使得以为顶点的四边形是矩形． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，旋转的性质，余角性质，全等三角形的判定和性质，二次函数与一次函数的交点问题，等腰三角形的性质，勾股定理，矩形的性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 38．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，抛物线与 x 轴相交于 A，B两点(点 A 在点 B 的左侧)，与 y 轴相交于点 C ，顶点为 D ．    (1)直接写出 A，B，C 三点的坐标和抛物线的对称轴． (2)连接，与抛物线的对称轴交于点 E ，点 P 为线段上的一个动点，过点 P 作交抛物线于点 F ，设点 P 的横坐标为 m ． ①用含 m 的代数式表示线段 的长，并求出当 m 为何值时， 四边形 为平行四边形？ ② △BCF的面积为 S ，求 S 与 m 的函数关系式，并求出 S 的最大值． 【答案】(1)，，，对称轴 (2)①，②，S的最大值为 【知识点】坐标与图形、y=ax²+bx+c的图象与性质、面积问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（1）已知了抛物线的解析式，当时可求出A，B两点的坐标，当时，可求出C点的坐标．根据对称轴，可得出对称轴； （2）①的长就是当时，抛物线的值与直线所在一次函数的值的差．可先根据B，C的坐标求出所在直线的解析式，然后将m分别代入直线和抛物线的解析式中，得出两函数的值的差就是的长．根据直线的解析式，可得出E点的坐标，根据抛物线的解析式可求出D点的坐标，然后根据坐标系中两点的距离公式，可求出的长，然后让，即可求出此时m的值； ②设直线与x轴交于点M，易得，结合，所以，即，作答即可． 【详解】（1）解：∵与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧）， ∴当时，即， 解得，， ∵点A在点B的左侧， ∴，， 当时，即， ∴， ∵对称轴直线， ∴对称轴直线； （2）解：如图：连接，    ①设直线的函数关系式为， 把，，分别代入得： 解得 所以直线的函数关系式为：． 当时， ∴． 当时， ∴． 在中，当时，． ∴ 当时，， ∴ ∴线段， 线段， ∵， ∴当时，四边形为平行四边形． 由， 解得：，（此时点P与点E重合，故不合题意，舍去）． 因此，当时，四边形为平行四边形． ②设直线与x轴交于点M，如图      由，， 可得：． ∵， 即， ∴． 因为点P为线段上的一个动点， 所以， 则， ∵， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求一次函数的解析式，涉及线段和面积，平行四边形等知识内容；根据二次函数得出相关点的坐标和对称轴的解析式是解题的基础． 39．（23-24九年级上·安徽淮北·阶段练习）如图，抛物线与轴交于两点（点位于点的右边），与轴交于点，连接，是抛物线上的一动点，点的横坐标为．    (1)求抛物线对应的函数表达式以及两点的坐标． (2)若点位于第四象限，过点作，求的最大值． (3)是抛物线对称轴上任意一点，若以点为顶点的四边形是平行四边形，求的值． 【答案】(1)抛物线对应的函数表达式为，， (2)最大值为 (3)以点为顶点的四边形是平行四边形，或或 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数)、面积问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（1）根据抛物线与轴交于点，代入求值即可求解； （2）运用待定系数法求出直线的解析式，如图所示，过点作轴交于点，交轴于点，过点作的延长线于点，连接，根据结合图形的面积计算公式可用含的式子表示，根据等面积法，二次函数的最值的计算方法即可求解的值； （3）根据平行四边形的判定和性质，中点坐标的计算方法，图形结合，分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ∴把代入得，，解得，， ∴抛物线对应的函数表达式为， 令，即，解得，，， ∴点，． （2）解：已知点，， ∴设直线的表达式为， ∴，解得，， ∴直线的表达式为， 如图所示，过点作轴交于点，交轴于点，过点作的延长线于点，连接，    ∵点的横坐标为，点在抛物线的图象上， ∴点， ∵与交于点，且点与点的横坐标都是， ∴，且，， ， 已知，，四边形是矩形， ∴在中，，，， ∵，，， ∴，即， ∵， ， ∴当时，最大，最大值为． （3）解：已知抛物线， ∴对称轴为， ∵是抛物线对称轴上一点， ∴设点的坐标为， 已知，，，， ①如图所示，以为对角线，四边形是平行四边形，连接，与交于点，    ∴的中点的坐标得横坐标为，纵坐标为，即， ∴的中点坐标即， ∴，解得，； ②如图所示，以为对角线，四边形是平行四边形，连接，与交于点，    同理，的中点的横坐标为，解得，； ③如图所示，以为对角线，四边形是平行四边形，连接，与交于点，    同理，的中点的横坐标为，解得，； 综上所述，以点为顶点的四边形是平行四边形，或或． 【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式的方法，几何图形面积的计算方法，平行四边形的判定和性质等知识的综合运用是解题的关键． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 二次函数五种综合问题 题型一：与线段有关问题 题型二：与面积有关问题 题型三：与角度有关问题 题型四：特殊三角形问题 题型五：特殊四边形问题 题型一：与线段有关问题 1．（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图，已知抛物线的对称轴为，过其顶点的一条直线与该抛物线的另一个交点为，要在坐标轴上找一点，使得的周长最小，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，二次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，O是坐标系的原点，P是该二次函数图象对称轴上一动点． （1） ． （2）周长的最小值为 ． 3．（2025·安徽合肥·三模）已知抛物线与轴交于点，顶点为． (1)求该抛物线的解析式． (2)如图，点坐标，为抛物线对称轴上一动点，过点的直线平行轴交抛物线于、两点（点在点的左侧）． ①若，求点坐标； ②若以为边构造矩形（、在线段、上），求该矩形周长的最大值． 4．（2025·安徽合肥·三模）已知：直线经过点，抛物线与x轴交于B，C两点（点B在点C的左侧），抛物线的顶点为D，抛物线与交y轴于点E． (1)求点B，点C的坐标（用含字母a的代数式表示）； (2)连接，求线段的最小值； (3)当直线恰好经过点E时，求a的值． 5．（2025·安徽蚌埠·三模）已知抛物线 (1)求该抛物线的对称轴方程及抛物线与x轴的交点坐标； (2)若 当 时，求函数y的取值范围，并说明理由； (3)若 设直线 与抛物线 交于点 A，B，与抛物线 交于点 C，D，求线段与线段的长度之比． 6．（2025·安徽安庆·一模）平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A． (1)求点A的坐标及抛物线的对称轴； (2)当时，y的最大值为5，求a的值； (3)设抛物线的顶点为B，点M是线段上的动点，过点M作轴，交抛物线于点N．若，试求出的最大值（用含a的式子表示）． 7．（2025·安徽阜阳·三模）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，连接．D是在第一象限内的抛物线上的一个动点，连接，交线段于点E． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点E在该抛物线的对称轴上，求的长； (3)过点D作y轴的平行线，交于点F，求的最大值． 8．（2025·安徽滁州·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点P是直线下方抛物线上一点，过点P作轴于点D，交于点E，作于点F． （i）是否存点P，使得．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （ii）求周长的最大值及此时点P的坐标． 9．（2025·安徽阜阳·一模）已知抛物线：的顶点在x轴上． (1)求c的值． (2)将抛物线：先向左平移4个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到抛物线，点在抛物线上，点在抛物线上，且，，试判定，的大小，并说明理由． (3)设抛物线的顶点为A，抛物线的顶点为B，向上平移直线，分别与相交于点N，Q（点N在点Q的左边），与相交于点M，P（点M在点P的左边），求证：． 题型二：与面积有关问题 10．（2025·安徽宣城·三模）如图，为线段上一点，，，，，，记和的面积分别为，．设，，则关于的函数图象为（   ） A．B．C．D． 11．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）抛物线交轴于点，，交轴于点，点为抛物线对称轴与轴的交点．若点为第一象限内对称轴右侧抛物线上一点，则面积的最大值为（    ） A．3 B．5 C． D． 12．（2025·安徽阜阳·模拟预测）如图，已知抛物线过点，点． （1）该抛物线的顶点坐标为 ． （2）点C是上方抛物线上一动点（不与点A，B重合），连接，，则面积的最大值为 ． 13．（2025·安徽池州·三模）已知抛物线与x轴负半轴交于点A，且经过，． （1）n的值为 ． （2）若P为第一象限内抛物线上的一点，且，则点P的坐标为 14．（2025·安徽安庆·三模）已知抛物线与轴交于点，，抛物线与轴交于点． （1）点的坐标为 ； （2）当时，点是抛物线在第一象限上的一动点，连接，，，若随的增大而增大，则的取值范围是 ． 15．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，是轴上的点，且，分别过点作轴的垂线，交抛物线于点，过点作于点，过点作于点依次进行下去，记的面积为的面积为，的面积为 根据题意，解答下列问题． (1)______； (2)______； (3)______． 16．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）如图，抛物线与轴交于，，与轴交于点． （1）这条抛物线所对应的函数的表达式为 ； （2）点为抛物线上一点，连接，直线把四边形的面积分为两部分，则点的坐标为 ． 17．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，C，过点A，C的抛物线与x轴的另一个交点为，点D为第一象限内抛物线上的一动点，连接与交于点E． (1)当时， ； (2)的最大值为 ． 18．（24-25九年级上·安徽芜湖·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，且过点，连接． （1）B的坐标 ； （2）若点P是抛物线对称轴上一点，且，P的坐标 ． 19．（2025·安徽宿州·模拟预测）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的函数表达式． (2)点P在直线上方的抛物线上，轴，交直线于点D，求线段的最大值． (3)抛物线上是否存在一点Q，使得的面积等于3？若存在，求出点Q的横坐标q的值；若不存在，请说明理由． 20．（2025·安徽合肥·模拟预测）平面直角坐标系中，抛物线过点，，，其中，线段上有一点，设的面积为，的面积为，． (1)用含的式子表示； (2)求点的坐标； (3)点是抛物线的顶点，若直线与抛物线的另一个交点的横坐标为，试说明与的数量关系． 21．（2025·安徽蚌埠·三模）已知抛物线的对称轴为直线，且与x轴交于点、B两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线解析式及顶点坐标； (2)已知点P抛物线对称轴上一点，若，求P点的坐标； (3)若抛物线上仅存在一个点，使得，若，求n的最大值． 22．（2025·安徽宣城·三模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线（a，b，c为常数，且）与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式． (2)P，Q两点均在抛物线上，轴于点D，轴于点E，与y轴交于点F．已知P，Q两点的横坐标分别为t和，且． （ⅰ）分别记和的面积为，，求的最小值． （ⅱ）分别记和的面积为，，若，求t的值． 23．（2025·安徽六安·模拟预测）已知抛物线与x轴交于点，与y轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式． (2)已知点D在抛物线上，设点D的横坐标为m． ①若点D在第二象限，连接，交y轴于点E，求点E的坐标（用含m的式子表示）； ②若点D在第四象限，求的面积的最大值． 24．（2025·安徽合肥·三模）二次函数的图象与轴交于两点，与轴正半轴交于点为抛物线的顶点． (1)则、、、四点的坐标分别为___________，___________，___________，___________； (2)设点坐标为，二次函数的图象经过点三点，且与轴的交点落在线段上（不与点，重合）， ①二次函数的对称轴为___________（用表示）； ②求的取值范围； (3)在（2）的条件下，当时，为图象段上任一点，过点作轴的垂线交的图象于点，求四边形面积的最大值． 题型三：与角度有关问题 25．（2025·安徽宿州·模拟预测）已知抛物线 与x轴交于点和点 ，顶点为． (1)求该抛物线的对称轴和点 的坐标． (2)抛物线的对称轴与x轴交于点，若点 是该抛物线上的一点， 恰好平分线段． (i)求点 的坐标．用含 的式子表示) (ii)连接，，当时，求 的值． 26．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图1，抛物线经过两点，与轴交于点为第四象限内抛物线上一点．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)设四边形的面积为，求的最大值； (3)如图2，过点作轴于点，连接与轴交于点，当时，求点的坐标． 27．（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）如图1，抛物线经过，两点，与轴交于点，为第四象限内抛物线上一点．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)设四边形的面积为S，求S的最大值； (3)如图2，过点作轴于点，连接，，与轴交于点．当时，求直线的函数表达式及点的坐标． 题型四：特殊三角形问题 28．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）已知二次函数（a是常数，且）． （1）若该函数图象经过点，则a的值为 ； （2）已知该二次函数的图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，若以点A，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则a的值为 ． 29．（2025·安徽·模拟预测）如图，已知抛物线的图象与轴交于点和，与轴交于点，点是抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，过点作交抛物线于点． （ⅰ）连接，，求的面积； （ⅱ）将抛物线的顶点沿直线移动得到一个新抛物线，若新抛物线的顶点与点，点能构成等腰三角形，试求出平移后的抛物线的表达式． 30．（2025·安徽池州·三模）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且点B的横坐标等于点C的纵坐标． (1)求该抛物线的解析式及点A的坐标； (2)设为直线上一点． ①当为直角三角形时，求n的值； ②当时，已知点A关于y轴的对称点为，射线交抛物线于点P．若，求点P的横坐标． 31．（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点 (1)求抛物线解析式； (2)若点为抛物线部分上一动点（可与，两点重合），过点作轴交直线于点，交轴于点．连接，当为等腰三角形时，直接写出的值． 32．（24-25九年级下·安徽安庆·阶段练习）已知对称轴为的二次函数的图像与轴交于，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式； (2)点是对称轴上的一个动点，连接，，是否存在点使最大，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在请说明理由． 33．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，已知抛物线与直线相交于． (1)抛物线及直线的函数关系式； (2)如图1，若是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积最大值； (3)如图2，若是抛物线上的一个动点，轴交于点，若是等腰直角三角形，则点的坐标为______． 题型五：特殊四边形问题 34．（2025·安徽合肥·一模）已知抛物线与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴是直线是第一象限内抛物线上一个动点，过点作轴于点，与线段交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)当是以为底边的等腰三角形时． （i）求线段的长； （ii）已知是直线上一点，直线上是否存在一点，使得以为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 35．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，以为直角边，在第二象限作等腰直角三角形，抛物线经过点． (1)求抛物线的解析式． (2)设抛物线的顶点为，连接，求的面积． (3)在抛物线上是否还存在两点，使四边形为正方形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 36．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图抛物线与直线都经过，两点，该抛物线的顶点为． (1)求此抛物线和直线的表达式； (2)根据图象，直接写出满足时的取值范围； (3)设直线与该抛物线的对称轴交于点，在射线上是否存在一点，过点作轴的垂线交抛物线于点，使点是平行四边形的四个顶点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 37．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，抛物线与轴交于，顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)为抛物线上一点，当时，求点坐标； (3)点是轴上的一个动点，点是坐标平面内一个动点，是否存在这样的点、，使得以为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出的坐标；若不存在说明理由． 38．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，抛物线与 x 轴相交于 A，B两点(点 A 在点 B 的左侧)，与 y 轴相交于点 C ，顶点为 D ．    (1)直接写出 A，B，C 三点的坐标和抛物线的对称轴． (2)连接，与抛物线的对称轴交于点 E ，点 P 为线段上的一个动点，过点 P 作交抛物线于点 F ，设点 P 的横坐标为 m ． ①用含 m 的代数式表示线段 的长，并求出当 m 为何值时， 四边形 为平行四边形？ ② △BCF的面积为 S ，求 S 与 m 的函数关系式，并求出 S 的最大值． 39．（23-24九年级上·安徽淮北·阶段练习）如图，抛物线与轴交于两点（点位于点的右边），与轴交于点，连接，是抛物线上的一动点，点的横坐标为．    (1)求抛物线对应的函数表达式以及两点的坐标． (2)若点位于第四象限，过点作，求的最大值． (3)是抛物线对称轴上任意一点，若以点为顶点的四边形是平行四边形，求的值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$